Lattice-Regeln zur Bewertung pfadabhängiger ... - G-CSC Home

Der Integrationsfehler einer Funktion f ∈ E α (c) lässt sich also schreiben als:(Gleichheit gilt für f = cf α )|Q(z, N)f − If| ≤ c ∗ P α (z, N).Die größten Summanden in |Q(z, N)f − 1| sind von der Form 1ρ(z,N) α , wobeiρ(z, N) = ρ(Q(z, N)) :=h≠0minhz≡0 modN ( ¯h 1 ¯h2 . . . ¯h s ).Außerdem lässt sich zeigen, dass für eine von N unabhängige Konstante d(s, α) gilt:(log N)s−1P α (z, N) ≤ d(s, α)ρ(z, N) α .Demnach ist es zweckmäßig, entweder Verfahren zur Minimierung der Multiplizität P α (z, N)oder Verfahren zur Maximierung von ρ(z, N) einzusetzen, um den Integrationsfehler möglichstklein zu halten. Regeln, welche wir nun wirklich für f ∈ E α (c), α > 1 und d(s, α), β(s, α)unabhängig von N als ‘Gute’ Rang-1-Regeln (Method of ‘good lattice points’)bezeichnen, sind diejenigen, die die Fehlerschranke(log N)β(s,α)P α (z(N), N) ≤ d(s, α)N αeinhalten. Im Jahre 1978 bewies Niederreiter, dass für alle N > 0 ein z ∈ R s existiert, sodassdie damit verbundene Regel diese Schranke einhält. Das heißt, wenn man α > 1 festgelegthat und N und s gewählt sind, kann man mit einer Computeroptimierung P α (z, N)minimieren, um ein z zu finden, in der Gewissheit, dass es ein ’good lattice point’ ist. Allerdingskann dieser Suchlauf durch N s Möglichkeiten für die Wahl von z für große N unds auch sehr zeitaufwendig werden. Für diese Suche existieren aber effektive Restriktionenund Einschränkungen, die die Anzahl der Vektoren reduzieren können. Die bekanntesteEinschränkung ist die sog. Korobov-Konstruktion, bei der nur alle N − 1 Vektoren derForm (1, a, ..., a s−1 ) mod N durchsucht werden.1.4 Fibonacci-Regeln (2-dim)In diesem Abschnitt wird ein Beispiel der besten bekannten 2-dimensionalen Rang-1-Regelnbehandelt. Diese sind die Fibonacci-Regeln, welche jeweils von der Ordnung der zugehörigenFibonacci-Zahl sind. Die Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... sind definiert alsF 1 = F 2 = 1, F k = F k−1 + F k−2 ∀k ≥ 3.10