Kapitel 9: Hypothesentests

9 Hypothesentests 1
Kapitel 9:
Hypothesentests
A: Übungsaufgaben:
[ 1 ]
Bei Entscheidungen über das Ablehnen oder Nichtablehnen von Hypothesen kann es zu Irrtümern
kommen. Mit α bezeichnet man dabei die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese abzulehnen, obwohl sie
richtig ist. Mit β bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese nicht abzulehnen, obwohl
sie falsch ist. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) α und β sind Irrtumswahrscheinlichkeiten. ( )
b) Beim klassischen Signifikanztest gilt stets α ≤ β ≤ 0.1. ( )
c) Beim klassischen Signifikanztest kann man die Wahrscheinlichkeit α klein halten. ( )
d) Die Idee des klassischen Signifikanztests läßt die Wahrscheinlichkeit β unberücksichtigt.
e) Beim klassischen Signifikanztest muß die Verteilung der Prüfgröße unter der Nullhypothese
bekannt sein.
( )
( )
[ 2 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an!
Fällt die Prüfgröße bei einem Signifikanztest in den Ablehnungsbereich, so ist die Nullhypothese
a) mit verändertem Signifikanzniveau erneut zu prüfen. ( )
b) immer richtig. ( )
c) immer falsch. ( )
d) durch das Stichprobenergebnis beim Signifikanzniveau α widerlegt. ( )
e) durch das Stichprobenergebnis bei einem Signifikanzniveau größer α widerlegt. ( )

9 Hypothesentests 2
[ 3 ]
In einer Universitätsstadt will ein Kinobesitzer die Behauptung absichern lassen, dass sein Publikum
zu mehr als 80 % aus Studenten besteht. 200 Kinobesucher werden zufällig ausgewählt und befragt.
Es waren 180 Studenten darunter.
Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.1 durch.
a) Formulieren Sie die Nullhypothese.
H 0 =
b) Berechnen Sie die Prüfgröße Z.
Z =
c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.
A =
d) Geben Sie den R–Befehl an, mit dem Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen können, dass unter H 0
ein Wert ≤ Z angenommen wird .
R–Befehl=

9 Hypothesentests 3
[ 4 ]
Die mittlere Brenndauer der in einer Fabrik gefertigten Radioröhren betrug 2000 Stunden. Nach einer
Änderung des Produktionsverfahrens wird eine Probeserie vom Umfang n = 128 angefertigt und
geprüft. Für diese Stichprobe wurde ein Mittelwert von 2100 Stunden und eine Varianz S 2 ∗ von 50
Stunden 2 errechnet. Bei einem Signifikanzniveau α soll die Vermutung abgesichert werden, dass sich
die mittlere Brenndauer erhöht habe. Als Ablehnungsbereich für T wurde approximativ durch die
Standardnormalverteilung A = [1.6; ∞) ermittelt.
a) Formulieren Sie die Nullhypothese.
H 0 =
b) Wie groß war das Signifikanzniveau α ?
α =
c) Berechnen Sie die Prüfgröße T .
T =
d) Ermitteln Sie den P–Wert mit Hilfe der approximativen Normalverteilung und geben Sie den entsprechenden
R–Befehl an.
P–Wert≈
R–Befehl=
[ 5 ]
Der Starspieler eines Basketballvereins behauptet, in weniger als 36% aller Wurfversuche daneben
zu werfen, was ihm der Trainer nicht glaubt. Aufgrund der Ergebnisse in einem Bundesligaspiel, in
dem er bei 36 Wurfversuchen 9 mal nicht traf, will der Spieler seine Behauptung untermauern. (Die
Wurfversuche sind als unabhängige Versuche zu betrachten.)
Führen Sie den entsprechenden Test bei einem α = 0.05 durch.
Z = A =

9 Hypothesentests 4
[ 6 ]
Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 25 gezogen.
Für den Stichprobenmittelwert x ergibt sich ein Wert von 58.6 und für die Stichprobenvarianz
S 2 ∗ = 6. Es wird vermutet, daß der Mittelwert der Grundgesamtheit kleiner als 60 ist.
Diese Vermutung soll bei einem Signifikanzniveau α bestätigt werden.
Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch.
a) Formulieren Sie die Nullhypothese.
H 0 =
b) Berechnen Sie die Prüfgröße T .
T =
c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich A.
A =
d) Geben Sie den R–Befehl an, um den P–Wert zu ermitteln.
R–Befehl=
e) Schätzen Sie den P–Wert mit Hilfe der Tabelle auf Seite 277 im Skript nach oben hin ab.
P–Wert≈
f) Wird der Test bei α = 0.01 bzw. α = 0.05 verworfen? (Ja/Nein)
α = 0.01 : α = 0.05 :

9 Hypothesentests 5
[ 7 ]
Bei der Befragung von 400 zufällig ausgesuchten Kinobesuchern wurde festgestellt, dass 90% der
Befragten Kriminalfilme allen anderen Filmen vorziehen. Es soll die Hypothese geprüft werden, dass
diese Aussage für 80% aller Kinobesucher zutrifft.
Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch.
a) Formulieren Sie die Nullhypothese.
H 0 =
b) Berechnen Sie die Prüfgröße Z.
Z =
c) Ermitteln Sie den P–Wert mit Hilfe der Tabelle im Skript und geben Sie den entsprechenden R–
Befehl an.
P–Wert=
R–Befehl=
[ 8 ]
Die Fertigungsvorbereitung eines Betriebes weiß erfahrungsgemäß, dass ein bestimmter Produktionsprozess
mit einem Ausschussanteil von 10 % läuft. Nach einer Änderung des Produktionsverfahrens
will man mit Hilfe einer Zufallstichprobe vom Umfang n = 900 aus zunächst 10000 produzierten Einheiten
feststellen, ob überhaupt eine qualitative Veränderung positiver oder negativer Art des Produktionsprozesses
eingetreten ist. 36 der 900 untersuchten Einheiten stellten sich als Ausschuss heraus.
Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifkanzniveau von α = 0.05 durch.
Z = A =
P–Wert=

9 Hypothesentests 6
[ 9 ]
Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wurde eine Stichprobe der Größe n = 400 gezogen. Es
sei x = 13.272 und S ∗ = 1.36 gegeben.
Es soll die Nullhypothese H 0 : µ = 13 überprüft werden.
Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch.
(Hinweis: Da die Stichprobengröße n sehr groß ist, verwenden Sie bei der Berechnung des t–Quantils
die Approximation durch die Normalverteilung.)
Z = A =
Geben Sie den R–Befehl an, um den P–Wert zu ermitteln.
R–Befehl=
[ 10 ]
Ein Abfüllautomat liefert Kaffeepakete, deren Füllgewicht erfahrungsgemäß eine Standardabweichung
von σ = 3g aufweist.
Es soll die Hypothese überprüft werden, dass das durchschnittliche Füllgewicht eines Paketes höchstens
500g beträgt. Aus einer Zufallsstichprobe (n = 100), die der laufenden Produktion entnommen
wurde, erhielt man einen Mittelwert von x = 500.6 g.
Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.025 durch.
a) Formulieren Sie die Nullhypothese.
H 0 =
b) Berechnen Sie die Prüfgröße Z.
Z =
c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.
A =
d) Ermitteln Sie den P–Wert und geben Sie den entsprechenden R–Befehl an.
P–Wert=
R–Befehl=

9 Hypothesentests 7
[ 11 ]
Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2 . Aufgrund einer Zufallsstichprobe
vom Umfang n = 10 ergibt sich ein Stichprobenmittelwert x = 6 und eine Stichprobenvarianz
von S 2 ∗ = 3.6.
Es soll die Hypothese H 0 : µ ≥ 6.5 getestet werden.
Führen Sie den entsprechenden Test bei einem Signifikanzniveau von α = 0.025 durch.
a) Formulieren Sie die Nullhypothese.
H 0 =
b) Berechnen Sie die Prüfgröße T .
T =
c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.
A =
d) Ermitteln Sie den P–Wert mit Hilfe der approximativen Normalverteilung und geben Sie den R–
Befehl an, um den exakten P–Wert zu bestimmen.
P–Wert≈
R–Befehl=

9 Hypothesentests 8
[ 12 ]
Ein bekannter bayerischer Fußballklub ist im letzten Jahr vor allem durch spektakuläre Eigentore und
unerwartete Niederlagen aufgefallen und in eine sportliche Krise geraten. Nachdem in höchster Not
bereits Ex-Nationaltorhüter Tony Shoemaker verpflichtet wurde, will der neue Trainer, Sir Let-it-be,
auch den erfahrenen Altinternationalen Francis Basinbuilder reaktivieren. Zwar hat Francis Basinbuilder
schon seit einigen Jahren kein Punktspiel mehr bestritten, doch behauptet er, er würde aus
11 m Entfernung noch immer bei mehr als 50 % aller Schussversuche das leere Tor treffen. Daraufhin
trifft Ol’ Man Highness, der pfiffige Manager des Vereins, die Entscheidung, Basinbuilder solle
seine Behauptung zunächst in einem Probetraining untermauern. Basinbuilder erwischt beim Probetraining
einen guten Tag und trifft in 56 von 100 Schussversuchen das leere Tor. Kann er damit seine
Behauptung bei einem Signifikanzniveau von 5 % statistisch absichern?
Führen Sie den entsprechenden Test durch.
a) Formulieren Sie die Nullhypothese.
H 0 =
b) Berechnen Sie die Prüfgröße Z.
Z =
c) Bestimmen Sie den standardisierten Ablehnungsbereich.
A =
d) Bestimmen Sie den nicht–standardisierten Ablehnungsbereich.
A =

9 Hypothesentests 9
[ 13 ]
Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wird eine zufällige Stichprobe vom Umfang n = 24
gezogen. Für den Stichprobenmittelwert x ergibt sich ein Wert von 989. Als Schätzer für die Varianz
von x erhält man S 2 ∗ = 600. Zu prüfen sei die Hypothese, dass der Mittelwert µ der Grundgesamtheit
gleich 1000 ist.
Führen Sie den entsprechenden Test zum Signifikanzniveau von α = 0.01 durch.
T = A =
Benutzen Sie die folgenden R–Ausgabe, um den P–Wert zu bestimmen.
> round(pt(seq(-3,-2,0.1),23),digits=4)
[1] 0.0032 0.0040 0.0051 0.0064 0.0080 0.0100 0.0124 0.0154 0.0191 0.0234
[11]0.0287
P–Wert=

9 Hypothesentests 10
[ 14 ]
Im Rahmen des Qualitätsmanagements spielt die Varianz als Qualitätsmaß eine bedeutende Rolle.
Eine Fertigungsanlage für Prozessoren fertigte bisher Prozessoren mit einer Leiterbahnbreite von 18
Mikrometern und einer Varianz von 0.64. Nach einer Rationalisierung des Produktionsverfahrens
wurde im Rahmen einer Qualtitätskontrolle eine Stichprobe vom Umfang n = 10 gezogen. Dabei
ergab sich eine geschätzte Varianz von S 2 = 0.32. Sie möchten statistisch absichern, dass sich die
Varianz durch die Rationalisierungsmaßnahmen verringert hat. Überlegen Sie sich zunächst, wie Sie
Hypothese und Alternative für diesen Fall formulieren. Denken Sie daran, dass im Rahmen des Qualitätsmanagements
die Varianz möglichst klein sein sollte.
1) Formulieren Sie die Nullhypothese:
H 0 =
2) Berechnen Sie die Prüfgröße PG für die Varianz.
PG=
3) Welche Verteilung besitzt die Prüfgröße? Geben Sie deren Parameter an.
Verteilung=
Parameter=
4) Fällt die Prüfgröße bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 in den Ablehnungsbereich A? Welche
Folgerungen lassen sich hieraus für die Nullhypothese ableiten (verwerfen / nicht verwerfen)?
PG in A (Ja/Nein)=
Folgerung:
5) Benutzen Sie folgende R–Ausdrucke, um den P–Wert zu bestimmen.
> round(pchisq(1:6,10),digits=4)
[1] 0.0002 0.0037 0.0186 0.0527 0.1088 0.1847
> round(pchisq(1:6,9),digits=4)
[1] 0.0006 0.0085 0.0357 0.0886 0.1657 0.2601
P–Wert=
6) Wie groß wäre die Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn Sie die H 0 ablehnen würden?
Irrtumswahrscheinlichkeit=

9 Hypothesentests 11
[ 15 ]
Die Belegschaft eines großen Industriebetriebes vermutet, dass die tariflich vereinbarte Arbeitszeit
von 37.5 (Maßeinheit ist im folgenden immer Stunden/Woche) im Durchschnitt überschritten wird.
Die Gewerkschaft befragt 225 zufällig ausgewählte Belegschaftsmitglieder nach ihrer tatsächlichen
Arbeitszeit der letzten Woche. Es ergeben sich ein Stichprobenmittelwert x von 37.7 und eine Stichprobenstandardabweichung
S ∗ von 1.2 .
Kann die Vermutung der Belegschaft bei einem Signifikanzniveau von 10% statistisch abgesichert
werden?
Führen Sie den entsprechenden Test durch.
a) Formulieren Sie die Nullhypothese.
H 0 =
b) Berechnen Sie die Prüfgröße T .
T =
c) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich A mit Hilfe der approximativen Normalverteilung.
A =
d) Ermitteln Sie den P–Wert mit Hilfe der approximativen Normalverteilung und geben Sie den entsprechenden
R–Befehl an.
P–Wert≈
R–Befehl=

9 Hypothesentests 12
[ 16 ]
Mit dem Datensatz daten wurde in R ein t-Test durchgeführt:
t.test(daten,alternative='two.sided',mu=0)
One Sample t-test
data: daten
t = 1.4938, df = 99, p-value = 0.1384
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.05027883 0.35653589
sample estimates:
mean of x
0.1531285
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an.
a) Es wurde die Hypothese µ = 0 gegen die Alternative H 1 : µ ≠ 0 getestet. ( )
b) Wäre die Alternative H 1 : µ > 0, so würde man die Hypothese H 0 : µ ≤ 0 bei α = 0.1
verwerfen.
( )
c) Der Stichprobenumfang war n = 100. ( )
d) Der Befehl pt(1.4938, 99) bewirkt die (auf vier Stellen gerundete) Ausgabe
0.8616.
( )
e) Auch die H 0 : µ = 0.3 kann bei α = 0.05 nicht verworfen werden. ( )
[ 17 ]
Welche der folgenden Aussagen sind im Zusammenhang mit dem klassischen Signifikanztest WAHR?
Kreuzen Sie sie an.
a) Eine Nullhypothese, die beim 5% Signifikanzniveau verworfen wird, wird auch beim
10% Signifikanzniveau verworfen.
( )
b) Das Signifikanzniveau ist die maximale Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlicherweise
zu verwerfen, obwohl sie richtig ist.
( )
c) Wenn man die Nullhypothese nicht verwerfen kann, heißt das, daß sie richtig ist. ( )
d) Die Prüfgröße liegt nur dann im Ablehnungsbereich, wenn die Nullhypothese falsch
ist.
e) Wenn die Nullhypothese richtig ist, kann die Prüfgröße nicht im Ablehnungsbereich
liegen.
( )
( )

9 Hypothesentests 13
B: Klausuraufgaben:
[ 18 ] IV07S2
Der Hypothesentest über den Erwartungswert µ einer Population bei unbekannter Varianz ergab bei
einer Stichprobengröße von n = 16 eine Prüfgröße von PG = 1.55. Es wurde die Nullhypothese
µ = µ 0 gegen ihr Komplement getestet. Benutzen Sie folgende R-Bildschirmausgabe, um den P-Wert
zu bestimmen. (Die Zahlen der zweiten Ausgabe sind auf drei Nachkommastellen gerundet.)
PG
1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00
pt(PG,15)
0.923 0.929 0.935 0.940 0.945 0.950 0.954 0.958 0.962 0.965 0.968
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Nullhypothese wird für große und für kleine Werte von PG abgelehnt. ( )
b) Der P-Wert ist 0.929. ( )
c) Der P-Wert ist 1 − 0.929. ( )
d) Unter der Nullhypothese gilt P(PG ≤ 1.55) = 0.929. ( )
e) Die Nullhypothese wird nur für kleine P-Werte abgelehnt. ( )

9 Hypothesentests 14
C: Lösungen:
1) a, c, d, e
2) d, e
3) H 0 : π ≤ 0.8 ; 3.536 ; [1.28,∞) ; pnorm(3.536)
4) H 0 : µ ≤ 2000 ; 0.055 ; 160 ; 0 ; 1-pnorm(160)
5) -1.375 ; (-∞,-1.645]
6) H 0 : µ ≥ 60 ; -2.858 ; [-∞,-1.71) ; pt(-2.858,24) ; 0 ; Ja ; Ja
7) H 0 : π = 0.8 ; 5 ; 0 ; 2*(1-pnorm(5))
8) -6 ; (-∞,-1.96];[1.96,∞) ; 0
9) 4 ; (-∞,-1.96];[1.96,∞) ; 2*(1-pnorm(4))
10) H 0 : µ ≤ 500 ; 2 ; [1.96,∞) ; 0.023 ; 1-pnorm(2)
11) H 0 : µ ≥ 6.5 ; -0.833 ; (-∞,-2.26] ; 0.203 ; pt(-0.833,9)
12) H 0 : π ≤ 0.5 ; 1.2 ; [1.645,∞) ; [58.225,100]
13) -2.2 ; (-∞,-2.81];[2.81,∞) ; 0.0382
14) H 0 : σ 2 ≥ 0.64 ; 5 ; χ 2 –Verteilung ; 9 ; Nein ; nicht verwerfen ; 0.1657 ; 0.1657
15) H 0 : µ ≤ 37.5 ; 2.5 ; [1.28,∞) ; 0.006 ; 1-pnorm(2.5)
16) a, b, c, e
17) a, b
18) a, d, e