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Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 des A-Moduls „Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre“, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 8 Aufgabe 4 15 <strong>Punkte</strong> In einem Spielcasino wird als besondere Attraktion für entscheidungstheoretisch geschulte Spieler das aus den Kursmaterialien bekannte Petersburger Spiel eingeführt. Der Spieleinsatz beträgt „nur“ 6 GE. Damit aus Sicht der Bank der ohnehin negative Erwartungswert dieses Spiels den Gesamtgewinn des Casinos nicht zu stark vermindert, ist die maximale Auszahlung des Casinos auf 64 GE begrenzt worden, d.h., auch bei höheren „rechnerischen Gewinnen“ werden nur 64 GE ausgezahlt! a) Beschreiben Sie kurz in eigenen Worten eine mögliche Regel für obige Variante des Petersburger Spiels! (5 P.) Lösung: Beispiel 1: Bei einem Spieleinsatz von 6 GE wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum ersten Mal „Adler“ erscheint. Ist das beim n-ten Wurf (n = 1, 2, 3, …) der Fall, so beträgt die Auszahlung an den Spieler – 2 n GE für n ≤ 5 und – 64 GE für n > 5. Beispiel 2: Bei einem Spieleinsatz von 6 GE wird eine ideale Münze maximal fünfmal geworfen. Erscheint beim n-ten Wurf (n = 1, 2, …, 5) zum ersten Mal „Adler“, so wird das Spiel abgebrochen und es erfolgt eine Auszahlung an den Spieler in Höhe von 2 n GE. Zeigt die Münze hingegen bei allen fünf Würfen „Zahl“, so beträgt die Auszahlung 64 GE. b) Gehen Sie von der einmaligen Spielteilnahme eines Spielers aus! Verdeutlichen Sie für diesen Spieler die monetären Konsequenzen durch die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Verluste und Gewinne (:= Auszahlung des Casinos abzüglich Spieleinsatz)! (6 P.) ew; bwl2_kl.dot; U:\00091_A_Modul (BWL II)\Ea und SA\2008WS\EA2WS08L.doc; 09.06.2008 12:01:00
Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 des A-Moduls „Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre“, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 9 Lösung: Bei einem Spieleinsatz von 6 GE ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Gewinne und Verluste (in GE): e p (e) 1 – 4 ( = 2 − 6) 1 2 ( = 2 −1 ) 2 – 2 ( = 2 − 6) 1 4 ( = 2 −2 ) 3 + 2 ( = 2 − 6) 1 8 ( = 2 −3 ) 4 + 10 ( = 2 − 6) 1 16 ( = 2 −4 ) 5 + 26 ( = 2 − 6) 1 32 ( = 2 −5 ) 6 + 58 ( = 2 − 6) 1 32 ( 2 −5 ) = * *: Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Gewinns von 58 GE beträgt nicht (wie möglicherweise angenommen) 1/64, sondern ist exakt doppelt so groß. Summiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die kleiner als 58 GE sind, so ergibt sich mit 31 ⎛ 16 8 4 2 1 ⎞ 32 ⎜= + + + + ⎟ die Wahrscheinlichkeit, dass spätestens im fünften ⎝ 32 32 32 32 32 ⎠ Wurf erstmals „Adler“ erscheint. Die Wahrscheinlichkeit, dass erst in einem späteren als dem fünften Wurf (vgl. Spielregel in Beispiel 1) oder in keinem der fünf Würfe (vgl. Spielregel in Beispiel 2) „Adler“ erscheint, beträgt folglich 1 ( 1 31 ) 32 = − 32 . c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung des Ergebnisses (Gewinn oder Verlust) für diese Variante des Petersburger Spiels! (4 P.) Lösung: ( ) ( ) μ = −4 ⋅ 1 1 1 1 1 1 2 + −2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 + 10 ⋅ 16 + 26 ⋅ 32 + 58 ⋅ 32 = 1 oder 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 6 −5 μ = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 6 = 1 2 2 2 2 2 σ = ( −4−1) ⋅ 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 + −2−1 ⋅ 4 + 2−1 ⋅ 8 + 10−1 ⋅ 16 2 2 + ( 26 −1) ⋅ 1 ( ) 1 32 + 58 −1 ⋅ 32 = 141 2 2 σ = σ = 2 141 = 11,874 . ew; bwl2_kl.dot; U:\00091_A_Modul (BWL II)\Ea und SA\2008WS\EA2WS08L.doc; 09.06.2008 12:01:00
Seite 1 und 2: Lösungshinweise zur Einsendearbeit
Seite 7: Lösungshinweise zur Einsendearbeit

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