Lattice-Regeln zur Bewertung pfadabhängiger ... - G-CSC Home

zum arithmetischen Mittel eine geschlossene Lösungsformel existiert. Die Auszahlungsfunktioneiner asiatischen Option mit geometrischer Mittelung über sdiskrete Zeitpunkte lautet⎡( ⎤s∏ 1/s+V T (S t1 , ..., S ts ) = ⎣ S(t i ))− K⎦.i=1Die zugehörige Black-Scholes-Formel zur exakten Bestimmung des Optionspreisessieht aus, wie folgt:Vgeo dis = S 0 AΦ(d + dσ √ )T 1 − e −rT KΦ (d)mitA = e −r(T −T 2)−σ 2 (T 2 −T 1 )/2 ,d = log ( )S 0K + (r −12 σ2 )T 2σ √ ,T 1M(M − 1)(4M + 1)T 1 = T − ∆t ,6M 2(M − 1)T 2 = T − ∆t .2Durch immer kleiner werdende Zeitabstände und der damit verbundenen wachsendenAnzahl an berücksichtigten Aktienkursen konvergiert die diskrete Auszahlungsfunktiongegen die kontinuierlicheV T (S(t)) =[e 1/T ∫ T+0 log (S(t))dt − K].Die Black-Scholes-Formel für eine asiatische Option mit kontinuierlicher geometrischerMittelbildung ist dann gegeben durch:V geo = S 0 e −(r+ 1 6 σ2 ) T 2 Φ(d + σ√T/3) − e −rT KΦ(d)mitd = log ( )S 0K + (r −12 σ2 ) T 2σ √ T/32. Lookback Optionen liegt dieselbe Überlegung zugrunde wie auch bei asiatischenOptionen. Der Unterschied ist, dass entweder S(T ) oder K in der Auszahlungsfunktionnun nicht durch eine Mittelwertbildung, sondern den höchstenbzw. niedrigsten Aktienkurs während der Laufzeit der Option ersetzt wird. DieAuszahlungsfunktion eines Lookback Calls mit variablem Strikepreis lautet also[] +V T (S(t)) = S(T ) − min S(t) .t≤T29