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vervollständigen. Um einen direkten Vergleich zwischen den beiden Verfahren ziehen zukönnen, wird vor der Einführung des CBC-Algorithmus zuerst der Algorithmus der klassischenKorobov-Konstruktion explizit wiederholt.2.1 Korobov-Konstruktion (Algorithmus)INPUT: N =Anzahl Stützstellen, s =Dimension, α =GlattheitsparameterFOR a = 1 : N − 1,BERECHNEP α(s) (z(a), N) mit z(a) = (1, a, ..., a s−1 ) (mod N);END FORSETZE (als OUTPUT)z = arg minz(a) P (s)α (z(a), N)Die Konstruktionskosten dieses Algorithmus sind also von der Ordnung O(sN 2 ) für dies-dimensionale Regel und für alle <strong>Regeln</strong> der Dimensionen d ≤ s insgesamt O(s 2 N 2 ).14
2.2 Komponentenweise KonstruktionUm zu zeigen, dass die folgende CBC wirklich die traditionelle Fehlerschranke einhält,gehen wir in zwei Schritten vor. Dies ist der Fall da der erste Satz, der auch die Konstruktionenthält, mit einer anderen Darstellung als Fehlerschranke arbeitet. Diese wird dann imzweiten Satz auf die uns bereits bekannte Form gebracht. Auf die Beweise der beiden Sätzehabe ich verzichtet, siehe dazu Quelle 4. Zunächst sei die Zetafunktion wie gewöhnlichdefiniert, durch∞∑ 1ζ(β) =k . βSATZ 1:i) Für beliebiges β > 1 und N prim mit N ≥ 2ζ(β) + 1, existiert eine Folge (g j ) ∞ j=1 mitg j ∈ Z N , sodass für alle s ≥ 1 und alle α ≥ β gilt:k=1P (s)α,N (g 1, ..., g s ) ≤ (1 + 2ζ(β)) sα βN α β(∗)ii) Die einzelnen Folgenglieder g j , die (∗) erfüllen, können rekursiv bestimmt werden, indemman g 1 = 1 setzt und die Komponente g s+1 ∈ Z N der Wert ist, welcher P (s+1)β,N (g 1, ..., g s , g)für g ∈ Z N minimiert.SATZ 2 (traditionelle Fehlerschranke):i) Sei α > 1, s max ≥ 2 fest undN prim mitαN > exp s maxα − 1 .Dann existiert eine endliche Folge (g j ) smaxj=1 , sodass für alle s mit 1 ≤ s ≤ s max gilt:wobeiP (s)α,N (g (log N)sα1, ..., g s ) ≤ d(s, α) ,Nd(s, α) :=( 3s max) sαexp s max α.ii) Die Folge (g j ) smaxj=1 lässt sich durch ii) aus Satz 1 konstruieren mit β := log Nlog N−s max.15
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