Importance Sampling für Diffusionsprozesse mit Anwendungen in ...

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Aus mathematischer Sicht besteht Bedarf an der Modellierung von Finanzmärkten undder Bewertung von Derivaten im Hinblick auf ihr Risikoprofil und ihren Wert. Je nachWahl des Modells stehen für bestimmte Derivate analytische Formeln zur Verfügung(beispielsweise Callpreise im Black-Scholes Modell). In einigen Fällen kann ein Preisauch durch Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDE-Ansatz) oder durch Berechnungeiner Fourieretransformierten bestimmt werden. Bei komplizierten Derivatenist dies nicht ohne Weiteres möglich. In solchen Fällen kann eine Monte Carlo Simulationzur Ermittlung einer Nährungslösung angewandt werden.Dieses Verfahren ist zwar sehr einfach umzusetzen allerdings im Vergleich zu den obengenannten Methoden nicht besonders effizient. Das zentrale Ziel dieser Arbeit ist dieVerbesserung von Monte Carlo Simulationen. Dabei wird das Importance Sampling alsAnsatz ausgewählt: Unter Anwendung der Formel von Bayes soll eine Verbesserung desMonte Carlo Schätzers durch eine Varianzreduktion nach einem Maßwechsel erreichtwerden. Es gibt nun im Allgemeinen sehr viele Maßwechsel, die in Frage kommen. Nichtjeder dieser wird eine Varianzreduktion zur Folge haben. Es bleibt also noch ein Auswahlproblemzu lösen.Zur Lösung des Maßwechselauswahlproblems werden nun heuristische Gütekriterien fürMaßwechsel mit Hilfe der Theorie der großen Abweichungen und der Variationsrechnungentwickelt. Da es sich bei den vorgestellten Methoden lediglich um Heuristiken handelt,werden die Methoden durch umfangreiche Simulationen getestet und anschließend inHinblick auf die Varianzreduktion des Monte Carlo Schätzers und den Rechenaufwandbewertet.Zu Beginn dieser Arbeit wird in Kapitel 1 das Basiswissen für die Variationsrechnung unddie Theorie der großen Abweichungen durch eine kompakte Zusammenfassung gegeben.Als erstes Ergebnis gelingt dabei die Herleitung eines Berechnungsverfahrens zur Bestimmungder Asymptotik der Austrittswahrscheinlichkeit von Diffusionsprozessen ausGebieten mit differenzierbarem Rand.In Kapitel 2 wird anschließend die Monte Carlo Simulation und das Importance Samplingfür Diffusionsprozesse beschrieben. Dabei werden auch die technischen Herangehensweisenzur Durchführung von Maßwechseln gegeben. Diese sind im Wesentlichen die Formelvon Bayes zur Bestimmung der Auswirkung von Maßwechseln auf Erwartungswerte sowie6
Varianzen und der Satz von Cameron-Martin-Girsanov, der Maßwechsel für Diffusionsprozessecharakterisiert.Dieses Wissen führt dann in Kapitel 3 zur Entwicklung der asymptotischen Optimalitätals erstes Gütekriterium für Maßwechsel in Hinblick auf ihre Varianzreduktion beider Monte Carlo Methode. Dabei werden Resultate zur Herleitung von asymptotischoptimalen Maßwechseln für das Black-Scholes Modell und Einfaktormodelle erzielt. DasVerfahren wird dabei für mehrere Fälle empirisch untersucht.Als Alternative wird in Kapitel 4 eine Heuristik zur Bestimmung dynamischer Maßwechselhergeleitet. Dieser kann bei Kenntnis des Preisprozesses und des Hedgeprozessesproblemlos bestimmt werden. Da diese allerdings unbekannt sind, wird die Theorie dergroßen Abweichungen zur approximativen Ermittlung herangezogen. Das Vorgehen wirdin einer Vergleichsanalyse im Black-Scholes Modell für eine Calloption getestet, um dieAuswirkung der Approximation auf die Qualität des Maßwechsels zu bestimmen. Anschließendwird das Konzept auf asiatische Optionen erweitert.Für viele Berechnung war es notwendig, auf das Computeralgebrasystem Maple zurückzugreifen.Zusammen mit den Quellcodes für die realisierten Simulationen finden sichdie Worksheets auf dem beigelegten Datenträger.7
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Seite 13 und 14: 1.1 Variationsrechnungso ist u ∗
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Seite 17 und 18: 1.1 Variationsrechnung1.1.3 variabl
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Seite 23 und 24: 1.1 Variationsrechnungsind, welches
Seite 25 und 26: 1.2 Theorie der großen Abweichunge
Seite 43: 1.2 Theorie der großen Abweichunge
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≤ |ḣ(T )ω(T )| + sup|ω t |0
Seite 59 und 60:
Ein asymptotisch optimales ĥ muss
Seite 61 und 62:
Damit folgtM(h) = sup 2F (x) + 1x
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3.1 Anwendung: Call im Black-Schole
Seite 65 und 66:
Seite 67 und 68:
Seite 69 und 70:
3.2 Digitale OptionenBeweis. Die Id
Seite 71 und 72:
3.3 Anwendung im Black-Scholes Mode
Seite 73 und 74:
3.3 Anwendung im Black-Scholes Mode
Seite 75 und 76:
3.4 Anwendung: Barriereoptionen im
Seite 77 und 78:
3.4 Anwendung: Barriereoptionen im
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4 Dynamische Maßwechsel viaPreisap
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In Integralschreibweise zum Zeitpun
Seite 83 und 84:
4.1 Call im Black-Scholes Modellwob
Seite 85 und 86:
4.1 Call im Black-Scholes Modellwob
Seite 87 und 88:
4.1 Call im Black-Scholes ModellSim
Seite 89 und 90:
4.2 Dynamisches Importance Sampling
Seite 91 und 92:
Seite 93:
Seite 96 und 97:
Dieses wurde im Black-Scholes Model
Seite 98 und 99:
Literaturverzeichnis[13] S. L. Hest
Seite 100:
Eidesstattliche ErklärungGemäß
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