Vorlesungsmanuskript ET-EW 2011.pdf - von Prof. Dr.-Ing. H. Alt, FH ...

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4.3 Komplexe Leistung
Wirk- und Blindleistung als Komponenten der komplexen Leistung
~
u
u
I
U
)
Z
D:\FH AKE\Vorlesungsmanuskript ET-EW 2011.doc
j
U)
ε
)
u
2
U
φ
δ
ωt
j⋅(
ωt
+ ε ) − j⋅(
ωt
+ ε )
() t = u ⋅ cos(
ωt
+ ε ) = e + e
1
jωt
* − jωt
() t = ⋅ [ U ⋅ e + U ⋅ e ]
i
i
p
2
)
= i ⋅cos
ωt
+ δ
)
i
2
j⋅(
ωt
+ δ ) − j⋅(
ωt
+ δ )
() t ( ) = e + e
1 jωt
* − jωt
() t = ⋅ [ I ⋅e
+ I ⋅ e ]
2
1 * * 1
j 2ωt
* * − j 2ωt
() t = [ U ⋅I
+ I ⋅U
] + [ U ⋅I
⋅e
+ U ⋅I
⋅e
]
p
2
2
Der Mittelwert der Leistung ist gleich dem Integralwert
über eine Periode von 0 bis ωt = 2π.
Der erste Term ist gleich dem Argument des Terms selbst,
der zweite Term ergibt den Integralwert Null.
T
1
P = p
T ∫
0
1 * *
() t ⋅dt
= ( U ⋅I
+ I ⋅U
)
2
jε
jδ
U = U ⋅e
, I = I ⋅e
, ϕ = ε − δ
ϕ > 0 der Strom eilt der Spannung nach
(induktive Last). (Merkregel: I nach dem
I
ϕ < 0 der Strom eilt der Spannung vor
Re (kapazitive Last)
ϕ = 0 Strom und Spannung Phasengleich
(ohmsche Last)
1 jωt
j⋅ε
− jωt
− j⋅ε
[ ] = ⋅ U[
e ⋅ e + e ÷ e ]
2
1 jωt
j⋅δ
− jωt
− j⋅δ
[ ] = ⋅U[
e ⋅ e + e ÷ e ]
1 j 2ωt
* *
* * − j 2ωt
() t = u()
t ⋅ i()
t = [ U ⋅I
⋅e
+ U ⋅I
+ I ⋅U
+ U ⋅I
⋅e
]
2
Diesen Wert der Leistung nennt man Wirkleistung, da der Mittelwert über eine Periode ungleich
Null ist, wenn U > 0 und I > 0 sind. Dieser Mittelwert ist gleich der Hälfte der Summe aus dem Produkte
aus der konjugiert komplexen Spannung mal dem komplexen Stromwert und dem konjugiert
komplexen Strom mal dem komplexen Spannungswert. Es ist für die Wirkleistung daher auch zulässig
und richtig, eines der beiden Produktwerte zu ermitteln ohne diesen Wert dann zu halbieren.
Diese Beliebigkeit hat allerdings eine Auswirkung auf das Vorzeichen der Blindleistung, die man
als den imaginären Anteil der komplexen Leistung definiert.
*
Man definiert daher die Scheinleistung zu: S = P + jQ = U ⋅I
oder
*
U ⋅I
*
Wir wählen die Form: S = P + jQ = U ⋅I
, weil dann die induktive
Blindleistung als positive Blindleistung in der komplexen
Leistungsebene erscheint.
Hier wird auch deutlich, dass im physikalischen Sinne die Leistung
nur als Wirkleistung existiert, die Blindleistung ist eine Wirkleistung
mit der Eigenschaft, dass sie über eine Periode gemittelt
den Wert Null ergibt.
In oberschwingungsbehafteten Netzen ist nur die Grundschwingung
des Stromes Träger der Wirkleistung.
Blindleistung
2
j
U
Scheinleistung
U I*
I
Q
Re
P
U * I
I *
Wirkleistung
U *