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Grundlagen der Winkelmessung mit einem Theodolit/Tachymeter
Prof. Dr.-Ing. M. Bäumker
Fachhochschule Bochum
Fachbereich Vermessungswesen und Geoinformatik

1 Einleitung
Ein Winkel ist die Differenz zweier räumlicher Richtungen, wobei diese
Raumrichtungen in zwei spezielle Ebene zerlegt und projiziert werden:
Horizontalebene ) Horizontalwinkel, Horizontalrichtung
Vertikalebene ) Vertikalwinkel, Zenitdistanz, Höhenwinkel, Elevation
Während die Vertikalebene eine eindeutige 0-Richtung besitzt (Zenit bzw. Nadir), ist
die Horizontalrichtung eine nicht orientierte Richtung in der Horizontalebene.
Ein Winkel ist die Differenz zwischen zwei Raumrichtungen. Die Zerlegung dieser
beiden Raumrichtungen bzw. deren Projektion führt zu zwei Horizontalrichtungen R1,
R2 und zwei Zenitdistanzen Z1, Z2. Der Horizontalwinkel α ergibt sich dabei aus der
Differenz der beiden Horizontalrichtungen
= R2 − R1
und ist unabhängig von der Höhe der beiden Zielpunkt P1 und P2. Der Vertikal- bzw.
Zenitwinkel ist die Differenz einer speziellen Bezugsrichtung (Zenit, Nadir) und dem
Punkt P in der Vertikalebene. Der Zenitwinkel (Zenitdistanz Z) zählt vom Zenit aus.
Alternativ gibt es den Höhenwinkel (Elevation E), der von der Horizontalebene aus
zählt. Für beide Winkel gilt:
Z = 100 Gon − E
1

1.1 Einheiten
Folgende Einheiten für die Winkel sind gebräuchlich:
Altgrad dezimal [°] bzw. Altgrad sexagesimal [° ‘ ‘’]
Neugrad [Gon]
Bogenmaß [rad]
Vollkreis
Altgrad: 360° bzw. 360° 00’ 00”
Neugrad: 400 Gon
Bogenmaß: 2π
weitere Unterteilungen:
Altgrad: 1’ = 1°/60 (Winkelminute)
1’’= 1’/60 = 1°/3600 (Winkelsekunde)
Neugrad: 1 cgon, cc = 1 Gon/100 = 0.01 Gon (Neuminute, centigon)
1 mgon = 1 Gon/1000 = 0.001 Gon (milligon)
1 cc = 1 Gon/10000 = 0.0001 Gon (Neusekunde)
In der Geodäsie und bei den geodätischen Instrumente wird i.d.R. die Einheit
Neugrad und deren Untereinheiten für die Winkelmessung verwendet. Geodätische
Instrumente zur Horizontal- und Zenitwinkelwessung werden als Theodolite bzw.
Tachymeter (mit Entfernungsmesser) bezeichnet. Damit mit diesen Instrumenten die
Winkel mit höchstmöglicher Genauigkeiten gemessen werden können, sind
spezielle Anforderungen an das Aufstellen des Instrumentes und an die Verfahren
zur Messung Berechnung dieser Winkel zu stellen.
2 Winkelmessung mit einem Theodolit und Tachymeter
2.1 Aufstellen des Instruments
Mit einem Theodolit bzw. einem Tachymeter lassen sich sowohl Horizontal als auch
Vertikalwinkel bestimmen. Dieses erfordert eine exakte Aufstellung und
Horizontierung des Theodoliten über dem Bodenpunkt. Die Horizontierung erfolgt in
folgenden Schritten:
1. Stativ grob über den Bodenpunkt aufstellen (ggfls. mit Hilfe eines Schnurlotes).
2. Korrigieren des Stativtellers, so dass sich dessen Mitte möglichst horizontal über
dem Bodenpunkt befindet.
3. Stativbeine fest in den Boden eintreten und das Instrument auf aus Stativ
schrauben.
4. Laserlot einschalten bzw. bei älteren Instrumenten durch das optische Lot
schauen und durch Drehen der Fußschrauben den Laserpunkt oder das optische
Lot auf den Bodenpunkt ausrichten.
2

5. Einspielen der Libelle(n) durch Verändern der Stativbeine (Stativschrauben)!
6. Feinhorizontierung mittels der Fußschrauben
7. Durch vorsichtiges Lösen der Zentralschraube und Verschieben des Stativtellers
den Bodenpunkt exakt einstellen.
8. Zentralschraube wieder fest anziehen und die Horizontierung und Zentrierung
nochmals überprüfen (ggfls. Schritte 6 und 7 Wiederholen)
3

2.2 Horizontieren des Instrumentes
Zur Horizontierung des Instruments dienen die Dosenlibelle und die Röhrenlibelle.
Vor der eigentlichen Horizontierung ist der Spielpunkt der Libelle zu bestimmen.
Die Grobhorizontierung erfolgt mittels der Dosenlibelle. Für die Feinhorizontierung
wird die genauere Röhrenlibelle verwendet.
Bei der Horizontierung werden zunächst zwei Fußschrauben gleichzeitig gegenläufig
gedreht. Dabei gibt der Zeigefinger der rechten Hand die Richtung an, in die die
Blase der Dosenlibelle laufen soll. Mit der dritten Fußschraube wird dann die Libelle
zum Einspielen gebracht. Zur Kontrolle wird das Instrument um 180° gedreht und
überprüft, ob der Spielpunkt richtig eingestellt wurde. Ein nicht richtig horizontiertes
Instrument führt zu einem Stehachsfehler, der zusätzlich zu den anderen
Achsfehlern des Instruments die Genauigkeit der Winkelmessung negativ
beeinflusst.
2.3 Instrumentenfehler
Im Idealfall sollten bei einem horizontierten
Instrument folgende Bedingungen erfüllt sein:
a) Stehachse VV lotrecht
b) Zielachse ZZ senkrecht zur Kippachse KK
c) Vertikalkreisablesung im Zenit 0 Gon
Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so
spricht man von folgenden Fehlern:
1) Stehachsfehler v
2) Zielachsfehler (oder Kollimationsfehler) c
3) Kippachsfehler i
4) Höhenindexfehler Iz
4

Instrumentenfehler des Theodolits (Tachymeter)
Der Zielachs- und Kippachsfehler sind reine Instrumentenfehler und wirken sich in
Abhängigkeit von der Zenitdistanz unterschiedlich auf die
Horizontalrichtungsmessung aus. Diese beiden Fehler lassen sich aber durch die
Messung in zwei Lagen eliminieren. Entsprechendes gilt auch für den
5

Höhenindexfehler, der wie ein konstanter Fehler bei der Zenitdistanzmessung wirkt
und der sich ebenfalls durch die Zweilagenmessung eliminieren lässt.
Der Stehachsfehler ist kein wirklicher Instrumentenfehler sondern ein
Aufstellungsfehler und wirkt sich ebenfalls zenitdistanzabhängig auf die
Horizontalrichtungsmessung aus. Im Gegensatz zum Zielachs- und Kippachsfehler
wird dieser Fehler jedoch nicht durch die Zweilagenmessung eliminiert. Die
modernen Tachymeter sind heute aber in der Lage, die Stehachsschiefe mittels
eines Zweiachskompensators automatisch zu korrigieren.
2.4 Auswirkung der Instrumentenfehler auf die Horizontalwinkelmessung
Bei der Messung in zwei Lagen wirken sich der Zielachs- und der Kippachsfehler
wie folgt aus:
fehlerfreie Werte (Sollwerte):
Messwerte (fehlerbehaftet):
RI
RII = RI 200 Gon
g
RI g
RII Ziel- und Kippachsfehler (zenitdistanzabhängig):
(c) = c
sin z
(i) = i cot z
a) Auswirkung des Zielachs- und des Kippachsfehlers
Mittel aus Lage I und Lage II:
g
RI = RI + (c) + (i)
g
RII = RII − (c) − (I)
RI,II = 1 2 (R
g g
I + RII
200 Gon)
= 1 2 (RI + (c) + (i) + RII − (c) − (i) 200 Gon)
= 1 2 (RI + RI 200 Gon 200 Gon)
= 1 2 (RI + RII)
= RI
6

Bei der Zweilagenmessung wird also sowohl der Zielachs- als auch der
Kippachsfehler eliminiert.
2.5 Bestimmung des Zielachs- und des Kippachsfehlers
Beide Fehler wirken in Abhängigkeit von der Zenitsdistanz zum Zielpunkt aus.
(c) = c
sin z
(i) = i cot z
Beide Fehler wachsen also mit der Steilheit der Visuren, die nach Möglichkeit
vermieden werden sollten.
g
RI = RI + (c) + (i)
g
RII = RII − (c) − (I)
Bildet man nun folgende Differenz zwischen den Messungen aus Lage I und Lage II,
so erhält man:
Somit gilt:
g g
RI − RII
200 Gon = RI + (c) + (i) 200 Gon − RII + (c) + (i)
(c) + (i) = 1
2 (R
g g
I − RII
= RI 200 Gon − (RI 200 Gon) + 2 (c) + 2 (i)
= 2 ((c) + (i))
200 Gon)
Für ein horizontales Ziel (z =100 Gon) gilt aber:
(c) =
c
sin(100 Gon)
= c
(i) = i cot(100 Gon) = 0
z = 100 Gon G c = 1 g g
(R 2 I − RII
200 Gon)
Daher bestimmt man zunächst aus der Zweilagenmessung zu einem horizontalen
Ziel den Zielachsfehler. Anschließend wird eine zweite Zweilagenmessung zu einem
möglichst steilen Ziel (steile Visur) durchgeführt. Da der Zielachsfehler bereits zuvor
bestimmt wurde, lässt sich der Kippachsfehler nun wie folgt bestimmen:
7

(c) + (i) = 1 2 (R
g g
I − RII
(i) = 1 2 (R
g g
I − RII
i cot z = 1 2 (R
g g
I − RII
200 Gon)
200 Gon) − (c)
200 Gon) − c
sin z
Durch eine weitere Umstellung erhält man schließlich:
i = 1 2 (R
g g
I − RII
i = 1 2 (R
g g
I − RII
2.6 Der Höhenindexfehler
200 Gon) − c
sin z
tan z
200 Gon) tan z − c cos z
Der Höhenindexfehler Iz resultiert aus dem Kompensatorfehler (bei älteren
Theodoliten: Fehler der Höhenindexlibelle) und wirkt wie ein konstanter
Ablesefehler, d.h. der Fehler wirkt auf alle Zenitdistanzmessungen in gleicher
Weise:
Z g = Z + Iz
mit
Z g : Messwert
Z: fehlerfreier Wert (Sollwert)
Für die Messung in zwei Lagen (Lage I: Index I; Lage II: Index II) gilt daher:
g
ZI = ZI + Iz
g
ZII = ZII + Iz
wobei die Summe aus beiden Messungen im fehlerfreien Fall 400 Gon ergeben
muss:
ZI + ZII = 400 Gon G ZI = 400 Gon − ZII
Die fehlerfreie Zenitdistanz aus Lage I und Lage II ergibt sich daher wie folgt:
ZI,II = 1 2 (Z g g
I + (400 Gon − ZII))
= 1 2 (ZI + Iz + (400 Gon − (ZII + Iz)))
= 1 2 (ZI + Iz + (400 Gon − (400 Gon − ZI + Iz)))
= 1 2 (ZI + Iz + ZI − Iz)
= ZI
8

Der Höhenindexfehler lässt sich entsprechend bestimmen:
Lösung:
g g
ZI + ZII − 400 Gon = ZI + Iz + ZII + Iz − 400 Gon
= 2 Iz + ZI + (400 Gon − ZI) − 400 Gon
= 2 Iz
Iz = 1
2 (Z
g g
I + ZII − 400 Gon)
Bei der Zenitdistanz bestimmt man i.d.R. an Stelle des Höhenindexfehlers die
Indexverbesserung vz. Fehler und Verbesserung unterscheiden sich nur durch das
Vorzeichen, so dass hier folgendes gilt:
vZ = −Iz
vz = 1 2 (400
g g
Gon − ZI − ZII )
Die fehlerfreien Messwerte für Lage I und Lage II lassen sich daher auch wie folgt
bestimmen:
g
ZI = ZI + vz
g
ZII = ZII + vz
Auf einem Standpunkt sollte der Höhenindexfehler bei den Zenitdistanzmessungen
zu allen Zielpunkten konstant bleiben. Aus diesem Grunde wird i.d.R. bei der
Ausgleichung der Zenitdistanzmessungen (mehrere Sätze) für jeden Standpunkt
aus allen Messungen eine gemeinsame Höhenindexverbesserung (Mittelwert aus
allen Zweilagenmessungen) berechnet und aus den Abweichungen der Einzelwerte
vom Mittelwert hieraus die Standardabweichung für eine Zenitdistanzmessung
bestimmt.
2.7 Allgemeine Hinweise
Sämtliche Instrumentenfehler ändern sich mit der Temperatur. Weitere
Einflußfaktoren, die eine Änderung der Instrumentenfehler hervorrufen können, sind
Vibrationen und Stöße beim Transport. Wenn nur in einer Fernrohrlage gemessen
wird, sind diese Fehler daher unbedingt vor der Messung zu bestimmen und im
Gerät abzuspeichern, damit diese bei der anschließenden Winkelmessung
rechnerisch berücksichtigt werden können. Messungen zu Zielen, die eine steile
Visur erfordern, sind grundsätzlich in zwei Lagen zu durchzuführen.
9

2.8 Herleitung des Einflusses der Achsfehler auf die Winkelmessung
a) Zielachsfehler c
Der Zielachsfehler c ist darauf zurückzuführen, dass die Zielachse nicht rechtwinklig
zur Kippachse ausgerichtet ist. Bei einem Ziel im Horizont wirkt exakt der Fehler c.
horizontales Ziel
c
c
Lage I
Kippachse
Lage II
nach Durchschlagen
Kippachse
Lage I
horizontales Ziel
c
cc
Lage II nach Durchschlagen
und Drehung um 200 Gon
In Lage I wirkt daher bei einem horizontalen Ziel der Ziealachsfehler in der Form:
g
RI = RI + c
Nach Durchschlagen des Fernrohrs und anschließender Drehung um 200 Gon wirkt
der Zielachsfehler aber mit umgekehrtem Vorzeichen in der Form:
g
RII = RII − c
Das Mittel aus einer Zweilagenmessung ist daher frei von dem Zielachsfehler.
Der Einfluss des Zielachsfehlers (c) ändert sich jedoch mit der Zenitdistanz z. Die
Herleitung des Einflusses des Zielachsfehlers (c) auf die Horizontalwinkelmessung
zeigt folgende Abbildung.
10

=LHO
K.A.
Zielachsfehler c und sein Einfluss (c)
Vertikalebene
F
Ablesestelle am
Horizontalkreis
F
]
F
]
Zenit
sphärisches Dreieck
Horizontalkreis
Horizontalebene
K.A.
Betrachtung des sphärischen Dreiecks auf der Kugel (Radius R=1)
]
F
F
]
100 Gon
Zenit
gegeben: 3 Seiten auf der Kugel
y z
y z
y c
y rechter Winkel (100 Gon)
gesucht: Winkel (c)
sphärische Trigonometrie:
sin(c) sin(100 Gon)
= =
sin c sin z
1
sin z
sin(c) =
sin c
sin z
kleine Winkel : (c) = c
sin z
11
z = 100 Gon G (c) = c
z = 50 Gon G 2 c

) Kippachsfehler i
Der Kippachsfehler i ist darauf zurückzuführen, dass die Kippachse nicht
rechtwinklig zur Stehachse ausgerichtet ist.
Stehachse
Lage Ii i
Lage I
Ziel
Kippachse
Kippachse
Stehachse
Lage II
Lage II
nach Drehen um 200 Gon
und Duchschlagen
Ziel
Bei einem horizontalen Ziel wirkt sich der Kippachsfehler i daher zunächst nicht aus.
Erst bei einem Ziel oberhalb- oder unterhalb des Horizonts wirkt der Kippachsfehler
(i), da das Fernrohr nicht mehr in einer Vertikalebene sondern in einer um den
Winkel i verkippten Ebene bewegt wird. Da die Kippung der Zielachse nach einer
Drehung des Theodolits um 200 Gon in Bezug auf das Ziel in die andere Richtung
zeigt, wirkt in Lage II der Kippachsfehler (i) mit umgekehrtem Vorzeichen und fällt
daher bei einer Zweilagenmessung heraus.
g
RI = RI + (i)
g
RII = RII − (i)
Im Felde kann der Kippachsfehler bereits durch einfaches Anzielen, z.B. einer
senkrechten Gebäudekante überprüft und erkannt werden.
Fadenkreuz
Anzielung einer
Gebäudekante
mit einem
Theodolit
Die Herleitung des Einflusses des Kippachsfehler (i) in Abhängigkeit von der
Zenitdistanz z auf die Horizontalwinkelmessung zeigt nachfolgende Abbildung.
12

=LHO
K.A.
¡
¢¡
L
Kippachsfehler i und sein Einfluss (i)
Vertikalebene
*RQ
Ablesestelle am
Horizontalkreis
L
sphärisches Dreieck
100Gon-z
L
Zenit
z
Horizontalkreis
Horizontalebene
um i verkippte
Vertikalebene
K.A.
Betrachtung des sphärischen Dreiecks auf der Kugel (Radius R=1)
¤
£¥¤
L
*RQ
*RQ ] L
]
Zenit
13
gegeben: 3 Seiten auf der Kugel
y 100 Gon
y 100 Gon-z
y z
y Winkel i
gesucht: Winkel (i)
sphärische Trigonometrie:
sin(i)
sin(100 Gon − z)
cos z
G sin(i) = sin i
= sin i
sin z
cos z
sin z
= sin i cot z
kleine Winkel G (i) £ i cot z
z = 100 Gon G (i) = 0

c) Stehachsfehler V
Der Stehachsfehler V ist ein Aufstellungsfehler. Die Vertikalachse ist nicht parallel
zur Lotrichtung. Die Kippachse, die senkrecht zur Lotrichtung ausgerichtet ist, ist
daher zur Horizontalebene gekippt, d.h. der Stehachsfehler wirkt ähnlich wie der
Kippachsfehler. Im Gegensatz zum Kippachsfehler bleibt aber die Neigung der
Stehachse und daher auch die Neigung der Kippachse raumfest, da der Theodolit
um die geneigte Stehachse gedreht wird.
Stehachse
Lage IV
Lage I
Zenit
V
Ziel
Kippachse
V
Lage II
Zenit Stehachse
Ziel senkrecht zur Richtung der Stehachsneigung
Ziel
Kippachse
100 Gon 100 Gon
Lage II
nach Drehen um 200 Gon
und Duchschlagen
Der Einfluss des Stehachsfehlers wird maximal senkrecht zur Richtung der
Stehachsneigung und wirkt dann wie ein Kippachsfehler - allerdings mit dem
Unterschied, dass in Lage II das Vorzeichen nicht wechselt. Der Stehachsfehler wird
daher nicht durch die Zweilagenmessung eliminiert Liegt das Ziel in Richtung der
Stehachsneigung, so bleibt ist der Einfluss des Stehachsfehlers auf die
Winkelmessung null.
Lage IV
Lage I
Zenit
V
Stehachse
Kippachse
Ziel
Ziel in Richtung der Stehachsneigung
V
14
Lage II
V
Zenit Stehachse
V
Kippachse
Lage II
nach Drehen um 200 Gon
und Duchschlagen
Ziel

Der Einfluss der Stehachsneigung (V) auf die Horizontalwinkelmessung lässt sich
daher wie folgt berechnen:
(v) = v sin( − 0) cot z
(1)
α0: Richtung der Stehachsneigung (in Lage I)
α: Richtung zum Ziel (in Lage I)
Richtung der
Stehachsneigung
Zenit
Stehachse
Ziel
Zweiachskompensator
y
Moderne digitale Theodolite verfügen heute über einen Zweiachskompensator
(Flüssigkeitskompensator), der die Neigung der Stehachse in zwei senkrecht
zueineinder stehenden Richtungen erfasst und dann nach (1) rechnerisch an die
Messungen anbringt. Die Neigung V und die Richtung der Neigung α0 wird aus den
beiden Neigungswerten Vx und Vy wie folgt berechnet:
v = v x 2 + vy 2
0 = arctan vy
vx
Die Neigung darf allerdings nicht größer sein, als der Messbereich des
Kompensators, i.d.R. 1’ bis 3’. Wird dieser Bereich überschritten, erfolgt keine
Winkelmessung mehr bzw. das Instrument zeigt einen Fehler an (z.B. Tilt).
Zur Bestimmung des Zielachs- und des Kippachsfehlers gibt es ebenfalls
entsprechende Programme, die aus den Zweilagenmessungen zu mehreren Zielen
diese Fehler berechnen und bei der späteren Winkelmessung ebenfalls rechnerisch
berücksichtigen. Dennoch sollte bei Zielen, die eine steile Visur erfordern, unbedingt
die Messung in beiden Fernrohrlagen erfolgen.
15
x

2.9 Horizontalwinkelmessung
Die Horizontalwinkelmessung erfolgt in Voll- oder Halbsätzen zu zwei oder mehreren
Zielen.
y Halbsatz: Messung nur in einer Fernrohrlage
y Vollsatz: Messung in beiden Fernrohrlagen
Halbsätze sind nur zulässig bei
y geringen Genauigkeitsanforderungen (cgon)
y bei horizontalen Zielen
y bei Zielen mit gleicher Zenitdistanz.
Ziel 4
Ziel s
Ziel 3
Standpunkt
Ziel 1
Ziel 2
Die Anzahl der Sätze richtet sich nach der Genauigkeit des Theodoliten und der
Genauigkeitsanforderung an die Winkelmessung. Vor Beginn der
Satzwinkelmessung sind daher folgende Vorgaben festzulegen:
n: Anzahl der Sätze
s: Anzahl der zu beobachtenden Ziele
Das erste Ziel sollte ein gut sichtbares und gut einzustellendes Ziel sein, da auf
diese Richtung alle anderen Richtungen später reduziert werden. Die Durchführung
der Winkelmessung erfolgt dann nach Horizontierung des Instruments über dem
Standpunkt in folgenden Schritten:
1. Lage I: Ziel 1, Ziel 2, Ziel 3, ...., Ziel s
2. Lage II: Ziel s, Ziel s-1, Ziel s-2, ..., Ziel 1
3. Überprüfung der Horizontierung und ggf. Nachhorizontieren des Instruments
4. nächster Satz, Lage I wie 1., dann Lage II wie 2. usw.
16

Durch die Reihenfolge 1, 2, 3,... s bzw. s, s-1, s-2,..., 1 soll ein zwischenzeitliches
(gleichmäßiges) Einsinken des Instruments kompensiert werden.
Die Feldbuchführung sowie die Auswertung der Messungen wird nachfolgend
beschrieben.
Feldbuch Winkelmessung
Standpunkt
Zielpunkt
Ablesung
Lage I
AI
Ablesung
Lage II
AII
reduzierte
Ablesung
Lage I
RI
reduzierte
Ablesung
Lage II
RII
Satzmittel
aus
Lage I, II
RI,II
Gesamtmittel
_
R
Feldbuchauswertung: ( s: Anzahl der Strahlen, n: Anzahl der Sätze):
Diff.
zum
Mittel
d
Verbess.
Die Ergebnisse sind geodätisch zu runden, wobei bei den Richtungsmessungen
maximal 4 Nachkommastellen (cc) zu notieren sind (Ablesegenauigkeit).
Satzweise Berechnungen:
1. Reduzierung der einzelnen Richtungen auf 1. Richtung:
RIi = AIi − AI1 ; RIIi = AIIi − AIIi ; i = 1, s
1. Summenprobe: [RI] = [AI] − s AI1; [RII] = [AII] − s AII1;
2. Berechnung der Satzmittel:R I,IIi = 1
2 (R Ii + R IIi); i = 1, s
2. Summenprobe:[AI] + [AII] = 2 [RI,II] + s (AI1 + AII1)
Mittel aus allen Sätzen:
n
Ri = 1 n j=1
RI,IIi ; i = 1, s
3. Summenprobe:n R = [RI,II]
Berechnung der Verbesserungen:
(Herleitung s. Ausgleichung von Horizontalrichtungsmessungen)
k k
Differenz d zum Gesamtmittel: di = Ri − RI,IIi Mittel der Differenzen pro Satz: d k
n
= 1 s j=1
d j k ; k = 1, n
Verbesserungen: v i k = di k − d k
; k = 1, n; i = 1, s
17
v
vv

Berechnung der Standardabweichungen:
Standardabweichung einer Einzelrichtung (Lage I,II gemittelt):
SR =
vv
(n−1) (s−1)
Standardabweichung der aus n-Sätzen gemittelten Richtung:
S R = SR
n =
vv
n (n−1) (s−1)
Die Summenproben dienen zur Verprobung der reduzierten und gemittelten
Beobachtungen und werden nur an Hand der letzten Stelle (mgon bei
Ingenieurtheodolit, cc bei Feinmesstheodolit) vollzogen und kontrolliert!
2.10 Zenitdistanzmessung
Die Zenitdistanz bzw. der Zenitwinkel ist der Winkel zwischen dem Zenit und dem
Zielpunkt (definiert durch die Zielachse des Fernrohrs) in der Vertikalebene zum
Ziel. Der Zenit ist durch die Lotrichtung des Standpunktes definiert.
i
Zenit
Lotrichtung
z
Zenitdistanzmessung
s
sh
Zieltafel
Der Zenitwinkel Z wird zur Berechnung der Horizontalstrecke sh aus der
gemessenen Schrägstrecke s sowie zur Berechnung des Höhenunterschiedes Δh
benötigt:
18
t
Δh

sh = s sin z
h = sh cot z + i − t
h = s cos z + i − t
s: gemessene Schrägstrecke
i: Kippachshöhe des Theodolits
t: Tafelhöhe des Zielpunktes
Für eine horizontale Visur gilt: Lage I: Z =100 Gon; Lage 2: Z = 300 Gon
Entsprechend gilt für ein Ziel im Zenit: Lage I: Z = 0 Gon; Lage II: Z = 200 Gon
Bei längeren Entfernungen ist unbedingt die Strahlkrümmung (wegen Refraktion)
und die Erdkrümmung zu berücksichtigen.
Zenit Zenit
Lotrichtung
R
Erdkrümmung
b
z
Δ
R
Lotrichtung
Wegen der Erdkrümmung sind die beiden Lotrichtungen von zwei Punkten im
Abstand b auf der Erdoberfläche nicht mehr parallel. Die durch den Abstand b
resultierende Winkeldifferenz Δz lässt sich wie folgt abschätzen:
z = b
R -
Beispiele (für R = 6371 km):
b = 100 m G z = 1 mGon
b = 200 m G z = 2 mGon
b = 500 m G z = 5 mGon
19

Die Beispiele zeigen, dass bereits ab 200 m Entfernung für
Genauigkeitsanforderungen von 1 mGon bis 2 mGon die Erdkrümmung nicht mehr
zu vernachlässigen ist.
Die Messung der Zenitwinkel erfolgt mittels des Vertikalkreises, der i.d.R. kleiner als
der Horizontalkreis ist, da die Genauigkeit der Vertikalwinkelmessung gegenüber der
Horizontalwinkelmessung ohnehin geringer ist. Der Grund hierfür ist die Refraktion,
die wegen der vertikalen Schichtung der Erdatmosphäre die Vertikalwinkelmessung
erheblich mehr als die Horizontalwinkelmessung (Seitenrefraktion) beeinflusst.
Im Gegensatz zum Horizontalkreis, der bei Drehung des Theodolits um die
Stehachse fest bleibt, dreht der Vertikalkreis bei Drehung des Fernrohrs um die
Kippachse mit, da der Vertikalkreis fest mit der Kippachse verbunden ist. Die
Ablesevorrichtung des Vertikalkreises ist daher fest mit der Stütze verbunden und
wird durch eine spezielle Libelle, die sog. Höhenindexlibelle, bzw. durch einen
speziellen Kompensator parallel zur Lotrichtung ausgerichtet. Die Höhenindexlibelle
ist viel genauer als die zur Horizontierung der Theodolits benutzten Libellen.
Bei den älteren Theodoliten muss die Höhenindexlibelle (wie bei einem
Libellennivellier) noch bei jeder einzelnen Zenitdistanzmessung manuell eingespielt
werden. Hierzu dient eine Einstellschraube mit einer besonderen Riffelung. Bei
neueren Theodoliten sorgt ein automatischer Kompensator (automatischer
Höhenindex) für die Ausrichtung. Der Fehler des Kompensators bzw. der Fehler der
Libelle wird als Höhenindexfehler (oder einfach Indexfehler) bezeichnet und
20

eeinflusst sämtliche Zenitdistanzmessungen in gleicher Weise, der daher durch
eine Zweilagenmessung eliminiert werden kann.
Auswirkung der Höhenindexfehlers:
a) fehlerfreier Fall:
0
Lage I Lage II
100
300
200
fehlerfreie Ablesungen für ein Ziel im Horizont:
Lage I: Lage II:
ZI = 100 Gon ZII = 300 Gon
Mittel aus Lage I und II:
0
100
300
200
ZI + ZII = 400 Gon G ZI = 400 Gon − ZII
Z I,II = 1
2 (ZI + (400 Gon − ZII))
a) Ablesungen im Falle eines Höhenindexfehlers Iz:
Lage I
0
100
300
200
g
Lage I: ZI = ZI + Iz
Lage II:
Ix
21
0
100
300
g
ZII = ZII + Iz
Lage II
200

Mittel aus Lage I und II:
ZI,II = 1 2 (Z g g
I + (400 Gon − ZII))
= 1 2 (ZI + Iz + (400 Gon − (ZII + Iz)))
= 1 2 (ZI + Iz + (400 Gon − (400 Gon − ZI + Iz)))
= 1 2 (ZI + Iz + ZI − Iz)
= ZI
Der Mittelwert aus einer in Lage I und Lage II gemessenen Zenitdistanz ist frei von
dem Einfluss des Höhenindexfehlers. Der Höhenindexfehler lässt sich ebenfalls
bestimmen:
Lösung:
g g
ZI + ZII − 400 Gon = ZI + Iz + ZII + Iz − 400 Gon
= 2 Iz + ZI + (400 Gon − ZI) − 400 Gon
= 2 Iz
Iz = 1
2 (Z
g g
I + ZII − 400 Gon)
Bei der Zenitdistanz bestimmt man i.d.R. an Stelle des Höhenindexfehlers die
Indexverbesserung vz. Fehler und Verbesserung unterscheiden sich nur durch das
Vorzeichen, so dass hier folgendes gilt:
vZ = −Iz
vz = 1 2 (400
g g
Gon − ZI − ZII )
Die fehlerfreien Messwerte für Lage I und Lage II lassen sich daher auch wie folgt
bestimmen:
g
ZI = ZI + vz
g
ZII = ZII + vz
Auf einem Standpunkt sollte der Höhenindexfehler bei den Zenitdistanzmessungen
zu allen Zielpunkten konstant bleiben. Aus diesem Grunde wird i.d.R. bei der
Ausgleichung der Zenitdistanzmessungen (mehrere Sätze) für jeden Standpunkt
aus allen Messungen eine gemeinsame Höhenindexverbesserung (Mittelwert aus
allen Zweilagenmessungen) berechnet und aus den Abweichungen der Einzelwerte
vom Mittelwert hieraus die Standardabweichung für eine Zenitdistanzmessung
bestimmt.
22

Feldbuch zur Zenitdistanzmessung
Standpunkt
1
i=1,41
1
i=1,41
Zielpunkt
2
t =1,26
nächstes Ziel
3
t =1,84
Ablesung
Lage I
AI
103,546
103,548
103,549
103,545
...
...
...
...
Ablesung
Lage II
AII
296,446
296,444
296,445
296,445
...
...
...
...
I + II
vZ
399,991
0,004
399,992
0,004
399,994
0,003
399,990
0,005
...
...
...
...
2Z =
I - II
+ 400
207,101
207,104
207,101
207,100
...
...
...
...
Satzmittel
aus
Lage I, II
Z
103,550
103,552
103,552
103,550
...
...
...
...
Gesamtmittel
_
Z
103,551
...
...
...
...
Mittel
Index
_
...
...
...
...
4
Verbess.
Jedes Ziel wird zunächst einzeln mit der vorher festgelegten Anzahl von Sätzen
gemessen. Am Ende aller Messungen wird überprüft, ob der Höhenindexfehler für
alle Ziele konstant geblieben ist. Wenn dieses der Fall ist, werden die
Indexverbesserungen aller Ziele für diesen Standpunkt gemeinsam gemittelt. Ist
jedoch erkennbar, dass der Indexfehler für jedes Ziel unterschiedlich ist, müssen die
Indexverbesserungen für jedes Ziel einzeln gemittelt werden.
Berechnungen pro Strahl:
Indexabweichung: vzi = 400 gon − (AI i + AII i )
2 i = 1, n n : Anzahl der S ä tze
Zenitdistanz: zi = AI i − AII i + 400 gon
2
Mittel: z = 1 n
n
i=1 Zi, i = 1, n
Summenprobe: n z = [z] = [AI] + [vz]
Berechnung der Standardabweichungen unter Verwendung der berechneten
Indexabweichung aus allen Sätzen und allen Zielen (Gesamtanzahl: m):
mittlere Indexabweichung: vz = 1 m
m
i=1 Zi
Verbesserungen: vi = v z − vzi
23
vZ
v
...
...
...
...
0
0
1
-1
vv
...
...
...
...
0
0
1
1

Standardabweichung der Indexabweichung und einer aus Lage I und II gemittelten
Zenitdistanz:
svz = sz =
vv
m−1
Standardabweichung einer aus n-Sätzen gemittelten Zenitdistanz
sz = sZ
n
Falls die einzelnen Ziele mit einer unterschiedlichen Anzahl von Sätzen bestimmt
wurden, sind für n die individuellen Werte einzusetzen.
2.11 Repetitionswinkelmessung
Die Repetitionswinkelmessung ist ein spezielles Winkelmessverfahren, das
insbesondere bei Ingenieurtheodoliten (mittlere Genauigkeit) zur
Horizontalwinkelmessung zwischen zwei Zielen eingesetzt werden kann (z.B.
Basislattenmessung, Polygonwinkelmessung). Voraussetzung ist allerdings, dass
diese Theodolite über eine Teilkreisklemme verfügen. Mit diesem Verfahren kann
auf diese Weise gegenüber der reinen Satzwinkelmessung eine deutliche
Genauigkeitssteigerung erzielt werden, wenn die Zieleinstellgenauigkeit σZ des
Instruments höher als die Ablesegenauigkeit σA des Teilkreises ist.
Dieses ist z.B. bei den Ingenieurtheodoliten der Fall:
Zieleinstellgenauigkeit: "Z ¢ 0.3 mGon ... 0.5 mGon
Ablesegenauigkeit des Teilkreises: "A ¢ 1.0 mGon ... 2.0 mGon
Die Genauigkeit einer Richtungsmessung σR hängt also im wesentlichen von der
Ablesegenauigkeit der Teilkreises ab:
"R = " A 2 + "Z 2
Bei der Satzwinkelmessung muss jedes n-mal Ziel eingestellt und n-mal abgelesen
werden. Eine Genauigkeitssteigerung wäre möglich, wenn die Anzahl der
Ablesungen reduziert werden könnte. Genau dieses bezweckt die
Repetitionswinkelmessung, in dem der Winkel mit Hilfe der Teilkreisklemme
mechanisch aufaddiert und anschließend rechnerisch gemittelt wird. Die
Teilkreisklemme ermöglicht das Festklemmen des Unterbaus (Limbus) mit der
Alhidade. Beim Drehen des Theodoliten um die Stehachse dreht dann der
Horizontalkreis mit, d.h. die Ablesestelle am Teilkreis ändert sich nicht.
Durchführung der Repetitionswinkelmessung:
a) Festlegung der Anzahl der Repetitionen n
b) Durchführung der n-Repetitionen nach folgendem Muster:
24

P 1
P 1
340
380
360
320
60
40
0 20
300
80
380
0 20
100
40
60
80
Repetition 1
280
120
260
140
240
160
Repetition 2
360
340
320
100
220
300
180
120
200
200
1. Schritt: Ziel P1 einstellen und
erste Ablesung R1 tätigen:
R1 = 10,000 Gon
2. Schritt: Ziel P2 einstellen und
Teilkreis nur grob ablesen
(auf cGon): R*2=90,0 Gon
3. Schritt: Teilkreis bei Punkt
P2 klemmen und
anschliessend P1 wieder
einstellen.
4. Schritt: Teilkreis bei Punkt
P1 lösen und anschliessend
P2 wieder einstellen.
5. Schritt: Teilkreis bei Punkt
P2 klemmen und
anschliessend P1 wieder
einstellen.
6. Schritt: Teilkreis bei Punkt
P1 lösen und anschliessend
P2 wieder einstellen.
7. Schritt 5 und 6 solange wiederholen, bis dass die gewünschte Anzahl an
Repetitionen erreicht ist. Die Repetition endet immer am Punkt P2, der dann
n-mal eingestellt werden muss. Am Ziel P2 erfolgt dann die zweite endgültige
Ablesung R2.
In dem oben gezeigten Beispiel wurden bisher zwei Repetitionen durchgeführt. Die
nächsten beiden Repetionen sind in der nachfolgenden Grafik aufgeführt.
140
180
220
260
280
25
160
240
P 2
P 2

P 1
100
140
120
80
160
60
180
40
200
220
240
Repetition 3
0 20
260
380
280
300
340
360
320
P 2
P 1
180
220
200
160
240
140
260
120
280
100
300
80
320
Repetition 4
Nach der vierten Repetition erfolgt die endgültige Ablesung R2, hier: R2 = 330,000
Gon. Auf diese Weise wurde der Winkel viermal mechanisch aufaddiert, wobei nur
zweimal der Teilkreis abgelesen wurde (die Grobablesung zählt nicht).
w = 1 n (R2 − R1)
= 1 4
(330, 000 Gon − 10, 000 Gon)
= 80, 0000 Gon
n = 4 Repetitionen
Würden zwei weitere Repetitionen durchgeführt, ergäbe sich folgende Situation:
P 1
Überschreitung
der Nullstelle des
Teilkreises!
260
300
280
240
320
220
340
200
360
180
380
Repetition 5
160
0 20
140
40
60
100
120
80
P 2
P 1
26
340
380
360
320
0 20
300
280
40
60
80
Repetition 6
260
240
340
60
220
40
100
360
120
200
380
140
180
0 20
160
P 2
P 2

Bereits bei der 5. Repetition wird die Nullstelle des Teilkreises überschritten, und
nach der 6. Repetition wird für R2 = 90,000 Gon abgelesen. Die richtige Ablesung
wäre aber 490,000 Gon gewesen. Bei jedem Überschreiten der Nullstelle gehen
also 400 Gon verloren, so dass die Berechnung des Mittelwertes wie folgt lauten
muss:
w = 1 n (R2 − R1 + x 400 Gon)
= 1 6
= 1 6
(90, 000 Gon − 10, 000 Gon + 1 400 Gon)
480, 000 Gon
= 80, 0000 Gon
n = 6 Repetitionen
Der Wert x für die Anzahl der Überschreitungen der Nullstelle (hier x = 1) wird aus
der ersten Grobablesung abgeschätzt. In diesem Beispiel:
w 0 = R 2
− R1
= 90, 0 Gon − 10, 000 Gon = 80 Gon
G 6 w 0 £ 480, 0 Gon
In der Nähe des Näherungswertes w muss der gesuchte Wert liegen. An Hand
dieses Näherungswertes lässt sich leicht der Wert x abschätzen.
Abschätzung des Genauigkeitsgewinns der Repetitionswinkelmessung mit
n-Repetitionen gegenüber einer herkömmlichen Satzwinkelmessung in n- Sätzen:
a) Satzwinkelmessung
Bei der Satzwinkelmessung in n-Sätzen wird jedes Ziel n-mal eingestellt und n-mal
der Teilkreis abgelesen. Aus den Richtungen zu den beiden Zielen werden die
einzelnen Winkel berechnet, dann aufsummiert und anschliessend gemittelt werden.
Berechnungsformeln:
wi = R2i − R1i, i = 1, 2, ..., n
w = 1 n
n
i=1
wi = 1 n
n
i=1
(R2i − R1i )
Standardabweichungen (quadratische Fehlerfortpflanzung):
" R 2 = "A 2 + "Z 2
" w 2 = 2 "R 2 = 2 (" A 2 + "Z 2 )
" w 2 = n
1
n 2 (" w 2 ) = 2 n (" A 2 + "Z 2 )
27

"A = 2 mGon
"Z = 0.3 mGon
n = 4
Beispiel: (einfache Satzwinkelmessung in n-Sätzen)
"w = 2 n ("
2 2
A + "Z )
= 2 4 (4 + 0.09)mGon 2
= 1.43 mGon
b) Repetitionswinkelmessung in n-Repetitionen:
Die beiden Zielpunkte wurden jeweils n-mal eingestellt, aber nur jeweils einmal
abgelesen. Anschließend wurde der mechanisch aufsummierte Winkel gemittelt. Bei
Anwendung der quadratischen Fehlerfortpflanzung ergibt sich daher:
"A = 2 mGon
"Z = 0.3 mGon
n = 4
2 2 2
"
wsum = 2 n " Z + 2 "A
2
"
w =
1
n2 " 2
wsum = 1 n2 (2 2 2 n " Z + 2 "A )
= 2 n 2 (n " Z 2 + "A 2 )
Beispiel: 2
(Repetitionswinkelmessung, 4 Rep.)
" w =
=
n 2 (" A 2 + n "Z 2 )
2
16 (4 + 4 0.09)mGon 2
= 0.74 mGon
Der Genauigkeitsgewinn ist hier also 0.74 mGon gegenüber 1.43 mGon!
Mit dieser Methode werden auch Teilkreisfehler eliminiert, da nur zwei Ablesungen
erforderlich sind.
28

3 Polygonieren
Das Polygonieren dient zum Ziwschenschalten von Aufnahme- und Festpunkten in
ein bestehendes Netz von Punkten (meist übergeordnetes Netz) mittels Richtungsund
Streckenbeobachtungen (Tachymeter), wobei von folgenden Punktabständen
bzw. Seitenlängen auszugehen ist:
y Grundlagenetze: bis 50 km
y Netzverdichtung: 0.4 km ... 2.5 km
y Aufnahmepunkte (AP): 500 m ... 1000 m
Der Begriff leitet sich aus Poly = viel und Gon = Winkel ab und bedeutet
unregelmäßiges Vieleck. In der Geodäsie ist unter diesem Begriff i.d.R. ein
langgestreckter Zug zwischen zwei koordinatenmäßig bekannten Punkten gemeint,
wobei folgende Arten möglich sind:
y einseitig angeschlossener Polygonzug (toter Zug)
y beidseitig angeschlossener Polygonzug
y Einrechnungszug
y Ringpolygon
Wegen der fehlenden Kontrolle sollte ein einseitige angeschlossener Polygonzug
nur in Ausnahmefällen angewendet werden (z.B. beim Tunnelvortrieb). Für die
anderen Polygonzüge lassen sich Widersprüche berechnen, die zur Kontrolle und
zur Beurteilung der Genauigkeit der neu polygonierten Punkte dienen. Zur
Verdichtung eines bestehendes Netzes sind folgende wichtige Regeln im VP-Erlss
(NRW) vorgeschrieben:
y beidseitig angeschlossener Polygonzug
y Zwangszentrierung
y zweifache Streckenmessung mit einzuhaltender Fehlergrenze
y Fehlergrenzen für den Winkelabschlussfehler und den Längs- und Querfehler
x
A
Polygonzug mit n-Brechpunkten und 2 Anschlussrichtungen
t A1 t nB
Fernziel
β1
P1
S1
β2
P2
S2
β3
P3
.....
S3
β
n-1
Pn-1
Sn-1
Beidseitig angeschlossener Polygonzug mit An- und Abschlussrichtungen
29
βn
Pn
B
Fernziel
y

3.1 Beidseitig angeschlossener Polygonzug
Beim beidseitig angeschlossenen Polygonzug sind die Koordinaten des ersten und
des letzten Standpunktes (P1, Pn) bekannt. Außerdem müssen die Koordinaten von
zwei An- und Abschlusspunkten, i.d.R. Fernziele (A, B), gegeben sein.
gegeben: Koordinaten von A, P1, P2, ... Pn, B
gemessen: Brechungswinkel β1, β2, ... βn
Strecken s1, s2, ... sn-1
Anzahl der Messwerte: m = (n + n − 1) = (2 n − 1)
gesucht: Koordinaten der neuen Zwischenpunkte P2, P3, Pn-1
Anzahl der Unbekannten: u = 2 (n − 2)
Anzahl der Freiheitsgrade: f = m − u = [2 n − 1] − [2 (n − 2)] = 3
Î 1 Winkelwiderspruch, 2 Koordinatenwidersprüche berechenbar!
Berechnungen:
a) Richtungswinkel, Koordinatendifferenzen und Winkelabschlussfehler
ti+1 = ti + i 200 Gon (+ w
n ) 1)
1): nur für den Fall zwangsfreier Anschlussrichtungen
xi = s i cos ti
yi = s i sin ti
mit
x i = x i+1 − x i
y i = y i+1 − y i
, i = 1, 2, ... n-1
Die Richtungswinkel für die An- und Abschlussrichtungen berechnen sich wie folgt:
tA1 = arctan y1 − yA
x1 − xA
tnB = arctan yB − yn
xB − xn
Der Winkelabschlussfehler (hier: Soll - Ist) berechnet sich nach:
w¡
w¡ = (tnB − t1A) − i n 200 Gon, i = 1, 2, .... , n
Der Winkelabschlussfehler wird bei nicht zwangsfreien Anschlussrichtungen
w¡
nicht verteilt, sondern nur überprüft und mit einer zulässigen Fehlergrenze FW
verglichen. Für Polygonzüge bis zu 2 km Länge (VP-Erlass NRW) ist folgende
Fehlergrenze FW für den Winkelabschlussfehler einzuhalten:
30

mit
FW[cGon] = 1, 0 + 150
[s[m]] (n − 1) n
n: Anzahl der Brechungspunkte einschließlich des Anfangs- und Endpunktes
Die Streckenmessung hat doppelt zu erfolgen, wobei folgende maximale Differenz
Ds zwischen den beiden Streckenmessungen erlaubt ist:
Ds[m] = 0, 02 + 0, 006 s[m]
b) endgültige Koordinatenberechnung und Verteilung der Koordinatenwidersprüche
Koordinatenwidersprüche wx, wy (auch hier im Sinne von Verbesserungen, Sollwert
- Istwert):
wx = (xn+1 − x1) − xi
wy = (yn+1 − y1) − yi
Verteilung der Koordinatenwidersprüche proportional zur Strecke si:
xi+1 = xi + xi + wx
[s]
yi+1 = yi + yi + wy
[s]
si = xi + si cos ti + wx
[s]
si = yi + si sin ti + wy
[s]
Probe über Sollwerte des letzten Punktes x n
y n
!
= x n ( S o l l )
!
= y n ( S o l l )
, i = 1, 2, ... n-1
c) Berechnung und Überprüfung von Quer- und Längsfehler (Q, L):
x
A
P1
t 1n
P2
Sollposition von Pn
Istposition von Pn
P3
.....
Zugrichtung ->
31
wx
Pn-1
Pn
wy
L
Q
B
y

Richtung des Polygonzuges: t1n = arctan yn−y1
xn−x1
Strecke zwischen P1 und Pn:S1n = (yn − y1 ) 2 + (xn − x1 ) 2
Transformation der Koordinatenwidersprüche wx, wy in die Zugrichtung
(Längskomponente L) und quer zur Zugrichtung (Querkomponente Q):
oder
L
Q =
cos t1n sin t1n
− sin t1n cos t1n
L = wx cos t1n + wy sin t1n
Q = −wx sin t1n + wy cos t1n
Für L und Q sind folgende Fehlergrenzen (FL, FQ) einzuhalten:
wx
wy
FL[m] = 0, 06 + 0, 00015 S1n[m] + 0, 004 S1n[m]
FQ[m] = 0, 06 + 0, 00007 S1n[m] + 0, 007 n n
Für TP-Züge gilt laut TP-Erlass für die vorläufige Vorauswertung folgende
Fehlergrenze:
FL = 0.05 m
FQ = 0.05 m
3.2 Einrechnungszug
In den o.a. Berechnungen zum beidseitig angeschlossenen Polyonzug wurden die
Unsicherheiten der An- und Abschlussrichtungen nicht berücksichtigt. Die beiden
Richtungen - in der Regel Fernziele - sind aus Koordinaten des Stand- und des
Zielpunktes zu berechnen. Insbesondere in Netzen mit Netzspannungen können
diese Richtungen den Winkelabschlussfehler ungünstig beeinflussen, so dass i.d.R.
auf eine Verteilung des Winkelabschlussfehlers verzichtet wird (vgl. VP-Erlass).
Beim Einrechnungszug, der einen langgestrecken Polygonzug voraussetzt, werden
diese Nachteile umgangen, in dem auf dem ersten und dem letzten Punkt keine
Anschlussrichtungen gemessen werden.
gemessen: (n-1)- Strecken
(n-2)- Winkel
unbekannt: 2(n-2)- Koordinaten (x, y)
Freiheitsgrade: (n-1) + (n-2) - 2(n-2) = 2n -3 - 2n + 4 = 1
Der eine zur Verfügung stehende Freiheitsgrad wird hier in Form eines
Maßstabsfaktors verwendet.
32

P 1
X
t 1n
α
s 1
Y'
β 2
P 2
s 2
β 3
P 3
s 3
β 4
P 4
t'1n s 4
β 5
P 5
s 5
X'
Polygonzug als Einrechnungszug
β n-1
s n-1
Pn-1
Der Einrechnungszug wird zunächst als normaler Polygonzug von P1 aus
durchgerechnet, wobei die Richtung der ersten Polygonseite willkürlich mit α = 0
Gon festgelegt wird. Wegen der undefinierten ersten Richtung erfolgt daher die
Polygonzugberechnung in einem verdrehten Koordinatensystem X’, Y’. Nach der
vorläufigen Durchrechnung des Polygonzuges erhält man die (vorläufigen)
Koordinaten des letzten Punktes: xn, yn. Sowohl vom Anfangspunkt als auch vom
letzten Punkt liegen nun die Koordinaten in zwei Systemen (System 1: X, Y; System
2: X’, Y’) vor, aus denen sich die Richtungswinkel und Strecken vom Punkt P1 nach
Pn berechnen wie folgt berechnen lassen:
t1n = arctan yn − y1
xn − x1
s1n = (xn − x1) 2 + (yn − y1) 2
¡
t1n ¢
s1n = arctan y ¢
n
¢
= (xn ¢
xn ¢
− y1 ¢
− x1 ¢
− x1 ) 2 ¢
+ (yn ¢
− y1 ) 2
Der eine noch zur Verfügung stehende Freiheitsgrad wird hier als Maßstabsfaktor
verwertet. Dieser berechnet sich wie folgt:
m = S1n
£
S1n Die endgültige Berechnung der Koordinaten sieht eine Verdrehung des Systems 2
ins System1 und eine Maßstabskorrektur vor, wobei sich der Drehwinkel α wie folgt
berechnet:
¢
= t12 − t12 Dieser Winkel wird nun zur Berechnung ersten Brechungswinkel β1 benutzt. Unter
Berücksichtigung des Maßstabsfaktors und des neuen Brechungswinkels werden
dann wie folgt die endgültigen Koordinaten berechnet:
33
P n
Y

1 = 200 Gon
t1 = 0 Gon
Für i = 1 bis n-1:
ti+1 = ti + i 200 Gon
xi = m si cos ti
yi = m si sin ti
xi+1 = xi + xi = xi + m si cos ti
yi+1 = yi + yi = yi + m si sin ti
Wichtig: Abschlusskontrolle:
x n
y n
!
= x n ( S o l l )
!
= y n ( S o l l )
3.3 Ringpolygon
x i = x i+1 − x i
mit , i = 1, 2, ... n-1
y i = y i+1 − y i
, i = 1, 2, ... n-1
Ein Ringpolygon eignet sich insbesondere zur Absteckung eines örtlich begrenzten
Objektes, z.B. Gebäude, Industrieanlage, etc., wenn die vorhandenen Punkte
und/oder die Genauigkeit des vorhandenen amtlichen Koordinatensystems nicht
ausreichen. Sämtliche Berechnungen und Absteckungen erfolgen in dem durch das
Ringpolygon örtlich definierte Koordinatensystem. Der Bezug zu einem amtlichen
Koordinatensystem kann später mittels einer Helmerttransformation über sog.
identische Punkte herbeigeführt werden.
Im Gegensatz zu einem einseitig angeschlossenen Polygonzug ist hier eine
Kontrolle vorhanden, da der Polygonzug wieder am ersten Punkt endet. Über die
Koordinaten des ersten Punktes und die Richtung der ersten Polygonseite kann hier
willkürlich verfügt werden, z.B.
x1 = 1000 m
y1 = 2000 m
t12 = 0 Gon G y2 = y1
Zweckmäßigerweise sollte man die Koordinaten des Anfangspunktes aber so
festlegen, dass keine negativen Koordinaten vorkommen und dass sich die x- und y-
34

Koordinaten deutlich in ihren Werten unterscheiden. Bei einem Ringpolygon mit
n-Punkten ergibt sich folgende Situation:
gemessen: n - Strecken
n- Winkel
unbekannt: 2n - 3 - Koordinaten (x, y)
Freiheitsgrade: n + n - 2n + 3 = 2n - 2n + 3 = 3
Wie beim beidseitig angeschlossenen Polygonzug sind hier ein
Winkelabschlussfehler sowie zwei Koordinatenabschlussfehler berechenbar und
verteilbar.
P
2
(X,0)
S 1
P 1
Berechnungen:
X
β 2
β 1
S 2
(2000 m,1000 m)
S n
β 3
Messwerte: n- Brechungswinkel (b1, b2, ... bn) und
n- Strecken (S1, S2, ... Sn)
Anfangsrichtung (Standpunkt P1 zu Zielpunkt P2): t1 = 0 gon
P 3
β n
weitere Richtungen (Standpunkt Pi zu Zielpunkt Pi+1 ):
ti+1 = ti + i+1 + w
n
S 3
P n
Ringpolygon
200 gon, i = 1, 2, 3, 4, ..., n mit tn+1 = t1 ! = 0 gon
und n+1 = 1
35
Y

mit dem Winkelabschlussfehler: w = (tn+1 − t1) − ( + n 200 gon
Koordinatenberechnungen:
Xi = Si cos ti
Yi = Si sin ti
mit
Koordinatenwidersprüche:
Soll = 0 gon Ist (-x 400 gon)
Xi = Xi+1 − Xi
Yi = Yi+1 − Yi
X ! = Xn+1 − X1 = 0 − 0 = 0
Y ! = Yn+1 − Y1 = 0 − 0 = 0 H
, i = 1, 2, 3, ..., n mit Xn+1 = X1 ! = 0
Yn+1 = Y1 ! = 0
wx = 0 − X
wy = 0 − Y
Endgültige Koordinaten und Kontrolle (wichtig!):
Xi+1 = Xi + Si cos ti + wx
[S] Si
Yi+1 = Yi + Si sin ti + wy
[S] Si
(Verbesserung = Soll - Ist)
, i = 1, 2, 3, ...n Kontrolle : Xn+1 = X1 = 0 !
Yn+1 = Y1 = 0 !
36