Lattice-Regeln zur Bewertung pfadabhängiger ... - G-CSC Home

umzuformen, d.h.wobeie 2 α,N,s = −1 + N −1 (I (N−1)×N + γΩ N ) ∗ p s−1 ,p s = diag(I N×1 + γ s Ω N (z s )) ∗ p s−1 ,mit p 0 := I N×1 . Die Matrix ist definiert durch[ ({ })] [ ( )]kzkz (mod N)Ω N := ωωNNz,k∈Z N=z,k∈Z N .Da immernoch die Annahme besteht, dass N prim ist, lässt sich ein Generatorelement(Primitivwurzel) g aus Z N finden, das Z N \{0} zyklisch erzeugt. Durch Umsortieren derzyklischen Gruppe 〈g〉 lässt sich eine zyklische Matrix gewinnen, für die sich das resultierendeProblem mittels der schnellen Fourier-Transformation effizient berechnen lässt. Diemittlere Schleife des CBC Algorithmus wird also erneut umgeschrieben und man erhält alsErgebnis für den gesamten Algorithmus:INPUT: N =Anzahl Stützstellen, s max =Dimension, α =Glattheitsparameter, γ=GewichteSETZE z 1 = 1; p 0 := I N×1 ;FOR s = 1 : s max ,BERECHNE e 2 α,N,s = −1 + N −1 (I (N−1)×N + γΩ N ) ∗ p s−1 ; (1)SET ZE z s = arg min z∈ZN e 2 α,N,s (z) ; (2)SET ZE p s = diag(I N×1 + γ s Ω N (z s )) ∗ p s−1 ; (3)END FOROUTPUT z = (z 1 , ..., z smax )1. Berechne Matrix-Vektor Produkt (schnelle Fourier-Transformation)2. Wähle den minimalen ’worst-case-error’ aus3. Update p durch Multiplikation mit der berechneten MatrixDadurch dass sich das Matrix-Vektor Prudukt aus Schritt 1.) mittels schneller FourierTransformation in O(N log(N)) berechnen lässt, sind die gesamten Konstruktionskostennun bis zur Ordnung O(N log(N)s max ) mit O(N) Speicheraufwand gesenkt worden.20