Formelsammlung Mathematik & Statistik - Hochschule Fresenius

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Prof. Dr. Ulrike SchuldenzuckerHOCHSCHULEFRESENIUSUNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES6.4 Die Poisson-VerteilungDie Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Zufallsexperiment sei p.X zähle die Erfolgs-Häufigkeit.Näherungsweise Anwendung für binomial verteilte Zufallsvariablen mit λ = n·p,wenn n ≥ 50, p ≤ 0.1.Wahrscheinlichkeits−verteilung :Verteilungsfunktion:Erwartungswert :Varianz :P(X = k) = λkk!· e −λ ..fur k ≥ 0F(k) = ∑ ki=0 λii!· e −λ ..fur k ≥ 0µ = λσ 2 = λ7 Konfidenzintervalle und Testverfahren für denErwartungswert bei unbekannter VarianzVoraussetzung: Normalverteilte Zufallsvariablen X, Y oder n ≥ 30.Die Quantile der t−Verteilung zu Niveaus 1 − α 2t n−1;1− α = −t 2 n−1; α und t 2 n−1;1−α = −t n−1;α .und 1 − α seien7.1 Für einen ErwartungswertSeien x 1 , . . . , x n die Werte einer Stichprobe der Länge n.Sei ¯x =∑ ni=1 xinder Stichprobenmittelwert.Sei s 2 = 1n−1 · ∑ni=1 (x i − x) 2 dieStichprobenvarianz.7.1.1 Konfidenzintervalle eines Erwartungswerts µ zum Niveau 1−αbei unbekannter Varianzzweiseitig:[¯x − t n−1;1− α · √s2 n, ¯x + t n−1;1− α · √s2 n]einseitig:[¯x − t n−1;1−α ·s √ n, ∞) und [−∞, ¯x + t n−1;1−α ·s √ n]8
Prof. Dr. Ulrike SchuldenzuckerHOCHSCHULEFRESENIUSUNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES7.1.2 Test eines Erwartungswerts µ bei unbekannter Varianz (t−Test)zweiseitiger Test von H 0 : µ = µ 0 :Ablehnung von H 0 , wenn für τ = x−µ0s· √n gilt: τ /∈ [−t n−1;1− α , t 2 n−1;1− α ] 2einseitiger Test von H 0 : µ ≤ µ 0 :Ablehnung von H 0 , wenn für τ = x−µ0s· √n gilt: τ > t n−1;1−αAblehnung von H 0 ,von H 0 : µ ≥ µ 0 :wenn für τ = x−µ0s· √n gilt: τ < −t n−1;1−α7.2 Vergleich zweier Erwartungswerte bei verbundenenStichprobenSeien (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ) die Ergebnisse einer zweidimensionalen Stichprobeder Länge n.Seien ¯x =∑ ni=1 xin, ȳ =∑ ni=1 yindie Stichprobenmittelwerte.Sei die Stichprobe der Differenzen d 1 = x 1 − y 1 , . . . , d n = x n − y n .Seien ¯d = ¯x − ȳ der zugehörige Stichprobenmittelwert und s 2 ddie Stichprobenvarianz.Sei µ D der Erwartungswert der Differenz D = X − Y .7.2.1 Konfidenzintervalle von µ D zum Niveau 1 − αzweiseitig:[ ¯d − t n−1;1− α · √ sd2 n, ¯d + t n−1;1− α · √ sd2 n]einseitig:[ ¯d − t n−1;1−α · √ sdn, ∞) und [−∞, ¯d + t n−1;1−α · √ sdn]7.2.2 Test von µ D zum Niveau 1 − αzweiseitiger Test von H 0 : µ D = 0:Ablehnung von H 0 , wenn für τ = d s d· √n gilt: τ /∈ [−t n−1;1− α2 , t n−1;1− α 2 ]einseitiger Test von H 0 : µ D ≤ 0 :Ablehnung von H 0 , wenn für τ = d s d· √n gilt: τ > t n−1;1−αvon H 0 : µ D ≥ 0:Ablehnung von H 0 , wenn für τ = d s d· √n gilt: τ < −t n−1;1−α9
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