Importance Sampling für Diffusionsprozesse mit Anwendungen in ...

F y (t, x, y) = 2x 0σ e σ x+atx 0 e σ x+at − K − 2 yddt F y(t, u(t), ˙u(t)) = 2 x 0(σddt u (t) + a) σ e σ u(t)+atx 0 e σ u(t)+at − K1.1 Variationsrechnung− 2 x 0 2 ( σ d dt u (t) + a) ( e σ u(t)+at) 2σ(x 0 e σ u(t)+at − K) 2 − 2 d2dt 2 u (t) .Ein einfacher Vergleich zeigt nun, dass sich in der Euler-Lagrange Gleichung fast alleTerme gegenseitig eleminieren. Man erhält0 = F x (t, u(t), ˙u(t)) − d d2F (t, u(t), ˙u(t)) = 2dt dt u (t) . 2Diese Differentialgleichung kann mittels Integration gelöst werden. Die Lösung ist gegebendurchu ∗ (t) = c 1 t + c 2für zwei Konstanten c 1 , c 2 ∈ R. Weiter gilt wegen dem linken fixen Endpunkt u(0) = 0und damitc 2 = 0.Um c 1 zu bestimmen kann Satz 1.8 herangezogen werden. Demnach muss die Bedingung(1.6) für den rechten flexiblen Endpunkt erfüllt sein, d. h.F y (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) =[2 x 0σ e σ ]u∗ (t)+atx 0 e σ u∗ (t)+at− K − 2 ˙u∗ (t)t=T= 2 x 0σ e σ c 1T +aTx 0 e σ c 1T +aT− K − 2 c 1 = 0. (1.7)Die Lösung für diese Gleichung ist eindeutig, falls sie existiert. Die Eindeutigkeit istleicht mit mitteln der Analysis nachzuweisen. Die Lösung ist im Allgemeinen numerischnach c 1 zu lösen. Ist dies gemacht, so bleibt zu klären, ob eine Lösung u ∗ tatsächlicheine Maximalstelle ist. Dazu muss die Jacobi-Bedingung untersucht werden. Es kannnachgerechnet werden, dassF xx (t, u(t), ˙u(t)) − d dt F xy(t, u(t), ˙u(t)) = 0 und F yy (t, u(t), ˙u(t)) = 0für alle u ∈ C 1 [0, T ] und insbesondere für u ∗ gilt. Damit ist die Jacobi-Bedingung 1.4trivialerweise erfüllt. Weiter berechnet sich die Weierstrassfunktion für beliebige u ∈19