Formelsammlung Mathematik & Statistik - Hochschule Fresenius

Prof. Dr. Ulrike SchuldenzuckerHOCHSCHULEFRESENIUSUNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES5 ZufallsvariablenSei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.Sei X eine Zufallsvariable auf Ω mit Wertebereich W.Sei P zugehörige Wahrscheinlichkeit.Sei F(x) = P(X ≤ x) die Verteilungsfunktion von X.5.1 Eindimensionale Zufallsvariablen5.1.1 LageparameterErwartungswert einer diskreten ZufallsvariableX:E(X) = µ = ∑ i=1 x i · P(X = x i )Erwartungswert einer stetigen ZufallsvariableX:E(X) = µ = ∫ ∞−∞ x · f(x)dxMedian einer diskreten ZufallsvariableX: Zahl ˜µ, so dass gilt:Falls F(x) ≠ 1 ..2fur alle x : ˜µ ist minimal mit F(˜µ) > 1 2Falls F(x i ) = 1 2 :xi+xi+1˜µ =2Median einer stetigen ZufallsvariableX: Zahl ˜µ mit F(˜µ) = 1 2α-Quantil einer diskreten ZufallsvariableX: Eine Zahl ˜µ α , so dass gilt:Falls F(x) ≠ α fur ..alle x : ˜µ α ist minimal mit F(˜µ α ) > αFalls F(x i ) = α :˜µ α = xi+xi+12α-Quantil einer stetigen ZufallsvariableX: Eine Zahl ˜µ α mit F(˜µ α ) = α5.1.2 Streuungsparameter diskreter ZufallsvariablenVarianz: V ar(X) = σ 2 = ∑ i (x i − µ) 2 · P(x i ) = ∑ i x2 i · P(x i) − µ 2Standardabweichung: σ = √ σ 25.1.3 Standardisierung einer Zufallsvariablen X:X ∗ = X−µσ .Es gilt: E(X ∗ ) = 0, V ar(X ∗ ) = 1.5