Inhaltsverzeichnis - Prof. Dr. Norbert Wermes

1.2. DAS RAMO-THEOREM 5Bezeichnet nun V q das Potential auf der Äquipotentialfläche F und beachtet man, dassauf allen Elektroden V = 0 gilt, so folgt aus dem Gauss´schen Gesetz für das Oberflächenintegral∫∂VdS = 4πq. (1.6)∂nFIm nächsten Schritt entfernt man die Ladung aus der Anordnung und setzt eine derElektroden, im Folgenden Elektrode A genannt, auf das dimensionslose Potential 1 (Abb.1.3c)). Das Potential dieser neuen Anordnung sei V 1 . Es erfüllt im Gebiet zwischen denElektroden wiederum die Poissongleichung∇ 2 V 1 = 0. (1.7)Man beachte, dass dieses Gebiet nun auch den Bereich enthält, in dem sich vorher dieLadung q befand. Des weiteren sei nun V q1 das neue Potential in diesem Punkt (wo sichvorher die Ladung q befand). Der Greensche Satz besagt dann für die Potentiale V undV 1∫Volumen(V1 ∇ 2 V − V ∇ 2 V 1)dV = −∫Oberfläche(∂VV 1∂n − V ∂V )1dS. (1.8)∂nDas Integral auf der linken Seite verschwindet auf Grund von (1.5) und (1.7) und dasrechte Integral lässt sich in drei Oberflächenintegrale aufspalten:• über alle Elektroden außer A. Dieses Teilintegral ist null, da auf diesen ElektrodenV = V 1 = 0 gilt.• über die Elektrode A. Hier gilt V 1 = 1 und V = 0, so dass sich das Oberflächenintegralzu∫∂V− dS (1.9)A ∂nvereinfacht.• über die Äquipotentialfläche F um q∫∫∂V−V q1∂n dS + V qFF∂V 1dS. (1.10)∂nDas zweite Teilintegral verschwindet, dies folgt aus dem Gauss´schen Gesetz, dakeine Ladung mehr eingeschlossen wird.Fügt man diese drei Integrale zusammen, so erhält man∫∫∂V0 = −∂n dS − V ∂Vq1∂n dS = 4πQ A − 4πqV q1 , (1.11)AF