Lattice-Regeln zur Bewertung pfadabhängiger ... - G-CSC Home

Durch diese beiden weiteren Annahmen lässt sich der ’worst-case-error’ aus (∗) wie folgtumformen.e 2 K,P N= ∫ ∫∑ ∫∑ ∑K(x, y) dx dy − 2 K(x (k) , y) dy + 1K(x (k) , x (l) )N[0,1] s N 2[0,1] s [0,1] s x (k) ∈P N x (k) ∈P N x (l) ∈P N2.)= ∫∑ ∫∑K ′ ({x−y}) dx− 2 K ′ ({y −x (k) }) dy + 1K ′ ({x (k) −x (l) })N[0,1] s N 2[0,1] s x (k) ∈P N x (k) ∈P N ,x (l) ∈P N2.)= ∫K ′ (x) dx − 2 N ∫ K ′ (y) dy + 1 N N−1 ∑K ′ (x (k) )N [0,1] s N 2[0,1] s k=0= − ∫K ′ (x) dx + 1 N−1 ∑K ′ (x (k) )N[0,1] s k=03.)= − ∏ s∫ 1j=1K 1,j(x) ′ dx + 1 N−1 ∑ ∏ sN j=1 K′ 1,j(x (k) )= −1 + 1 N0N−1∑k=0k=0∏ sj=1 K′ 1,j(x (k) )Unter Beachtung des Erzeugendenvektors z der Lattice-Regel Q hat unser s-dimensionalesFehlermaß also schließlich folgende Darstellung:(e (s)N (z) = −1 + 1 N−1∑Ns∏k=0 j=1K ′ 1,j({ }) ) 1/2kzjN2.3.1 Gewichteter Korobov-RaumUm explizite Berechnungen durführen zu können, betrachten wir im Weiteren den gewichtetenKorobov-Raum H s,α,γ der auf [0, 1) s definierten Funktionen. Also den Hilbertraumder periodischen, integrierbaren Funktionen mit absolut konvergenter Fourier-Reihe undKoeffizientenabfall α. Der dazugehörige reproduzierende Kern sei definiert wie folgt:(s∏∞)∑′ e 2πih(x j−y j )K s,α,γ (x, y) := 1 + γ j ,|h| αj=1h=−∞wobei {γ j } nun die Gewichtungen der einzelnen Dimensionen sind und als Parameter fürdie ’Relevanz’ der einzelnen Variablen interpretiert werden können.Durch diese Wahl sieht der betrachtete quadratische ’worst-case-error’ für eine Lattice-Regel in unserem Funktionenraum wie folgt aus:e 2 α,N(z) =(−1 + 1 NN−1∑k=0 j=1(s∏ ∑ ∞1 + γ j18h=−∞′ e 2πih kz jN|h| α )).