Lattice-Regeln zur Bewertung pfadabhängiger ... - G-CSC Home

1.2 (Integrations-)Gitter und Lattice RegelnUm später Lattice-Regeln definieren zu können, benötigen wir einige Grundlagen.Def.: Ein Gitter im R s ist eine abzählbare Teilmenge des R s , die unter Addition undSubtraktion abgeschlossen ist.Wegen der Abgeschlossenheit unter Subtraktion ist der Punkt 0 = (0, 0, ...) in jedem Gitterenthalten (x ∈ L ⇒ x − x ∈ L). Außerdem ist durch die Additionseigenschaft jedes Gitter(außer dem trivialen, welches nur den 0-Punkt enthält) unbeschränkt.Def.: Eine Teilmenge {g 1 , ..., g t } heißt Basis des Gitters, wenn jeder darin enthaltenePunkt eine ganzzahlige Linerkombination der Erzeugenden g 1 , ..., g t ist.Mit jedem Erzeugendensystem ist eine Einheitszelle und eine Generatormatrix A verbunden:⎛⎞g1, 1 . . . g1s g2, 1 . . . g s 2A = ⎜⎝.. .⎟. . ⎠gs, 1 . . . gssDas naheliegendste Maß für die Dichte eines Gitters L ist seine Determinante, welchedas Volumen der Einheitszelle angibt und wie folgt definiert ist,detL := |detA| .Def.: Ein Integrationsgitter im R s ist eine abzählbare Teilmenge des R s , die unter Additionund Subtraktion abgeschlossen ist und die Z als Teilmenge enthält.Def.: Eine Lattice-Regel für If = ∫ C s f(x) dx ist eine Regel der FormQf = 1 NN−1∑j=0f(x j ) ,wobei {x 0 , ..., x N−1 } alle Punkte eines Integrationsgitters L ⊂ R s sind, die im Innerendes halboffenen Einheitswürfels U s := [0, 1) s liegen.6