Importance Sampling für Diffusionsprozesse mit Anwendungen in ...

1 EinführungC 1 [t 1 , t 2 ] und y ∈ R zuE(t, u(t), p, y) = −(y − p) 2 ≤ 0,womit alle Bedingungen für Satz 1.7 erfüllt sind und das Funktional J damit in u ∗ einglobales Maximum annimmt.1.1.4 Endpunkte auf KurvenEs ist auch nötig, ein Verfahren zur Bestimmung des günstigsten Weges von einemStartpunkt zu einer Kurve zu ermitteln. Dazu seien eine C 1 -Kurve φ : [t 1 , t 2 ] → R undein Punkt A = (t 1 , u a ) gegeben. Für eine Funktion u : [t 1 , t 2 ] → R definieren wir denersten Schnittpunkt mit φ alsτ(u) := inf{t ∈ [t 1 , t 2 ] | u(t) = φ(t)}ohne dabei explizit φ in die Notation mit aufzunehmen und setzen τ(u) = ∞, falls keinSchnittpunkt existiert. Das Variationsproblem ist nun gegeben durchX := {u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ] | u(t 1 ) = u a , τ(u) ≤ t 2 }∫ τ(u)inf F (t, u(t), ˙u(t)) dt.u∈X t 1u(t)φ(t)u ∗ (t)Aτ(u ∗ )tAuch in diesem Fall kann ein System von Differentialgleichungen hergeleitet werden.Satz 1.9. Eine Lösung u ∗ des OptimierungsproblemsX := {u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ] | u(t 1 ) = u a , τ(u) ≤ t 2 }20