Importance Sampling für Diffusionsprozesse mit Anwendungen in ...

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4 Dynamische Maßwechsel via PreisapproximationDamit ist nun für jedes y ∈ R folgendes Variationsproblem zu lösen.∫ ( )1 T2˙ϕt − rϕ tdt = min (Hauptbedingung)2 0 σϕ tϕ 0 = s 0ϕ T = y(linke Randbedingung)(rechte Randbedingung)Dieses Problem wurde zu Beginn in Abschnitt 1.1.2 behandelt. Die Minimalstelle istgegeben durchund der Wert des Minimums ist dann( 1ϕ ∗ (t) = s 0 expT log( y ))ts 0I Y (y) = 12T σ 2 (log( y x ) − rT ) 2.Es sei nun H = H(S T ) : R → R eine stetige Abbildung, sodass ein γ > 1 existiert mit( 1lim ɛ log E expɛ→0 ɛ γ log H(Sɛ T ))< ∞.Insbesondere gilt dies für alle stetigen nach oben beschränkten Funktionen. Eine asymptotischeApproximation eines Derivates mit Auszahlung ϕ ist nun gegeben durchEH(S T ) ∼ exp(sup log ϕ(y) − I Y (y)y∈R)= exp(sup log H(y) − 1 (log( y ) ) 2y∈R2T σ 2 x ) − rT .Wir werden nun im Folgenen zwei Verfahren vergleichend nebeneinander stellen: VerfahrenA entspricht einer Monte Carlo Simulation mit dynamischem Importance Sampling,wobei die exakten Werte v und D x v entsprechend der Black-Scholes Formel zur Bestimmungvon h herangezogen werden, d.h.h t = − 1v(t, X t ) σ(X t)D x v(t, X t )1= −X t φ(d 1 ) − K exp(−r(T − t))φ(d 2 ) σX tφ(d 1 ).Bei Verfahren B wird h mittels V approximiert:1h t ∼ −V (t, X t ) σ(X t)D x V (t, X t ),84
4.1 Call im Black-Scholes Modellwobeifür sehr kleines h > 0.D x V (t, X t ) ∼ V (t, X t) − V (t, X t + h)hDie Simulationsparameter sindS 0 = 8 r = 0.1 T = 2 σ = 0.3 K = 10.Abbildung 4.1: Preis eines Call im Black-Scholes Modell. Vergleich der Approximation(t, X t ) ↦→ V (t, X t ) (untere Fläche) mit den tatsächlichen Werten derBlack-Scholes Formel (t, X t ) ↦→ v(t, X t ) (obere Fläche).85
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Masterthesis in der Finanzmathemati
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Inhaltsverzeichnis4.2 Dynamisches I
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Aus mathematischer Sicht besteht Be
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1 EinführungZiel dieses Abschnitte
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1.1 Variationsrechnungu(t)BAu ∗ (
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1.1 Variationsrechnungso ist u ∗
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F xy (t, x, y) = 2σ 2 x + 4 y −
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1.1 Variationsrechnung1.1.3 variabl
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F y (t, x, y) = 2x 0σ e σ x+atx 0
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∫ τ(u)inf F (t, u(t), ˙u(t)) dt
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1.1 Variationsrechnungsind, welches
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1.2 Theorie der großen Abweichunge
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Seite 33 und 34: 1.2 Theorie der großen Abweichunge
Seite 43: 1.2 Theorie der großen Abweichunge
Seite 46 und 47: 2 Monte Carlo Simulation und Import
Seite 55 und 56: 3 Deterministische MaßwechselBasie
Seite 57 und 58: ≤ |ḣ(T )ω(T )| + sup|ω t |0
Seite 59 und 60: Ein asymptotisch optimales ĥ muss
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Seite 63 und 64: 3.1 Anwendung: Call im Black-Schole
Seite 69 und 70: 3.2 Digitale OptionenBeweis. Die Id
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Seite 75 und 76: 3.4 Anwendung: Barriereoptionen im
Seite 77 und 78: 3.4 Anwendung: Barriereoptionen im
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Seite 81 und 82: In Integralschreibweise zum Zeitpun
Seite 83: 4.1 Call im Black-Scholes Modellwob
Seite 87 und 88: 4.1 Call im Black-Scholes ModellSim
Seite 89 und 90: 4.2 Dynamisches Importance Sampling
Seite 91 und 92: 4.2 Dynamisches Importance Sampling
Seite 93: 4.2 Dynamisches Importance Sampling
Seite 96 und 97: Dieses wurde im Black-Scholes Model
Seite 98 und 99: Literaturverzeichnis[13] S. L. Hest
Seite 100: Eidesstattliche ErklärungGemäß
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