Importance Sampling für Diffusionsprozesse mit Anwendungen in ...

Aus mathematischer Sicht besteht Bedarf an der Modellierung von Finanzmärkten undder Bewertung von Derivaten im Hinblick auf ihr Risikoprofil und ihren Wert. Je nachWahl des Modells stehen für bestimmte Derivate analytische Formeln zur Verfügung(beispielsweise Callpreise im Black-Scholes Modell). In einigen Fällen kann ein Preisauch durch Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDE-Ansatz) oder durch Berechnungeiner Fourieretransformierten bestimmt werden. Bei komplizierten Derivatenist dies nicht ohne Weiteres möglich. In solchen Fällen kann eine Monte Carlo Simulationzur Ermittlung einer Nährungslösung angewandt werden.Dieses Verfahren ist zwar sehr einfach umzusetzen allerdings im Vergleich zu den obengenannten Methoden nicht besonders effizient. Das zentrale Ziel dieser Arbeit ist dieVerbesserung von Monte Carlo Simulationen. Dabei wird das Importance Sampling alsAnsatz ausgewählt: Unter Anwendung der Formel von Bayes soll eine Verbesserung desMonte Carlo Schätzers durch eine Varianzreduktion nach einem Maßwechsel erreichtwerden. Es gibt nun im Allgemeinen sehr viele Maßwechsel, die in Frage kommen. Nichtjeder dieser wird eine Varianzreduktion zur Folge haben. Es bleibt also noch ein Auswahlproblemzu lösen.Zur Lösung des Maßwechselauswahlproblems werden nun heuristische Gütekriterien fürMaßwechsel mit Hilfe der Theorie der großen Abweichungen und der Variationsrechnungentwickelt. Da es sich bei den vorgestellten Methoden lediglich um Heuristiken handelt,werden die Methoden durch umfangreiche Simulationen getestet und anschließend inHinblick auf die Varianzreduktion des Monte Carlo Schätzers und den Rechenaufwandbewertet.Zu Beginn dieser Arbeit wird in Kapitel 1 das Basiswissen für die Variationsrechnung unddie Theorie der großen Abweichungen durch eine kompakte Zusammenfassung gegeben.Als erstes Ergebnis gelingt dabei die Herleitung eines Berechnungsverfahrens zur Bestimmungder Asymptotik der Austrittswahrscheinlichkeit von Diffusionsprozessen ausGebieten mit differenzierbarem Rand.In Kapitel 2 wird anschließend die Monte Carlo Simulation und das Importance Samplingfür Diffusionsprozesse beschrieben. Dabei werden auch die technischen Herangehensweisenzur Durchführung von Maßwechseln gegeben. Diese sind im Wesentlichen die Formelvon Bayes zur Bestimmung der Auswirkung von Maßwechseln auf Erwartungswerte sowie6