Lattice-Regeln zur Bewertung pfadabhängiger ... - G-CSC Home

Da dieser Optionstyp immer im Geld ist (außer S(T ) ist wirklich der niedrigsteKurs seit Emission der Option), ist der Preis im Vergleich zu einfacheneuropäischen Optionen immer höher. Die Black-Scholes-Formel einer LookbackOption mit variablem Strike ist gegeben durch:mitV Lb = V BS (S 0 , S 0 ) + S 0σ 22r(e −rT Φ(d) − Φ(−d + σ √ )T )d = (r + 1 2 σ2 )Tσ √ T3. Barrier Optionen sind im Vergleich zu einfachen europäischen Optionen billiger,da diese Optionen erst an Wert gewinnen bzw. wertlos werden (in/out),sobald sie eine gewisse Schranke über- bzw. unterschreiten (up/down). Betrachtetman zusätzlich noch Call und Put Optionen, dann gibt es acht verschiedeneArten von Barrier Optionen. Als Beispiel betrachten wir eine Call Option diebeim Durchbrechen einer unteren Schranke H wertlos wird, also einen Down-Out-Call mit der Auszahlungsfunktion{V T (S(t)) =0, falls ∃t < T mit S(t) < H[S(T ) − K] + , sonst .Die exakte Lösung für den fairen Preis dieser Option zum Zeitpunkt t = 0 istdurch folgende Black-Scholes-Formel gegeben:( )[H2V Bar = V BS (S 0 , H)−ZV BS , H +e −rT (H−K) Φ ( d(S 0 , H) ) ( ( ))] H2− ZΦ d , HS 0 S 0mitZ =( HS 0) 2rσ 2 −1 , H = max {H, K}und d(S, K) wie d 1 in der einfachen Black-Scholes-Formeld(S, K) = log ( )SK + (r +12 σ2 )Tσ √ T5 Numerische ErgebnisseIn diesem Kapitel werden numerische Ergebnisse der Bewertung pfadabhäniger Optionenmittels Lattice-Regeln präsentiert. Zur Berechnung des Erzeugendenvektors z wurde dasProgramm fastrank1pt.m (siehe Anhang) von Dirk Nuyens mit verschiedenen Inputparameterngenutzt. Außerdem wurden die Pfade aller Simulationen jeweils einmal mittelsRandom Walk und einmal mittels Brownscher Brücke diskretisiert. Als Funktionenraumwurde der in 2.3.1 eingeführte Korobov-Raum mit Glattheitsparameter α = 2 gewählt. Das30