Klausur-Unterlagen Deskriptive Statistik

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Statistik I - Aufgabensammlung
Teil 1: Analyse für ein Merkmal
Aufgabe 1.1:
Das Unternehmen „Rhiel Logistik“ beschäftigt sich unter anderem mit dem Gütertransport. Dort
setzt das Unternehmen immer noch auf die Straße, sprich auf Speditionsunternehmen. Um der
Finanzbuchhaltung (Fibu) zu ermöglichen, die Kosten für die Speditionsunternehmen schon im
voraus abschätzen zu können, stellt man aus alten Datenbeständen folgende Informationen
zusammen, mit X : Anzahl der Paletten, die pro Tag an ein Speditionsunternehmen geliefert
werden:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n(x) 2 5 10 15 35 30 20 25 8 2
a.) Bestimmen Sie die Werte H(5) und H(9) der empirischen Verteilungsfunktion des
Merkmals X!
b.) Die Fibu teilt Ihnen nun mit, daß Ihr Unternehmen einen Rabatt ab einer Anzahl
von 7 Paletten pro Tag erhält. Geben Sie mittels der Verteilungsfunktion an, in
wieviel Prozent der Fälle dies eintritt!
Aufgabe 1.2:
In einem Fachgeschäft wurden in den letzten 30 Tagen folgende Kundenzahlen (pro Tag)
festgestellt:
2, 4, 6, 4, 7, 5, 7, 4, 3, 5, 5,
8, 6, 3, 5, 2, 9, 4, 5, 6, 8, 3,
10, 5, 4, 3, 7, 4, 6, 4.
a.) Erstellen Sie eine geordnete statistische Reihe!
b.) Geben Sie die absoluten und die relativen Häufigkeiten der Kundenbesuche an!
c.) Geben Sie die kumulierten absoluten und kumulierten relativen Häufigkeiten
der Kundenbesuche an!
d.) Bestimmen Sie die klassierte Verteilung mit den Klassen 2-4, 5-7 und 8-10
Kunden und ermitteln Sie dazu die absoluten, relativen und kumulierten relativen
Häufigkeiten!
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Aufgabe 1.3:
In einer Autowerkstatt werden die Bestellungen von Abschleppseilen elektronisch gespeichert.
Im Monat Dezember ergab sich somit folgende Reihe:
4, 2, 7, 2, 9, 2, 3, 6, 5, 2.
a.) Bestimmen Sie das gesuchte Merkmal!
b.) Bestimmen Sie die relative Häufigkeitsverteilung und stellen Sie sie durch ein
Balkendiagramm dar!
Aufgabe 1.4:
Die Supermarktkette „Seh-gut“ führt an ihren Kassen ein statistisches Experiment durch. Es
werden die Kunden gezählt, die pro Viertelstunde an Kasse 4 bezahlen wollen (Nichtkäufer
werden nicht mitgezählt). Es ergibt sich folgendes:
4, 1, 2, 3, 2, 0, 3, 0, 1, 2, 1,
2, 3, 0, 2, 0, 1, 3, 1, 2, 2, 0,
1, 1, 6, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 1, 0,
3, 4, 1, 2, 2, 1, 1.
a.) Ermitteln Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Anzahl der Kunden, die
pro Viertelstunde an besagte Kasse strömen!
b.) Zeichnen Sie die zugehörige Häufigkeitsverteilung und
Summenhäufigkeitsfunktion!
Aufgabe 1.5:
Bei der Bewerbung um eine Stelle im oberen Management stehen sich 21 Kandidaten gegenüber.
Der Personalchef hat sich, um Zeit zu sparen, einen einfach auszuwertenden Test überlegt. Er
mißt die Zeit, die ein Kandidat für die Lösung einer bestimmten, hier nicht näher zu
betrachtenden Aufgabe benötigt. Er erhält folgende Ergebnisse (in sek.; aufgerundet):
120 117 149 154 99 123 192 100 78 106 132
143 98 154 128 119 87 200 164 154 112
a.) Erstellen Sie eine klassierte Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen sowie
kumulierten Klassenhäufigkeiten (Zählklassenbreite = 20)!
b.) Erstellen Sie für diese Verteilung ein Histogramm!
Warum ist bei konstanter Klassenbreite die Normierung der relativen Häufigkeiten
über alle Klassen nicht unbedingt notwendig ?
Aufgabe 1.6:
Die Abteilung Qualitätssicherung (QS) des Automobilbauers „Perpedes Lenz“ stellt für 1.000
ihrer Motoren des Typs „Thunder“ folgende Lebensdauer fest:
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Lebensdauer in Jahren Anzahl der Motoren
bis 3 21
über 3 bis 5 198
über 5 bis 7 395
über 7 bis 9 212
über 9 174
a.) Zeichnen Sie die Häufigkeitsverteilung und die zugehörige Summenhäufigkeitsfunktion!
b.) Der Chef der Abteilung QS möchte nun von Ihnen als erfahrenen Statistiker
wissen, welcher Anteil der Motoren eine zu erwartende Lebensdauer von mehr als
7 Jahren hat!
Aufgabe 1.7:
Bei einer statistischen Untersuchung wurde folgendes über die Verteilung der Erwerbstätigen
nach Nettoeinkommensgruppen herausgefunden:
Nettoeinkommen in
EUR
Frauen in % Männer in %
unter 500 2,3 1,6
[500,1000) 4,6 3,5
[1000,2000) 39,2 21,0
[2000,2500) 22,9 23,1
[2500,3000) 13,7 27,4
[3000,4000) 9,5 11,9
mindestens 4000 7,8 11,5
a.) Diese beiden Datensätze sollen für eine vergleichende Analyse graphisch
dargestellt werden. Welche Instrumente sind generell geeignet ?
b.) Stellen Sie die Datensätze graphisch dar. Was ist bei unterschiedlichen
Klassenbreiten zu beachten ?
Aufgabe 1.8:
Die Betriebsleitung des Elektrohändlers „Drexpert“ hat beschlossen, eine sogenannte
Kundenkarte einzuführen. Diese Karte hat den Vorteil, daß alle im Monat getätigten Einkäufe
gesammelt werden und dem Kunden der Betrag erst am Monatsende vom Konto abgebucht wird.
Nachdem im ersten Monat 100 dieser Karten an den Mann gebracht wurden, ergab sich für den
Monat April folgendes:
Rechnungsbetrag in
EUR
Anzahl der Rechnungen
3

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unter 20 33
[20,40) 26
[40,60) 24
[60,100) 13
mindestens 100 4
Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung und Summenhäufigkeit des im Monat April anfallenden
Rechnungsbetrages graphisch dar!
Aufgabe 1.9:
Das Prüfungsamt einer Universität hängt folgende Liste mit Klausurergebnissen in Punkten aus:
34, 95, 46, 76, 12, 0, 86,
71, 47, 54, 48, 84, 16, 91,
48, 73, 47, 84, 77,36, 49.
a.) Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung und die Summenhäufigkeitsfunktion
jeweils mit einer Klassenbreite von 10!
b.) Zeichnen Sie die Häufigkeitsverteilung und die Summenhäufigkeitsfunktion!
Aufgabe 1.10:
Ein Bekannter von Ihnen, der von Beruf Fahrlehrer in Frankfurt ist, lästert mal wieder über
Fahrradfahrer. Er teilt Ihnen mit, daß er Fahrradfahrer in folgende Kategorien unterteilt:
Gruppe 1 setze sich seiner Meinung nach über alle geltenden Verkehrsregeln hinweg, er nennt sie
die „Rücksichtslosen“. Die zweite Gruppe („ Schwarzfahrer“), die er ausmacht, fahre auch in der
tiefsten Nacht ohne Licht. Schließlich gebe es noch diejenigen, die verkehrskonform fahren
würden („Normalos“).
Im letzten Jahr sind ihm in Ausübung seines Berufes 37 „Normalos“ aufgefallen. Weiter waren
63% entweder „Schwarzfahrer“ oder „Rücksichtslose“. 27% der Radfahrer waren sogenannte
„Schwarzfahrer“.
Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung der drei Gruppen von Radfahrern und stellen Sie die
Häufigkeitsverteilung durch ein Säulendiagramm dar!
Aufgabe 1.11:
Für das Softwareprodukt „Consume 3“ des am Neuen Markt notierten Unternehmens „Klodacta
AG“ wurde die Benutzungsdauer in 400 Unternehmen ermittelt:
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Benutzungsdauer in Jahren bis unter 1 [1,3) [3,5) [5,8) [8,15)
Anzahl der Unternehmen 9 56 114 131 90
a.) Zeichnen Sie die Häufigkeitsverteilung und die Summenhäufigkeitsfunktion!
b.) Welcher Anteil der Unternehmen benutzt die Software länger als 4 Jahre ?
c.) Welche Benutzungsdauer wird von 75% der an die 400 Unternehmen
ausgelieferten Software mindestens erreicht ?
Aufgabe 1.12:
Der Besitzer eines kleinen Kinos macht sich Gedanken über die Wirtschaftlichkeit seines Hauses.
An 100 Tagen zählt er die Anzahl der Zuschauer. Folgende Zahlen liegen ihm vor:
xi 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
ni 1 9 13 13 20 15 10 7 5 4 3
a.) Berechnen Sie die relativen und kumulierten relativen Häufigkeiten!
b.) Zur Existenzerhaltung reicht es aus, wenn an 90% der Tage mindestens 48
Besucher kommen. Hat das Kino eine Überlebenschance ?
c.) Wie groß ist der Anteil der Tage, an denen der Kinobesitzer weniger als 270 EUR
einnimmt? (Der Eintrittspreis beträgt 6 EUR).
d.) An wieviel Tagen kommen maximal 50, aber mindestens 45 Besucher ?
Aufgabe 1.13:
500 Briefträger wurden nach ihren (unliebsamen) Bekanntschaften mit Hunden während der
Ausübung ihres Berufes befragt. Heraus kam folgende Verteilung:
Anzahl der Bekanntschaften [0,3) [3,5) [5,7) [7,15)
Anzahl der Briefträger 81 191 187 41
Stellen Sie die Summenhäufigkeitsfunktion graphisch dar!
Aufgabe 1.14:
In verschiedenen Unternehmen wurden 110 Personen, die einen Abteilungsleiterposten inne
haben, nach ihrer Schulbildung, ihrem Alter und nach der Art Ihrer Wohnung befragt. Heraus
kam folgendes:
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Abschluß
Anzahl der
Abteilungsleiter
Alter in
Jahren
Anzahl der
Abteilungsleiter
kein Abschluß 12 [20,30) 50
Hauptschul- 14 [30,40) 38
Realschul- 33 [40,50) 10
Abitur 39 [50,60) 12
Hochschul- 12
Art der Wohnung Einfamilienhaus Hochhaus Reihenhaus
Anzahl der
Abteilungsleiter
68 11 31
a.) Bestimmen Sie für die drei Merkmale die relative Häufigkeitsverteilung!
b.) Stellen Sie das Merkmal Abschluß mit Hilfe eines Kreisdiagramms dar, das
Merkmal Alter mit Hilfe eines Stabdiagramms!
c.) Stellen Sie wenn möglich für das Merkmal Art der Wohnung die empirische
Verteilungsfunktion graphisch dar!
d.) Berechnen Sie die empirische Verteilungsfunktion für alle drei Merkmale!
Aufgabe 1.15:
100 Studenten wurden anonym befragt, über welches Einkommen sie monatlich verfügen. Heraus
kam folgende empirische Verteilungsfunktion:
a.) Wieviel Prozent der Studenten verfügen über ein monatliches Einkommen von
mehr als 800 EUR ?
b.) Wieviele Studenten liegen unter dem „studentischen Existenzminimum“ von
500 EUR ?
c.) Unter welcher (finanziellen) Grenze liegen 35% der Studenten, die am wenigsten
Einkommen haben ?
d.) Bestimmen Sie den Median der Verteilung!
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Aufgabe 1.16:
Sie erhalten folgende Daten über die monatlichen Ausgaben von 12 bis 16-jährigen für
Computerspiele:
a.) Welcher Anteil der Jugendlichen gab mehr als 75 EUR aus ?
b.) Bestimmen Sie den Median der Verteilung!
c.) Wieviel Prozent der Jugendlichen gaben weniger als 40 EUR aus ?
Aufgabe 1.17:
An einer Wiederholungsklausur in Statistik haben 24 Studierende teilgenommen. Die erzielten
Punkte - maximal 100 - enthält die folgende Tabelle:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ui 45 63 67 24 38 51 57 94 85 5 66 75
i 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
ui 12 33 84 59 17 81 79 9 84 29 90 83
Werten Sie diese Informationen statistisch aus, indem Sie:
a.) die Häufigkeitsverteilung und die kumulierten Häufigkeiten bestimmen!
b.) die Quartile, ein weiteres Lagemaß und falls erforderlich ein geeignetes
Streuungsmaß berechnen!
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Aufgabe 1.18:
An der Scanner-Kasse eines Supermarktes wurde für 50 aufeinanderfolgende Kunden folgende
Bedienungszeiten in Sekunden registriert:
40 20 22 15 18 51 37 42 31 58
33 39 49 22 23 62 42 53 43 44
19 49 39 36 37 38 22 24 32 29
41 40 39 38 27 51 52 54 28 22
64 19 50 40 18 68 51 41 48 57
a.) Erstellen Sie ein Histogramm unter Verwendung der Klassengrenzen
0, 20, 30, 40, 50, 70!
b.) Erstellen Sie ein Stem and Leaf Display und bestimmen Sie den Modalwert, den
Median sowie das arithmetische Mittel der Bedienungszeiten!
Aufgabe 1.20:
Gegeben sind drei Verteilungen A, B und C:
Berechnen Sie die arithmetischen Mittelwerte!
Aufgabe 1.21:
A B C
xi ni xi ni xi ni
50 200 50 10 70 60
100 40 100 60 80 80
150 200 150 10 440 10
Geben Sie zu den Teilaufgaben a bis d jeweils einen geeigneten Mittelwert an:
a.) für das Durchschnittsgewicht von einer 7. Klasse.
b.) für eine Durchschnittsnote (Schulnoten) aus verschiedenen Fächern.
c.) für die durchschnittliche Zugfestigkeit (An mehreren Probestücken wird die
Zugfestigkeit von Edelstahl gemessen).
d.) für die Durchschnittsgeschwindigkeit eines LKW, der auf Teilstrecken einer Route
unterschiedliche Geschwindigkeiten fährt.
Aufgabe 1.22:
In einer 1986 bekannt gewordenen Untersuchung wurde der Gehalt des als krebsverdächtig
geltenden Stoffes Dioxan bei neunzehn Shampoos angegeben (Die Nachweisgrenze liegt bei 5
ppm). Die geordneten Werte lauten ( nach Neue Essener Presse Sondernr. Okt. 1986):
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0, 0, 10, 10, 15, 15, 25, 50, 50, 55, 65,
100, 120, 125, 140, 150, 280, 290, 390.
Erstellen Sie die 5-Zahlen Zusammenfassung und ein Box-Plot!
Aufgabe 1.23:
Die „Deutsche Tele-mom“ schickt Ihnen zum Ende des Monats August eine unvollständige
Rechnung. Darauf enthalten sind nur die Anzahl der Gebühreneinheiten (eine Gebühren-
einheit = 0,20 EUR):
21, 64, 15, 5, 14, 19, 1, 43, 37, 25, 13,
8, 52, 81, 11, 10, 3, 42, 61, 15, 44, 12.
a.) Zeichnen Sie einen Graphen, der die Verteilung in angemessener Form darstellt
und charakterisieren Sie die Verteilung!
b.) Berechnen Sie ein geeignetes Lagemaß!
Aufgabe 1.24:
Das Rennauto mit der Startnummer 17 legt bei dem 24h-Rennen in Le Mans (unter anderem) 4
Runden in unterschiedlichen Geschwindigkeiten (230 km/h, 210 km/h, 270 km/h und
110 km/h [infolge eines Ausfluges in die Prärie]) zurück. Ein anderes Auto mit der Nummer 11
ist in den gleichen 4 Runden konstant 200 km/h gefahren.
Wer war, wenn man nur diese 4 Runden betrachtet, schneller ?
Aufgabe 1.25:
Im Jahr 1935 erschien ein Artikel des Psychologen J. Stroop über das Phänomen, Farben von
Farbwörtern zu benennen, wenn diese Wörter in inkongruenten Farben geschrieben sind, z.B.
BLAU (geschrieben in roter Farbe)
ROT (geschrieben in gelber Farbe)
GRÜN (geschrieben in blauer Farbe)
GELB (geschrieben in grüner Farbe) usw.
Im vorliegenden Experiment mit 20 Versuchspersonen wurde versucht, Stroops Ergebnisse zu
replizieren. Genauer wurde untersucht, wieviel Sekunden die Versuchspersonen zum Lesen
von jeweils 100 Farbwörtern brauchten.
Versuch A: Die Versuchsperson bekommt eine Liste mit 100 Farbwörtern, geschrieben mit
schwarzer Tinte, vorgelegt.
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Versuch B: Die Versuchsperson bekommt eine Liste mit 100 Farbwörtern dargeboten, wobei
jedes Wort in einer Farbe geschrieben ist, die inkongruent zum Sinn des Wortes
ist.
VP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 34 34 33 35 37 49 37 27 45 32
B 40 40 42 35 41 53 39 34 47 37
VP 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A 33 34 29 37 44 41 32 39 30 41
B 40 41 32 46 46 49 40 40 37 47
a.) Stellen Sie die beiden Datensätze A und B graphisch dar!
Ist ein Leistungsunterschied feststellbar?
b.) Beschreiben Sie die Lage der beiden Datensätze durch Maßzahlen!
Aufgabe 1.26:
Geben Sie an, welcher Mittelwert hier jeweils geeignet ist:
a.) Bei Olympischen Winterspielen werden Skispringer von Punktrichtern bewertet.
Für jeden Skispringer soll die durchschnittliche Einordnung bestimmt werden!
b.) Die Preissteigerung in Deutschland betrug in den letzten Jahren 1,2%, 2,1%, 2,0%.
Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigerungsrate!
c.) Ein Tischler schneidet 14 m 2 Holz mit 2 m 2 je Stunde und 8 m 2 Holz mit 4 m 2 je
Stunde. Wie hoch war die Durchschnittsleistung ?
Aufgabe 1.27:
Ein langjährig erfahrener Möbelpacker erzählt seinem Lehrling in der Pause, daß er im Laufe
seiner Kariere schon (über) 150 Schränke „bewegt“ hat. Er zeigt ihm folgende Statistik:
Gewicht des Schrankes in kg [0,10) [10,s) [s,20) [20,30) [30,50)
Anzahl der transportierten Schränke 15 35 40 50 10
Um die Statistikkenntnisse des Lehrlings zu überprüfen, die er in der Berufsschule gerade lernt,
fragt er ihn, welche der nun folgenden Angaben ihm allein helfen würden, die fehlende
Klassengrenze s zu berechnen:
a.) Der Median hat einen Wert von 18 kg.
b.) Das 30%-Quantil beträgt 13.
c.) Das durchschnittliche Gewicht hat einen Wert von 19 kg.
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d.) Die Modalklasse ist [20,30).
Aufgabe 1.28:
In einem Kraftwerk wurde in den Monaten Januar 1990 bis Dezember 1991 folgende Anzahl von
Störfällen (Merkmal X) registriert:
Monat J F M A M J J A S O N D
1990 3 1 0 2 4 2 8 3 2 4 6 1
1991 6 7 1 1 7 9 8 3 3 8 0 7
a.) Stellen Sie die Daten in einem Säulendiagramm dar und geben Sie den Modus der
Verteilung an!
b.) Bestimmen und interpretieren Sie den Median und die Quartile über die
Verteilungsfunktion!
c.) Bestimmen Sie den Quartilsabstand und zeichnen Sie den Box-Plot der Erhebung!
d.) Berechnen Sie die Varianz und den Mittelwert der Verteilung!
Aufgabe 1.29:
Bestimmen Sie einen geeigneten Mittelwert:
a.) Ein vielreisender Urlauber benötigt für den ersten Teil (20%) seiner Schiffsreise
von Frankfurt nach New York (ca. 9000 km) 6 Stunden. Für die folgende
Teilstrecke, die genau halb so lang ist wie die Gesamtstrecke 12 Stunden und für
den Rest 4 Stunden. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich somit ?
b.) Bei der Weltmeisterschaft im Turmspringen erzielten die 5 deutschen Teilnehmer
folgende Plätze: 3. , 6., 1., 2., 2.
Welchen Platz haben die Turmspringer im Mittel erzielt ?
c.) Bei einer Meinungsumfrage vor dem Savignyhaus in Marburg, an der 2.000
Personen teilgenommen haben, sprachen sich 35% der Befragten für die
Beibehaltung der Ökosteuer aus. Bei einer zweiten Umfrage (über dasselbe
Thema) sprachen sich von 100 Personen immerhin 78% dafür aus. Wieviel Prozent
der Befragten ist gegen die Ökosteuer ?
Aufgabe 1.30:
In einem Supermarkt wurde im Rahmen einer Kundenflußstudie die Warteschlangenlänge vor
den Kassen aufgezeichnet. An einer bestimmten Kasse wurde an 16 Tagen jeweils zum
Meßzeitpunkt 15.00 Uhr die folgende Anzahl wartender Kunden ermittelt:
2, 0, 3, 6, 5, 6, 2, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 5, 2, 6.
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a.) Ermitteln Sie aus den Ausgangsdaten die zugehörige geordnete statistische Reihe
und erstellen Sie eine (unklassierte) Häufigkeitsverteilung mit absoluten und
relativen sowie kumulierten absoluten und relativen Häufigkeiten!
b.) Ermitteln Sie den Zentralwert und die Quartile!
c.) Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, die Varianz und die
Standardabweichung!
d.) Welches ist der schwerste Wert, welcher der dichteste ?
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Aufgabe 1.31:
Bei linear transformierten Daten der Form gilt:
und
Zeigen Sie, daß diese Aussagen wahr sind!
Aufgabe 1.32:
An einem Fließband arbeiten drei Personen. Der schnellste schafft 100 Bremsscheiben in 20
Minuten, die anderen beiden benötigen ebenfalls für 100 Bremsscheiben jeweils 33 und 41
Minuten. Wie hoch ist die Durchschnittsleistung der Fließbandarbeiter (entspricht der
durchschnittlichen Zeit für 100 Bremsscheiben) ?
Aufgabe 1.33:
Für mehrere Jahre wurde der Heizölverbrauch der Stadt Köln gemessen (fiktiv):
Jahr 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Heizölverbrauch in l 81000 83570 84125 87100 87950 91500
a.) Ermitteln Sie die jährlichen Wachstumsraten!
b.) Errechnen Sie die durchschnittliche Wachstumsrate!
Aufgabe 1.34:
Eine Eisengießerei bezieht Rohstoffe aus unterschiedlichen Ländern zu unterschiedlichen Preisen
für je 60.000 EUR:
Land bezogene Rohstoffe in EUR je Tonne
Rußland 1.000
U.S.A. 13.000
Slowakei 4.000
Spanien 7.500
Welchen durchschnittlichen Preis zahlte das Unternehmen je Tonne ?
Aufgabe 1.35:
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Bei einem Konzert der Heavy-Metall-Gruppe „EihC-DC“ werden grundsätzlich jede Menge an
Getränken verkauft. Der Veranstalter zählt unter anderem:
Getränk heiße Milch mit
Honig
Yasmintee Karottensaft Pfefferminztee
Häufigkeit 53 24 99 11
Da die Fans mit einer sogenannten „Kundenkarte“ bezahlt haben, läßt sich auch der anfallende
Zahlungsbetrag für jeden Fan errechnen:
Zahlungsbetrag [0,4) [4,10) [10,20) [20,35)
Anzahl der Fans 5 10 15 70
a.) Bestimmen Sie für die beiden Merkmale die möglichen Lageparameter!
Welche sind jeweils die geeignetsten ?
b.) Berechnen Sie für das Merkmal Zahlungsbetrag das 35%-Quantil!
Aufgabe 1.36:
Beim „Großen Preis von Monza“ (Damenkonkurrenz) fährt Michaela S. im freien Training unter
anderem folgende Durchschnittsgeschwindigkeiten pro Runde:
Runde 1 2 3 4
Durchschnittsgeschwindigkeit in
km/h
225 240 195 245
Bestimmen Sie rechnerisch die durchschnittliche (Gesamt-) Geschwindigkeit von Michaela S.!
Aufgabe 1.37:
In einer kleinen Unternehmung sind folgende Einkommensgrößen von Gewerkschaftsmitgliedern
gegeben:
24.000 $ 28.000 $ 48.000 $ 68.000 $
24.000 $ 40.000 $ 52.000 $ 72.000 $
28.000 $ 48.000 $ 52.000 $ 72.000 $
28.000 $ 48.000 $ 60.000 $ 74.000 $
Die Gewerkschaft ist der Meinung, daß ein Großteil dieser Gehälter sehr gering ist.
Zur Unterstützung ihrer Hypothese nimmt sie eine Klassenbildung mit vier gleich großen Klassen
vor (Klassenbreite jeweils 20.000 $, Klassenuntergrenze der ersten Klasse: 10.500 $).
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Das Management dagegen ist der Auffassung, daß die Einkommen der Gewerkschafts-
mitglieder in den höheren Einkommensklassen liegen. Ihre Position unterstützen sie durch
folgende Klasseneinteilung: vier gleich große Klassen mit einer Klassenbreite von jeweils
16.000 $ und einer Klassenuntergrenze der ersten Klasse von 10.500 $.
Stellen Sie die beiden klassierten Verteilungen graphisch dar und interpretieren Sie die
Ergebnisse!
Aufgabe 1.38:
Ein Brummi-Fahrer, der die Strecke Hamburg → Rom fährt, tankt auf seiner Reise drei Mal.
Bei Frankfurt tankt er 60 l für 1,75 EUR/l, bei München 35 l für 1,85 EUR/l und bei Mailand
tankt er ein letztes Mal 65 l für 1,45 EUR/l (von Lire in EUR ist bereits umgerechnet).
a.) Wie groß ist der mittlere Benzinpreis (EUR/l) ?
b.) Wie groß ist der mittlere Benzinpreis, wenn er jedesmal für den gleichen
Geldbetrag tankt ?
c.) Kurz nach seiner Ankunft in Rom, wurde die Firma an ein Unternehmen, ansässig
in Frankreich, verkauft. Die neue Unternehmensleitung möchte, daß für alle
Abrechnungen der französische Franc benutzt wird. Davon betroffen ist auch unser
Brummi-Fahrer. Er weiß, daß 1 Franc 74 Pfennig wert ist.
Wie groß ist der mittlere Benzinpreis (für obige Strecke) in Franc ?
Aufgabe 1.39:
Radrennfahrer „Rudi Maltig“ notiert nach jedem Training seine gefahrenen Kilometer,
Durchschnittsgeschwindigkeit und durchschnittliche Herzfrequenz. Sein Fahrradtacho gibt ihm
für die letzte Fahrt merkwürdige Informationen an:
Durchschnittsgeschwindigkeit in
km/h
25,5 27,9 22,1 18,2
Anteil an der gefahrenen Strecke 0,43 0,27 0,2 0,1
Bestimmen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit für die gesamte gefahrene Strecke!
Aufgabe 1.40:
Der Teeliebhaber „Marcello Tein“ möchte seinen Teekonsum einschränken. Dazu hat er im
letzten Monat folgenden Verbrauch festgestellt:
Teekonsum in Gramm pro Tag 0 – 3 3 – 7 7 – 9 9 – 11 11 – 15
Anzahl der Tage 2 5 7 11 6
Um seinen Konsum in Zukunft besser steuern zu können, möchte er von Ihnen als langjährigem
Freund und Statistikexperten wissen, wieviel Gramm Tee er durchschnittlich letzten Monat
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verbraucht hat, um dann in den Folgemonaten, die durchschnittliche Menge an Tee sukzessive zu
senken.
Aufgabe 1.41:
Die Keksfabrik „4-Paulie“ stellt bei einer Routinekontrolle in ihren Salzstangen folgenden
Salzgehalt fest:
Salzgehalt pro Salzstange in mg 1 1,1 1,2 1,5
kontrollierte Menge an Salzstangen in % 0,10 0,35 0,25 0,30
Wieviel Salzgehalt hatte durchschnittlich eine Salzstange ?
Aufgabe 1.42:
Ihr Freund „Michael Monie“ hat das Geld (1.500 EUR), was Sie ihm am Anfang des Jahres 1992
gegeben haben, gewinnbringend für Sie am Aktienmarkt investiert. Da sie sich jetzt (Anfang des
Jahres 1999) ein Auto kaufen wollen, fragen Sie Ihren Freund, was aus Ihrem Geld geworden ist.
Dieser sagt Ihnen, er hat, bei Verkauf der Aktien, einen Betrag von 12.194,27 EUR für Sie.
a.) Um wieviel Prozent hat sich Ihr Kapital insgesamt erhöht ?
b.) Wieviel beträgt die durchschnittliche jährliche Verzinsung ?
c.) Wieviel beträgt die durchschnittliche Verzinsung für ein 3-Jahresintervall ?
Aufgabe 1.43:
Im Kreis Marburg-Biedenkopf sind 10.000 Menschen arbeitslos (Quote: 7,2 %), im Nachbarkreis
nur 4.000 (Quote 10 %) [Daten sind fiktiv].
Wie hoch ist die durchschnittliche Arbeitslosenquote für diese beiden Regionen ?
Aufgabe 1.44:
Aus der Personalkartei eines Unternehmens wurde von 20 Arbeitnehmern die
Betriebszugehörigkeit in vollendeten Jahren festgestellt:
Betriebszugehörigkeit in Jahren 1 2 3 7 9 11 15
Anzahl der Arbeitnehmer 2 3 1 3 1 1 1
Betriebszugehörigkeit in Jahren 18 21 25 29 30 33 47
Anzahl der Arbeitnehmer 1 1 1 1 2 1 1
Berechnen Sie aus diesen Angaben:
a.) das arithmetische Mittel und den Median!
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b.) die Standardabweichung und die durchschnittliche Abweichung vom Median!
c.) Interpretieren Sie die Ergebnisse!
Aufgabe 1.45:
Im September 1990 wurden die Notarztwagen des Humboldt-Krankenhauses in Berlin zu 124
Einsätzen gerufen. Klassiert man die Einsätze nach der Entfernung zwischen Krankenhaus und
Einsatzort (Merkmal X, in km) so ergibt sich folgende Tabelle:
Entfernung in km 0-3 3-7 7-11 11-16
Anzahl der Einsätze 37 32 23 32
Gehen Sie von einer Gleichverteilung innerhalb der Klassen aus!
a.) Berechnen und interpretieren Sie den Mittelwert, die Varianz, die
Standardabweichung und den Variationskoeffizienten der Verteilung!
b.) Geben Sie an, wie sich diese Größen verändern, wenn man die Entfernung nicht in
km sondern in Meilen (1 Meile = 1,6 km ) mißt!
c.) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion!
(Hinweis: H(x) ist nur an den Klassengrenzen bekannt!)
Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch den Median und den Abstand zwischen
dem unteren und oberen Quantil (x(0,2) und x(0,8) )!
d.) Zeichnen Sie den Box-Plot der Verteilung, wenn die kürzeste Fahrt 500 m und die
längste Fahrt 15,4 km betragen haben. Inwiefern ist die Gleichverteilungsannahme
in der zweiten Klasse hierbei von Bedeutung ?
e.) Stellen Sie die Daten in einem Histogramm dar!
Aufgabe 1.46:
Zwischen dem FB 0815 der Uni Marburg und einer Universität im tiefsten England kommt es im
Januar 1997 zu einem Studentenaustausch. Dabei kommen 23 englische Studenten nach Marburg,
um (lokale) Bräuche und Sitten kennenzulernen. Der Marburger Leiter der Gruppe „Müller“ hat,
um das Eis ein bißchen zu brechen, ein lustiges kleines Spiel vorbereitet.
Er schlägt vor, die Höhe der Elisabethkirche zu schätzen, und zwar einmal die englische
Studentengruppe und einmal die Marburger Studentengruppe, bestehend aus 38 Personen.
Es ergeben sich folgenden Zahlenreihen:
Englische Gruppe Marburger Gruppe
75, 77, 80, 84, 84, 84, 91,
93, 96, 97, 101, 106, 107,
107, 107, 112, 118, 121,
123, 127, 128, 129, 133.
27, 28, 28, 30, 30, 31, 33, 34, 34, 35,
35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 38, 38, 38,
38, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 42,
42, 42, 43, 43, 43, 43, 44, 44.
Beim Vergleich der beiden Reihen, fällt Müller auf, daß die englische Gruppe die Höhe in Fuß
gemessen hat, während die Marburger Gruppe sie in Metern geschätzt hat. Da er aber bei der
Präsentation der Ergebnisse am Abend diejenige Gruppe auszeichnen will, die die Kirche im
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Schnitt genauer geschätzt hat, (und er die Schätzung nicht noch mal durchführen will) ruft er aus
seiner Verzweiflung Sie an.
Wie können Sie Ihrem langjährigen Freund aus der Patsche helfen (1 Fuß = 0,3048 Meter) ?
Aufgabe 1.47:
Vorgegeben ist die folgende Verteilung von Klausurnoten, wobei hier die Abstände zwischen den
einzelnen Noten sinnvoll zu interpretieren sein sollen:
xi 1 2 3 4 5
ni 5 19 33 17 6
a.) Berechnen Sie Mittelwert und Varianz der Verteilung!
b.) Wie groß ist die durchschnittliche, absolute Abweichung vom Mittelwert ?
c.) Welches ist der dichteste, welches ist der schwerste Wert ?
d.) Wie groß wären Mittelwert und Varianz dieser Verteilung, wenn die Notenskala
umgekehrt definiert würde, so daß die beste Note mit 5 und die schlechteste mit 1
zu bewerten wäre ?
e.) Berechnen Sie die durchschnittliche absolute Abweichung vom Mittelwert für die
neue Notenskala in Teilaufgabe d!
Aufgabe 1.48:
Mit Hilfe eines Computers wurden für einen Datensatz x1 ,...,xn als Lagemaße der Modus
xmod , der Median xmed und das arithmetische Mittel berechnet. Nach der Berechnung
stellt sich heraus, daß ein Fehler bei der Dateneingabe aufgetreten ist. Der kleinste Wert
xmin = x(1) des Datensatzes ist 400 und nicht 4 (wie falsch eingegeben). Auch der korrigierte
Wert 400 ist der kleinste Wert!
Wie verändern sich die drei Lagemaße nach einer Korrektur der Dateneingabe ?
Aufgabe 1.49:
Im Unternehmen „Zahlnix“ erhalten die 150 Beschäftigten einen monatlichen Durchschnittslohn
von . Aufgrund von Arbeitskampfmaßnahmen der Mitarbeiter Ende Juli wurde
endlich eine Angleichung an schon lange gültige Flächentarifverträge beschlossen. Ergebnis ist
eine sofortige 35%-ige Lohnanhebung und eine Einmalzahlung in Höhe von 220 EUR.
a.) Auf wieviel EUR dürfen sich die Mitarbeiter des Unternehmens durchschnittlich
am nächsten Zahltag (10.te des Monats August; entspricht dem Lohn für August)
freuen ?
b.) Um wieviel EUR hat sich in diesem Jahr die Situation der Mitarbeiter (im
Vergleich zum Vorjahr) absolut verbessert ?
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Aufgabe 1.51:
Bei einer statistischen Erhebung vom Umfang n =11 wurde von Statistikern der Mittelwert 5 und
eine Varianz von 12 berechnet. Bei einer Routinekontrolle wurde festgestellt, daß 3 Werte
vergessen wurden, nämlich die x-Werte 8, 3 und 2.
Berechnen Sie nun den wirklichen Mittelwert und die wirkliche Varianz der Stichprobe!
Aufgabe 1.52:
Für 100 Betriebe ist die Zahl der während eines Streiks von Aussperrung betroffenen
Arbeitnehmer in folgender klassierten Verteilung dargestellt:
Zahl der Arbeitnehmer Zahl der durchschnittliche Zahl Klassenvarianz
von ... bis unter ... Betriebe der Ausgesperrten [in 1000]
0-300 40 250 7,5
300-500 30 400 40
500-1000 25 720 150
1000 und mehr 5 6.000 698
a.) Bestimmen Sie den Zentralwert und die Quartile Q1 und Q3 mittels linearer
Interpolation!
b.) Berechnen Sie den Gesamtmittelwert und die Varianz der Verteilung!
Aufgabe 1.53:
Gegeben sei folgende ungeordnete statistische Reihe mit zwanzig Elementen:
4, 9, 7, 5, 5, 3, 6, 3, 7, 8, 3, 2, 5, 2, 1, 5, 9, 8, 6, 2.
a.) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten
sowie kumulierten absoluten und relativen Häufigkeiten!
b.) Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, den Zentralwert, die Quartile sowie den
schwersten und den dichtesten Wert!
c.) Bestimmen Sie Varianz und Standardabweichung!
d.) Was wird durch die Varianz und die Standardabweichung ausgedrückt ?
Aufgabe 1.54:
100 Studenten des Fachbereichs Wirtschaftswissenschaften wurden nach der Anzahl ihrer
Urlaubsfahrten im vergangenen Jahr (xi) befragt.
Es ergab sich folgende Häufigkeitstabelle:
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xi 0 1 2 3 4
ni 40 20 25 10 5
a.) Wieviel Urlaubsfahrten wurden im Durchschnitt unternommen ?
Berechnen Sie die Varianz und den Variationskoeffizienten!
b.) Berechnen Sie die kumulierten relativen Häufigkeiten und interpretieren Sie den
Wert !
c.) Berechnen Sie den mittleren Quartilsabstand und die durchschnittliche absolute
Abweichung vom arithmetischen Mittel!
d.) Aufgrund gestiegener Lebenshaltungskosten muß die Anzahl der Urlaubsfahrten
um 10% vermindert werden. Ändern Sie die Werte aus der obigen Tabelle
entsprechend ab und berechnen Sie Mittelwert und Varianz der abgeänderten
Anzahl der Urlaubsfahrten!
Aufgabe 1.56:
Gegeben ist folgende Reihe:
17, 53, 26, 19, 86, 54, 65, 31, 98, 12, 49, 48, 68.
a.) Berechnen Sie den Mittelwert der Verteilung!
b.) Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung!
c.) Berechnen Sie den Median der absoluten Abweichung vom Median (MAD)!
d.) Berechnen Sie die Schiefe und Wölbung!
Aufgabe 1.57:
Welche Aussagen sind falsch ?
a.) Die Varianz ist ein durch den Wendepunkt einer Verteilung bestimmter Kennwert!
b.) Die Varianz ist ein Maß für die Unterschiedlichkeit von Maßzahlen
(bezogen auf den Mittelwert)!
c.) Die Varianz ist ein vom Mittelwert quantitativ abhängiger Parameter!
d.) Die Varianz ist ein Maß für den Unterschied zwischen den Extremwerten einer
Verteilung!
Aufgabe 1.58:
Sie bekommen folgendes Datenmaterial über eine (fiktive) Klausur im Fach BWL I:
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 3.0, 2.0, 3.0, 1.0, 5.0, 5.0
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Bestimmen Sie eine geeignete Maßzahl, die etwas über die Streuung der Klausurnoten aussagt!
Aufgabe 1.59:
Aus der Versandabteilung eines Betriebes wird eine Stichprobe von 10 Paketen entnommen. Die
Pakete haben folgende Gewichte:
Paket 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gewicht (kg) 12 10,5 4,3 10,5 14 5 5 10,5 6,2 4,3
a.) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion! Bestimmen und interpretieren Sie H(13)!
b.) Bestimmen Sie graphisch den Median und interpretieren Sie den Wert!
c.) Berechnen und interpretieren Sie den Mittelwert, die Varianz, die
Standardabweichung und den Variationskoeffizienten!
d.) Angenommen, die Waage habe einen Defekt und hat bei allen Messungen
1 kg zuwenig angezeigt. Wie lauten dann die korrekten Werte der Größen von
Teilaufgabe c ?
Aufgabe 1.60:
Es liegt für das Merkmal X folgende Häufigkeitsverteilung vor:
xi -3 -1 0 2 3 5
hi 0,10 0,15 0,20 0,35 0,05 0,15
a.) Berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz für das Merkmal X!
b.) Es gelte für das Merkmal .
Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung von Y sowie dessen Mittelwert und
Varianz!
Aufgabe 1.61:
Gegeben ist folgende Verteilung einer VWL II Klausur:
3.3, 3.0, 1.7, 2.0, 5.0, 5.0, 4.0, 5.0,
3.7, 3.7, 3.0, 5.0, 2.3, 2.7, 1.7, 2.0
a.) Berechnen Sie, wenn möglich, den Streuungsparameter Varianz!
b.) Um wieviel Punkte weicht jeder der 16 Klausuren von der Durchschnittspunktzahl
ab ?
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Aufgabe 1.62:
Eine Befragung unter den Besitzern der teuersten Personenkraftwagen („Nobelkarrossen“) in den
USA ergab die folgende Verteilung der Pkw-Preise (in TDM):
Pkw-Preisgrößenklasse
von...bis unter ...
(in TDM)
Anzahl
der Besitzer
Durchschnittlicher
Pkw-Preis
(in TDM)
Varianz je
Größenklasse
(in TDM 2 )
200-600 80 500 50.000
600-900 60 750 100.000
900-1200 30 1000 200.000
1200-1400 20 1250 250.000
über 1400 10 2000 200.000
a.) Ermitteln Sie Mittelwert und Varianz der Verteilung!
b.) Bestimmen Sie den Anschaffungswert aller Pkw, d.h. die Summe der Pkw-Preise
aller Klassen! Ermitteln Sie die schwerste Klasse!
c.) Erklären Sie die Begriffe „Interne Varianz“ und „Externe Varianz“ in wenigen
Stichworten!
Aufgabe 1.63:
Das Fitneßcenter „Trimm-dich“ befragte jeweils 60 weibliche und 60 männliche Besucher ihres
Fitneßcenters nach der Anzahl ihrer (Fitneßcenter-) Besuche pro Monat (Merkmal X).
Heraus kam folgende Verteilung:
weibliche Besucher männliche Besucher
xi ni xi ni
0 5 0 10
1 15 1 5
2 10 2 5
3 15 3 25
4 10 4 5
5 5
5 10
a.) Bestimmen Sie jeweils Median, Quartile und Modus!
b.) Wieviele Besuche im Fitneßcenter wurden im Durchschnitt von den weiblichen
bzw. männlichen Besuchern gemacht ?
c.) Berechnen Sie für beide Datensätze jeweils Varianz, Variationskoeffizient und
Schiefe!
Aufgabe 1.64:
Gegeben sei folgende ungeordnete statistische Reihe:
2, 3, 1, 5, 4, 7, 1, 3, 6, 1, 4, 5, 7, 2, 2.
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a.) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten und !
Geben sie als Zwischenschritt auch den jeweiligen Quotienten an!
b.) Bestimmen Sie den Quartilsdispersionskoeffizienten
Bestimmen Sie die Parameter gegebenenfalls durch lineare Interpolation!
Geben Sie als Zwischenschritt auch den Quotienten an!
Aufgabe 1.65:
Ein Marktforschungsinstitut befragte 110 Personen nach dem Merkmal X: „Ihre Meinung zur
aktuellen Bildungspolitik in Hessen“ (fiktiv). Es ergaben sich folgende Ergebnisse:
xi schlecht mäßig befriedigend gut superb
ni 35 20 35 15 5
Berechnen Sie eine geeignete Streuungsmaßzahl für das Merkmal X!
Aufgabe 1.66:
Im Rahmen einer Untersuchung des Elektrogerätemarktes wurde bei n = 1.000 Haushalten das
Merkmal X: „Anzahl der Radios je Haushalt“ ermittelt und in der nachstehend aufgeführten
Tabelle dargestellt:
xi 0 1 2 3 4 5
h(xi ) 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,1
a.) Berechnen Sie Mittelwert und Varianz! Wie ist der errechnete Mittelwert zu
interpretieren ?
b.) Erstellen Sie eine klassierte Häufigkeitsverteilung mit den Klassen
[0-1], [2-3], [4-5]!
c.) Berechnen Sie die Klassenmittelwerte und die Klassenvarianzen und geben Sie die
Varianzzerlegung für die klassierte Verteilung an!
Aufgabe 1.67:
175 Personen werden nach der Farbe ihrer Autos gefragt. 25 davon weisen diese Frage als
indiskret zurück. Heraus kommt folgende Verteilung:
Farbe des Autos blau grün gelb rot schwarz
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Anzahl der Personen 51 18 9 44 28
Berechnen Sie ein geeignetes Streuungsmaß für die Farbe des Autos!
Aufgabe 1.68:
Bei dem Unternehmen „ P-online“ verteilen sich die monatlichen Lohn- und Gehaltssummen wie
folgt auf die Beschäftigten:
Einkommen
Anzahl der
Beschäftigten
Bruttolohn je
Größenklasse in EUR
davon
Kirchensteuer
bis unter 1000 11 6.600 66
[1000,1750) 54 86.400 4.320
[1750,2250) 23 48.300 3.381
[2250,3000) 25 65.625 7.218
[3000,3500) 41 137.760 8.876
[3500,4000) 75 271.875 11.432
[4000,5000) 21 88.200 12.500
mindestens 5000 8 88.000 15.000
a.) Berechnen Sie den durchschnittlichen Bruttolohn je Klasse und insgesamt!
b.) Bestimmen Sie rechnerisch Näherungswerte für den Zentralwert und für die
Quartile!
c.) Berechnen Sie den durchschnittlichen Kirchensteuersatz je Größenklasse und
insgesamt!
d.) Berechnen Sie die durchschnittliche Steuerschuld je Größenklasse und
insgesamt!
Aufgabe 1.69:
Eine Befragung unter 15 Familienvorständen nach der Anzahl der Kinder erbrachte folgendes:
0, 3, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 0, 0, 2, 4, 2, 1, 1.
a.) Stellen Sie die Verteilung wie folgt klassiert dar:
kleine Familie : 0 bis 1 Kind
mittelgroße Familie: 2 bis 3 Kinder
große Familie: 4 und mehr Kinder
b.) Berechnen Sie die Klassenmittelwerte, Klassenvarianzen, den Gesamtmittelwert
und die Gesamtvarianz! Geben Sie bitte zusätzlich die Varianzzerlegung an!
c.) In einer weiteren Befragung im Nachbarort ergaben sich 20% niedrigere Werte.
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Aufgabe 1.70:
Wie lauten der Gesamtmittelwert, interne und externe Varianz und Gesamtvarianz
für diese Verteilung ?
Die Supermarktkette „Minus-Plus“ hat in der vergangenen Woche in ihren Filialen
deutschlandweit Gummibärchen in der Anstaltspackung (500g) verkauft. Aufgrund des „Nord-
Süd-Gefälles“ und einigen anderen Ursachen sind die Preise in den einzelnen Filialen nicht
einheitlich:
Filiale in ...
Preis der Gummi- verkaufte Anstaltsbärchenpackung
in EUR packungen
Berlin 3,49 10.000
Bremen 2,79 4.500
Coburg 3,29 1.050
Frankfurt 2,99 5.100
Kiel 3,09 2.910
Münster 2,89 3.500
Osnabrück 2,99 1.785
Wiesbaden 2,56 6.000
a.) Errechnen Sie die Spannweite und den Quartilsabstand für die Preise der
Gummibärchen!
b.) Bestimmen Sie die mittlere absolute Abweichung und den MAD, sowie die
Varianz für die Preise der Gummibärchen und für den Umsatz der Filialen!
c.) Berechnen Sie Schiefe und Wölbung des Umsatzes der Filialen!
Aufgabe 1.71:
Eine Befragung unter 17-jährigen hatte das Thema „verfügbares Geld im Monat“ zum
Gegenstand. Es ergaben sich folgende Ergebnisse:
verfügbares
Geld pro Monat
Anzahl der
Jugendlichen
0 –50 50 – 250 250 – 500 500 – 750 750 – 1000
1 10 23 45 31
a.) Berechnen Sie die Streuung unter der Annahme, daß die Werte in den Klassen sich
um die Klassenmitten konzentrieren!
b.) Wie ließe sich die Streuung bei einer symmetrischen unimodalen Verteilung mit
konstanter Klassenbreite auch bestimmen ?
c.) Wieviele der 17-jährigen hätten unter Annahme der Gleichverteilung innerhalb der
Klassen mehr als 600 EUR monatlich zur Verfügung ?
Wieviele hätten weniger als 300 EUR monatlich ?
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Aufgabe 1.72:
Gegeben sei folgende ungeordnete statistische Reihe:
3, 5, 4, 3, 6, 4, 7, 6, 2, 3, 2, 3, 1, 5, 4, 7, 1, 3, 6, 1, 4, 5, 7, 2, 2.
a.) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten und !
Geben sie als Zwischenschritt auch den jeweiligen Quotienten an!
b.) Bestimmen Sie den Quartilsdispersionskoeffizienten !
Bestimmen Sie die Parameter gegebenenfalls durch lineare Interpolation!
Geben Sie als Zwischenschritt auch den Quotienten an!
Aufgabe 1.73:
Es sind zwei Datensätze gegeben:
Datensatz 1 50 55 60 65 70
Datensatz 2 108 113 118 123 128
Berechnen Sie für beide Datensätze die Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient,
mittlere absolute Abweichung, MAD, Spannweite, Schiefe und Wölbung!
Aufgabe 1.74:
Eine Spedition ermittelte für einen Monat die Zahl der von ihren zehn Fahrzeugen absolvierten
Leerfahrten, die in folgender statistischer Reihe wiedergegeben sind:
7, 12, 3, 1, 8, 2, 6, 10, 4, 11.
a.) Bilden Sie eine klassierte Häufigkeitsverteilung mit den Klassen [1-4],
[5-8], [9-12]!
b.) Berechnen Sie die Klassenmittelwerte und die Klassenvarianzen!
Nehmen Sie dazu bitte die Werte aus der statistischen Reihe!
c.) Berechnen Sie die interne und die externe Varianz zur Varianzzerlegung
der klassierten Verteilung in Teilaufgabe a!
Aufgabe 1.75:
Bei den Bundestagswahlen 1998 (fiktiv) erreichte die Partei „FDH“ und die Partei „SBD“
folgende Ergebnisse:
Bundesland
Stimmenanteil
von „FDH“ in %
Stimmenanteil
von „SBD“ in %
Baden-Württemberg 5,9 37,5
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Bayern 5,7 36,5
Hessen 5,2 38,6
Niedersachsen 6,2 38,3
Saarland 4,8 45,8
Thüringen 6,8 38,1
Der Vertreter der Partei „FDH“ behauptet, daß das „FDH“-Ergebnis in allen (hier betrachteten)
Bundesländern relativ gleich sei, währenddessen das „SBD“-Ergebnis wesentlich weniger stabil
sei. Nehmen Sie zu dieser Behauptung Stellung!
Aufgabe 1.76:
Die Stadt Marburg benötigt dringend mehr Geld im Stadtsäckel. Also kommt man auf die
glorreiche Idee, einen Geschwindigkeitsmesser in Höhe der Biegenstraße (bei der Stadthalle)
aufzustellen. Um Geld zu sparen, wird kein Statistikbüro beauftragt, bei den Messungen
behilflich zu sein, sondern Sie (als BWL-Student). Zusammen mit einem Hilfspolizisten erfassen
Sie 23 Autos innerhalb von 3 Tagen, die, nach Abzug der Toleranz, immer noch schneller als die
gebotenen 50 km/h gefahren sind:
Geschwindigkeit der zu schnell 54, 61, 52, 55, 71,
fahrenden Autos am Tag 1 (in km/h)
Geschwindigkeit der zu schnell
fahrenden Autos am Tag 2 (in km/h)
Geschwindigkeit der zu schnell
fahrenden Autos am Tag 3 (in km/h)
65, 62, 59, 60, 68.
55, 53, 59,
61, 51, 64, 56.
62, 52, 54, 57, 60, 54.
a.) Berechnen Sie, um wieviel km/h die geblitzten Autos im Durchschnitt
zu schnell waren (Gesamtheit der 3 Tage)!
b.) Berechnen Sie die Varianz von jedem der 3 Tage und von allen 3 Tagen
zusammen!
c.) Bei einem Parallelprojekt in Hildesheim wurde ebenfalls solch ein Projekt
durchgeführt. Dort hatte man für insgesamt 210 Autos an 4 Tagen
Geschwindigkeitsübertretungen gemessen. Folgende Daten bekommen Sie
geliefert:
Aufgabe 1.77:
Mittelwert: 57 km/h ; Varianz: 36 km 2 / h 2
Der Leiter des Projekts in Hildesheim sagt:
„Die erfaßten Werte unserer zu schnell Fahrenden streuen nicht so, wie die
erfaßten Werte der in Marburg zu schnell Fahrenden!“
Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung!
Gegeben ist folgende Verteilung eines metrischen Merkmals:
Berechnen Sie:
xi -3 1 4 7 8 9
h(xi ) 0,21 0,30 0,05 0,17 0,23 0,04
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a.) Spannweite und Quartilsabstand,
b.) empirische Standardabweichung, mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert
sowie den MAD,
c.) Schiefe und Wölbung! Zeichnen Sie zudem die Häufigkeitsverteilung!
Aufgabe 1.78:
Ihre Eltern wollen nächstes Jahr im November auf die Kanaren fliegen, da sie von dem hiesigen
Wetter total entnervt sind. Allerdings sind sie sich unsicher, ob dort auch durch die Bank weg
warmes Wetter herrscht. Deshalb notieren sie sich aus der Tageszeitung „MILD“, die bekannt für
ihre seriöse Berichterstattung ist, 2 Wochen lang die Temperaturen im November (in Grad
Celsius):
26.5, 26.9, 27.4, 27.2, 28.0, 27.7, 27.1,
26.3, 26.6, 25.9, 26.2, 26.5, 26.8, 26.4
Sie als Sohn und begeisterter Statistiker können der Versuchung nicht widerstehen, einen
geeigneten Streuungsparameter für diese Reihe zu berechnen. Welchen Parameter wählen Sie
(Begründung) und welchen Wert hat er ?
Aufgabe 1.79:
Ein Spielzeugwarenhändler in der Marburger Oberstadt zählt in der Woche vor Weihnachten
Besucher, die er in die Gruppen „freudige Kinder“, „freudige Jugendliche“, „nervöse
Familienväter“ und „nervöse Familienmütter“ einteilt. Aufgrund seiner Vergeßlichkeit hat er an
manchen Tagen vergessen, Besuchergruppen zu zählen (in der Tabelle mit einem Strich
gekennzeichnet):
Besuchergruppe → „freudige „freudige „nervöse „nervöse
Tag ↓ Kinder“ Jugendliche“ Familienväter“ Familienmütter“
1 20 30 5 20
2 10 35 -- --
3 -- 35 0 15
4 35 10 -- 10
5 45 25 40 --
6 55 40 45 --
7 50 45 60 0
a.) Berechnen Sie für alle Besuchergruppen die durchschnittliche Besucherzahl und
die Streuung in den Besuchergruppen!
b.) Berechnen Sie die Streuung der (Gesamt-) Besucherzahlen!
Aufgabe 1.80:
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Es liegt folgende Verteilung über „Pig-Macs“ der Fast-Food-Kette McDuck, geordnet nach der
Größe der von den Gästen verspeisten „Pig-Macs“, vor:
„Pig-Mac“-Größe klein mittel groß XXL
Anzahl der
verspeisten „Pig-Macs“
25 85 140 50
Berechnen Sie zu dieser Verteilung alle möglichen Streuungsparameter, die Sie kennen!
Aufgabe 1.81:
Zeigen Sie, daß für die mittlere quadratische Abweichung von einem Wert a gilt:
Aufgabe 1.82:
Bei einer Untersuchung in Deutschland und England, bei der die Körpergröße von Kindern
gemessen wurde, ergaben sich folgende Werte (1 Zoll = 2,5 cm):
Untersuchung in BRD Untersuchung in England
Körpergröße der Kinder in cm Körpergröße der Kinder in Zoll
134, 141, 121, 120, 143, 137,
54, 55, 51, 59, 53, 57,
126, 131, 151, 143, 116, 113.
55, 55, 50, 52, 58, 60.
a.) Berechnen Sie für beide Reihen das arithmetische Mittel und die
Standardabweichung!
b.) Welches Land hat die im Durchschnitt größten Kinder hervorgebracht ?
c.) In welchem Land streut die Größe der Kinder mehr ?
d.) Berechnen Sie das zweite standardisierte und das dritte zentrale Moment für die
Verteilung der deutschen Kinder!
e.) Berechnen Sie Schiefe und Wölbung für die Verteilung der englischen Kinder!
Aufgabe 1.83:
Die Abteilung Einkauf des Holzunternehmens „Mokia“ stellt eine Tabelle mit den Merkmalen X:
Länge der Baumstämme und Y: Preis der Baumstämme auf. Es ergibt sich folgendes:
Y →
X ↓
billig angemessen teuer
kurz 21 34 5
.
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mittel 43 20 14
lang 89 21 10
a.) Geben Sie geeignete Lagemaße für das Merkmal Y an und interpretieren Sie die
Ergebnisse!
b.) Berechnen und interpretieren Sie eine geeignete Streuungsmaßzahl für das
Merkmal Y!
c.) Das Unternehmen vermutet einen Zusammenhang zwischen der Länge des
Baumstammes und dem Preis des Baumstammes. Welche Maßzahl ist dazu
geeignet ? Berechnen und interpretieren Sie diese!
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