Lattice-Regeln zur Bewertung pfadabhängiger ... - G-CSC Home

Nutzt man nun die Lösung der Black-Scholes SDG zur Modellierung des Aktienkurses,so sieht dieser Erwartungswert wie folgt aus:V (S, =) = e −rT∫∞−∞1√2πe −x22 [S(0)e(r− 1 2 σ2 )T +σ √ T x − K] + dxDie Dichtefunktion φ(x) = 1 √2πe −x22 der Normalverteilung steht im Integral, da derZuwachs des Wiener-Prozesses normalverteilt ist und dieser durch die Variable xbeschrieben wird. Durch die Substitution x = Φ −1 (y) kürzt sich die Dichtefunktionweg und man erhält dem folgende Integral über das Einheitsintervall:∫ 10[S(0)e (r− 1 2 σ2 )T +σ √ T x − K] + dx• Für pfadabhänige Optionen ohne vorzeitigem Ausübungsrecht nutzen wir eine allgemeinerSchreibweise für die Auszahlungsfunktion V (S t1 , ..., S ts ). Das heißt, dass indie Auszahlung die Aktienkurse s diskreter Zeitpunkte einfließen. Zur Vereinfachungseien die Zeitabstände äquvidistant gewählt, d.h. t i = ∆t ∗ i mit ∆t = T/s. DerZufallsvektor x = (x 1 , ..., x s ), der den Wiener-Prozess darstellt, genügt dann einermultivariaten Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und KovarianzmatrixΣ =( ) smin(t i , t j ) =i,j=1⎛⎜⎝∆t ∆t ∆t . . . ∆t∆t 2∆t 2∆t . . . 2∆t∆t 2∆t 3∆t . . . 3∆t.... .∆t . . . s∆t⎞.⎟⎠Um die einzelnen Aktienkurse nicht in der Form S(t i ) = S(0)e (r− 1 2 σ2 )T +σW (t i ) ausschreibenzu müssen, kann man µ j := log (S 0 ) + (r − σ 2 /2)t j definieren. Dadurcherhält man S(t i ) = exp(µ j + σW (t j )) und somit für die diskretisierte Auszahlungsfunktion:V (S t1 , ..., S ts ) = V (e µ 1+σx 1, . . . , e µs+σxs ) =: V ′ (x)Nach Anwenden des Martingal-Ansatzes ist der Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0also ein s-dimensionales Integral der Form:V 0 = E ⋆ [e −rT V (S t1 , ..., S ts )] =e −rT(2π) s/2√ det Σ∫ ∞−∞. . .∫ ∞−∞V ′ (x)e − 1 2 xT Σ −1x dxDurch eine s×s Matrix A die AA T = Σ erfüllt, lässt sich (x 1 , ..., x s ) T = A(y i , ..., y s ) Tlinear transformieren, sodass die Kovarianzmatrix aus dem Integral verschwindet:∫V 0 =e−rT(2π) s/2 2 dyR s V ′ (Ay)e −(y2 1 +...+y2 s )27