Importance Sampling für Diffusionsprozesse mit Anwendungen in ...

4.2 Dynamisches Importance Sampling für asiatische OptionenForschungsarbeiten.4.2 Dynamisches Importance Sampling für asiatischeOptionenEs sei G : C x [0, T ] → R ein Auszahlungsfunktional, S ein Diffusionsprozess und (S ɛ ) ɛdie entsprechende Prozessfamilie im Freidlin-Wentzell Sinn mit S ɛ=1 = S. Ein entscheidenderPunkt bei der Herleitung des dynamischen Maßwechsels der Formh t = − 1v(t, X t ) σ(X t)D x v(t, X t )0 ≤ t ≤ Tim Falle europäischer Auszahlungen G(S) = g(S T ) ist die Markoveigenschaft vom G(S).Diese Bedingung ist in vielen Fällen verletzt und verhindert so eine Anwendung diesesAnsatzes. Dieser Umstand kann in einigen Situationen allerdings korrigiert werden. Wirmöchten das am Beispiel einer asiatischen Option vorstellen: Eine asiatische Option aufeinen Preisprozess S ist eine Funktion seines Mittelwertes, d. h. ein Claim der Form( 1C = HT∫ T0S t dtfür eine Funktion H : R → R. Definiere eine Hilfsvariable)Y := 1 T∫ T0S t dt.Der Prozess (X, Y ) ist nun ein Markovprozess und ermöglicht die Anwendung der vorgestelltenImportance Sampling Methode.Betrachte die Prozessfamilie gegeben durch Y ɛ := 1 ∫ TT 0 Sɛ t dt. Gelingt nun die Herleitungeines LDP für (Y ɛ ) ɛ mit Ratenfunktion I Y , so liefert Varadhans Theorem eineApproximationEH(Y ) ∼ exp(sup log H(y) − I Y (y)y∈RDamit ist nun lediglich ein reelles Maximierungsproblem zu lösen.Der generelle Vorteil dieser Methode besteht also in der Reduktion des Rechenanteils aufein reelles Maximierungsproblem. Es muss nun noch ein LDP für stochastische Integralehergeleitet werden:).89