18 Punkte

Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 des A-Moduls „Finanzierungs- und entscheidungstheoretische 

Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre“, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 1 

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische 

Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre 

Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 (WS 2008/2009) 

Inhaltlicher Bezug: KE 4, 5 und 6 

Aufgabe 1 

15 Punkte 

a) Was versteht man in der Investitionstheorie unter dem Nominalwert einer 

Zahlungsreihe? 

(5 P.) 

Lösung: 

Der Nominalwert einer Zahlungsreihe entspricht dem Ordinatenschnittpunkt der Kapitalwertfunktion 

dieser Zahlungsreihe und errechnet sich als einfache Summe aller Ein- und Auszahlungen. 

b) Neben der Unterlassensalternative stehen zwei einander ausschließende 

Investitionsprojekte A 1 und A 2 zur Auswahl; bei beiden Projekten handelt 

es sich um Normalinvestitionen. Die auf der Basis des Kalkulationszinsfusses 

r ermittelten Kapitalwerte seien mit K 1 und K 2 bezeichnet, die internen 

Zinsfüße mit r* 1 und r* 2 . 

(10 P.) 

Geben Sie zu den nachfolgenden Aussagen (ohne Begründungen anzuführen) 

an, ob diese 

– richtig sind (Markierung: R), 

– falsch sind (Markierung: F) oder 

– je nach den weiteren, hier nicht näher bekannten Rahmendaten richtig 

sein können, aber nicht müssen (Markierung: ?)! 

i) Wenn 0 > K 2 > K 1 ist, ist die Optimalalternative im Sinne einer Endvermögensmaximierung 

(1) U R (2) A 1 F (3) A 2 F 

ii) 

Wenn r* 2 > r* 1 > r ist, ist die Optimalalternative 

(1) U F (2) A 1 ? (3) A 2 ? 

ew; bwl2_kl.dot; U:\00091_A_Modul (BWL II)\Ea und SA\2008WS\EA2WS08L.doc; 09.06.2008 12:01:00



iii) 

Wenn r* 1 > r > r* 2 ist, ist die Optimalalternative 

(1) U F (2) A 1 R (3) A 2 F 

iv) 

Wenn K 1 > K 2 und r* 2 < r ist, ist die Optimalalternative 

(1) U ? (2) A 1 ? (3) A 2 F 

v) Wenn r > r* 1 und K 1 > K 2 ist, ist die Optimalalternative 

(1) U R (2) A 1 F (3) A 2 F 

Lösung: 

zu i) 

Der Kapitalwert eines Investitionsprojektes gibt den auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Wert 

an, um den das Endvermögen bei Realisierung der Investition größer (oder kleiner) sein wird, 

als bei Wahl der Unterlassensalternative. Die Präferenzordnung nach dem Kapitalwertkriterium 

entspricht daher unmittelbar der Präferenzordnung nach dem Endvermögenskriterium: 

K 2 > K 1 ⇔ EV 2 > EV 1 . Da für K < 0 gilt, EV I > EV U , ist U die Optimalalternative. 

zu ii) 

Der interne Zinsfuß einer Normalinvestition kann als Verzinsung des „durchschnittlich gebundenen 

Kapitals“ des betrachteten Investitionsprojektes interpretiert werden. Von r* 2 > r* 1 > r 

kann allein noch nicht auf K 2 > K 1 oder EV 2 > EV 1 geschlossen werden, da Angaben über die 

Höhe des „durchschnittlich gebundenen Kapitals“ beider Investitionsalternativen fehlen. 

zu iii) 

Normalinvestitionen weisen genau einen internen Zinsfuß auf. Für r* > r gilt also K > 0 und 

für r* < r gilt K < 0. Aus r* 1 > r > r* 2 kann aber K 1 > 0 > K 2 gefolgert werden. Diese Präferenzordnung 

nach dem Kapitalwertkriterium gilt auch nach dem Endvermögenskriterium. 

zu iv) 

Da nur Normalinvestitionen betrachtet werden, kann aus r* 2 < r auf K 2 < 0 und aus K 1 > K 2 

damit insgesamt keine eindeutige Aussage über das Vorzeichen von K 1 abgeleitet werden. 

Damit bleibt offen, ob Projekt 1 oder die Unterlassensalternative zum maximal erreichbaren 

Endvermögen führt. 

zu v) 

Da nur Normalinvestitionen betrachtet werden, kann aus r > r* 1 auf K 1 < 0 und aus K 1 > K 2 

damit insgesamt auf 0 > K 1 > K 2 geschlossen werden. Wegen der Äquivalenz von Kapitalwertkriterium 

und Endvermögenskriterium stellt also die Unterlassensalternative die Optimalalternative 

dar. 




Aufgabe 2 


Die ALPHA-AG hat für den Kapitalwert eines Investitionsprojektes, bei dem auf 

eine Anfangsauszahlung nur noch Einzahlungsüberschüsse folgen, exakt den Wert 

K = +10 ermittelt. Markieren Sie die folgenden Aussagen über den entsprechenden 

Endwert (EW), die zugehörige Annuität (e*) und den internen Zinsfuß (r*) 

des Investitionsprojektes in der bekannten Weise mit R, F oder ?. Gehen Sie dabei 

davon aus, dass Geldbeträge jeweils auf ganzzahlige Werte und Prozentsätze 

auf zwei Stellen nach dem Komma genau gerundet werden! 

a) Nehmen Sie zunächst an, die Laufzeit des Projektes betrage 6 Jahre und der 

maßgebliche Kalkulationszins 7,00 %. Markieren sie die folgenden Aussagen! 

(6 P.) 

EW = 12 F 

EW = 15 

EW > 12 R 

EW > 15 

R 

F 

e* > 0 R 

e* = 2 

e* > 3 F 

e* = 1 

R 

F 

r* = 7,00 % F 

r* = 10,00 % 

r* > 7,00 % R 

r* > 10,00 % 

? 

? 

Lösung: 

Für Aufzinsungs- und Annuitätenfaktor gilt 1,5007 bzw. 0,2098 und somit (unter Beachtung 

der Rundungsregel) EW = 15 und e* = 2. Der interne Zinsfuß muss auf jeden Fall größer als 

7,00 % sein. 




b) Unterstellen Sie nun, es sei nur bekannt, dass 

(9 P.) 

– die Laufzeit des Projektes nicht kürzer als 2 Jahre, aber nicht länger 

als 14 Jahre ist und 

– der den Rechnungen zugrunde gelegte Kalkulationszins nicht kleiner 

als 4 % und nicht größer als 20 % ist. 

EW = – 6 F 

EW = + 10 

EW = 0 F 

EW = + 12 

EW = + 6 F 

EW = + 16 

F 

? 

? 

Lösung: 

Der für die Verknüpfung von K und EW maßgebliche Aufzinsungsfaktor ist auf jeden Fall 

größer als 1 und bewegt sich im konkreten Fall im Größenbereich zwischen 1,04 2 = 1,0816 

und 1,2 14 = 12,8392. 

e* = – 2 F 

e* = + 2 

e* = 0 F 

e* = + 3 

e* = + 1 ? 

e* = + 7 

? 

? 

F 

Lösung: 

Der für die Verknüpfung von K und e* maßgebliche Annuitätenfaktor ist auf jeden Fall positiver 

und bewegt sich im konkreten Fall im Größenbereich zwischen ANF (4%; 14 J.) = 0,0947 

und ANF (20%; 2 J.) = 0,6545. 

r* = 0,00 % F 

r* = 4,00 % 

r* = 2,75 % F 

r* > 4,00 % 

r* = 3,86 % F 

r* > 8,00 % 

F 

R 

? 

Lösung: 

Die Kapitalwertfunktion hat im relevanten Bereich einen monoton fallenden Verlauf und weist 

bei dem maßgeblichen Kalkulationszins einen positiven Wert auf; mithin muss r* größer als 

der Kalkulationszins und damit auf jeden Fall größer als dessen Mindestwert von 4 % sein. 




Aufgabe 3 


Ein Investor betrachtet die beiden folgenden Investitionsprojekte a 4 und a 5 mit 

den Zahlungsreihen: 

e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 

a 4 – 456 +20 +100 +144 +328 

a 5 –368 +218 +20 +188 

a) Stellen Sie die Differenzzahlungsreihe nach der Ihnen aus dem Kursmaterial 

bekannten Vorgehensweise auf! Welches Projekt sollte der Investor unter 

der Zielsetzung einer Endvermögensmaximierung durchführen, wenn der 

für die gesamte Laufzeit geltende Zins 10% p.a. beträgt und auf jeden Fall 

eines der beiden Projekte realisiert werden soll? 

(5 P.) 

Lösung: 

Die sich zu den jeweiligen Zeitpunkten ergebenden Differenzzahlungen werden ermittelt, indem 

die einzelnen Zahlungen des einen Projektes von denen des jeweils anderen Projektes 

zeitpunktbezogen subtrahiert werden. Dabei ist zu beachten, dass die erste von Null verschiedene 

Zahlung der Differenzzahlungsreihe ein negatives Vorzeichen hat. Um im konkreten Fall 

die gesuchte Differenzzahlungsreihe zu erhalten, ist jeweils zeitpunktbezogen a 4 – a 5 zu berechnen. 

e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 

D 4,5 –88 –198 +80 – 44 +328 

Die Berechnung des Kapitalwertes der Differenzzahlungsreihe für r = 0,10 ergibt: 

4,5 −1 −2 −3 −4 

K = −88 − 198 ⋅ 1,1 + 80 ⋅ 1,1 − 44 ⋅ 1,1 + 328 ⋅ 1,1 

= −10, 91. 

Der negative Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe entspricht definitionsgemäß gerade der 

Differenz der Kapitalwerte der Projekte a 4 und a 5 . Da diese Differenz negativ ist, ist das Investitionsprojekt 

a 5 dem Investitionsprojekt a 4 unter der Zielsetzung Endvermögensmaximierung 

eindeutig vorzuziehen. 




b) Führt die von Ihnen in Aufgabenteil a) als vorteilhaft erkannte Investition 

auch zu einem höheren Endvermögen als die Unterlassensalternative? Begründen 

Sie Ihre Meinung! 

(5 P.) 

Lösung: 

5 

−1 −2 −3 

K = − 368 + 218 ⋅ 1,1 + 20 ⋅ 1,1 + 188 ⋅ 1,1 

= −12, 04 . 

Das in Aufgabenteil a) als (relativ) vorteilhaft erkannte Projekt a 5 weist einen negativen Kapitalwert 

auf. Die Unterlassensalternative führt folglich zu einem höheren Endvermögen als das 

„bessere“ der beiden Investitionsprojekte a 4 und a 5 . U ist Optimalalternative. 

c) Ändern sich die Ergebnisse gemäß Teilaufgabe a) bzw. Teilaufgabe b), 

wenn der am Finanzmarkt geltende Zinssatz nicht konstant 10% p.a. beträgt, 

sondern in den ersten beiden Jahren jeweils 4% und anschließend jeweils 

16% beträgt? 

(5 P.) 

Lösung: 

Für den Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe ergibt sich: 

4,5 −1 −2 −2 −1 −2 −2 

K = −88 − 198 ⋅ 1, 04 + 80 ⋅1, 04 − 44 ⋅1, 04 ⋅ 1,16 + 328 ⋅1, 04 ⋅1,16 

= −14,12 . 

Der erneut negative Wert des Kapitalwerts der Differenzzahlungsreihe zeigt, dass Projekt a 5 

dem Projekt a 4 auch unter den geänderten Zinsbedingungen am Finanzmarkt vorzuziehen ist. 

Die relative Vorteilhaftigkeit des Projektes a 5 bleibt erhalten. Für den Kapitalwert des „relativ“ 

vorteilhaften Projektes a 5 ergibt sich: 

5 

−1 −2 −2 −1 

K = − 368 + 218 ⋅ 1, 04 + 20 ⋅ 1, 04 + 188 ⋅1, 04 ⋅1,16 

= + 9, 95 . 

Das Projekt a5 weist nunmehr einen positiven Kapitalwert auf und ist jetzt auch im Vergleich 

zur Unterlassensalternative vorteilhaft. 




d) Diskutieren Sie kurz die Aussagekraft und den Nutzen bzw. die Einsatzmöglichkeiten 

von Differenzzahlungsreihen bei Investitionsentscheidungen! 

(5 P.) 

Lösung: 

Differenzzahlungsreihen sind geeignet, die relative Vorteilhaftigkeit zweier Investitionsprojekte 

zu beurteilen. Es kann also eine Rangordnung zwischen den betrachteten Investitionsprojekten 

erstellt werden. Aufgrund der Differenzzahlungsreihe kann aber nicht beurteilt werden, ob 

die betrachteten Investitionsprojekte im Vergleich zur Unterlassensalternative vorteilhaft sind. 

Hierzu ist es zwingend notwendig, die einzelnen Zahlungen der Projekte zu berücksichtigen; 

es ist somit der jeweilige Kapitalwert der Investitionsprojekte zu ermitteln. 

Anwendungsmöglichkeiten, bei denen die Differenzzahlungsreihe Verwendung findet, sind 

immer dann gegeben, wenn der Investor bereits die Entscheidung über die Durchführung einer 

Investition getroffen hat, die Unterlassensalternative also nicht mehr zur Disposition steht bzw. 

die zu untersuchenden Investitionsprojekte im Vergleich zum Unterlassen bereits als vorteilhaft 

identifiziert wurden. Der Nutzen, den der Entscheidungsträger dabei aus der Verwendung 

der Differenzzahlungsreihe zieht, ist darin zu sehen, dass er unnötig viele Diskontierungsrechnungen 

vermeiden kann. 




Aufgabe 4 


In einem Spielcasino wird als besondere Attraktion für entscheidungstheoretisch 

geschulte Spieler das aus den Kursmaterialien bekannte Petersburger Spiel eingeführt. 

Der Spieleinsatz beträgt „nur“ 6 GE. Damit aus Sicht der Bank der ohnehin 

negative Erwartungswert dieses Spiels den Gesamtgewinn des Casinos nicht 

zu stark vermindert, ist die maximale Auszahlung des Casinos auf 64 GE begrenzt 

worden, d.h., auch bei höheren „rechnerischen Gewinnen“ werden nur 64 GE ausgezahlt! 

a) Beschreiben Sie kurz in eigenen Worten eine mögliche Regel für obige 

Variante des Petersburger Spiels! 

(5 P.) 

Lösung: 

Beispiel 1: 

Bei einem Spieleinsatz von 6 GE wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis 

zum ersten Mal „Adler“ erscheint. Ist das beim n-ten Wurf (n = 1, 2, 3, …) der 

Fall, so beträgt die Auszahlung an den Spieler 

– 2 n GE für n ≤ 5 und 

– 64 GE für n > 5. 

Beispiel 2: 

Bei einem Spieleinsatz von 6 GE wird eine ideale Münze maximal fünfmal geworfen. 

Erscheint beim n-ten Wurf (n = 1, 2, …, 5) zum ersten Mal „Adler“, so 

wird das Spiel abgebrochen und es erfolgt eine Auszahlung an den Spieler in 

Höhe von 2 n GE. Zeigt die Münze hingegen bei allen fünf Würfen „Zahl“, so 

beträgt die Auszahlung 64 GE. 

b) Gehen Sie von der einmaligen Spielteilnahme eines Spielers aus! Verdeutlichen 

Sie für diesen Spieler die monetären Konsequenzen durch die zugehörige 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Verluste und Gewinne 

(:= Auszahlung des Casinos abzüglich Spieleinsatz)! 

(6 P.) 




Lösung: 

Bei einem Spieleinsatz von 6 GE ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher 

Gewinne und Verluste (in GE): 

e 

p (e) 

1 

– 4 ( = 2 − 6) 

1 2 ( = 2 −1 

) 

2 

– 2 ( = 2 − 6) 

1 4 ( = 2 −2 ) 

3 

+ 2 ( = 2 − 6) 

1 8 ( = 2 −3 ) 

4 

+ 10 ( = 2 − 6) 

1 16 ( = 2 −4 ) 

5 

+ 26 ( = 2 − 6) 

1 32 ( = 2 −5 ) 

6 

+ 58 ( = 2 − 6) 

1 32 ( 2 −5 ) 

= * 

*: Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Gewinns von 58 GE beträgt nicht (wie möglicherweise 

angenommen) 1/64, sondern ist exakt doppelt so groß. Summiert man die 

Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die kleiner als 58 GE sind, so ergibt sich mit 

31 ⎛ 16 8 4 2 1 ⎞ 

32 ⎜= + + + + ⎟ die Wahrscheinlichkeit, dass spätestens im fünften 

⎝ 32 32 32 32 32 ⎠ 

Wurf erstmals „Adler“ erscheint. Die Wahrscheinlichkeit, dass erst in einem späteren als 

dem fünften Wurf (vgl. Spielregel in Beispiel 1) oder in keinem der fünf Würfe (vgl. 

Spielregel in Beispiel 2) „Adler“ erscheint, beträgt folglich 1 ( 1 31 ) 

32 = − 32 

. 

c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung des Ergebnisses 

(Gewinn oder Verlust) für diese Variante des Petersburger Spiels! 

(4 P.) 

Lösung: 

( ) ( ) 

μ = −4 ⋅ 1 1 1 1 1 1 

2 + −2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 + 10 ⋅ 16 + 26 ⋅ 32 + 58 ⋅ 32 = 1 

oder 

1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 6 −5 

μ = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 6 = 1 

2 2 2 2 2 

σ = ( −4−1) ⋅ 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 

2 + −2−1 ⋅ 4 + 2−1 ⋅ 8 + 10−1 

⋅ 16 

2 2 

+ ( 26 −1) ⋅ 1 ( ) 1 

32 + 58 −1 

⋅ 32 

= 141 

2 2 

σ = σ = 2 141 = 11,874 . 




Aufgabe 5 


a) Ein Entscheidungssubjekt A weist eine lineare Risikonutzenfunktion auf. A 

wird ein Lotteriespiel angeboten, bei dem mit der Wahrscheinlichkeit w genau 

200 Euro und mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1-w) genau 100 Euro 

gewinnen kann. Sein Sicherheitsäquivalent beträgt 600 Euro. Wie groß ist 

die Wahrscheinlichkeit w? 

(6 P.) 

Lösung: 

Eine lineare RNF impliziert Risikoneutralität, d.h. das Sicherheitsäquivalent entspricht 

dem Erwartungswert der Lotterie. Es gilt: 

200 = 600 ⋅ w + 100 (1 − w) 

w = 0,2 

b) Ein Entscheidungssubjekt B handelt (für nichtnegative Ergebnisse e) entsprechend 

der Risikonutzenfunktion ue ()= e. Ihm wird ein Spiel angeboten, 

das mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ein Ergebnis von 400 liefert; 

mit der Wahrscheinlichkeit von 80% ist das Ergebnis Null. 

(9 P.) 

(b1) Welches Sicherheitsäquivalent weist dieses Spiel für B auf? 

Lösung: 

Das Spiel hat für B einen Risikonutzen von 

u(e) = 0, 2 ⋅ 400 + 0,8 ⋅ 0 = 4. 

Das Sicherheitsäquivalent beträgt: 

4 = SÄ, d.h. SÄ = 16 

(b2) Ist B risikofreudig, risikoscheu oder risikoneutral? Begründen Sie Ihre 

Einschätzung kurz! 

Lösung: 

B ist risikoscheu, da das Sicherheitsäquivalent geringer als der Erwartungswert der Lotterie 

( μ= 0,2 ⋅ 400 + 0,8 ⋅ 0 = 80 ) ist. 




Aufgabe 6 


Gehen sie nachfolgend von der in der Tabelle dargestellten Wahrscheinlichkeitsverteilung 

der Renditen der Wertpapiere A,B und C aus: 

S 1 

S 2 

S 3 

S 4 

p 1 = 0,25 

p 2 = 0,25 

p 3 = 0,25 

p 4 = 0,25 

Rendite A – 4 +24 – 4 +24 

Rendite B +12 +2 +12 +2 

Rendite C +3 +3 +11 +11 

a) Bestimmen Sie für jedes der drei Wertpapiere sowohl den Erwartungswert 

als auch die Standardabweichung der Renditen! 

(12 P.) 

Lösung: 

μ A = 0, 5 ⋅− 4 + 0, 5 ⋅ 24 = + 10 

μ B = 0,5 ⋅ 2 + 0,5 ⋅ 12 = + 7 

μ C = 0, 5 ⋅ 3 + 0, 5 ⋅ 11 = + 7 

A 

B 

2 2 

σ = ( −4 −10) ⋅ 0,5 + (24 −10) ⋅ 0,5 = + 14 

2 2 

σ = (2 −7) ⋅ 0,5 + (12 −7) ⋅ 0,5 = + 5 

C 

2 2 

σ = (3 −7) ⋅ 0,5 + (11 −7) ⋅ 0,5 = + 4 

Hinweis: 

Die σ-Werte hätten auch ohne konkrete Rechnung leicht aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

abgeleitet werden können. Jedes konkrete Ergebnis e ij weicht jeweils vom Mittelwert 

der korrespondierenden Verteilung um den oben angegebenen σ-Wert ab. 




b) Bestimmen Sie die Korrelationskoeffizienten ρ AB , ρ AC und ρ BC ! 

(8 P.) 

Lösung: 

cov AB = ( −14) ⋅5⋅ 0, 25 + 14 ⋅( −5) ⋅ 0,25 + ( −14) ⋅5⋅ 0, 25 + 14 ⋅( −5) ⋅0,25 

= −70 

covAC 

= 0 

covBC 

= 0 

ρ AB = 

covAB 

−70 

= 

σA 

⋅σB 

14 ⋅5 

= −1 

ρ AC = 

0 

14 ⋅ 4 

= 0 

ρ BC = 

0 

5⋅ 

4 

= 0 

Hinweis: 

Die Werte für cov BC und ρ BC hätten nicht konkret ermittelt werden müssen. 

Aus ρ AB = –1 und ρ AC = 0 folgt direkt: ρ BC = 0.

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