Importance Sampling für Diffusionsprozesse mit Anwendungen in ...

1 EinführungEs sei ɛ > 0 beliebig und setze Z ɛ := exp( ϕ(Xɛ )−M). Nun gilt:ɛZ ɛ ≥ 1 ⇔ exp( ϕ(Xɛ ) − M) ≥ 1ɛ⇔ ϕ(Xɛ ) − M≥ 0ɛ⇔ ϕ(X ɛ ) ≥ M.Ist nun γ > 1 wie in (1.11) gewählt, dann folgte − M ɛ E(exp(ϕ(X ɛ )ɛDamit ergibt nun eine kleine Rechnung:lim supɛ→0ɛ log E exp( ϕ(Xɛ )ɛ)1 {ϕ(X ɛ )≥M}) = E(exp( ϕ(Xɛ ) − Mɛ= E(Z ɛ 1 {Z ɛ ≥1}))1 {ϕ(X ɛ )≥M} = lim supɛ→0≤ E(Z ɛ ) γ)1 {ϕ(X ɛ )≥M})= E exp(γ ϕ(Xɛ ) − M)ɛ= exp(−γ M )ɛ )E(exp(γϕ(Xɛ )).ɛɛ log exp( M ɛ ) exp(−M ɛ Ee ϕ(Xɛ )ɛ )1 {ϕ(X ɛ )≥M}≤ lim sup ɛ log exp( Mɛ→0ɛ ) exp(−γM ɛ )E exp(γ ɛ ϕ(Xɛ ))= (1 − γ)M + lim sup ɛ log E exp( γɛ→0ɛ ϕ(Xɛ )) .} {{ } 1 und damit lim M→∞ (1 − γ)M = −∞. Mit demGrenzübergang M → ∞ folgt dann die Behauptung.Es wird nun (⋆⋆) bewiesen.Lemma 1.16. Es sei ϕ : X → R von unten halbstetig und erfülle (X ɛ ) ɛ das LDP mitguter Ratenfunktion I : X → [0, ∞]. Dann gilt:lim infɛ→0ɛ log E exp( ϕ(Xɛ )ɛ) ≥ sup(ϕ(x) − I(X)).x∈XBeweis. Es seien x ∈ X und δ > 0 beliebig. Da ϕ von unten halbstetig ist, existiert eine30