Script Ingenieurvermessung WPB, Teil A1 (S.1-61

Fachhochschule Bochum
Fachbereich Vermessung und Geoinformatik
Ausgewählte Methoden
der Ingenieurvermessung
5. Semester
Ingenieurvermessung II (WPB) - Teil 1
Prof. Dr.-Ing. M. Bäumker
Version 21.10.2010

1 Einleitung
Die täglichen Vermessungsarbeiten eines Vermessungsingenieurs erstrecken sich
i.d.R. auf die koordinatenmäßige Bestimmung von Objektpunkten (Lage und Höhe)
mittels eines Tachymeters oder Nivelliers. Für diese Arbeiten existieren vielfach
Vorschriften zur
� Durchführung der Messungen
� Kontrolle der Messungen
� Einhaltung von Fehlergrenzen
In der Ingenieurvermessung wird der Vermessungsingenieur allerdings mit
Vermessungsaufgaben konfrontiert, die sich einerseits mit den herkömmlichen
Messverfahren nicht durchführen lassen und andererseits spezielle Messverfahren
und Messsensoren erfordern. Darüber hinaus sind auch die
Genauigkeitsanforderungen, die oft in Form von Toleranzen angegeben sind,
deutlich höher. Zur Einhaltung dieser Genauigkeitsanforderungen sind daher oftmals
spezielle Messverfahren und Messsensoren sowie die Berücksichtigung von bisher
nicht näher betrachteten oder außer acht gelassenen Fehlereinflüssen erforderlich.
Die hier speziell behandelten Themen sind:
� präzise Höhenbestimmung (auch über längere Entfernungen)
� Azimutbestimmung mittels Kreiselmessungen
� Industriemesssysteme zur 3D-Koordinatenbestimmung
� Anlage von Sondernetzen für Absteckungs- und Überwachungsaufgaben.
2 Präzise Höhenbestimmung
Die präzise Höhenbestimmung gehört zu den Standardaufgaben der
Ingenieurvermessung. Obwohl für großräumige Ingenieurprojekte für die
Höhenbestimmung auch das Satellitenmessverfahren (GPS, GLONASS) eingesetzt
werden kann, wird die höchste Genauigkeit noch immer mit dem geometrischen
Nivellement erreicht (bis zu 0.2 mm/km). Durch die Entwicklung der Digitalnivelliere
(z.B. Leica NA 2000, Zeiss DiNi 10T, LEICA DNA 03)
wurde das geometrische Nivellement zwar
weitestgehend automatisiert und einfacher, die
Problematiken in Bezug auf die Fehlereinflüsse und
deren Elimination sind aber geblieben. Aber auch der
Einsatz von Libellennivellieren in Bereichen mit einem
schwingenden oder vibrierenden Untergrund oder in
einer Umgebung mit starken Magnetfeldern oder bei
Sichtbehinderungen hat heute noch seine
Daseinsberechtigung. Von den verschiedenen Möglichkeiten zur präzisen
Höhenbestimmung sollen hier folgende Verfahren näher beleuchtet werden:
� Geometrisches Nivellement (Feinnivellement)
� Trigonometrisches Nivellement
� Strom- oder Talübergangsmessung
1
2.1 Geometrisches Feinnivellement
Das geometrische Feinnivellement wird mit Nivellieren sehr hoher bzw. höchster
Genauigkeit und Präzisionsnivellierlatten (Teilung beachten!) durchgeführt, wobei
Genauigkeiten von bis zu 0.2 mm/km erzielbar sind. Diese sehr hohe Genauigkeit ist
nur erreichbar, wenn besondere Vorkehrungen zur Ausschaltung von
systematischen und zufälligen Fehlern getroffen werden. Dieses sind neben der
obligatorischen Hin- und Rückmessung:
� gleiche Zielweiten (i.d.R. 30 m ± 0.5 m) � Einstellen der
Entfernungstoleranz bei Digitalnivellieren
� nivellitische Refraktion � Zielstrahl > 0.5 m über Boden; bei Bergstrecken:
Durchführung der Messungen zu Zeiten mit einem geringen
Temperaturgradienten (kleiner Quotient dn/dh)
� Fehler der Nivellierlatten � Kalibration der Nivellierlatten in Bezug auf
Maßstabs-, Teilungs- und Nullpunktfehler
� Schiefstellung der Latte � Kalibration der Dosenlibelle
� Kompensator- oder Libellenfehler � Überprüfung und Kalibration des
Instruments vor Messungsbeginn (z.B. nach Kukkamäki)
� Kompensationsrestfehler bei automatischen Nivellieren � Verfahren rote
Hose
� Einsinken des Instrumentes � Beobachtungsreihenfolge RI, VI, VII, RII
� Temperatureinflüsse auf das Instrument � Akklimatisation des Instruments,
Benutzung eines Feldschirms
Die Berechnung der Standardabweichung für einen Kilometer Doppelnivellement
wird dabei gemäß
✤✁h1km = 1
2 $
1
n
dd
l[km]
(Herleitung s. z.B. Skript Fehlerlehre und Statistik S. 29, 35-37)
mit
d = ✁hhin − ✁hrück
n: Anzahl der Teilstrecken
l: Länge der Teilstrecken in [km]
berechnet, wobei die Berechnung mit mindestens zwei Teilstrecken (n > 1) erfolgen
sollte (z.B. durch Festlegung und Vermarkung von einen oder mehreren
Zwischenpunkten).
Beispiel für n=3:
d1 = 0.8 mm
l1 = 0.9 km
dd
l
= 0.64 mm2
0.9
ù ✤✁h1km = 1
2 $
1
n
dd
l[km]
d2 = 1.2 mm
l2 = 2.8 km
dd
l
= 1.44 mm2
2.8
= 1
2
d3 = 1.5 mm
l3 = 3.5 km
dd
l
1
3 $ 1.868 mm2
km
(Standardabweichung für 1 km Doppelnivellement)
2
= 2.25 mm2
3.5
= 0.395 mm

2.1.1 Korrektionen aufgrund des Erdschwerefeldes
Beim Nivellement wird der Abstand zwischen zwei Äquipotentialflächen bestimmt.
Als Bezugsfläche dient eine bestimmte Äquipotentialfläche, das sog. Geoid, das in
erster Näherung mit der Meeresoberfläche übereinstimmt. Der Abstand der
Äquipotentialflächen ergibt sich aber nur näherungsweise aus den beim Nivellement
gemessenen Höhenunterschieden, da die Äquipotentialflächen gekrümmte und nicht
exakt parallel zueinander verlaufende Flächen sind. Für die Nivellements höherer
Ordnung sind daher zusätzliche Korrekturen aufgrund des Erdschwerefeldes
anzubringen. Hierzu sind längs der Nivellementslinien Schweremessungen
erforderlich. Die Korrekturen resultieren indirekt aus der Berechnung von
Potentialwerten (geopotentielle Kote), die wie folgt aus den Lattenablesungen dhi
und den Schweremessungen gi zu berechnen sind:
✁W = WP − W0 = n
✟ gi $ dhi = C
U: Potentialwert des Niveauellipsoids (Modell)
i=1
W: wirklicher Potentialwert ellpsoidische Höhe: h = H + N
P
Äquipotentialfläche W=W P
Meeresoberfläche
Ellipsoid mit U = U0 = W0 N
Die Potentialwerte WP für
die einzelnen
Nivellementspunkte
werden anschließend über
einen mittleren
Schwerewert in einen
Höhenwert umgerechnet.
Je nachdem, ob der
mittlere Schwerewert aus
einem Modell
(Normalschwere γ) oder
aus einer Interpolation der
wirklichen
Erdschwerebeschleunigung g resultiert, spricht man von Normalhöhen oder
orthometrischen Höhen.
P
1
Normalhöhe: H mit
N = C
✏
orthometrische Höhe: H = mit
C
g
Δh 1
Nivellement
Δh
2
g g
1 2
H
P 0
Δh
3
g
3
3
Erdoberfläche
Geoid mit W = W0
✏ = 1
g = 1
H $ H
0
H $ H
✏ $ dH
g $ dH
0
Δhn
g
n
P
2
ΔH*
Die Bezugsfläche für die orthometrischen Höhen, die bei exakter Kenntnis des
Schwerefeldes eine exakte Potentialfläche repräsentieren, ist das Geoid. Den
Normalhöhen liegt nicht das Geoid sondern das sog. Quasigeoid zugrunde, das im
cm-Bereich mit dem Geoid übereinstimmt. Das Quasigeoid ist im Gegensatz zum
Geoid aber keine echte Äquipotentialfläche
Den Berechnungen der Normalhöhen liegt das System DHHN (Deutsches
Haupthöhennetz 1992) sowie die Parameter des GRS 80 und die
Nivellementspunktkoordinaten im System ETRS 89 zugrunde. Daneben existieren in
den alten Bundesländern noch die sog. normalorthometrischen Höhen (oder
sphäroidischen Höhen), die sich allerdings auf keine exakte Äquipotentialfläche
beziehen, da bei der Berechnung der Potentialwerte an Stelle der gemessenen
Schwerewerte gi die berechenbare Modellschwere γi benutzt wurde.
Für die 1. Ordnungspunkte werden neben den Höhenwerten auch die Potentialwerte
(geopotentielle Kote) geführt. Da die aus den Lattenablesungen ermittelten
Höhenunterschiede in erster Näherung den Abstand der beiden Äquipotentialflächen
repräsentieren, werden in der Praxis für die aus den einzelnen Lattenablesungen Δhi
ermittelten Höhenunterschiede Korrekturwerte berechnet. Diese Korrekturwerte sind
wie folgt aus den längs der Nivellementslinien zu messenden Schwerewerten g zu
berechnen:
a) Korrektion für orthometrische Höhen:
E orth = ✟( g−✏ 0 45
✏45 $ ✁hi) +
0 g1−✏ 0 45
✏45 0
b) Korrektion für Normalhöhen:
E N = ✟( g−✏ 0 45
✏45 $ ✁hi) +
0 ✏1−✏ 0 45
✏45 0
$ H1 − g 2 −✏ 0 45
✏ 0 45
$ H1 − ✏ 2 −✏ 0 45
✏ 0 45
$ H2
$ H2
mit der Normalschwere für die mittlere Breite 45°: ✏ 0 45 = 9.80618 m
s 2
Beispiele:
a) kleiner Höhenunterschied ✁h = 10 m:
g1 = 9.81262 m s 2
g 1 = 9.812662 m s 2
H1 = 100 m
g2 = 9.81260 m s 2
g 2 = 9.812647 m s 2
H2 = 110 m
E orth = 6.56 $ 10 −3 m + 66.10 $ 10 −3 m − 72.54 $ 10 −3 m = 0.12 $ 10 −3 m = 0.12 mm
4

) großer Höhenunterschied ✁h = 100 m:
g1 = 9.81262 m s 2
g 1 = 9.812662 m s 2
H1 = 100 m
g2 = 9.81220 m s 2
g 2 = 9.812285 m s 2
H2 = 200 m
E orth = 0.0634 m + 0.006610 m − 0.1245 m = 0.0050 m = 5 mm
Diese Größenordnung ist nicht mehr zu vernachlässigen und bei Ingenieurprojekten
in gebirgigen Regionen unbedingt zu berücksichtigen (z.B. beim Bau des
Alpentransittunnels).
2.1.2 Nivellitische Refraktion
Eine Fehlerquelle, die insbesondere bei geneigtem Gelände und bei nicht gleichen
Bodenabständen zwischen Nivellierlatte und Instrument auftritt, stellt die nivellitische
Refraktion dar. Ursache hierfür ist der vertikale Temperaturgradient, der
insbesondere bei den Luftschichten in Bodennähe bis zu -0.2°/m erreichen kann.
Infolge einer unterschiedlichen Sonneneinstrahlung und einer unterschiedlichen
Beschaffenheit der Erdoberfläche (Bewuchs) kann sich der Temperaturgradient
örtlich stark ändern. Nimmt man nun einen parallelen Verlauf der Luftschichten zum
Erdboden an, so wirkt sich die nivellitische Refraktion wie in der nebenstehenden
Abbildung aus.
Δhu
Verlauf des Zielstrahls
Nivellitische Refraktion
Verlauf des Zielstrahls
Beispiel für die Größenordnung der nivellitischen Refraktion:
Annahme: oberer Temperaturgradient: -0.2°/m
unterer Temperaturgradient: -0.1°/m
Zielweite: 50 m
5
Δho
Auswirkung der nivellitischen Refraktion:
Aufwärtszielung: ✁ho = + 0.23 mm
Abwärtszielung: ✁hu = + 0.11 mm
Differenz (R-V): 0.12 mm
Insbesondere bei länger an- oder absteigenden Nivellementswegen wirkt sich die
nivellitische Refraktion systematisch aus. Möglichkeiten zur Reduzierung dieses
Fehlereinflusses sind:
� Verlauf der Zielstrahlen mindestens 0.5 m über dem Boden
� kürzere Zielweiten
� Durchführung des Nivellements zu Zeiten mit einem geringen
Temperaturgradienten (morgens)
� zusätzliche rechnerische Korrektion der nivellitischen Refraktion (aufwendig)
Die zusätzliche rechnerische Korrektion erfordert die Bestimmung des vertikalen
Temperaturgradienten für den Vor- und den Rückblick.
2.1.3 Auswirkung einer Neigung des Zielstrahls
Bei einem justierten und sorgfältig horizontierten Nivellier muss der Zielstrahl exakt
horizontal verlaufen. Eine Neigung des Zielstrahls kann folgende Ursachen haben:
� dejustiertes Fadenkreuz (Zielachse)
� dejustierte Dosenlibelle
� dejustierte Libelle bzw. Restfehler des Kompensators
� Einspielfehler des Kompensators (Horizontschräge)
� Einfluss von Temperaturänderungen auf die Libelle bzw. auf den
Kompensator
� Einfluss des Erdmagnetfeldes auf den Kompensator
Ein Großteil dieser Fehler lässt sich durch gleiche Zielweiten bzw. durch das
Verfahren rote Hose eliminieren. Für die einzuhaltenden Zielweiten im Hin- und
Rückblick und die Neigung des Zielstrahls gilt folgender Zusammenhang mit dem
Fehler der gemessenen Höhendifferenz:
✑hV = sV $ ✒V
✑hR = sR $ ✒R
✑✁hR−V = sR $ ✒R − sV $ ✒V
Für den Fall, dass die beiden Neigungen für den Hin- und Rückblick gleich sind, gilt:
✑✁hR−V = (sR − sV) $ ✒ = ✁sR−V $ ✒
d ✁sR−V = ✑✁hR−V
✒
6

s = 30 m
✒ = 2” = 9.70 $ 10
Beispiel:
−6 rad
!
[ 0.01 mm
✑✁hR−V
d ✁sR−V
!
[
0.01 mm
9.70 $ 10−6 = 1.0 m
rad
2.1.4 Zusätzliche Fehlerquellen bei Digitalnivellieren
Beim Eisatz von Digitalnivellieren können folgende zusätzliche Fehlerquellen bei der
digitalen Ablesung der Latte auftreten:
� Abhängigkeit der digitalen Ablesung von der Beleuchtung der Latte
� Abhängigkeit von der Größe des Gesichtsfeldes (Entfernung)
� Abhängigkeit der digitalen Ablesung von dem Codeabschnitt der Latte
� Abhängigkeit der digitalen Ablesung von der Fokussierung
Aufgrund dieser Fehlerquellen ist neben der Einhaltung von gleichen Zielweiten
außerdem eine möglichst gleichmäßige und konstante Beleuchtung der Latte durch
das Sonnenlicht und eine exakte Fokussierung zu gewährleisten.
2.2 Strom- und Talübergangsivellement
Zur Ausschaltung
der wichtigsten
Fehlerquellen des
Nivellements ist die
Einhaltung von
gleichen Zielweiten
eine
Grundvoraussetzun
g. In einigen
Anwendungsfällen
kann es jedoch
vorkommen, dass
diese Forderung
nicht einzuhalten ist,
z.B. beim Übergang
über Gewässer und
Täler, wobei Zielweiten von 1 km und mehr vorkommen können. Über diese
Entfernung ist außerdem eine Ablesung der Latte nicht mehr möglich.
Für diese Fälle sind spezielle Messverfahren zur Höhenübertragung anzuwenden.
Eines dieser Messverfahren stellt das Strom- und Talübergangsnivellement dar, für
die eine spezielle Messausrüstung erforderlich ist. Zur Ausschaltung der
Refraktionseinflüsse erfolgt eine gleichzeitige Beobachtung von beiden Seiten. Da
7
über diese große Entfernung keine Lattenablesung mehr möglich ist, werden
spezielle Zieltafeln eingesetzt. Die Instrumenten und Zieltafelstandpunkte sollten
möglichst dicht am Ufer liegen, da die Refraktion über Wasser und Land deutlich
anders ist. Zwecks Elimination der Instrumentenfehler erfolgt außerdem ein
Austausch der Instrumente. Bevor auf die Messmethoden eingegangen wird, soll
noch einmal die Auswirkung ungleicher Zielweiten diskutiert werden.
2.2.1 Auswirkung ungleicher Zielweiten
Wie bei jedem Nivellement wirken auch beim Tal- oder Stromübergang folgende
Einflüsse, wobei hier zwei gleichzeitig messende Instrumente vorausgesetzt werden:
� Neigungsfehler der Instrumente: ✒I
� Einfluss der Refraktion: ✒R
� Einfluss der Erdkrümmung: ✒E
✒II
Die Auswirkung dieser Fehler hängt dabei wesentlich von der Zielweite ab. Für die
an beiden Ufern aufgestellten Instrumente ergeben sich folgende Messungen für
den Vor- bzw. Rückblick:
mit
Instrument I Instrument II
∏ VI VI VI
VI = VI + ✒I + ✒R + ✒E
∏ RI RI RI
RI = RI + ✒I + ✒R + ✒E
∏ VII VII VII
VII = VII + ✒II + ✒R + ✒E
∏ RII RII RII
RII = RII + ✒II + ✒R + ✒E
: fehlerfreie Vor- bzw. Rückblicke
VI, RI, VII, RII
R' II
R'I
V' II
Instrument I Instrument II
8
V'
I

Aus den Messungen ergeben sich nun folgende Höhenunterschiede:
∏ ∏ ∏ RI RI RI VI VI VI ✁hI = RI − VI = RI + ✒I + ✒R + ✒E − (VI + ✒I + ✒R + ✒E )
RI RI RI VI VI VI = RI − VI + ✒I + ✒R + ✒E − (✒I + ✒R + ✒E )
RI RI RI VI VI VI = ✁h + ✒I + ✒R + ✒E − (✒I + ✒R + ✒E )
∏ ∏ ∏ RII RII RII VII VII VII ✁hII = RII − VII = RII + ✒II + ✒R + ✒E − (VII + ✒II + ✒R + ✒E )
RII RII RII VII VII VII = RII − VII + ✒II + ✒R + ✒E − (✒II + ✒R + ✒E )
RII RII RII VII VII VII = ✁h + ✒II + ✒R + ✒E − (✒II + ✒R + ✒E )
Mittelt man nun die beiden Höhenunterschiede, so erhält man:
✁h∏ = ✁hI ∏ ∏ + ✁hII 2
= ✁h + ✒ RI RI RI VI VI VI RII RII RII VII VII VII
I + ✒R + ✒E − (✒I + ✒R + ✒E ) + ✁h + ✒II + ✒R + ✒E − (✒II + ✒R + ✒E )
2
= ✁h + ✒ RI RI RI VI VI VI RII RII RII VII VII VII
I + ✒R + ✒E − (✒I + ✒R + ✒E ) + ✒II + ✒R + ✒E − (✒II + ✒R + ✒E )
2
Unter der Annahme, dass die beiden langen Zielweiten und die beiden kurzen
Zielweiten gleich sind und dass die Refraktionseinflüsse auf beiden Seiten identisch
sind, gilt:
VI RII ✒R = ✒R
RI VII ✒R = ✒R
VI RII ✒E = ✒E
RI VII ✒E = ✒E
d ✁h∏ = ✁h + ✒ RI−✒I VI+✒II RII−✒II VII I
2
D.h. bis auf die instrumentell bedingten Neigungsfehler heben sich alle
Fehlereinflüsse auf. Tauscht man nun die Instrumente auf beiden Seiten aus, so
ergibt sich entsprechend folgender Höhenunterschied:
✁h ∏∏
= ✁h + ✒II R∏∏ II
V∏∏ −✒ II
R∏∏ II +✒ I
V∏∏ I −✒ I
I
2
Solange die instrumentell bedingten Neigungsfehler (Fehler des Kompensators) sich
nicht ändern, gilt aber:
VI R∏∏ I ✒I = ✒I
Instrument I: Instrument II:
V I ∏∏
RI ✒I = ✒I
9
VII R∏∏ II ✒II = ✒II
RII V∏∏ II ✒II = ✒II
Die Mittelung der beiden Höhenunterschieden führt dann zu:
✁h = ✁h∏ + ✁h ∏∏
2
= ✁h
= ✁h + ✒ RI VI RII VII
I − ✒I + ✒II − ✒II
+
4
✒ R∏∏ II
II
V∏∏ II − ✒II R∏∏ I + ✒I 4
V∏∏ I − ✒I D.h. der so berechnete Höhenunterschied ist fehlerfrei. Das Hauptproblem sind hier
aber die Instrumentenfehler (Fehler des Kompensators), da diese sich nach dem
Abbau, dem Transport auf die andere Seite und dem dortigen Aufbau nicht
verändern dürfen.
2.2.2 Verfahren mit verschiebbarer Zieltafel
Bei diesem Verfahren, das - wie zuvor erörtert - ein Wechsel der Instrumente
vorsieht, werden zwei analoge Nivelliere oder Libellennivelliere hoher Genauigkeit
eingesetzt (nicht mit Digitalnivellieren möglich!). Zwecks Ablesung der Messlatte am
gegenüberliegenden Ufer wird dort eine verschiebbare Zielmarke montiert. Die
Messanordung zeigt die nebenstehende Abbildung. Dabei ist darauf zu achten, dass
die vier Standpunkte von Latte und Instrument möglichst ein Parallelogramm bilden
sollten.
I 1
R1
Δh 1
Messung 1
R2
V
1
Beobachtungsreihenfolge:
Δh 2
V
2
I2 I 2
1. gleichzeitig R1 und V2
2. gleichzeitig V1 und R2
3. Wechsel der Beobachtungsstandpunkte
4. gleichzeitig R3 und V4
5. gleichzeitig V3 und R4
10
R
3
Δh 3
Messung 2
R
4
V
3
Δh 4
V
4
I 1

Die Ablesungen an den verstellbaren Zieltafeln sind in mehreren Sätzen
(mindestens 5) durchzuführen und zu mitteln. Der Höhenunterschied ΔH zwischen
den beiden Lattenstandpunkten berechnet sich dann wie folgt:
✁h1 = R1 − V1
✁h2 = R2 − V2
✁h3 = R3 − V3
✁h4 = R4 − V4
✁H = ✁h1 + ✁h2 + ✁h3 + ✁h4
4
2.2.3 Verfahren mit der Talübergangsausrüstung von Zeiss
Die Genauigkeit des zuvor gezeigten Verfahrens hängt wesentlich davon ab, ob sich
die Instrumentenfehler nach dem Transport auf die andere Tal- oder Uferseite
verändert haben. Von Vorteil wäre daher eine vorherige Kalibration der
Instrumentenfehler, so dass ein Austausch nicht notwendig ist. Die Kalibration
erfolgt hier durch eine spezielle Ausrüstung.
Bei diesem Verfahren wird ein spezielles Instrumentarium mit vier Ni 2, die mit
einem speziellen Drehkeilvorsatz ausgerüstet sind, eingesetzt. Jeweils zwei Geräte
werden auf einer Platte installiert und mit Hilfe der beiden Drehkeile zur
gegenseitigen Kollimation gebracht.
Stromübergangsausrüstung von Zeiss mit vier Ni 2
11
Ni 2 mit speziellem Drehkeilvorsatz
Auch bei diesem Verfahren ist neben der Gleichzeitigkeit der Messungen darauf zu
achten, dass die langen Zielweiten über dem Wasser und die kurzen Zielweiten auf
beiden Seiten gleich lang sind. Dadurch wird erreicht, dass die Korrektionen wegen
der Erdkrümmung und der Refraktion in den beidseitig gemessenen
Höhenunterschieden gleich sind und bei der Bildung des Mittelwertes herausfallen.
Als Hauptfehlereinfluss verbleibt der Einfluss wegen der unterschiedlichen
Refraktion auf beiden Seiten, der nur durch eine Wiederholung der Messung bei
einer unterschiedlichen Wetterlage weiter reduziert werden kann.
Messung 1
Messung 2
Das besondere an diesem Verfahren ist, dass vor der eigentlichen Messung die
beiden auf einer Grundplatte montierten und auf Unendlich fokussierten Nivelliere
mit Hilfe des Drehkeils zur gegenseitigen Kollimation gebracht werden. Dadurch wird
erreicht, dass im Falle einer dejustierten Ziellinie die Ziellinie des einen Instrumentes
um den gleichen Winkel nach oben zeigt wie die Ziellinie des anderen Instrumentes
nach unten zeigt. Eine Neigung der Ziellinie mittels Fußschrauben ist wegen des
Kompensators nicht möglich.
12

Werden die Nivelliere nun um die Stehachse gedreht bzw. auf die Latte oder die
Zielmarken ausgerichtet, so bleibt die Neigung erhalten. Das Mittel aus beiden
Ablesungen entspricht dann wegen der entgegengesetzten Neigungen genau dem
Horizont.
Bei dem Drehkeil handelt es sich um einen Vorsatz ähnlich der der bekannten
planparallelen Platte (Planplattenmikrometer) beim Ni 2. Im Gegensatz zur
planparallelen Platte wird der Zielstrahl aber nicht parallel versetzt sondern um einen
Winkel γ geneigt.
Die eingestellte Neigung lässt sich an einer
Skala, die sich von 0 bis 20 erstreckt, ablesen.
Die Mittelstellung (= Neigung 0) befindet sich
bei 10. Die bezifferten Hauptstriche sind
weiterhin mit 10 Teilstrichen unterteilt. Jeder
Teilstrich entspricht 2.0”, so dass insgesamt ein
Messbereich von ± 200” abgedeckt ist. Durch
eine zusätzliche Schätzung (von 1 bis 10) lässt
sich die Neigung dann auf ± 0.2” bestimmen.
Beispiel: 9.78; Dieses entspricht einer Neigung
von 195.6” - 200.0” = -4.4”.
13
Durch die Möglichkeit der gegenseitigen Kollimation und dadurch bedingten
entgegengesetzten (Rest-) Neigungen der beiden Instrumente werden die
instrumentellen Fehler wegen der unterschiedlichen Zielweiten eliminiert. Die durch
die Refraktion hervorgerufenen Fehler versucht man dadurch zu eliminieren, indem
auf beiden Uferseiten gleichzeitig und mit gleichen Zielweiten beobachtet wird. Im
Gegensatz zum Feinnivellement erfolgt aber keine Ablesung der Latte am anderen
Ufer (wegen der großen Zielweite nicht möglich), sondern der Zielstrahl wird auf eine
Zieltafel bzw. i.d.R. auf zwei senkrecht untereinander befestigte Zieltafeln
nacheinander ausgerichtet. Auch hierzu wird die Verstellmöglichkeit des Zielstrahls
mittels des Drehkeils und die Ablesung der Neigung an der Skala genutzt, d.h. das
Nivellement wird mit einem geneigten Zielstrahl durch geführt.
Die gegenseitige Kollimation wird nach jedem Rück- bzw. Vorblick wieder neu
durchgeführt, wobei alternierend einmal das eine Instrument und anschließend das
andere Instrument auf die Mittelstellung (10.00) eingestellt wird. Dabei wird auch die
Libelle zur Horizontierung des Instruments neu eingespielt, wobei zur Eliminierung
der Horizontschräge alternierend auf den Rückblick und anschließend auf den
Vorblick horizontiert wird (vgl. Verfahren rote Hose).
Messungsablauf (auf jeder Uferseite):
Rückblick: zur aufgesetzten Latte auf dem Bolzen an der Zielmarkenhalterung
(kurze Strecke, mittels Drehkeil auf volle cm einstellen)
Vorblick: zu den beiden Zielmarken am anderen Ufer (lange Strecke)
1. Messung des vertikalen Abstandes der beiden angezielten (am anderen Ufer!)
Zieltafeln: b
2. Gegenseitige Kollimation der beiden auf eine Grundplatte montierten Ni 2
(Drehkeil des einen Instrument auf Mittelstellung n0 = 10,00 einstellen):
14

Messungen (Drehkeilablesungen von Instrument A, B): n0
3. Ausrichtung und Einstellung der Latte am selben Ufer bzw. der beiden Zieltafeln
am anderen Ufer durch Verstellen der Drehkeile:
Messungen untere Marke bzw. Zieltafel (Drehkeilablesungen von Instrument
n1
A, B): (unten)
∏ n1 Messungen obere Marke bzw. Zieltafel (Drehkeilablesungen von Instrument
n2
A, B): (oben)
∏ n2 4. Messung des Abstandes b der beiden angezielten Marken (cm-Teilstriche)
5. Allgemeine Berechnungen für die Messungen zu den beiden Marken bzw. zu den
beiden Zieltafeln am anderen Ufer (Annahme: kleine Neigungswinkel):
Instrument 1
Instrument 2
n 2
n1 n'1 S
n' 2
obere
Zieltafel
n 0
n' 0
untere
Zieltafel
n 0 ∏
h
b = n0 − n1
n2 − n1
d h = b $ n0 − n1
n2 − n1
h∏ b = n0 ∏ ∏ − n1 ∏ ∏ n2 − n1
d h ∏ = b $ n 0 ∏ − n 1 ∏
n 2 ∏ − n1 ∏
H =
h + h∏
2
Die nach (3) berechnete Höhe H (für ein Doppelinstrument) entspricht dem wahren
Horizont - bezogen auf die untere Zieltafel bzw. untere Marke. Da die
Drehkeilablesungen sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen, spielt es
keine Rolle in welcher Einheit (rad, ”, Gon) die Neigungsmessungen verwendet
werden. Für die Berechnung der Höhenunterschiede h, h’ und H werden die
Zielweiten S bzw. S’ nicht benötigt. In dem Mittel H sind zwar die Neigungsfehler des
Doppelinstruments eliminiert, nicht aber die Fehler aufgrund der Refraktion und
Erdkrümmung. Hierzu werden die Messungen des Doppelinstruments am anderen
Ufer benötigt. Diese sollten möglichst gleichzeitig durchgeführt werden, und auch die
beiden Zielweiten S, S’ sollten möglichst mit denen am anderen Ufer
übereinstimmen.
15
b
h' h
H
(1)
(2)
(3)
Die Zielweiten S bzw. S’ lassen sich ebenfalls über die beiden gemessen
Neigungen, die hier entweder in der Einheit rad (links) oder unter Berücksichtigung
der Skalenfaktoren (rechts) zu verwenden sind, berechnen:
S =
S ∏ =
b
n2 − n1
b
n 2 ∏ − n1 ∏
bzw.
S =
S ∏ =
b $ ✯”
(n2 − n1) $ 20.6” =
b $ 206265”
(n2 − n1) $ 20.6”
(4a)
b $ ✯”
(n∏ ∏ =
b $ 206265”
2 − n1 ) $ 20.6” (n∏ ∏ (4b)
2 − n1 ) $ 20.6”
d.h. die Strecken lassen sich mit ausreichender Genauigkeit wie folgt aus den
beiden Drehkeilablesungen und dem vertikalen Abstand b der beiden Zielmarken
berechnen:
mit
S =
S ∏ =
b $ 10 000
n2 − n1
b $ 10 000
n 2 ∏ − n1 ∏
(4c)
(4d)
n0, n’0: Ablesungen der gegenseitigen Kollimation
n1, n’1: Ablesungen untere Marke
n2, n’2: Ablesungen obere Marke
Die Zielweite S kann zusätzlich zur Refraktionskorrektion eingesetzt werden. Diese
berechnet sich nach:
cR = (1 − k) $ S2
2$R
(5) (Herleitung folgt auf S. 24ff)
Die Refraktionskorrektur ist dann notwendig, wenn die beiden langen bzw. die
beiden kurzen Zielweiten nicht identisch sind. In diesem Fall sind die auf beiden
Talseiten berechneten Höhenunterschiede nach (5) zu korrigieren.
Genauigkeitsbetrachtungen:
In den o.a. Gleichungen (1) bis (4) müsste - streng genommen - an Stelle der
Neigungen n der Tangens der Neigungen eingesetzt werden. Da aber die
Neigungen maximal ±206” (Verstellbereich des Drehkeils) erreichen können, können
die Neigungswinkel ohne Genauigkeitsverlust im Bogenmaß verwendet werden.
Beweis:
tan(206”) = 0.0009987165
Differenz: 3 $ 10 (0.0003 mm/km)
206”
= 0.0009987162
206264.8” −10
16

Der eigentliche Höhenunterschied berechnet sich nach (1) bzw. (2), wobei hier nur
der mit Instrument 1 bestimmte Höhenunterschied fehlertheoretisch näher betrachtet
wird.
h = b $ n0 − n1
n2 − n1
(1a)
h ∏ = b $ n 0 ∏ − n 1 ∏
n 2 ∏ − n1 ∏ (1b)
n0, n’0: Ablesungen der gegenseitigen Kollimation
n1, n’1: Ablesungen untere Marke
n2, n’2: Ablesungen obere Marke
b: vertikaler Abstand der beiden Zieltafeln bzw. Marken
Die Differentiation von (1a) nach den vier fehlerbehafteten Größen ergibt:
Øh
Øb = n0 − n1
n2 − n1
Øh
Øn0
= b $
1
n2 − n1
Øh
Øn1
= b $ −(n2 − n1 ) + (n0 − n1)
(n2 − n1) 2
= b $ n0 − n2
(n2 − n1) 2 = S $ n0 − n1
n2 − n1
Øh
= b $
Øn2
−(n0 − n1 )
(n2 − n1 ) 2 = −S $ n0 − n1
n2 − n1
wobei nach (4a) gilt:
Die Standardabweichung für ein Instrument (!) ergibt sich daher zu:
✤h
✤ h 2 = n0 − n1
n2 − n1
2
2 2 2 2 n0 − n2
$ ✤b + S $ ✤n0 + S $ n2 − n1
(alle Neigungen in der Einheit rad!)
+ S 2 $ −(n0 − n1 )
(n2 − n1 )
2
2 $ ✤n1 2
2 $ ✤n2 (6)
S =
b
n2 − n1
Die Standardabweichungen für eine Neigungsmessung setzt sich einerseits aus der
Einstellung der Zielmarke bzw. der gegenseitigen Kollimation mittels des Drehkeils
und der Ablesung selbst zusammen. Im Gegensatz zur gegenseitigen Kollimation
unterliegt dabei die Einstellung der Zielmarke auch atmosphärischen Störungen
(z.B. Flimmern), die sich insbesondere bei der langen Zielweite auf die
Einstellgenauigkeit auswirkt. Die Schätzung der Drehkeilverstellung an der
Ableseskala selbst lässt sich mit einer Standardabweichung von ca. ± 0.2”
durchführen (s. o.a. Beispiel), so dass unter normalen Bedingungen folgende
Standardabweichungen für die Neigungmessungen erreichbar sind:
17
� gegenseitige Kollimation: ✤n0 = 0.3” = 1.45 $ 10 −6 rad
� Zielmarkeneinstellungen für kurze Zielweite (unten, oben) :
✤n1, ✤n2 = 0.4” = 2 $ 10 −6 rad
� Zielmarkeneinstellungen für lange Zielweite (unten, oben) :
� vertikaler Abstand der Zielmarken: ✤b = 0.2 mm
✤n1, ✤n2 = 0.8” = 4 $ 10 −6 rad
Mit diesen Standabweichungen ergibt sich unter der Annahme, dass sich die
Zieltafeln (unten, oben) symmetrisch zur Mitte des Zielstrahls von n0 befinden für
eine Strecke von 300 m für die lange Zielweite folgende Standardabweichung für
den Höhenunterschied:
Neigungen bei symmetrischer Anordnung der Zieltafeln:
n2 − n1 = b
S
n2 − n0 = b
2 $ S
n0 − n1 = b
2 $ S
Hieraus ergibt sich für die Differenzenquotienten:
n0 − n1
n2 − n1 =
b $
b
2$S
b
S
1
n2 − n1 = b b
S
= 1 2
= S
b $ n0
−b
− n2 b $ 2$S
2 =
(n2 − n1) ( b
−b2
=
)2 2 $ S
b $ −(n0
b
− n1) −b $ 2$S
2 =
(n2 − n1) ( b
−b2
=
)2 2 $ S
S
S
S2
$
b2 = −
S
2
S2
$
b2 = −
S
2
Setzt man (7) in (6) ein, so erhält man schließlich für die lange Zielweite:
✤ h 2 = 1 2
2
2 2 2 $ ✤b + S $ ✤n0 +
S2 4 $ ✤2 n1 +
S2 4 $ ✤2 n2
= 1 4 $ (0.0002 m)2 + (300 m) 2 $ (1.45 $ 10 −6 rad) 2 +
(7)
(300 m)2
4
+ (300 m)2
$ (4 $ 10
4
−6rad) 2
= (0.05 mm) 2 + (0.44 mm) 2 + (0.6 mm) 2 + (0.6 mm) 2 = 0.91 mm2 d ✤h = 0.95 mm (für ein Instrument)
18
$ (4 $ 10 −6 rad) 2

Entsprechend erhält man für die kurze Zielweite mit S = 10 m:
✤ h 2 = 1 2
2
2 2 2 $ ✤b + S $ ✤n0 +
S2 4 $ ✤2 n1 +
S2 4 $ ✤2 n2
= 1 4 $ (0.0002 m)2 + (10 m) 2 $ (1.45 $ 10 −6 rad) 2 +
(10 m)2
4
$ (2 $ 10 −6 rad) 2
+ (10 m)2
$ (2 $ 10
4
−6rad) 2
= (0.05 mm) 2 + (0.01 mm) 2 + (0.01 mm) 2 + (0.01 mm) 2 = 0.0029 mm2 d ✤h = 0.05 mm
Dieser Anteil ist gegenüber dem Anteil aus der langen Strecke nahezu zu
vernachlässigen. Der Höhenunterschied H ergibt sich aus dem Mittelwert beider
Instrumente, sodass bei Annahme gleicher Standardabweichungen gilt:
✤H = 1
2
$ ✤h
= 0.7 mm
Mittel aus beide Seiten:
✤ H =
1
4 $ ✤2 H1 +
1 2 $ ✤H2 4
= 1
2 $ ✤H für ✤H1 = ✤H2 = 0.5 mm
Dieses ist die mit einem Doppelinstrument unter normalen atmosphärischen
Bedingungen erzielbare Standardabweichung für eine Zielweite von 300 m. Damit
die Einflüsse wegen Refraktion und Erdkrümmung eliminiert werden, sind die an
beiden Ufern ermittelten Höhenunterschiede H ebenfalls zu mitteln. Dabei ist zu
beachten, dass die Zielweiten S, S’ auf beiden Ufern gleich sind, da anderenfalls
vorher eine Korrektion nach (5) wegen der ungleichen Zielweiten anzubringen sind.
Die Genauigkeit der Einhaltung der Zielweiten lässt sich durch Differentiation von (5)
abschätzen:
cR = (1 − k) $ S2
2 $ R
ØcR
ØS
= (1 − k) $ 2 $ S
2 $ R = (1 − k) $ S R
d ✁cR ¡ (1 − k) $ S R
$ ✁S
Fordert man nun, dass der Einfluss kleiner als 0.1 mm bleiben soll, so ergibt sich mit
k = 0.13, R = 6371 000 m und S = 300 m folgende Anforderung für die Differenz der
beiden Zielweiten:
(8)
✁S !
[ ✁cR
(1 − k) $ R S
✁S !
[ 0.0001 m
$
6371 000 m
= 2.4 m
(1 − 0.13) 300 m
19
Messungsablauf:
Zur Genauigkeitssteigerung wird mit jedem Instrument der Rückblick zu der Latte
am eigenen Ufer zweifach und der Vorblick zu den Zieltafeln am anderen Ufer
sechsfach in folgender Reihenfolge gemessen:
� Autokollimation (Instrument 1 auf 10,00 einstellen)
� 1. Rückblick (auf cm-Marken)
� Autokollimation (Instrument 2 auf 10,00 einstellen)
� 1. Vorblick (auf Zieltafeln am anderen Ufer)
� Autokollimation (Instrument 1 auf 10,00 einstellen)
� 2. Vorblick (auf Zieltafeln am anderen Ufer)
� Autokollimation (Instrument 2 auf 10,00 einstellen)
� 3. Vorblick (auf Zieltafeln am anderen Ufer)
� Autokollimation (Instrument 1 auf 10,00 einstellen)
� 4. Vorblick (auf Zieltafeln am anderen Ufer)
� Autokollimation (Instrument 2 auf 10,00 einstellen)
� 5. Vorblick (auf Zieltafeln am anderen Ufer)
� Autokollimation (Instrument 1 auf 10,00 einstellen)
� 6. Vorblick (auf Zieltafeln am anderen Ufer)
� Autokollimation (Instrument 2 auf 10,00 einstellen)
� 2. Rückblick (auf cm-Marken)
� Autokollimation (Instrument 1 auf 10,00 einstellen)
Um restliche Fehler des Kompensators (Horizontschräge) zu eliminieren, muss vor
jeder Kollimation die Dosenlibelle neu eingespielt werden und zwar alternierend mit
der Ausrichtung des Okulars zum Vorblick bzw. zum Rückblick hin (vergleichbar mit
dem Verfahren rote Hose). Für die Durchführung des Stromübergangsnivellements
in dieser Reihenfolge gibt es ein spezielles Feldbuch, in dem diese Besonderheiten
und die o.a. Messreihenfolge berücksichtigt sind.
Zuletzt ist noch die Übertragung der Höhe des Bolzens an der Zieltafelbefestigung
zum Höhenbolzen des Nivellementsfestpunktes oder einem sonstigen Festpunkt
notwendig. Dieser Anschluss erfolgt in gewohnter Weise mittels Feinnivellement mit
gleichen Zielweiten.
Die Messungen mit dem zweiten Instrumentarium auf der anderen Talseite sind
gleichzeitig durchzuführen, d.h. die langen Zielweiten und die kurzen Zielweiten
müssen zur gleichen Zeit gemessen werden, damit der Einfluss der Refraktion
eliminiert wird. Damit die Höhenunterschiede mit gleichem Vorzeichen
herauskommen, sind die zuvor eingeführten Bezeichnungen bei der Reihenfolge der
Messungen für den Vor- bzw. Rückblick auszutauschen.
Insgesamt werden auf beiden Ufern aus den Messungen des Doppelinstruments
jeweils zwei Höhen H1 und H2 bestimmt, die als Vor- und Rückblick zu betrachten
sind. Aus diesen vier Messungen ist dann der Höhenunterschied zwischen den
beiden Bolzen an der Zieltafelhalterung wie folgt zu berechnen:
20

HB 1 Feinnivellement
H R1
Doppelinstrument I
Δh1 I
2
✁h1 = R1 − V1 = H 2 I − H1 I
✁h2 = R2 − V2 = H 1 II − H2 II
H II
1
R2
V
1
H I
1
Δh2 Doppelinstrument II
V
2 H II
2
✁H = ✁h1 + ✁h2
2
Feinnivellement
HB 2
Anschließend sind noch durch ein Feinnivellement die Höhen von den an der
Zieltafelhalterung befindlichen Höhenbolzen zu den beiden Höhenfestpunkten HB1
bzw. HB2 zu übertragen. Eine weitere Konstellation ist möglich, wenn auf den beiden
Höhenbolzen mit den Doppelinstrumenten zwei volle cm-Marken (obere und untere
Marke) einer Nivellierlatte angezielt werden. Die untere Marke der Nivellierlatte ist
dabei als Höhe über dem Bolzen zu verwenden. Aus den Drehkeilmessungen ergibt
sich dann der zu der unteren Marke zu addierende Abstand. Dann ergibt sich
folgende Messanordnung:
HB 1 Feinnivellement
H I
2
R1
Doppelinstrument I
Δh1 H II
1
R2
V
1
H I
1
21
Δh2 Doppelinstrument II
V
2
Feinnivellement
H II
2
HB 2
2.3 Trigonometrische Höhenbestimmung
Das geometrische Feinnivellement ist das genaueste Verfahren zur
Höhenübertragung, wobei Genauigkeiten von 0.2 mm/km erreichbar sind. Eine
wichtige Voraussetzung dabei ist die Einhaltung von gleichen Zielweiten (maximal:
ca. 30 m bis 50 m). Diese Voraussetzung ist manchmal aufgrund der örtlichen
Gegebenheiten nicht immer gegeben, z.B. beim Tal- oder Stromübergang. Hier
bietet sich die Höhenübertragung mittels einseitiger und gegenseitiger
Zenitdistanzmessungen an. Dieses Verfahren wird auch als trigonometrisches
Nivellement bezeichnet.
2.3.1 Höhenbestimmung über kurze Entfernungen
Für kurze Entfernungen bis ca. s = 250 m kann aufgrund der mit
Zenitdistanzmessungen erreichbaren Genauigkeit die Erdkrümmung (Radius R)
vernachlässigt werden, vgl. nachfolgendes Beispiel:
✁✍ = s R
$ ✯
✁✍ =
250 m
$
200 Gon
6371 000 m ✜ = 0.0025 Gon = 2.5 mGon
In diesem Fall erfolgt die Höhenübertragung nach den bekannten Formeln
✁H = H2 − H1 = s $ cos z + i − t
✁H = H2 − H1 = sh $ cot z + i − t
mit
s: Schrägstrecke
sh: Horizontalstrecke
z: Zenitdistanz
i: Instrumentenhöhe
(Kippachshöhe)
t: Tafelhöhe
Zur Elimination des Höhenindexfehlers muss die Zenitdistanzmessung in beiden
Lagen durchgeführt werden. Der Höhenindexfehler Iz resultiert aus dem
Kompensatorfehler (bei älteren Theodoliten: Fehler der Höhenindexlibelle) und wirkt
wie ein konstanter Ablesefehler, d.h. der Fehler wirkt auf alle
Zenitdistanzmessungen in gleicher Weise:
mit
Z g = Z + Iz
Z g : Messwert
Z: fehlerfreier Wert (Sollwert)
i
22
z
s
s h
ΔH
t

Für die Messung in zwei Lagen (Lage I: Index I; Lage II: Index II) gilt daher:
g
ZI = ZI + Iz
g
ZII = ZII + Iz
wobei die Summe aus beiden Messungen im fehlerfreien Fall 400 Gon ergeben
muss:
ZI + ZII = 400 Gon d ZI = 400 Gon − ZII
Die fehlerfreie Zenitdistanz aus Lage I und Lage II ergibt sich daher wie folgt:
ZI,II = 1 2 $ (Z g g
I + (400 Gon − ZII))
= 1 2 $ (ZI + Iz + (400 Gon − (ZII + Iz)))
= 1 2 $ (ZI + Iz + (400 Gon − (400 Gon − ZI + Iz)))
= 1 2 (ZI + Iz + ZI − Iz)
= ZI
Der Höhenindexfehler lässt sich entsprechend bestimmen:
Lösung:
g g
ZI + ZII − 400 Gon = ZI + Iz + ZII + Iz − 400 Gon
= 2 $ Iz + ZI + (400 Gon − ZI) − 400 Gon
= 2 $ Iz
Iz = 1
2 (Zg g
I + ZII − 400 Gon)
Bei der Zenitdistanz bestimmt man i.d.R. an Stelle des Höhenindexfehlers die
Indexverbesserung vz. Fehler und Verbesserung unterscheiden sich nur durch das
Vorzeichen, so dass hier folgendes gilt:
vZ = −Iz
vz = 1 2 $ (400 Gon − Z g g
I − ZII )
Die fehlerfreien Messwerte für Lage I und Lage II lassen sich daher auch wie folgt
bestimmen:
g
ZI = ZI + vz
g
ZII = ZII + vz
23
Auf einem Standpunkt sollte der Höhenindexfehler bei den Zenitdistanzmessungen
zu allen Zielpunkten konstant bleiben. Aus diesem Grunde wird i.d.R. bei der
Ausgleichung der Zenitdistanzmessungen (mehrere Sätze) für jeden Standpunkt aus
allen Messungen eine gemeinsame Höhenindexverbesserung (Mittelwert aus allen
Zweilagenmessungen) berechnet und aus den Abweichungen der Einzelwerte vom
Mittelwert hieraus die Standardabweichung für eine Zenitdistanzmessung bestimmt.
Die Berechnungen hierzu lauten:
mit
v Z = 1 m $
m
✟ vzi
i=1
vi = v Z − vzi
svz =
s Z = svz
n
m
i=1
✟ vi 2
m − 1
v z:
gemittelte Indexverbesserung
vi: Verbesserungen
m: Anzahl der Indexverbesserungen
n: Anzahl der Sätze
svz : Standardabweichung einer Indexverbesserung (bzw. einer
Zenitdistanzmessung)
s z:
Standardabweichung einer in n-Sätzen gemessenen Zenitdistanz
Für höhere Genauigkeiten bzw. längere Entfernungen sind zur Höhenübertragung
zusätzlich die Erdkrümmung und die Strahlkrümmung in der Atmosphäre
(Refraktion) zu berücksichtigen.
2.3.2 Höhenbestimmung über lange Entfernungen
Für längere Entfernungen und für die Höhenübertragung mit
Genauigkeitsanforderungen von 1 mm oder höher sind die Erdkrümmung und die
Refraktion zu berücksichtigen. Erfolgt die Zenitdistanzmessung nur von einem
Standpunkt aus (einseitige Zenitdistanzmessung), muss die Höhenübertragung
durch Einführung eines mittleren Refraktionskoeffizienten (z.B. k = 0.13) erfolgen.
Bei gegenseitig und gleichzeitig beobachteten Zenitdistanzmessungen lässt sich der
Refraktionskoeffizient zusätzlich schätzen und somit dessen Einfluss weitestgehend
eliminieren.
In der nachfolgenden Abbildung ist der Strahlverlauf durch die Erdatmosphäre
dargestellt. Die Erdkrümmung ist darin mit R und die Strahlkrümmung mit r
gekennzeichnet. Der mit dem Radius R und der Strecke S korrespondierende
Zentriwinkel γ lässt sich nach
24

A
R
S
R = ✏ ✯
S0 ✏
= sin
2 $ R 2
S ¡ S0
berechnen. In dem Dreieck ADE
gilt weiterhin:
DE
sin ✏
2
=
¡
d DE ¡
S0
sin(100 − ✏)
S
cos ✏ ¡
S
1 + ...
S $ sin ✏
2
1
¡ S2
+ ... (1)
2 $ R
Die nachfolgende Tabelle zeigt den nach (1) berechneten Einfluss der
Erdkrümmung für verschiedene Strecken S.
Strecke
DE
C
z
γ
γ 2
S
r
S 0
R
100 m
0.8 mm
D
E
B
200 m
3.1 mm
500 m
19.6 mm
1000 m
78.5 mm
5 km
1.962 m
+ ...
10 km
7.848 m
Die Refraktion (Strahlkrümmung) resultiert aus der Abnahme der Luftdichte mit der
Höhe. Aufgrund des Brechungsgesetzes wird ein Strahl bei Eintritt von einem
optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium zum Einfallslot hin gebrochen.
Hieraus resultiert der in der Abbildung dargestellte Strahlverlauf. Für die Krümmung
dieses Strahlverlaufs kann in erster Näherung ein Krümmungsradius r angenommen
werden. Aus langjährigen Beobachtungen lässt hierfür sich ein Mittelwert angeben:
Mittelwert für die Strahlkrümmung:
r ¡ 8 $ R
d R r
=
R
8 $ R ¡ 1 ¡ 0.125 ¡ 0.13
8
Das Verhältnis zwischen Erdkrümmung und Strahlkrümmung wird auch als
Refraktionskoeffizient k bezeichnet. Mit dem Mittelwert der Strahlkrümmung r ergibt
sich dieser zu:
Refraktionskoeffizient: k = R r ¡ 0.13
δ
r
100−γ
Für die trigonometrische Höhenbestimmung sind die Einflüsse aus Erd- und
Strahlkrümmung bei Entfernungen > 250 m zu berücksichtigen. Die hierzu
erforderlichen Korrekturen werden nachfolgend hergeleitet.
25
A
H 1
R
Gesucht ist hier der Höhenunter ΔH = H2 - H1. Aus (1) ist bereits bekannt:
c1 ¡ S2
2$R
z Ss
~100 g
Entsprechend lässt sich c2 über den Radius r der Lichtkurve, den Zentriwinkel δ und
die Schrägstrecke Ss herleiten:
c2 ¡ S S 2
2$r
Unter der Annahme, das die Zenitdistanz ca. 100 g ist (Flachland), kann die
Schrägstrecke Ss näherungsweise durch S ersetzt werden. Dann gilt:
c2 ¡ S2
2$r ¡ k$S2
2$R
Mit der Schrägstrecke Ss bzw. der Horizontalstrecke Sh lässt sich zunächst die
Strecke berechnen:
EF
EF = SS $ cos z
Sh = SS $ sin z
EF = Sh $ cot z
Aus der Abbildung ergibt sich
die Höhe H2 aus folgenden
Strecken:
γ
S
A
z
26
S h
H 1
c1
R
D
E
F
c
2
B
H 2
Annahme: rechtwinkliges Dreieck AEF
F
E

H2 = H1 + DE + EF − BF
= H1 + c1 + Sh $ cot z1 − c2
= H1 + S2
2 $ R + Sh $ cot z −
k $ S2
2 $ R
= H1 + Sh $ cot z + (1 − k) $ S2
2 $ R
d ✁H = H2 − H1 = Sh $ cot z + (1 − k) $ S2
2 $ R
Dieses ist die Formel zur trigonometrischen Höhenübertragung mittels
Zenitdistanzen und Streckenmessung, wobei die ellipsoidische Strecke S zur
Vereinfachung durch die Horizontalstrecke Sh ersetzt werden kann. Man erkennt,
dass die Anteile aus der Erdkrümmung und der Strahlkrümmung unterschiedliches
Vorzeichen haben.
2.3.2.1 Höhenbestimmung mit einseitig beobachteten Zenitdistanzen
Unter Berücksichtigung der Kippachshöhe i und der Tafelhöhe t berechnet sich der
Höhenunterschied aus einseitig beobachteten Zenitdistanzen wie folgt:
✁H = H2 − H1 = Sh $ cot z + (1 − k) $ Sh 2
2$R + i − t
Die Standardabweichung des Höhenunterschieds ergibt sich - bei Vernachlässigung
von i und t - wie folgt:
mit
Beispiel:
2 Ø✁H
✤✁H = ØSh
Ø✁H
ØSh
Ø✁H
Øz
S = 300 m
z = 95Gon
k = 0.13
2
2 Ø✁H
$ ✤Sh + ( Øz )2 2 Ø✁H
$ ✤z + ( Øk )2 2 $ ✤k = cot z +
= − Sh
sin 2 z
Ø✁H
Øk = − S h 2
2 $ R
(1 − k) $ Sh
R
✤Sh = 0.01 m
✤z = 0.5 mGon = 7.85 $ 10 −6 rad
✤k = 0.10
27
2 ✤✁H = (0.079 −5 2 2
+ 4 $ 10 ) $ (0.01 2 −6 2
m) + (−302.9 m) $ (7.85 $ 10 )
+ (−0.0071 m) 2 $ (0.1) 2
= (0.000 79 m) 2 + (0.00238 m) 2 + (0.00071 m) 2 = 6.79 $ 10 −6 m 2
d ✤✁h = 0.0026 m
Die größte Unsicherheit resultiert hier aus der Zenitdistanzmessung. Für höhere
Genauigkeitsansprüche und zur Elimination des Höhenindexfehlers ist immer eine
Messung in zwei Lagen notwendig. Durch Messung mehrerer Sätze lässt sich die
Genauigkeit weiter steigern. Da aber immer an derselben Kreisstelle gemessen
wird, fallen Fehler des Teilkreises auch bei Messung mehrerer Sätze nicht heraus.
Diese lassen sich aber bei Instrumenten mit mehreren Horizontalfäden dadurch
eliminieren, dass die Satzmessung z.B. an dem Unter- bzw. Oberfaden wiederholt
wird. Dabei ist aber zu beachten, dass sich der Indexfehler ändert.
Die Standardabweichung für den Refraktionskoeffizienten k, der von der
Atmosphäre durch den der Zielstrahl verläuft, abhängt, wurde hier mit 0.1 angesetzt.
Als Näherungswert wurde hier der häufig verwendete Wert k = 0.13 verwendet. Die
Auswirkung der Unsicherheit von k wächst aber im Gegensatz zur Unsicherheit der
Zenitdistanzmessung (linearer Zuwachs mit der Entfernung) quadratisch mit der
Entfernung, so dass bei längeren Strecken die Refraktion den größten Beitrag
liefert.
Für höhere Genauigkeitsansprüche besteht die Möglichkeit, den
Refraktionskoeffizienten aus gegenseitig gleichzeitig beobachteten Zenitdistanzen
abzuschätzen und so den Einfluss der Refraktion zu reduzieren.
2.3.2.2 Höhenbestimmung mit gegenseitig gleichzeitig beobachteten
Zenitdistanzen
Werden auf beiden Standpunkten die Zenitdistanzen gleichzeitig beobachten, so
lässt sich der Einfluss aus Erdkrümmung und Refraktion auf die Höhenbestimmung
eliminieren und der Refraktionskoeffizient k schätzen. Für die Herleitung der
Formeln wird der ebene Tangenssatz benötigt. Dieser lautet für das allgemeine
Dreieck:
α
b
c
γ
β
a
✍ − ✎
tan =
2
a − b ✍ + ✎
$ tan
a + b 2
✎ − ✏
tan =
b − c ✎ + ✏
$ tan
2 b + c 2
✏ − ✍
tan =
c − a ✍ + ✏
2 c + a $ tan
2
28

Auf beiden Standpunkten werden die Zenitdistanzen z1 und z2 möglichst gleichzeitig
gemessen. Die Zenitdistanzen beziehen sich dabei auf die Richtung des
gekrümmten Strahls. Diese Richtungen z1 und z2 unterscheiden sich von der
geradlinigen Verbindung um die Winkel Δz1 bzw. Δz2. Für die weitere Ableitung
werden noch die beiden Winkel vom Nadir zur geradlinigen Verbindung β1 und β2
eingeführt.
A
H 1
R
Wendet man den Tangenssatz auf das Dreieck, das aus den Eckpunkten A, B und
dem Mittelpunkt von R gebildet wird, an, so erhält man:
Weiterhin gilt:
Δz1
z 1
β 1
tan ✎1 − ✎2
2
= (R + H2) − (R + H1 )
(R + H2) + (R + H1 ) $ tan ✎1 + ✎2
2
d (R + H2) − (R + H1)
(R + H2) + (R + H1)
d
H2 − H1
2 $ R + H1 + H2
H2 − H1 = 2 $ R + H1 + H2
2
✎1 + ✎2 + ✏ = 200 Gon
d ✏ = 200 Gon − (✎1 + ✎2)
γ
Hm = H1 + H2
2
S
Δz
2
und
29
Ss
S h
✎1−✎2
tan 2
=
tan ✎1+✎2
2
✎1−✎2
tan 2
=
tan ✎1+✎2
2
$ tan ✎1−✎2
H 1
2
tan ✎1+✎2
2
tan ✎1 + ✎2
2
z
2
~100 g
F
c
2
B
β2 c1
E
D
H
2
R
= cot ✏
2
✎1 = 200 Gon − (z1 + ✁z1)
✎2 = 200 Gon − (z2 + ✁z2)
Dann ergibt sich für den Höhenunterschied ΔH = H2 - H1:
H2 − H1 = 2 $ (R + Hm) $
tan ✎1−✎2
2
cot ✏
2
= 2 $ (R + Hm) $ tan 200 Gon−(z1+✁z1)−(200 Gon−(z2+✁z2))
2
cot ✏
2
= 2 $ R $ 1 + Hm
R
z2+✁z2−z1−✁z1
tan 2
$
cot ✏
2
S
Mit der Näherung R = ✏ ¡ erhält man weiter:
Sh
R ¡ tan ✏ d 1
¡ tan ✏ Sh
¡
H2 − H1 = 2 $ R $ 1 + Hm
R
cot ✏
2
2
2$R
Sh
$
2 $ R $ tan z2 + ✁z2 − z1 − ✁z1
2
= Sh $ 1 + Hm
R $ tan z2 + ✁z2 − z1 − ✁z1
2
Bei einem symmetrisch gekrümmten Strahlverlauf gilt außerdem:
✁z1 = ✁z2
d ✁H = H2 − H1 = Sh $ 1 + Hm
R $ tan z2 − z1
2
Die Genauigkeit des aus gegenseitig gleichzeitig gemessenen Zenitdistanzen
bestimmten Höhenunterschieds hängt von der Genauigkeit der Streckenmessung
und der beiden Zenitdistanzmessungen ab und ergibt sich wie folgt:
mit
Beispiel:
2 Ø✁H
✤✁H = ØSh
Ø✁H
ØSh
Ø✁H
Øz1
Ø✁H
Øz2
2
2 Ø✁H
$ ✤Sh + Øz1
= 1 + Hm
R $ tan z2 − z1
2
2
2 Ø✁H
$ ✤z1 + Øz2
= Sh $ 1 + Hm
R $
−1
z2−z1
2 $ cos2( 2 )
= Sh $ 1 + Hm
R $
1
z2−z1
2 $ cos2( 2 )
30
2
2 $ ✤z2

2 ✤✁H = 1 +
100 m
6371 000 m
+ (300 m) 2 $ 1 +
+ (300 m) 2 $ 1 +
z1 = 95 Gon
z2 = 105 Gon
Hm = 100 m
Sh = 300 m
R = 6371 000 m
✤Sh = 0.01 m
✤z1 = ✤z2 = 0.5 mGon = 7.85 $ 10 −6 rad
2
$ tan 2 (5 Gon) $ (0.01 m) 2 +
100 m
6371 000 m
100 m
6371 000 m
2
2
$
$
−1
2 $ cos 2(5 Gon)
1
cos 2(5 Gon)
= (0.00079 m) 2 + (0.0012 m) 2 + (0.0012 m) 2
= 0.0019 m
2
2
$ (7.85 $ 10 −6 rad) 2
$ (7.85 $ 10 −6 rad) 2
In diesem Beispiel haben die Unsicherheiten der beiden Zenitdistanzmessungen
den größten Anteil. Wird die Streckenmessung mit einer Standardabweichung von
0.01 m durchgeführt, so kann der Fehleranteil aus der Streckenmessung i.d.R.
gegenüber den Anteilen aus den Zenitdistanzmessungen vernachlässigt werden.
Obwohl in der Berechnung der Höhendifferenz und der Standardabweichung kein
Einfluss der Refraktion mehr enthalten ist, beeinflusst die Refraktion dennoch die
Genauigkeit der Höhenmessung, da hier ein symmetrisch gekrümmter Strahlverlauf
angenommen wurde, der i.d.R. nur für ein symmetrisches Geländeprofil und unter
günstigen atmosphärischen Bedingungen vorausgesetzt werden kann. Um eine
realistische Genauigkeit für den Höhenunterschied zu erhalten, ist deshalb eine
Wiederholung der Messungen unter unterschiedlichen Wetterbedingungen
notwendig. Aber auch die Schätzung des Refraktionskoeffizienten k und dessen
zeitliche Änderung aus den gegenseitig gleichzeitig beobachteten Zenitdistanzen
kann ein Indikator für den Einfluss der Refraktion sein.
2.3.2.3 Bestimmung des Refraktionskoeffizienten aus gegenseitig gleichzeitig
beobachteten Zenitdistanzen
Aus den gegenseitig gleichzeitig gemessenen Zenitdistanzen lässt sich zusätzlich
der Refraktionskoeffizient k abschätzen. Für dessen Herleitung werden folgende
o.a. Gleichungen und Näherungen benutzt:
31
✏ = 200 Gon − (✎1 + ✎2)
✎1 = 200 Gon − (z1 + ✁z1)
✎2 = 200 Gon − (z2 + ✁z2)
d ✏ = z1 + ✁z1 + z2 + ✁z2 − 200 Gon
Da k = und ist, gilt:
R Sh
r R ¡ ✏
✁z1 ¡ ✁z2 ¡ Sh
2 $ r = Sh $ k
¡ ✏ $ k
2
2 $ R
und
Sh
r
¡ ✑
✑ ¡ ✁z1 + ✁z2
✁z1 ¡ ✁z2 ¡ ✑ Sh
¡
2 2 $ r
Einsetzen der gefundenen Beziehungen in die Gleichung für γ, wobei zur
Vereinfachung sämtliche Winkel in der Einheit rad benutzt werden, ergibt:
✏ = z1 + ✁z1 + z2 + ✁z2 − ✜
✏ $ k
¡ z1 +
2 + z2
✏ $ k
+ − ✜
2
¡ z1 + z2 + ✏ $ k − ✜
d ✏ $ (1 − k) = z1 + z2 − ✜
d (1 − k) = z1 + z2 − ✜
✏
d k = 1 − z1 + z2 − ✜
✏
= 1 − R $ (z1 + z2 − ✜)
sh
Bei Verwendung der Zenitdistanzen in der Einheit Gon lautet diese Gleichung:
k = 1 − R sh $
✜
200 Gon $ (z1 + z2 − 200 Gon)
C.F. Gauss hat 1823 in Hannover auf diese Weise aus zahlreichen gegenseitig
gleichzeitig gemessenen Zenitdistanzen einen Wert für k von 0.13 ± 0.04 abgeleitet.
Dieser Wert ist allerdings nur ein Näherungswert und gilt nicht in unmittelbarer
Bodennähe. Dort kann der Wert für k sogar zwischen -1.0 und 1.0 schwanken.
2.3.2.3 Zentrierung von Zenitdistanzmessungen
Bei der Herleitung der Gleichungen für den Höhenunterschied ΔH und den
Refraktionkoeffizienten k aus gegenseitig gleichzeitig gemessenen Zenitdistanzen
32

wurde unterstellt, dass der eine Instrumentenstandpunkt gleichzeitig der Zielpunkt
des anderen Beobachters sein muss und dass außerdem die Tafelhöhe identisch
mit der Instrumentenhöhe sein muss. Dieses ist in der Praxis kaum realisierbar. In
der Regel wird man neben dem Instrumentenstandpunkt eine weitere Zieltafel für
den anderen Beobachter aufstellen. Dieses führt dazu, dass eine einfache
Korrektion des berechneten Höhenunterschieds mittels der gemessenen
Instrumenten- und Tafelhöhe wie bei der Höhenbestimmung mit einseitig
gemessenen Zenitdistanzen nicht mehr mit cm-Genauigkeit durchgeführt werden
kann.
In diesem Fall ist - ähnlich wie bei den Horizontalrichtungen - eine Zentrierung der
Zenitdistanzmessungen auf einen gemeinsamen Nullpunkt notwendig. Dabei sind
sowohl die unterschiedlichen Instrumenten- und Tafelhöhen als auch die
unterschiedlichen Entfernungen zwischen Standpunkt und Zielpunkt zu
berücksichtigen.
Zentrierung von (gegenseitig gleichzeitig gemessenen) Zenitdistanzen
t 2
z2
S2 z1
i S1
1
Instrument 1
Instrument 2
i 2
t1
a)
b)
i
z
z
z'
z
z'
Solllage
z
Δ
z
Δ
S h
S h
S h
(Soll)
S' h
ΔH
(Soll)
ΔH
ΔS
t
ΔH'
ΔH
✁H ∏ = ✁HSoll − i + t d ✁HSoll − ✁H ∏ = i − t
Ziel der Zentrierung ist es, die Zenitdistanzmessung z’ in die Zenitdistanz z für einen
Punkt P (Solllage) zu überführen, der um eine Entfernung ΔS verschoben ist (Fall a)
und in der die Instrumentenhöhe i und die Zieltafelhöhe t eliminiert sind (Fall b).
Dabei wird angenommen, dass die Entfernung ΔS, die Instrumentenhöhe i und die
Tafelhöhe t kleine Größen sind (< 10 m). Für diesen Fall kann die Korrektur mittels
der Differentialformel erfolgen.
33
Die Ausgangsgleichung bildet die trigonometrische Höhenberechnungsformel aus
einseitig gemessenen Zenitdistanzen, in der die Anteile aus Erdkrümmung und
Refraktion sowie die Instrumenten- und Tafelhöhe vernachlässigt werden können:
✁H = Sh $ cot z + (1 − k) $ Sh 2
+ i − t
2 $ R
✁H ¡ Sh $ cot z d Sh
= tan z
✁H
Die Umstellung dieser Näherungsformel für ΔH und anschließende Differentiation
führt zu:
z = arctan Sh
✁H
Øz
ØSh
=
1 +
1
Sh
✁H
2 $
1
=
sin z $ cos z
✁H Sh
Øz
Ø✁H =
1
1 + Sh
✁H
2
$ − Sh
✁H 2 = − sin2 z
Sh
Mittels dieser Differenzenquotienten lassen sich nun die gemessenen
Zenitdistanzen wie folgt korrigieren:
mit
z = z ∏ + ✁z
✁z =
✁z[rad] =
✁z[Gon] =
Øz
$ ✁S +
ØSh
sin z $ cos z
Sh
sin z $ cos z
Sh
sin z
Sh
✁S = ShSoll − S h ∏
✁hit = ✁HSoll − ✁H ∏ = i − t
Øz
Ø✁H
$ ✁S − sin2 z
Sh
$ ✁hit
$ ✁S − sin2 z
Sh
$ ✁hit
$ ✁hit $ 200
✜ =
$ (✁S $ cos z − ✁hit $ sin z) $ 200
✜
In den o.a. Formeln zur Berechnung der Korrekturen können ohne
Genauigkeitsverlust die Zenitdistanz z durch z’ und die Strecke Sh durch S’h ersetzt
werden.
34

Beispiele:
Fall a)
Fall b)
S h ∏ = 501 m
z ∏ = 95.0000 Gon
ShSoll = 500 m
Sh = 500 m
z ∏ = 95.0000 Gon
i = 1.50 m
t = 2.50 m
✁S = ShSoll − S h ∏ = −1 m
✁z[Gon]] =
sin z $ cos z
Sh
$ ✁S $ 200
✜
z = z ∏ + ✁z = 94.99004 Gon
✁hit = ✁HSoll − ✁H ∏ = i − t = −1 m
✁z[Gon] = − sin2 z
Sh
$ ✁hit $ 200
✜
z = z ∏ + ✁z = 95.12654 Gon
= −0.00966 Gon
= 0.12654 Gon
Bei gegenseitig gleichzeitig beobachteten Zenitdistanzen ist es zweckmäßig, die
Zentrierung auf die mittlere Strecke bzw. auf eine der beiden gemessenen Strecken
durchzuführen. Zentriert man dann den Instrumentenstandpunkt auf die Höhe der
neben dem Instrument befindlichen Zieltafel, so erhält man aus den korrigierten
Zenitdistanzen direkt den Höhenunterschied zwischen den beiden Zieltafeln. Da bei
gegenseitig gleichzeitig gemessenen Zenitdistanzen die Zieltafel i.d.R. in
unmittelbarer Nähe des Instruments (10 m - 20 m) stehen sollte, lässt sich der für
die Korrektur notwendige Höhenunterschied wie folgt aus der Zenitdistanzmessung
z (in 2 Lagen!) und der Horizontalstrecke Sh zu dieser Zieltafel (kurze Entfernung!)
berechnen:
hier:
✁h = Sh $ cot z
∏ ∏
✁h1 = S10 $ cot z10 ∏ ∏
✁h2 = S20 $ cot z20 ✁z1 = − sin2 z 1 ∏
Sh
✁z2 = − sin2 z 2 ∏
Sh
35
$ ✁h1 $ 200
✜
$ ✁h2 $ 200
✜
z1 = z 1 ∏ + ✁z1
z2 = z 2 ∏ + ✁z2
2.3.3 Trigonometrisches Stromübergangsnivellement mit gegenseitig- gleich
zeitig gemessenen Zenitdistanzen
Das Verfahren beruht auf gegenseitig gleichzeitig mit zwei Tachymetern
gemessenen Zenitdistanzen und Strecken. Hierzu werden auf beiden Seiten des
Gewässern jeweils eine Zieltafeln mit Prisma und ein Tachymeter positioniert. Dabei
ist darauf zu achten, dass die Entfernungen über dem Gewässer ungefähr gleich (<
5 m) und die Entfernungen zu den Zieltafeln auf der gleichen Uferseite < 20 m sein
sollten. Der Höhenanschluss zu einem nahe gelegenen Höhenbolzen lässt sich
ebenfalls trigonometrisch zu einem weiteren Prisma (oder alternativ eine
Nivellierlatte), das über den Höhenbolzen (A, B) positioniert wird, durchführen. Auch
hier sollte die Entfernung möglichst nicht 20 m überschreiten. Die Messanordnung
ergibt sich aus nachfolgenden Abbildung.
t 1
A
Trigonometrisches Stromübergangsnivellement
Instrument 2
z ,
21
s
21
ΔH 23
ΔH
z ,
23
s
21
23
z ,
12
s
12
z ,
13
s
13
ΔH
13
Instrument 1
z ,
11
s
11
ΔH
11
Messanordnung beim trigonometrischen Stromübergangsnivellement
Bei dem Messungsablauf ist darauf zu achten, dass die Zenitdistanzmessungen
über das Gewässer möglichst zeitgleich erfolgen. Zweckmäßigerweise erfolgt die
Messung der Zenitdistanzen in mehreren Vollsätzen. Die Zenitdistanzmessungen zu
den Zielen auf der gleichen Uferseite muss ebenfalls in beiden Lagen erfolgen. Die
Anforderungen an die Streckenmessungen ist bei nahezu horizontalen Visuren mit <
0,05 m völlig ausreichend und muss daher nur einmalig erfolgen.
Für die Höhenberechnungen werden folgende Messungen (Gesamtmittel der
Satzmessungen) benötigt:
Messungen von Instrument 1: z11, s11, z12, s12, z13, s13
Messungen von Instrument 2: z21, s21, z22, s22, z23, s23
Δ
H
12
Weiterhin werden die Tafelhöhen t1, t2 über den beiden Höhenbolzen benötigt.
36
ΔH
22
z ,
22
s
22
t 2
ΔH
AB
B

2.3.3.1 Konventionelle Berechnung der Höhenunterschiede
Aus den Zenitdistanz- und Streckenmessungen werden zunächst die sechs rohen
Höhenunterschiede berechnet, wobei auch für die langen Strecken über das
Gewässer keine Erdkrümmung- und Refraktionskorrektur erfolgen muss (schadet
aber auch nicht).
sh11 = s11 $ sin z11
✁H11 = sh11 $ cot z11
sh12 = s12 $ sin z12
✁H12 = sh12 $ cot z12
sh13 = s13 $ sin z13
✁H13 = sh13 $ cot z13
sh21 = s21 $ sin z21
✁H21 = sh21 $ cot z21
sh22 = s22 $ sin z22
✁H22 = sh22 $ cot z22
sh23 = s23 $ sin z23
✁H23 = sh23 $ cot z23
Unter zusätzlicher Berücksichtigung der Tafelhöhen über den Höhenbolzen
berechnet sich der Höhenunterschied zwischen den beiden Höhenbolzen wie folgt:
mit
✁HAB = HB − HA = ✁H1−✁H2
2
✁H1 = t1 − ✁H13 + ✁H11 − ✁H22 + ✁H23 − t2
✁H2 = t2 − ✁H23 + ✁H21 − ✁H12 + ✁H13 − t1
Durch die Mittelung der beiden Höhenunterschiede werden sowohl die
Erdkrümmung als auch die Refraktion eliminiert, vorausgesetzt die beiden langen
Strecken sind annähernd gleich (1 m .. 5 m).
Wie unschwer an der Abbildung zu erkennen ist, lässt sich auch ein
Schleifenschlussfehler ε berechnen:
✒ = −✁H12 + ✁H11 − ✁H22 + ✁H21
37
Dieser lässt sich auch zur Abschätzung des Refraktionskoeffizienten heranziehen.
Für die rohen Höhenunterschiede gilt unter zusätzlicher Berücksichtigung der
Erdkrümmungs- und unbekannten Refraktionskorrektur:
oder
c ✁H11 = ✁H11 + (1 − k) $ s2 h11
2 $ R
c ✁H21 = ✁H21 + (1 − k) $ sh21 2 $ R
2 s
c h11
✁H11 = ✁H11 − (1 − k) $
2 $ R
s
c h21
✁H21 = ✁H21 − (1 − k) $
2 $ R
2
2
Unter Berücksichtigung dieses Zusammenhanges lässt sich dann bei
Vernachlässigung weiterer Fehler für den Schleifenschlussfehler schreiben:
✒ = −(1 − k) $ s2 h11
2 $ R − (1 − k) $ s2 h21
2 $ R = −(1 − k) $ sh11 2 $ R
d k = 1 +
2 $ R $ ✒
2 sh11 2 + sh21 2 2 + sh21
Wiederholt man die Messungen zu einem anderen oder weiteren Zeitpunkt, so lässt
sich mit dieser Methode eine zusätzliche Kontrolle über den zeitlichen Verlauf des
Refraktionskoeffizienten erreichen.
Nach Berechnung des Refraktionskoeefizienten lässt sich dann der endgültige
Höhenunterschied auch wie folgt streng berechnen:
sh11 = s11 $ sin z11
c ✁H11 = sh11 $ cot z11 + (1 − k) $ s2 h11
2 $ R
sh21 = s21 $ sin z21
c ✁H21 = sh21 $ cot z21 + (1 − k) $ s2 h21
2 $ R
c
✁HAB = HB − HA = t1 − ✁H13 + ✁H11 − ✁H22 + ✁H23 − t2
c
✁HAB = HB − HA = −(t2 − ✁H23 + ✁H21 − ✁H12 + ✁H13 − t1)
38

Beide Berechnungen für über die Korrektion der beiden Höhenunterschiede
✁HAB
für die langen Strecken sollten hier exakt zum gleichen Ergebnis führen. Zusätzlich
muss sich der Schleifenschlussfehler ε zu null ergeben:
c c !
✒ = −✁H12 + ✁H11 − ✁H22 + ✁H21 = 0
2.3.3.2 Berechnung der Höhenunterschiede und des Refraktionskoeffizienten
aus zentrierten Zenitdistanzen
Bei dieser Methode geht man davon aus, dass die Zenitdistanzmessungen über das
Gewässer gegenzeitig-gleichzeitig von nur zwei Standpunkten erfolgen, wobei
folgende Möglichkeiten bestehen:
� von Zieltafel zu Zieltafel
� von Tachymeter zu Tachymeter
In diesem Fall lässt sich der Höhenunterschied zwischen den beiden Zieltafeln (oder
beiden den Tachymetern) und der Refraktionskoeffizient aus den zentrierten
Zenitdistanzen wie folgt berechnen:
✁H = H2 − H1 = Sh $ 1 + Hm
R $ tan z2 − z1
k = 1 − R sh $
✜
200 Gon $ (z1 + z2 − 200 Gon)
Beispiel einer Zentrierung für eine trigonometrische Höhenübertragung bei
gegenseitig-gleichzeitig gemessenen Zenitdistanzen
In dem nachfolgenden Beispiel wurden für ein Stromübergangsnivellement mit
beiden Instrumenten gleichzeitig die Zenitdistanzen und Strecken über ein
Gewässer gemessen. Für die Zentrierungsberechnung und spätere
Höhenübertragung müssen außerdem die Zenitdistanzen zu der Zieltafel auf der
selben Uferseite gemessen werden. Zusätzlich werden für den Höhenanschluss an
die beiden Höhenbolzen die Zenitdistanzen und die Strecken zu den beiden
Prismen über den Höhenbolzen benötigt.
39
2
t 1
A
Trigonometrisches Stromübergangsnivellement
Instrument 2
z ,
21
s
21
ΔH 23
ΔH
z ,
23
s
21
23
z ,
12
s
12
z ,
13
s
13
ΔH
13
Zunächst werden aus den Zenitdistanz- und den Streckenmessungen die
Höhenunterschiede berechnet (ohne Erdkrümmungs- und Refraktionskorrektur für
die Höhendifferenzen über das Gewässer!):
sh11 = s11 $ sin z11
✁H11 = sh11 $ cot z11
sh21 = s21 $ sin z21
✁H21 = sh21 $ cot z21
sh12 = s12 $ sin z12
✁H12 = sh12 $ cot z12
sh22 = s22 $ sin z22
✁H22 = sh22 $ cot z22
sh13 = s13 $ sin z12
✁H13 = sh13 $ cot z13
sh23 = s23 $ sin z22
✁H23 = sh23 $ cot z23
Die Entfernungen zu der Zieltafel und den Höhenbolzen auf der selben Uferseite
sollte 20 m nicht überschreiten, da anderenfalls für die Höhenunterschiede doch
eine Korrektur wegen Erdkrümmung und Refraktion notwendig wird.
Als vorzugebende Sollstrecke für die Zentrierung kann nun z.B. eine der beiden
Horizontalstrecken oder auch das Mittel der beiden Strecken über das Gewässer
benutzt werden:
shm = sh11 + sh21
2
✁s1 = shm − sh11
✁s2 = shm − sh21
Δ
H
12
Instrument 1
z ,
11
s
11
ΔH
11
40
ΔH
22
z ,
22
s
22
t 2
ΔH
AB
B

a) Zentrierung auf die beiden Zieltafeln
Für den Fall, dass die Zentrierung der beiden Zenitdistanzen auf die beiden
Zieltatfeln erfolgt, sind nun die Zenitdistanzen wie folgt zu korrigieren:
✁z1T =
✁z2T =
sin z
Shm
sin z
Shm
z1T = z11 + ✁z1T
z2T = z21 + ✁z2T
$ (✁S1 $ cos z11 − (−✁H12) $ sin z11) $ 200
✜
$ (✁S2 $ cos z21 − (−✁H22) $ sin z21) $ 200
✜
Der Höhenunterschied zwischen den beiden Zieltafeln und der
✁HT1T2
Refraktionskoeffizient k berechnen sich dann unter Berücksichtigung einer mittleren
Geländehöhe HM nach
✁HT1T2 = HT2 − HT1 = Shm $ 1 + Hm
R $ tan z2T − z1T
2
k = 1 − R
shm $
✜
200 Gon $ (z1T + z2T − 200 Gon)
Hiermit berechnet sich dann der Höhenunterschied zwischen den beiden
Höhenbolzen wie folgt:
✁HAB = HB − HA = t1 − ✁H13 + ✁H12 + ✁HT1T2 − ✁H22 + ✁H23 − t2
b) Zentrierung auf die Kippachsen der beiden Tachymeter
Für den Fall, dass die Zentrierung der beiden Zenitdistanzen auf die Kippachse der
Tachymeter erfolgen soll, ergeben sich folgende Zentrierungsberechnungen:
✁z1K =
✁z2K =
sin z
Shm
sin z
Shm
z1K = z11 + ✁z1K
z2K = z21 + ✁z2K
$ (✁S1 $ cos z11 − (−✁H22) $ sin z11) $ 200
✜
$ (✁S2 $ cos z21 − (−✁H12) $ sin z21) $ 200
✜
Der Höhenunterschied zwischen den Kippachsen der beiden Tachymeter ✁HK1K2
und der Refraktionskoeffizient k berechnen sich dann unter Berücksichtigung einer
mittleren Geländehöhe HM nach
41
✁HK1K2 = HK2 − HK1 = Shm $ 1 + Hm
R $ tan z2K − z1K
2
k = 1 − R
shm $
✜
200 Gon $ (z1K + z2K − 200 Gon)
Hiermit berechnet sich dann der Höhenunterschied zwischen den beiden
Höhenbolzen wie folgt:
✁HAB = HB − HA = t1 − ✁H13 + ✁HK1K2 + ✁H23 − t2
Welche der drei hier vorgestellten Methode zur Berechnung des
Höhenunterschiedes und des Refraktionskoeffizienten benutzt wird, ist dem
Anwender überlassen, da sämtliche Methoden zum gleichen Ergebnis führen.
2.3.4 Trigonometrisches Nivellement
Das trigonometrische Nivellement ist vom Beobachtungsverfahren vergleichbar mit
dem geometrischen Nivellement. An Stelle eines Nivelliers, das im Idealfall eine
horizontale Ziellinie realisiert, wird beim trigonometrischen Nivellement ein
Tachymeter benutzt. Die Höhenberechnung erfolgt im Hin- und Rückblickverfahren
mittels der gemessenen Strecken und Zenitdistanzen. Als Zielobjekt kann sowohl
eine Nivellierlatte als auch ein Prisma benutzt werden.
t R
Trigonometrisches Nivellement
s
R
s hR
z R
i
Die Berechnung des Höhenunterschieds erfolgt mittels der Formel zur
trigonometrischen Höhenmessung, wobei aufgrund der gleichen Zielweiten der
Anteil aus Erdkrümmung und Refraktion unberücksichtigt bleiben kann.
42
z V
ΔH R
s
V
s hV
t V
ΔH V

mit
✁H = ✁HV − ✁HR + tV − tR
✁HR = shR $ cot zR + i − tR = sR $ cos zR + i − tR
✁HV = shV $ cot zV + i − tV = sV $ cos zV + i − tV
Für den Fall, dass die Tafelhöhe von Vorblick und Rückblick identisch sind (z.B. die
Latte wird immer an derselben Stelle angezielt), fällt die Tafelhöhe bei der
Berechnung des Höhenunterschiedes nach (1) heraus. Die Vorteile des
trigonometrischen Nivellements sind:
� Verlauf des Zielstrahls in gleicher Höhe (> 0.5 m) über dem Boden auch bei
geneigtem Gelände
� größere Zielweiten, auch bei geneigtem Gelände
� Elimination des Höhenindexfehlers auch bei Messung in einer Lage
Die Genauigkeit hängt dabei von folgenden Faktoren ab:
(1)
� Standardabweichung der Zenitdistanzmessung
� Standardabweichung der Streckenmessung
� Länge und Unterschiede der Zielweiten
� Unterschiede in den Refraktionseinflüssen zwischen Hin- und Rückblick
Während die ersten beiden Fehlereinflüsse aufgrund der Messgenauigkeit des
Tachymeters leicht abgeschätzt werden können, sind die Einflüsse der Refraktion -
auch bei Einhaltung gleicher Zielweiten - schwierig abzuschätzen. Auf jeden Fall
sollten Zielstrahlen, die in einer Höhe < 0.5 m über dem Boden verlaufen, vermieden
werden. Bei ungleichen Zielweiten ist der Refraktionseinfluss zusammen mit der
Erdkrümmung nach der bereits o.a. Formel zur trigonometrischen
Höhenübertragung zu berücksichtigen:
✁H = ShR $ cot zR + (1 − k) $ S2 hR
+ i − tR 2 $ R
− ShV $ cot zV + (1 − k) $ ShV + i − tV 2 $ R
= ShR $ cot zR − ShV $ cot zV + (1 − k) $ S2 2
hR − ShV
− tR + tV
2 $ R
2
Fordert man nun, dass bei Annahme gleicher Refraktion für den Hin- und Rückblick
und bei Vernachlässigung der Refraktion und Erdkrümmung der Fehler pro
Aufstellung < 0.01 mm bleiben soll, so ist folgende Anforderung an die beiden
Zielweiten zu erfüllen:
43
(2)
(1 − k) $ S2 2
hR − ShV
2 $ R
!
[ 0.01 mm
(1 − k) $ (ShR + ShV ) $ (ShR − ShV ) !
[ 0.01 mm
2 $ R
!
✁S = ShR − ShV [
0.01 mm $ 2 $ R
¡
0.01 mm $ R
= 0.0115 mm $
(1 − k) $ (ShR + ShV ) (1 − k) $ Sh
R
Sh
Für einen mittleren Wert für k von 0.13 resultiert hieraus folgende Anforderung für
die Differenz :
✁S = ShR − ShV
S [m]
ΔS [m]
50 m
1.5 m
100 m
0.73 m
200 m
0.37 m
300 m
0.24 m
500 m
0.15 m
Die Auswirkung der Messunsicherheiten in den Strecken- und
Zenitdistanzmessungen lässt sich an Hand der Näherungsformel wie folgt
abschätzen, wobei von gleichen Standardabweichungen für den Hin- und Rückblick
ausgegangen wird :
✁H ¡ ShR $ cot zR − ShV $ cot zV
2
ShR 2 2 2 2 2 $ ✤z ✤✁H = cot zR $ ✤S + cot zV $ ✤S +
sin 4 +
zR
ShV
2 $ ✤z sin 4 zV
Beispiel: ✤s = 0.01 m
z = 100 Gon
z = 95 Gon
z = 90 Gon
z = 85 Gon
= (cot2zR + cot2 2 S
2 hR
zV) $ ✤S + (
sin 4 zR
✤z = 0.5 mGon
S = 50 m
0.6 mm
1.2 mm
2.3 mm
3.4 mm
S = 100 m
1.1 mm
1.6 mm
2.5 mm
3.6 mm
+ S2 hV
sin 4 2 ) $ ✤z zV
S = 200 m
2.2 mm
2.5 mm
3.2 mm
4.1 mm
(σz in [rad]!)
S = 300 m
3.3 mm
3.5 mm
4.1 mm
4.9 mm
Dabei ist anzumerken, dass bei horizontalen Visuren (z = 100 Gon) ein Fehler in der
Streckenmessung sich nicht auswirkt. Für einen Nivellementsweg von 1 km sind bei
einer Zielweite von S = 100 m insgesamt n = 5 Aufstellungen notwendig. Für das
trigonometrische Nivellement im Hin- und Rückweg resultiert hieraus bei Annahme
von Zenitdistanzen von z = 95 Gon eine Standardabweichung für den gesamten
Höhenunterschied von
44

✤✁H1km = n 2
= 5
2
$ ✤✁H
$ 1.6 mm = 2.5 mm
Das Beispiel zeigt, dass das geometrische Feinnivellement in der Genauigkeit dem
trigonometrischen Nivellement überlegen ist. Aufgrund der Wirtschaftlichkeit stellt
das trigonometrische Nivellement aber eine echte Alternative dar.
45
3 Azimutbestimmung mit Vermessungskreisel
Als Azimut wird eine orientierte Richtung bezeichnet. Während in der Navigation die
Bezugsrichtung für den Kurswinkel die geographische Nordrichtung ist, wird für
Vermessungsaufgaben i.d.R. die Richtung in Bezug auf die Richtung der x-Achse
(Hochwert) benötigt. Diese Richtung wird auch mit Gitternord bezeichnet und
unterscheidet sich von der geographischen Nordrichtung um die so genannte
Meridiankonvergenz γγγγ.
Die Azimutbestimmung für Vermessungsaufgaben wird zur Orientierung von
Richtungsmessungen und von nicht angeschlossenen Polygonzügen eingesetzt,
wenn z.B. die Richtungsübertragung mittels Fernziele nicht möglich ist, wie z.B. im
Markscheidewesen oder im Tunnelbau. Als Messgeräte werden Kreisel eingesetzt,
die die natürliche Erdrotation zur Bestimmung der Nordrichtung ausnutzen.
3.1 Grundlagen
Die Azimutbestimmung mittels Kreiselmessungen basiert auf der Messung der
Erdrotation. Die erzielbare Genauigkeit hängt dabei von der geographischen Breite
und der Kreiseldrift ab.
3.1.1 Die Erdrotation
Das Signal, das zur Bestimmung der Nordrichtung (Azimut) genutzt wird, ist die
breitenabhängige Horizontalkomponente der Erddrehrate, die in Richtung der
Rotationsachse der Erde auftritt und von West nach Ost erfolgt. Die
Horizontalkomponente entspricht dabei am Äquator (ϕ = 0°) der vollen Erddrehrate
mit
Kurswinkel ψ
Nord
x b
Navigation Nord Vermessung
Hochwert (x)
Azimut A
γ
P
2
ψ
turn right
y b
Ost
✡E = 7.292115 $ 10 −5 rad
s = 15.04107 o /h
und nimmt zu den beiden Polen hin ab. An den beiden Polen ist die
Horizontalkomponente null, d.h. der gesamte Betrag der Erddrehrate tritt als
Vertikalkomponente auf, so dass eine Azimutbestimmung mittels Kreiselmessungen
46
Meridian
P 1
A
Ostwert (y)

dort nicht mehr möglich ist. Da die Erdrotation von West nach Ost erfolgt, wirkt keine
Drehung um die nach Osten zeigende Koordinatenachse.
ϕ
ϕ
Horizontal- und Vertikalkomponente der Erdrotation
Erddrehrate Ω
E
Nord
lokales
Koordinatensystem
Lotrichtung
ϕ ϕ
Lotrichtung
Nord
lokales
Koordinatensystem
Führt man nun ein lokales, an die Lot- und Nordrichtung orientiertes lokales
Koordinatensystem (x, y, h) ein, so ergeben sich folgende Komponenten:
Beispiele:
Breite ϕ
Ωx
Ωh
→
✡ lokal =
✡x
✡y
✡h
0°
15.04107°/h
0°/h
= ✡E $
cos ✩
0
sin ✩
25°
13.63184°/h
6.35663°/h
50°
9.666821°/h
11.52213°/h
75°
3.89292°/h
14.52856°/h
90°
0°/h
15.04107°/h
Eine Azimut- oder Kurswinkelbestimmung allein aufgrund von Kreiselmessungen ist
wegen der Breitenabhängigkeit der Horizontalkomponente nur bis Breiten von ca.
75° ... 80° sinnvoll.
3.1.2 Kreisel
Als Kreisel kann jeder um eine Achse rotierende Kreisel bezeichnet werden. Diese
mechanischen Kreisel haben die Eigenschaft, dass diese aufgrund der Trägheit und
des Drehimpulses die Lage der Rotationsachse im Raum beibehalten möchten.
Wird nun durch eine äußere Kraft versucht, die Rotationsachse zu kippen, so
reagiert der Kreisel hierauf durch eine sog. Präzessionsbewegung. Neben diesen
mechanischen Kreiseln gibt es auch optische Kreisel, die mittels Lichtwellen in der
47
Lage sind Drehbewegungen zu messen. Hierzu gehören die Laserkreisel und die
faseroptischen Kreisel. Die höchste Genauigkeit wird mit den bandgehängten und
schweregefesselten Kreisel erzielt, die eine stationäre Aufstellung erfordern. Von
den optischen Kreiseln, die insbesondere in der Inertialnavigation eingesetzt
werden, zählen die Laserkreisel zu den genauesten Drehratensensoren (Drift <
0.001°/h), die auch eine Orientierung im Fluge erla uben. Der Prozess der
Nordrichtungsbestimmung mittels Kreisel wird auch Gyrocompassing genannt.
3.1.2.1 Mechanische Kreisel
Das Verhalten eines mechanischen Kreisel wird durch seine Rotationsachse, seine
Rotationsgeschwindigkeit und seinem Massenträgheitsmoment (Masse in Bezug auf
den Abstand zur Rotationsachse) bestimmt.
ω
Massen i
m Δ im Abstand ri
zur Rotationsachse
ω
ri
Δm
i
Das Massenträgheitsmoment J berechnet sich dabei wie folgt aus dem Abstand ri
und der Masse Δmi.
n
2 J ¡ ✟ ri $ ✁mi (diskret)
J =
i=1
M
r
0
2 $ dm (koninuierlich)
Das Massenträgheitsmoment J bestimmt zusammen mit der
Rotationsgeschwindigkeit ω (Winkelgeschwindigkeit, Drehrate) die Rotationsenergie
Wrot des Kreisels (vergleichbar mit der kinetischen Energie Wkin einer mit einer
Geschwindigkeit V sich gradlinig bewegenden Masse m):
Wkin = 1 $ m $ V2
2
Wrot = 1 $ J $ ✬2
2
Einheiten:
kg $ m 2
s 2
kg $ m 2 $ rad2
s 2
h [N $ m]
h [N $ m]
Die Rotation kann dabei um jede beliebige Achse erfolgen, wobei hier nur die
Kreisel in Betracht kommen, die eine Rotation um eine ihrer Hauptachsen ausführen
und eine symmetrische Massenverteilung zur Rotationsachse aufweisen
48

(Schwerpunkt liegt in der Rotationsachse). Anderenfalls können beträchtliche
Lagerkräfte auftreten, die ein Taumeln des Kreisels verursachen können.
Eine weiterer wichtiger Parameter, der zur Beschreibung der Effekte bei
mechanischen Kreiseln notwendig ist, ist der Drehimpuls H, der oft auch als Drall
bezeichnet wird. Dieser berechnet sich aus den drei Massenträgheitsmomenten der
drei Hauptachsen (J1, J2, J3) und den entsprechenden Drehgeschwindigkeiten (ω1,
ω2, ω3):
H =
J1 $ ✬1
J2 $ ✬2
J3 $ ✬3
= H1 + H2 + H3
einem Kardanrahmen
aufgehängten freien Kreisel
reagiert der Kreisel hierauf
mit einer Drehbewegung
senkrecht zu dem
wirkenden Drehmoment und
der Rotationsachse. Diese
Reaktion bzw. das
Ausweichen des
Kreiselrotors wird auch
Präzession genannt. In dem
nebenstehenden Beispiel
verursacht das einwirkende
Drehmoment M3 eine
Drehbewegung ω2 auf den
Drehgeschwindigkeitsvektor
49
→
✬ =
✬1
✬2
✬3
Die Richtung des
Drehimpulsvektors H fällt nur
mit der Richtung des
Drehgeschwindigkeitsvektors
ω zusammen, wenn die
Massenträgheitsmomente
gleich sind oder nur eine
Drehbewegung um eine
einzige Hauptachse vorliegt
(vgl. Abbildung links).
Wirkt nun eine äußere Kraft in
Form eines Kräftepaars F, das
über einen Hebelarm eine
Drehbewegung (= Drehmoment M
mit M = F % r,)
auf den Kreisel
ausübt, so ändert sich der
Drehimpulsvektor. Bei einem in
kardanisch aufgehängten Kreisel. Der Kreisel weicht solange aus, bis dass die
Rotorachse des Kreisels parallel und gleichsinnig zum einwirkenden Drehmoment
steht. (Satz vom gleichsinnigen Parallelismus). Im Idealfall, wenn kein äußeres
Drehmoment wirkt, behält der Kreisel seine Lage im Raum bei. Aufgrund einer nicht
perfekten Lagerung des Kreisels sowie kleine Unwuchten und
Rotationsschwankungen ist dieser Idealfall in der Praxis nicht gegeben, so dass der
Kreisel i.d.R. ständig äußeren Drehmomenten unterliegt, die sich in Form einer sog.
Kreiseldrift bemerkbar machen.
Je nachdem, wie ein Kreisel aufgehängt ist, unterscheidet man folgende
Kreiseltypen:
Freie Kreisel sind Kreisel mit drei Freiheitsgraden, deren Laufachse die Richtung im
Inertialraum beibehält und die weder gestützt noch geführt werden.
Wegen der unvermeidbaren Kreiseldrift, können diese Kreisel nur für
eine sehr kurze Zeit zur Stabilisierung einer Richtung eingesetzt
werden.
Lotkreisel sind Kreisel, welche die Richtung einer Plattform gegenüber der
Lotrichtung bestimmen und z.B. die Anzeige eines künstlichen
Horizonts steuern können.
Kurskreisel sind Kreisel, die Richtung einer Plattform um die Lotrichtung
ermöglichen, wobei i.d.R. als Bezugsrichtung die Nordrichtung dient. In
diesem Fall messen die Kurskreisel das Azimut. Kurskreisel sind
jedoch nicht in der Lage aufgrund der Erddrehung die geographische
Nordrichtung autonom zu finden.
Wendekreisel sind Kreisel mit zwei
Freiheitsgraden, die die
Drehgeschwindigkeit der Plattform
um eine festgelegte Achse
anzeigen (hier ). Die Anzeige
✬3
erfolgt dabei entweder aufgrund
des Ausweichens der
Rotationsachse oder aufgrund
eines äußeren Drehmoments (hier
M2),
das die Rückstellung der
Rotationsachse bewirkt.
Kreiselkompasse sind Kreiselsysteme, die in der Lage sind, autonom die
Nordrichtung zu finden. Hierzu zählt der Schiffskreiselkompass und
der Meridian- oder Vermessungskreisel.
3.1.2.2 Optische Kreisel
Zu den optischen Kreiseln zählen die Laserkreisel und faseroptischen Kreisel. Diese
Kreisel nutzen zur Messung von Drehbewegungen den sog. Sagnac Effect aus, d.h.
50

eine Lichtwelle behält seine Phasenlage bzw. Eigenschaften in Bezug auf ein
inertiales Koordinatensystem bei.
Spiegel
Photodetektor
Anode
Spiegel
Kathode
Umlenkprisma
Resonatorblock
Anode
Spiegel
Laserkreisel (links) sind z.Zt. die genauesten Kreisel mit Driften < 0.001°/h und
werden vorwiegend in sog. Inertialsystemen und in der Inertialnavigation eingesetzt.
Die genauesten faseroptischen Kreisel (rechts) haben Driften im Bereich von 0.01°/h
und größer. Damit sämtliche Drehbewegungen eines Fahrzeugs erfasst werden
können, sind immer drei Kreisel notwendig. Die Inertialsysteme, die zusätzlich drei
Beschleunigungsmesser enthalten, sind ebenfalls in der Lage die Nordrichtung -
auch unter Bewegung - zu finden. Neben diesen hochgenauen Kreisel etablieren
sich immer mehr für einfache Regelungsaufgaben die sog. MEMS-Kreisel
(Micro-Electro-Mechanical-System). Hierzu zählen auch die Piezo-, Ceramic- und
Quartzkreisel (z.B. als Weinglaskreisel, Stimmgabelkreisel).
Prinzipiell erfolgt die Bestimmung der Nordrichtung durch Integration bzw. Mittelung
der gemessenen Drehraten der drei Kreisel über eine bestimmte Zeitdauer (mehrere
Minuten). Die drei Komponenten werden mittels der Lagewinkel, die aus den
Beschleunigungen abgeleitet werden, in ein zunächst unorientiertes lokales
Koordinatensystem (x’, y’, z = Lotrichtung zum Nadir) transformiert. Für die so
transformierten Komponenten (ωx’, ωy’, ωz) gilt unter Berücksichtigung der wirkenden
Horizontalkomponete der Erddrehrate (Ωx):
51
Licht-
quelle
Photodetektor
Strahlteiler
R ω
Spule
✡x = ✡E $ cos ✩
✬x ∏
✬y ∏
✬z
= ✡E $
cos ✩ $ cos ✫
− cos ✩ $ sin ✫
− sin ✩
Aus diesen beiden gemessenen
Horizontalkomponenten (ωx’, ωy’) lässt
sich dann die Richtung der x’-Achse in
Bezug auf die geographische
Nordrichtung wie folgt bestimmen:
✫ = arctan −✬ y∏
✬ x∏
Die Genauigkeit hängt dabei von der Größe der breitenabhängigen horizontalen
Erddrehrate und der Kreiseldrift ab und lässt sich wie folgt abschätzen:
Beispiel:
Nord (x)
✒✫ =
ω y'
ψ
Kurswinkel ψ
turn right
✒g
✡E$cos ✩
✒g = 0.001 o /h
✡E = 15 o /h
✩ = 51 o
Ωx
ω x'
y'
x'
Ost (y)
d ✒✫ = 0.001
9.44 = 1.06 $ 10 −4 rad = 0.0061 o = 6.7 mGon
Da die horizontale Komponente mit zunehmender Breite abnimmt und an den Polen
null ist, nimmt auch die Genauigkeit entsprechend ab. An den Polen scheitert die
Bestimmung der Nordrichtung mittels Kreiselmessungen.
52

3.2 Der Vermessungskreisel
Bei dem Vermessungskreisel handelt es sich
um einen bandgehängten und
schweregefesselten Kreisel. Der Kreisel hängt
an einem dünnen, aber kräftigen und
elastischen Metallband (Torsionsfaden) und
schwingt frei in der Luft. Durch den
Aufhängepunkt oberhalb des Schwerpunktes
ist der Kreisel automatisch an die Lotrichtung
gekoppelt (schweregefesselt). Der
Kreiselrotor ist als Außenläufer eines
Elektromotors in der Kreiselkappe gelagert.
Nachführeinrichtung
obere Bandklemme
Trageband
untere Bandklemme
Kreiselmast
Schwerpunkt
Rotorachse
Kreiselkappe
mit Kreisel
Die aktuelle Stellung der Kreiselachse (Rotorachse) bzw. dessen
Richtungsänderung kann über einen festen Spiegel am Kreiselmast mittels
Autokollimation abgegriffen bzw. abgelesen werden.
Erddrehrate
Z x
Ω
E
Ω
N
Aufgrund der Schwerebeschleunigung
g wird der am Band aufgehängte
Kreisel stets an die Lotrichtung
gefesselt, wodurch sich die
Rotorachse senkrecht zur Lotrichtung
ϕ
y
Ω
V
ausrichten wird. Aufgrund des
Drehimpulses möchte der Kreisel aber
die ursprüngliche Lage beibehalten.
Die Erdrotation ΩE, die im lokalen
g
z
Koordinatensystem eine Komponente
um die Lotrichtung (ΩV) und um die
nach Norden zeigende Achse (ΩN)
aufweist, führt dazu, dass sich das
ϕ
Y
lokale Koordinatensystem gegenüber
der Rotorachse des Kreisels, der seine
Lage im Raum beibehalten möchte,
verändert. Für den Fall, dass die Rotorachse des Kreisels nicht nach Norden (oder
Nord
53
Süden) zeigt, übt dann die Schwerebeschleunigung g ein äußeres Drehmoment, das
sog. Fesselmoment, auf den Kreisel aus, und versucht, die Rotorachse wieder
horizontal auszurichten. Hierauf reagiert nun der Kreisel mit einer
Präzessionsbewegung, d.h. der Kreiselrotor weicht in einer Drehbewegung
senkrecht zu dem äußeren Drehmoment und dem Rotationsvektor des Kreisel aus -
führt also eine Drehbewegung um den Faden, an dem der Kreisel aufgehängt ist,
aus. Diese Drehbewegung hält solange an, bis dass die Rotationsachse des
Kreisels parallel zur Nordkomponente der Erddrehrate zeigt.
Nord
α
Dreh-
vektor
Ω V
g
β
Ω N
Erddrehrate Ω
E
Nord
Lotrichtung
Aufgrund der Torsion des Fadens, an dem der Kreisel aufgehängt ist, wird sich die
Nordrichtung nicht direkt sondern aufgrund der Präzession des Kreisels in Form
einer gedämpften Schwingung einstellen. Die Schwingungsdauer T hängt dabei von
zwei Momenten (Kraft, die über einen Hebelarm angreift) ab:
� das Richtmoment R
� das Fesselmoment M.
Die Größe dieser Momente und die daraus resultierende Schwingungszeit hängen
von den Eigenschaften des Kreisels (Masse, Aufhängung,
Rotationsgeschwindigkeit), der beiden Erddrehratenkomponenten und den beiden
Auslenkungswinkeln α und β ab. Unter Berücksichtigung der beiden
Erddrehratenkomponenten gilt
R = JK $ ✬K $ ✡E $ cos ✩ $ sin ✍ = HK $ ✡N $ sin ✍
E = M $ sin ✎ oder HK $ ✡V = m $ g $ l $ sin ✎
✡N = ✡E $ cos ✩
✡V = ✡E $ sin ✩
T = 2✜ $
HK
M$(✡N+ D B
H K )
¡ T0
cos ✩
54
g
Ω N
Ω V

Hierin bedeuten:
R: Richtmoment
E: Elevationsmoment
M: Fesselmoment
JK: Trägheitsmoment des Kreisels
ωK: Winkelgeschwindigkeit des Kreisels (Drehrate, Rotationsgeschwindigkeit)
Hk: Drehimpuls des Kreisels
α: Winkel (Abweichung) gegenüber Nord
β: Winkel (Abweichung) gegenüber der Lotrichtung
m: Masse des schwingenden Systems
g: Schwerebeschleunigung am Messort
l: Länge des Bandes zwischen Aufhängepunkt und Schwerpunkt
T0: Schwingungszeit T am Äquator
DB: Rückstell- bzw. Torsionsmoment des Aufhängefadens
Typische Schwingungszeiten für T0 liegen im Bereich von 5 min bis 15 min. Die
Schwingungszeiten T nehmen dabei mit zunehmender Breite zu. Die Amplitude wird
durch die Anfangsstellung (Winkel α = Abweichung von der Nordrichtung) bestimmt.
Für ein schnelles Einschwingen des Kreisels sollte die Nordrichtung deshalb bereits
auf besser als 1 Gon (0.1 Gon - 0.3 Gon) voreingestellt sein.
α
3.2.1 Beobachtungsverfahren
Nach dem Aufstellen und Horizontieren schwingt der Kreisel in Form einer
gedämpften Schwingung um die genähert eingestellte Nordrichtung. Die jeweilige
Richtung der Kreiselachse kann mittels einer Autokollimationseinrichtung auf eine
Hilfsskala projiziert, an der die Amplitude abgelesen wird. Zur Reduzierung des
Torsionsmomentes des Aufhängefadens ist es vorteilhaft, den Kreisel ständig durch
Verdrehen der Bandklemme vorsichtig der Bewegung nachzuführen. Diese Methode
mit manueller Nachdrehung der Bandklemme ist die klassische Methode, die einen
geringen gerätetechnischen Aufwand aber einen geschulten Beobachter erfordert
und außerdem viel Zeit beansprucht. Zur Bestimmung der Nordrichtung mit
Nachführung des Vermessungskreisels kommen zwei Verfahren zur Anwendung:
� Umkehrpunktmethode
� Durchgangsmethode
T
55
Zeit t
α
α N
Bei der Umkehrpunktmethode wird ausgenutzt, dass an den Umkehrpunkten die
Bewegung kurzfristig zum Stillstand kommt. Dieser Moment wird abgewartet und es
erfolgt eine erste Ablesung u1. Am zweiten Umkehrpunkt erfolgt dann die Ablesung
u2 und am dritten die Ablesung u3. Aus diesen Ablesungen lässt sich die Stellung der
Rotorachse in Bezug auf die Nordrichtung wie folgt bestimmen:
✍N =
(u1+u3 )
2
+ u2
2
Zur Genauigkeitssteigerung können noch weitere Umkehrpunkte bestimmt und in
die Berechnung eingeführt werden.
Bei der Durchgangsmethode werden die Zeiten t1, t2, t3 ... zwischen zwei
Nulldurchgängen gemessen. Für den Fall, dass die Mittellage nicht der Nordrichtung
entspricht, ergeben sich für die beiden Durchgänge einer kompletten Schwingung T
zwei unterschiedliche Zeiten. Aus den beiden Schwingungszeiten t1, t2 und der
Amplitude lässt sich dann der Differenzwinkel Δα berechnen.
α
α N
Δα
u1
t 1
u 2
Da bei beiden Methoden die Schwingung während der Bewegung beobachtet
werden muss, kommen nur Kreisel mit einer großen Schwingungszeit T ( > 5 min) in
Betracht. Eine lange Schwingungszeit lässt sich nur mit dünnen Fäden mit einer
geringen Torsionssteifigkeit erzielen, was gleichzeitig eine hohe Empfindlichkeit
gegenüber Stößen und anderen äußeren Einwirkungen bedeutet. Ein weiteres
Problem ist der Torsionsnullpunkt des Fadens, der mit der Nulllage zusammenfallen
und der sich während der Messung nicht ändern sollte.
56
T
u 3
Umkehrpunktmethode
t 2
T
t 3 t 4
Durchgangsmethode
Zeit t
Zeit t

57
Ein Beispiel für einen bandgehängten
Kreisel, der manuell nachgeführt
werden muss, ist der Aufsatzkreisel
GAK 1 von Wild, der auf einem T 16
montiert werden kann.
Technische Daten des GAK 1:
Höhe
Durchmesser
Aufhängeband
Querschnitt
Bandzug
Kreisel
Drehzahl
Drehimpuls
Hochlauf
Bremszeit
Halbschwingzeit (mittl. Breiten)
Einsatzbereich
Temperaturbereich
Winkelwert pro Skaleninterv.
Standardabweichung
Eingangsspannung
Stromaufnahme
340 mm
85 mm
Nivaflex
0,4 x 0,02 mm
ca. 550 g
Perkin-Elmer Typ
831
ca. 22000 U/min
1,86 x 10 -6 cm²gs -1
ca. 1,5 min
ca. 50 s
ca. 4 min
bis ca. 75° geogr.
Breite
-40 °C bis 50 °C
0,19 gon / 10'
10 mgon / 30"
12 V =
4 A max.
Kürzere Schwingungszeiten und damit
kürzere Messzeiten lassen sich nur mit
bandgehängten Kreisel erzielen,
dessen Aufhängebänder eine hohe
Torsionssteifigkeit aufweisen und die
automatisch nachgeführt und
abgelesen werden. Zu dieser
Generation von bandgehängten
Kreiseln gehört der Gyromat 2000 von
DMT (DeutscheMontanTechnologie für
Rohstoff, Energie, Umwelt). Mit Hilfe
einer automatischen Nachführregelung
wird bei dem Gyromat das
Gerätegehäuse dem einschwingenden
Kreisel nachgeführt, wobei keine
Vorausrichtung erforderlich ist. Die
Messzeit in dem genauesten
Messmodus beträgt 9 min bei einer
Standardabweichung von 1 mGon. Die
Verwendung des Gyromats ist mit
verschiedenen Theodoliten und
58
Tachymetern
möglich. Die
technischen Daten
sowie die
wichtigsten
Baugruppen sind
nebenstehend
aufgeführt.
Dieser Kreisel wird
vorwiegend im
Tunnelbau (u.a.
beim Eurotunnel,
Alptransittunnel)
und anderen
Ingenieurprojekten
eingesetzt.

3.2.2 Berechnung der Nordrichtung (Azimut)
Die mittels der Kreiselmessung bestimmte Richtung αn ist noch um
verschiedene Winkel zu korrigieren. Der Zusammenhang ist in der nebenstehenden
Abbildung dargestellt.
Der aus der Kreiselmessung stammende Wert α0 ist zunächst um den Eichwert E,
der die Abweichung der Richtung der Rotorachse bzw. des Kreiselzeigers von der
Nordrichtung beinhaltet, wie folgt zu korrigieren:
Teilkreisnull
Kreiselzeiger
α N
α 0
✍N = ✍0 + E
E
N
G (X)
γ
Das geographische Azimut ✍P zum Zielpunkt P errechnet sich dann aus der
Nordrichtung des Kreiselzeigers ✍N und der Teilkreisblesung r
(Horizontalrichtung) in Richtung des Zielpunktes P:
✍P = r − ✍N = r − ✍0 − E
r
α P
Standpunkt
A P
In der Regel wird für geodätische Anwendungen an Stelle des geographischen
Azimutes αP das auf Gitternord (bei Verwendung von Gauß-Krüger- oder
UTM-Koordinaten) bezogene Azimut AP benötigt. In diesem Fall muss zusätzlich die
Meridiankonvergenz γ wie folgt berücksichtigt werden:
AP = ✍P − ✏ = r − ✍N − ✏ = r − ✍0 − E − ✏
In Gebieten mit einer großen Lotabweichung und insbesondere im Hochgebirge ist
eine weitere Korrektion notwendig. Die Lotabweichungskorrektion ✁✍✔✛,
die
vergleichbar mit der Korrektion des Stehachsfehlers ist, berechnet sich aus den
beiden Lotabweichungskomponenten in Nord- bzw. Ostrichtung ( ✔, ✛)
und der
Zenitdistanz z wie folgt:
✁✍✔✛ = −(✔ $ tan ✩ + (✛ $ sin ✍P − ✔ $ cos ✍P) $ cot z)
59
P
Zielpunkt
mit
✛ = ✂ − ✩
✔ = (✆ − ✘) $ cos ✩
Diese Werte können auch aus Geoidhöhen bzw. Quasigeoidhöhen berechnet
werden.
Die Meridiankonvergenz (ellipsoidische: γ bzw. ebene: c) variiert mit dem
Abstand vom Hauptmeridian λ0 und berechnet sich in erster Näherung zu:
c ¡ ✏ ¡ ✁✘ $ sin ✩
✁✘ = ✘ − ✘0
ϕ, λ: geographische Koordinaten des Standpunktes
Diese Näherungen gewährleisten bereits eine Genauigkeit von besser 1 mGon. Für
höhere Genauigkeitsansprüche sind die nachfolgenden Reihenentwicklungen zu
benutzen.
:
Pol ( ϕ =90°)
Äquator
Hauptmeridian
X (Hoch)
λ 0
Δλ
Y (Rechts)
c,γ
60
P(ϕ,λ)
λ
ebene Meridiankonvergenz c
ellipsoidisch: γ
S ell
ϕ = const
Gauß-Krüger-Abbildung des Ellipsoids

KZ = trunc(
✘ − 1.5
) + 1
3
✘0 = 3 0 $ KZ
✘ − ✘0
✁✘ = ✯
✩0[ o] =
x
111092 m
✁x = x − G0
x = H
y = R − Kz $ 10 6 − 500 000 m
e 2 = 2 $ f − f 2
RN =
✔ =
a
1 − e 2 $ sin 2 ✩0
1
1 − e 2 − 1 $ cos2 ✩0
t = tan ✩0
a) ebene und ellipsoidische Meridiankonvergenz (c, γ) aus ellipsoidischen
Koordinaten
c = ✁✘ $ sin ✩ + 1 3 $ sin ✩ $ cos2 ✩ $ (1 + 3 $ ✔) $ ✁✘ 3 $ ✯
✏ = ✁✘ $ sin ✩ + 1 3 $ sin ✩ $ cos2 ✩ $ (1 + ✔) $ ✁✘ 3 $ ✯
b) ebene Meridiankonvergenz c aus Gauß-Krüger-Koordinaten oder aus
UTM-Koordinaten
∏ ∏ ∏ c = b01 $ y + b11 $ ✁x $ y + b21 $ ✁x2 ∏ $ y + b03 $ y3 ∏ + b31 $ ✁x3 ∏ $ y + b13 $ ✁x $ y3 + ...
mit
∏ t
b01 = RN
∏ 1+t
b11 = 2 +✔
R2 N
∏ 1 ∏ ∏ ∏ 1+4$t
b03 = − 3 $ b21 b31 = −b13 = 2 +3$t4 3$R4 N
∏ t$(1+t
b21 = 2−✔) R3 N
Bricht man die Reihenentwicklung nach dem ersten Term ab, so erhält man für c:
∏ c ¡ b01 $ y = t tan ✩0
$ y =
RN RN
$ y = tan( x
111092 m $ ✯)
$ y
RN
Für Genauigkeitsanforderungen von besser als 1 mGon und bei längeren Strecken
(> 1 km) ist zusätzlich die Richtungsreduktion zwischen der Richtung T der
gekrümmten ellipsoidischen Strecke (auf dem Ellipsoid) und der Richtung t der
Horizontalstrecke in der Abbildungsebene (Gauß-Krüger oder UTM) zu
berücksichtigen. Diese berechnet sich wie folgt aus den ebenen Koordinaten des
Stand- und des Zielpunktes:
T − t = y1$✯
2$R N 2 $ 1 − y 1 2
3$R N 2 $ (x2 − x1) + ✯
6$R N 2 $ 1 − 3$y 1 2
2$R N 2
61
$ (y2 − y1) $ (x2 − x1)