Prof. S. Krauter Klausurbeispiele Staatsexamen Staatsex_Geo.doc ...

4Mathematik 2: Staatsexamen - G/H/S - Herbst 2004Aufgabe:a) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem mit Einheit 1 cm folgende Punkte ein:A(0; 2); P(0; 7), S(6; 4) und Q(9; 7).[Platzbedarf: vom Ursprung aus 10 cm nach oben und 12 cm nach rechts]b) Spiegeln Sie A an der Gerade SP nach C und C an der Gerade SQ nach B.Zeichnen Sie das Dreieck ABC.Welche Rolle spielt S und welche die Geraden SP und SQ in diesem Dreieck?c) Beweisen Sie mit Hilfe der Zeichnung aus Aufgabe a) und b), dass der WinkelASB genau doppelt so groß ist wie der Winkel ACB. (Alle Winkel sind imGegenuhrzeigersinn angegeben).Hinweis: Nutzen Sie die Gerade CS.d) Begründen Sie, dass in jedem Dreieck ABC die Winkelhalbierende des WinkelsACB die Mittelsenkrechte der Seite AB in einem Punkt W des Umkreises vonDreieck ABC trifft. Benutzen Sie dazu die Zeichnung aus a) bis c).e) Konstruieren Sie ein Dreieck aus c = 10 cm, γ = 65° und s c = 7 cm.(Konstruktionstext mit kurzer Begründung).Lösung:a) Siehe Zeichnung.b) Siehe Zeichnung.SP und SQ sind nach Konstruktion die Mittelsenkrechten der Seiten AC bzw.CB des Dreiecks, ihr Schnittpunkt S daher die Umkreismitte.c) CS schneide den Umkreis im Punkt X. Dreieck ASC ist gleichschenklig, dahersind die Winkel ACS und SAC gleichgroß. Beide zusammen ergänzen denWinkel CSA im Dreieck ASC auf 180°. Das tut aber der Winkel ASX ebenfalls,daher ist dieser doppelt so groß wie Winkel ACS: ∠ASX = 2 * ∠ACS.Dasselbe Argument gilt für das Dreieck BSC, also ∠XSB = 2 * ∠SCB.Damit ergibt sich die Behauptung: ∠ASB = 2 * ∠ACB.Alternative:Die Verkettung der 2 Spiegelungen an SP und SQ ist eine Drehung um S umden doppelten Winkel zwischen SP und SQ. Dieser hat jedoch die Größe 180° -γ (Winkelsumme im Viereck S R C T). Folglich hat der Drehwinkel die Größe360° - 2*γ. Sein Ergänzungswinkel auf 360°, das ist der Winkel ASB, hat daherdie Größe 2*γ. Damit ist alles bewiesen.d) Es sei W der Schnittpunkt der Mittelsenkrechte von AB mit dem Umkreis desDreiecks ABC. Dann sind die Bögen AW und WB gleich groß, also auch ihreMittelpunktswinkel und nach d) auch ihre Umfangswinkel. Daher ist CW dieWinkelhalbierende des Winkels ACB.