Lattice-Regeln zur Bewertung pfadabhängiger ... - G-CSC Home

(Für den Fall, dass γ j = 1 für alle j gilt, stimmt der Raum mit dem bereits aus Kapitel1 bekannten Korobov-Raum überein und auch für das Fehlermaß gilt e α,N (z) = P α,N (z).)Für den nun folgenden Algorithmus wird die Summe in der inneren Klammer der Gleichungnur noch als ω({kz j /N}) bezeichnet.2.4 Schnelle komponentenweise Konstruktion (Algorithmus)Mit dieser neuen Darstellung des Fehlermaßes kann nun der verbesserte Algorithmus vonNuyens und Cools aus der gewöhnlichen CBC abgeleitet werden. Die Gewichte γ j werdenals gegeben vorausgesetzt und kommen somit noch als weitere Inputparameter hinzu. DieVerbesserung besteht im Wesentlichen aus zwei einfachen Schritten. Die normale CBC aus2.2 sieht mit dem jetztigen Fehlermaß so aus:FOR s = 1 : s max ,FOR z = 1 : N − 1,BERECHNEe 2 α,N,s (z) = −1 + 1 N∑ N−1 ∏ [sk=0 j=11 + γ j ∗ ω({ })]kzj;NEND FORSETZEz s = arg min z∈ZN e 2 α,N,s (z);END FORDa der Algorithmus rekursiv abläuft und somit in jedem Schleifendurchlauf bereits berechneteWerte wiederverwendet werden, kann man das Produkt in zwei Faktoren aufteilen,den bereits berechneten j = 1, ..., (s − 1) und den noch nicht berechneten j = s. Dadurcherhält man für die innere Schleife:FOR z = 1 : N − 1,BERECHNEe 2 α,N,s (z) = −1 + 1 N∑ [N−1k=01 + γ s ∗ ω({ })]kzj∗ pNs−1 ;END FORDurch diese Änderung wird die Ordnung der Konstruktionskosten von O(s 2 maxN 2 ) aufO(s max N 2 ) und O(N) Speicher gesenkt.Der zweite Trick besteht darin, die innere Schleife jetzt zu einem Matrix-Vektor Produkt19