Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg

algebra umkehrbar eindeutig auf die Aussagenlogik
abbildbar ist, lassen sich die
Verknüpfungen und auch als „und“
bzw. „oder“ lesen. Besteht also die Ergebnismenge
Ω aus den Antwortmustern, dann
lässt sich aus die Menge der Protokolle
herausgreifen, die beispielsweise die dritte
und die fünfte Aufgabe als richtig beantwortet
ausweisen.
Ein Paar < Ω, > heißt meßbarer Raum.
Auf ihm ist ein Maß μ einführbar, das die
Eigenschaften besitzt, die uns beispielsweise
von der Flächenmessung her geläufig
sind: Ein Maß ist eine gegenüber disjunkten
Elementen additive,
(A B) = (A) + (B) gdw. A B =,
nichtnegative Abbildung nach ,
(A) 0 für alle A , mit μ( ) = 0.
Wahrscheinlichkeit als spezielles Maß der
Gewissheit. Die Wahrscheinlichkeit ist
ein auf μ( Ω) = 1 normiertes Maß auf dem
messbaren Raum < Ω, >. Das Tripel <
Ω, , > bildet einen Wahrscheinlichkeitsraum.
Seine Einführung im Zusammenhang der
Testtheorie ermöglicht die wissenschaftliche
Analyse des zufälligen Antwortverhalten
der untersuchten Personen und
deren Testergebnisse als Zufallsgrößen.
Zufallsgrößen sind Abbildungen der
Grundmenge Ω eines Wahrscheinlichkeitsraumes
< Ω, , > in die reellen Zahlen
, so daß die Umkehrabbildung existiert
und ihre Bilder in liegen. Beispiele sind
alle zahlenmäßigen Testauswertungen,
etwa die Rohwerte, die Versuchspersonen
an einem Intelligenztest erzielt haben. In
diesem Falle besteht Ω wieder aus der
Menge aller möglichen Antwortmuster des
Tests. Die Meßbarkeit beispielsweise der
Abbildung „Intelligenzquotient“ (IQ) ermöglicht
bei gegebenem IQ mittels Umkehrabbildung
die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit
des Auftretens einer Person
mit mindestens diesem IQ .
Schwache Truescore-Theorie
Truescore Theorie ist dadurch gekennzeichnet,
daß sie die Testrohwerte als Befunde
einer diagnostischen Untersuchung
in zwei Komponenten aufspaltet, den sogenannten
wahren Anteil und die Fehlerkomponente.
Schwache Truescore-Theorie
verzichtet dabei auf Annahmen über die
Verteilungen dieser Komponenten oder der
Rohwerte selbst. Sie setzt lediglich die
Existenz niederer Momente dieser Verteilungen
voraus. Unter diesen Momenten
sind vor allem der Erwartungswert, die
Varianz und im zweidimensionalen Falle
die Kovarianz zu nennen.
Der Erwartungswert einer Zufallgröße
X ist definiert als X = X p(X), wobei
das Produkt der Ausprägung der Zufallsgröße
und der entsprechenden Auftretenswahrscheinlichkeit
über den gesamten Bereich
von X zu summieren, (im kontinuierlichen
Falle, z. B. bei Reaktionszeiten, zu
integrieren) ist. Die Erwartungswertbildung
ist ein linearer Operator:
(X + Y) = (X) + (Y)
( X) = (X),
(Additivität),
(Homogenität).
Der Erwartungswert sollte nicht mit dem
(Stichproben-)Mittelwert verwechselt werden.
Dieser ist als Summe der mit den
Häufigkeiten gewichtete Summe der verschiedenen
Realisierungen einer Zufallgröße,
dividiert durch deren Anzahl definiert.
Er dient meist zur Schätzung des
Erwartungswerts. Die Varianz einer Zufallsgröße
X ist definiert als var(X) =
²(X) = X² - (X)².
Die Kovarianz zweier Zufallsgrößen X und
Y ist definiert als cov(X,Y) = XY - X
Y. Validität wird als statistischer Korrelationskoeffizient
zwischen Test und Kriterium
ausgedrückt. Ein Korrelationskoeffizient
xy ist die auf das geometrische Mittel
der Varianzen [²(x)²(y)] normierte
Kovarianz von X und X: xy = cov(X,Y)/
[²(X)²(Y)] Validitätskoeffizienten,
lassen sich wie die Erfahrung gelehrt hat,