Geometrische Optik - Hochschule Bochum

Physikalische Grundlagen
der Messtechnik I
Geometrische Optik
Hochschule Bochum
Fachbereich Vermessung und Geoinformatik
Prof. Dr.-Ing. M. Bäumker
Version 20.09.12

Physikalische Grundlagen der Messtechnik I, II
Name: M. Bäumker
Raum: A0-3
Tel: (0234) 32 10511
Allgemeines
e-mail: Manfred.Baeumker@HS-Bochum.de
Homepage: siehe Homepage der FH-Bochum - FB5 - Professoren -
Bäumker oder Labor für physikalische Messtechnik
Internetadresse: www.hochschule-bochum.de/fbv/messtechnik.html
Dort ist ein Link zu den Skripten, Vorlesungsunterlagen und allg. Infos
eingerichtet:
www.fh-bochum.de/fb5/baeumker/download/infozurvorlesung.html
Laborraum für Praktika und Übungen: A01-09 oder H3
Das Lehrgebiet Physikalische Grundlagen der Messtechnik erstreckt
sich über die Semester 1 und 2 und endet mit der Modulprüfung am
Ende des 2. Semesters.
Stoffinhalt:
Physikalische Grundlagen der Messtechnik I: Geometrische Optik und
Wellenlehre
Physikalische Grundlagen der Messtechnik II: Mechanik und
Elektrizitätslehre
Teil I wird im 1. Semester (Wintersemester) gelehrt
Begleitend zu den Vorlesungen werden in (Vierer/Fünfer-) Gruppen
Übungen bzw. Praktika durchgeführt. Die Termine hierzu werden individuell
mit den einzelnen Gruppen noch festgelegt.
Weiterhin werden Tutorien angeboten, in denen Übungsaufgaben bzw.
alte Klausuraufgaben vorgerechnet werden.
Literatur (Auswahl):
Stroppe: Physik für Studenten der Natur- und Technikwissenschaften
Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik
Band III: Optik
Band I: Mechanik, Akustik, Wärme
Band II: Elektrizitätslehre und Magnetismus
Haferkorn: Optik
Schröder: Technische Optik
Stöcker: Taschenbuch der Physik
Weitere Informationen zu den Vorlesungen und Übungen, u.a. auch
Skripte und Programme zum Downloaden, befinden sich auf meiner
Homepage:
http://www.hochschule-bochum.de/fbv/messtechnik.html
Dort den Link
anklicken.
www.fh-bochum.de/fb5/baeumker/download/infozurvorlesung.html
Voraussetzungen:
Mathematikkenntnisse:Winkelfunktionen, Additionstheoreme
Vektor- und Matrizenrechnung

Inhaltsverzeichnis
1Physikalische Grundlagen der Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2Basiseinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3Erste Messung der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1Eigenschaften des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2Prinzip des Fotoapparates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1Spiegelung an einer ebenen Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2Mathematische Beschreibung der Spiegelung . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3Spiegelung an gekrümmten Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4Abbildungsgleichung des Hohlspiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5Abbildung eines räumlichen Gegenstandes durch
einen Hohlspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6Abbildung eines räumlichen Gegenstandes durch
einen Wölbspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4Brechung des Lichtes und Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1Lichtbrechung an einer planparallelen Platte . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2Strahlengang durch ein Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3Theorie der Lichtbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4Fermat'sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5Optische Weglänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3Abbildung durch Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1Linsenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2Dünne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1Bildkonstruktion für Sammellinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2Bildkonstruktion für Zerstreuungslinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3Dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1Brechung an einer spärischen Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2Strahlengang durch eine dicke Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4Synopse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4Linsensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
4
7
9
9
11
16
16
20
22
24
26
28
30
37
38
41
44
48
49
49
50
55
58
59
60
65
82
85
90
4.1Strahlengang durch Linsensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2Spezielle Linsensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1Zwei dünnne Linsen in konfokaler Anordnung . . . . . . . . . . . . . .
4.3Zusammenhang von Vergrößerung und menschliches
Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4Optische Geräte zur Sehwinkelvergrößerung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2Vergrößerung beim Kepler'schen Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.3Das Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.4Spezielle Anwendungen von Fernrohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.5Autokollimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1Sphärische Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2Koma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3Astigmatismus (Punktlosigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4Bildfeldwölbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5Verzeichnung und Verzerrung (Distorsion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6Farbfehler (Chromatische Aberration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2
93
94
94
96
98
98

1 Physikalische Grundlagen der Messtechnik
1.1 Begriffe
Physik ist eine grundlegende Naturwissenschaft mit der Zielsetzung
Aufbau, Eigenschaften, Zusammenhänge, Bewegungen der
nicht lebenden Natur (im Gegensatz zur Biophysik) zu erkennen
und möglichst in Form von mathematischen Gleichungen
darzustellen.
Wesentliches Hilfsmittel:
Experimente: Schaffung von optimalen Bedingungen zum
Nachweis aufgestellter Vermutungen (Hypothesen)
Nachweis (oder Widerlegung) der aufgestellten Hypothesen
erfolgt i.d.R. über Experimente (oder aus theoretischen Ableitungen
aus bereits gesicherten oder allgemeingültigen Sätzen).
Bei den Experimenten werden bestimmte physikalische Eigenschaften
durch direktes oder indirektes Messen ermittelt!
Voraussetzungen zum Messen von physikalischen Eigenschaften:
1. Maßstab mit einer Einteilung (Zählen der Striche)
2. Zuordnung einer Einheit, z.B. cm, m, km
3. Festlegung von Grundeinheiten (Basiseinheiten)
4. Sämtliche anderen Einheiten physikalischer Größen leiten sich
dann aus diesen Basiseinheiten ab.
wichtig: Physikalische Grö❴e = Wert * Einheit
Beispiel: Geschwindigkeit v
z.B. können gemessen werden:
a) Weg s in der Basiseinheit Meter [m]
b) Zeit t in der Basiseinheit Sekunde [s]
Hieraus leitet sich die Geschwindigkeit wie folgt ab:
Geschwindigkeit: v = s
t [ m s ]
3
Die Einheit für die Geschwindigkeit ergibt sich dann direkt aus den
beiden Basiseinheiten zu m/s.
1.2 Basiseinheiten
(s. a. Broschüre der PTB Braunschweig: Die gesetzlichen Einheiten in Deutschland;
befindet sich auf meiner Homepage als PDF-Datei zum Downloaden)
Die Basiseinheiten sollen an jedem Ort zu jeder Zeit mit höchstmöglicher
Genauigkeit reproduzierbar sein.
Folgende 7 Basiseinheiten (SI-Basiseinheiten; SI = Système International
d'unités) sind definiert:
{ Einheit der Länge: das Meter [m]
{ Einheit der Zeit: die Sekunde [s]
{ Einheit der Masse: das Kilogramm [kg]
{ Einheit der elektrischen Stromstärke: das Ampère [A]
{ Einheit der Temperatur: das Kelvin [K]
{ Einheit der Lichtstärke: das Candela [cd]
{ Einheit der Stoffmenge: das Mol [mol]
Die Festlegung der Basiseinheiten orientiert sich immer an die Möglichkeiten
zum Wiederherstellen der Einheit und die Problematik, dass die
Einheit an jedem Ort verfügbar bzw. reproduzierbar sein muss.
Beispiel: historische Entwicklung der Festlegung des Meters:
ehemals: Festlegung durch das Urmeter in Paris (sollte 1/40 000 000)
des Erdumfangs repräsentieren): Genauigkeit: 1·10 -5 - 1·10 -6 m
später: Festlegung durch die Wellenlänge einer bestimmten Lichtfarbe:
1 m ist das 1 650 763.73 fache der Wellenlänge der orangefarbenen
Spektrallinie der Edelgasatoms Krypton 86 im Vakuum;
Genauigkeit: 1·10 -8 m - 1·10 -9 m
heute: Festlegung über die Lichtgeschwindigkeit c: 1 m ist die Länge der
Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/ 299
792 458 s durchläuft: Genauigkeit: 1·10 -12 - 1·10 -13 m
In dieser Festlegung steckt die Lichtgeschwindigkeit für Vakuum (c0 =
299 792 458 m/s), die aus zahlreichen Messungen als Fundamentalkonstante
der Physik festgelegt wurde, und über die Basiseinheit der Zeit,
d.h. die Festlegung dieser Einheit erfolgt heute indirekt über eine
4

Zeitmessung (Frequenzmessung), die erheblich genauer als die Bestimmung
der Wellenlänge erfolgen kann (Atomuhren, relative Genauigkeit:
1·10 -12 - 1·10 -15 ).
Beispiel: historische Entwicklung der Festlegung der Sekunde:
ehemals: abgeleitet aus der Erdrotation (1 Tag = 24 h); bis in die
1950er-Jahre war die Sekunde als 1/86400 eines mittleren Sonnentages
definiert.
Seit 1967 ist daher die Sekunde über eine Resonanz des Cäsiumatoms
Cs 133 wie folgt definiert:
1 s ist die Dauer von 9 192 631 770 Schwingungsperioden der
Strahlung des Atoms Cäsium 133.
Die Realisierung und Verbreitung der gesetzlichen Zeit erfolgt mittels
mehrerer Atomuhren (rel. Genauigkeit: 1·10 -12 - 1·10 -15 ; dieses entspricht
einer Abweichung von 1 s in 30 000 bzw. 30 000 000 Jahren!) u.a. bei
der Physikalisch Technischen Bundesanstalt in Braunschweig (PTB).
Dabei unterscheidet man die sog. Atomzeit (International Atomic
Time IAT) und die sog. koordinierte Weltzeit UTC (Universial Time
Coordinated). Da seit Einführung der Atomzeit (International Atomic
Time IAT) die Rotation der Erde sich verlangsamt hat, werden in diskreten
Zeitabständen (z.B. vor dem 1. Januar oder vor dem 1. Juli) so
genannte Schaltsekunden bei der UTC-Zeit eingeführt, damit nicht eines
Tages die Sonne um Mitternacht am höchsten steht. Hieraus ergibt sich
folgender Zusammenhang zwischen der Zeit UTC und der Atomzeit:
UTC = IAT - (10 + n) (n: Anzahl der Schaltsekunden)
Die letzte Schaltsekunde wurde am 31.12.2008 eingeführt, so dass die
Differenz zwischen UTC und IAT mittlerweile 35 s beträgt (s.a. Tabelle
1).
Am 5.1.1980 um 24:00 h (Sa. 5.1. -> So. 6.1. = Beginn der GPS-Woche
0) wurde mit dem amerikanischen Satellitensystem NAVSTAR GPS eine
weitere wichtige Zeit, die so genannte GPS-Zeit, eingeführt. Zu diesem
Zeitpunkt wurde die GPS-Zeit mit der UTC-Zeit gleichgesetzt; bei der
GPS-Zeit werden aber keine Schaltsekunden berücksichtigt, so dass die
Differenz zwischen der GPS-Zeit und der UTC-Zeit zurzeit 16 s beträgt:
GPS-Zeit = UTC + (n - 9) ab 1.7.2012: GPS-Zeit = UTC + 16 s
5
Datum
30.06.1972
31.12.1972
31.12.1973
31.12.1974
31.12.1975
31.12.1976
31.12.1977
31.12.1978
31.12.1979
30.06.1981
30.06.1982
30.06.1983
30.06.1985
31.12.1987
31.12.1989
31.12.1990
30.06.1992
30.06.1993
30.06.1994
31.12.1995
30.06.1997
31.12.1998
31.12.2005
31.12.2008
nach UTC-Zeit
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
23:59:59
Anzahl
Schaltsekunden
n
30.06.2012 23:59:59
25
Tabelle 1: Schaltsekunden seit Einführung der Atomzeit
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
GPS-Zeit - UTC
[s]
Wegen der Polbewegung wird die Zeit UTC zusätzlich korrigiert. Dieses
führt schließlich zu der Zeit UT (Universial Time, Greenwich Mean
Time (GMT)).
6
---
---
---
---
---
---
---
---
---
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

GPS-Zeitproblem am 21.->22.8.1999: GPS week rollover (Woche 1023
-> 0) wegen 10-Bit-Darstellung der GPS-Woche (2 10 = 1024, d.h. nur
Zahlen von 0 bis 1023 darstellbar)
Aus der Zeit UT leiten sich die mitteleuropäische Zeit MEZ bzw. die
mitteleuropäische Sommerzeit MESZ wie folgt ab:
MEZ = UT + 1 h MESZ = UT + 2 h
Die Zeit MEZ bzw. MESZ werden über den Sender DCF77 Mainflingen
ausgestrahlt und können von den Funkuhren zum automatischen
Stellen der Uhr (z.B. auch von Sommer- auf Winterzeit und umgekehrt)
genutzt werden.
1.3 Erste Messung der Lichtgeschwindigkeit
Die erste Messung zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit erfolgte
bereits 1675 durch Olaf Römer. Dabei nutzte er folgende Eigenschaften
des Lichtes (geometrische Optik) aus:
{ geradlinige Ausbreitung
{ Schattenbildung durch Hindernisse
Lichtquelle
Hindernis
hell
dunkel
hell
Schirm
Als Lichtquelle verwendete Olaf Römer die Sonne, und als Hindernis
diente der Jupiter, der von mehreren Monden umkreist wird. Von einem
dieser Monde beobachtete Olaf Römer die Zeitpunkte, zu denen der
7
Jupitermond in den Schatten des Jupiters ein- bzw. austrat. Die Dauer
zwischen zwei Eintritten in den Schatten bestimmte er zu 42 h 28 m 36 s .
Daraufhin berechnete er die nächsten Eintritte voraus, stellte aber fest,
dass die vorausberechnete Zeit immer mehr von der tatsächlichen
Eintrittszeit abwich. Dieses änderte sich aber nach einem halben Jahr,
und nach einem Jahr stimmte seine Vorausberechnung wieder. Die
Differenz zwischen Minimum und Maximum der Abweichung betrug ca.
1000 s - eine Zeit, die mit damaligen Uhren leicht messbar war.
Die Ursache für dieses Phänomen konnte nur sein, dass das Licht sich
mit einer endlichen Geschwindigkeit ausbreitet.
t 3
+ 500 s
0 s
-500 s
t
2
Sonne
t 4
Position t
1
r
Position t 2
Umlaufbahn des
Jupiters
V ~ 30 km/s
Erde
t 1
Umlaufbahn der Erde
Position
Offensichtlich muss das Licht zwischen den Stellungen der Erde zu den
Zeitpunkten t1 und t3 als zusätzlichen Weg den Durchmesser der
Umlaufbahn der Erde um die Sonne zurücklegen. Die Lichtgeschwindigkeit
c lässt sich nun aus der beobachteten Zeitdifferenz Δt = 1000 s und
dem Radius r (~ 1.5·10 11 m) der Erdumlaufbahn um die Sonne wie folgt
bestimmen:
8
t 3
Jupitermond
beobachtete Zeitdifferenz
Position t4

c = 2$r
✁t l 2$1.5$1011 m
1000 s = 3 $ 10 8 m s = 300 000 km s
Dieses war der erste Versuch, die Geschwindigkeit des Lichtes zu
bestimmen und stimmte bereits gut mit dem heute festgelegten Wert
von c0 = 299 792 458 m/s überein.
2 Geometrische Optik
2.1 Eigenschaften des Lichtes
Beobachtung von punktförmigen Lichtquellen vor einem Hindernis (vgl.
Olaf Römer):
Schattenbildung
bei zwei punktförmigen Lichtquellen: Schatten- und Kernschatten:
Licht
quelle
Schattenbildung bei punktförmigen
Lichtquellen
Lichtquellen
9
Hindernis
Hindernis
hell
Kern-
schatten
hell
hell
Halbschatten
Kern-
schatten
Halbschatten
hell
Kern- und Halbschatten können auch bei nur einer Lichtquelle auftreten,
wenn diese nicht punktförmig sondern ausgedehnt ist. Beispiel in der
Natur:
totale und partielle Sonnenfinsternis
totale Sonnenfinsternis: Gebiete mit Kernschatten
partielle Sonnenfinsternis: Gebiete mit Halbschatten
Die Sonne ist hier als ausgedehnte Lichtquelle zu betrachten. Das
Hindernis ist hier der Mond, der sich zwischen Erde und Sonne schiebt.
Dabei gibt es Gebiete auf der Erde mit Kernschatten und Gebiete mit
Halbschatten. In den Gebieten mit Kernschatten ist eine totale Sonnenfinsternis
beobachtbar, in denen mit Halbschatten nur eine partielle. In
den anderen Gebieten ist keine Sonnenfinsternis beobachtbar. Diese
Konstellation kann nur bei Neumond auftreten (Rückseite des Mondes
wird von der Sonne angestrahlt.
Sonne
Sonnenfinsternis
Halbschatten
Kernschatten
Mond
Halbschatten
Erde
Aus diesen Beobachtungen lässt sich folgendes Modell des Lichtes
ableiten (Grundlage der geometrischen Optik):
{ geradlinige Ausbreitung des Lichtes (in einem einheitlichen Stoff)
{ es gibt lichtdurchlässige und lichtundurchlässige Stoffe
{ der Lichtweg ist umkehrbar
{ Lichtstrahlen sind unabhängig voneinander (es gilt das sog.
Superpositionsprinzip)
{ bestimmte Stoffe reflektieren das Licht besonders gut, andere
überhaupt nicht oder nur sehr wenig
10

Eine bestimmte Eigenschaft des Lichtes, die sog. Beugung, wird in der
geometrischen Optik nicht behandelt. Die Beugung ist Bestandteil der
Wellenlehre.
2.2 Prinzip des Fotoapparates
Die ungestörte Überlagerung und geradlinige Ausbreitung von Lichtstrahlen
wird z.B. bei einer einfachen Lochkamera oder auch bei einem
Fotoapparat ausgenutzt.
Loch (Blende)
r r
2 · r
Gegenstand
Eigenschaften einer Lochkamera
Loch
Bildebene
Bild auf Rückwand
d
Abstand Loch-Bildebene
{ Schärfe um so größer, je kleiner die Öffnung (sollte aber dennoch
ca 1000 mal so groß wie die Wellenlänge des Lichtes, λ = 400 nm ..
700 nm, sein, da sich bei sehr kleiner Öffnung Beugungseffekte
einstellen)
{ Fläche des Bildes ist proportional zum Quadrat des Abstandes
Loch-Bildebene
Der Zusammenhang zwischen Gegenstandsgröße G, der Bildgröße B
und den Abständen g und b lässt sich nach dem Strahlensatz
berechnen:
11
G
g
Loch
Abbildungsmaßstab v: v = B
G = b g
Die Helligkeit des Bildes auf der Rückwand hängt ab von
{ einfallender Lichtmenge
{ Durchmesser der Öffnung 2·r
{ Abstand Loch-Bildebene d = b
Der Durchmesser der Öffnung (Blende) und der Abstand d definiert die
sog. Blendenzahl BZ.
Definition:
Blendenzahl =
b
Abstand Loch-Bildebene
BZ = d
2$r
Loch
a) Betrachtung der einfallenden Lichtmenge in Abhängigkeit von der
Größe der Öffnung 2·r:
r 1 r 2
Lichtmenge i r ! 2
Die Größe der beiden Kreisflächen ergeben sich allgemein zu:
2 2
F1 = ✜ $ r1 und F2 = ✜ $ r2 Für eine Öffnung mit r2 = 2 $ r1 gilt demnach: F2 = 4 $ F1 !
12
B

D.h. die einfallende Lichtmenge ist bei doppelt so großem Radius der
Öffnung viermal so groß!
Lichtmenge nimmt quadratisch mit dem Radius der Öffnung zu!
b) Betrachtung der Bildgröße (Bildfläche) in Abhängigkeit vom Abstand
d:
Gegenstand
F
G
Loch
d 1
F 1
d 2
Auch hier gilt für : !
d2 = 2 $ d1 F2 = 4 $ F1
F 2
Bildfläche
D.h. die einfallende Lichtmenge verteilt sich bei doppelt so großem
Abstand d auf eine vierfach so große Bildfläche!
i r2
Zusammengefasst gilt also: Bildhelligkeit ist
i 1
d2 Zusammenhang mit der Blendenzahl:
BZ = d
2$r e
d >> e BZ gro❴ e Bildhelligkeit klein
r >> e BZ klein e Bildhelligkeit gro❴
d.h. die Bildhelligkeit nimmt quadratisch mit der Blendenzahl ab!
Lichtmenge i 1
BZ 2
Je kleiner die Blendenzahl, um so größer die Lichtmenge!
Je größer die Blendenzahl, um so kleiner die Lichtmenge!
Die Belichtung eines Films lässt sich durch die Größe der Öffnung
(Blendenzahl BZ) und der Belichtungszeit t steuern.
13
,
Aufgabe:
Mittels eines Belichtungsmessers wurden folgende Einstellungen für die
Blendenzahl BZa und die Belichtungszeit ta ermittelt:
BZa = 8, ta = 1/100 s = 0.01 s
Wie groß muss die Belichtungszeit für eine Lochkamera mit einem
Lochdurchmesser von 1 mm und einem Abstand der Bildebene von 100
mm gewählt werden (bei gleicher Empfindlichkeit des Filmes)?
Bestimmung der Blendenzahl BZb für die Lochkamera:
BZb = d 100 mm
2$r = 1 mm = 100
Verhältnis n der beiden Blendenzahlen:
n = BZb
BZa
Zur Erinnerung: Bei doppelt so großer Blendenzahl fällt nur noch 1/4 der
Lichtmenge auf den Film, d.h. die Belichtungszeit muss in diesem Fall
vierfach so groß gewählt werden! Dieser Zusammenhang lässt sich
allgemein wie folgt darstellen:
tb = n 2 $ ta = BZb
BZa
2
$ ta
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt nun:
Weitere Beispiele:
oder
BZb = BZa $
tb = ( 100
8 )2 1
$ 100 s = 100
64 s = 1.56 s
BZa = 8 und BZb = 11 e tb = ( 11
8 )2 $ ta = 121
64 $ ta l 2 $ ta
BZa = 5.6 und BZb = 8 e tb = ( 8
5.6 )2 $ ta = 64
31.36 $ ta l 2 $ ta
14
tb
ta

Blendenzahlen beim Fotoapparat:
größte Öffnung kleinste Öffnung
1.4 2.0 2.8 4.0 5.6 8.0 11 16 22
Das Verhältnis der nachfolgenden Blendzahl zur vorherigen ergibt sich
wie folgt:
2.0
1.4 l 2.8
2.0 l 4.0
2.8 l 5.6
4.0 l 8.0
5.6 l 11
8.0 l 16
11 l 22
d.h. es gilt:
16 l 1.41 l
2
$ ti = ( 2 )
2
2 $ ti = 2 $ ti
ti+1 = BZi+1
BZi
Bei Wahl der nächst höheren Blendenzahl muss also die Belichtungszeit
jedes mal verdoppelt werden.
15
2.3 Reflexion
Fällt Licht auf einen Gegenstand oder eine Fläche so lassen sich
folgende Effekte erkennen:
a) diffuse Reflexion
Das Licht fällt auf eine helle, nicht glänzende Fläche und wird in alle
Richtungen zerstreut. Dadurch können die Gegenstände aus allen
möglichen Richtungen betrachtet werden.
b) gerichtete Reflexion
Das Licht fällt auf eine ebene oder gekrümmte glänzende Fläche. Diese
Art der Reflexion (Spiegelung) lässt sich nach dem Reflexionsgesetz
beschreiben.
2.3.1 Spiegelung an einer ebenen Fläche
Konstruktion der entstehenden Abbildung:
a) punktförmiger Gegenstand:
Lichtquelle
Spiegel S
virtuelles Bild
d d'
L L'
α
α∗
Das Licht scheint scheinbar von dem Ort L' zu kommen. Der Winkel von
einfallendem Lichtstrahl (α) und ausfallendem Licht (α∗) zur Senkrechten
und die Abstände d und d' sind identisch:
α = α∗ und d = d'
16

Bildkonstruktion:
1.) Lot auf Spiegeloberfläche einzeichnen
2.) Entfernung zum Spiegel um gleiche Entfernung d nach hinten
verlängern
b) räumlicher Gegenstand:
Gegen-
stand G
Betrachter
d1
d2
Spiegel S
d1'
d2'
virtuelles
Bild B
Winkelhalbierende
Gegenstand G und Bild G sind nicht deckungsgleich (kongruent)
sondern nur spiegelbildlich gleich!
Praktische Anwendung der Spiegelung
Der Winkelspiegel (Spiegelung an zwei Spiegeln, die einen Winkel δ
einschließen):
einfallender
Lichtstrahl
Dreieck B
180°−γ
ausfallender
Lichtstrahl
S1
α2
S2
γ α1α1
β1 β1
Lot auf S1
17
β2
β2
α2
Lot auf S2
δ
Dreieck A
Frage: Wie groß ist der Winkel γ zwischen einfallendem und ausfallendem
Strahl?
Im Dreieck A gilt:
✎1 = 90 ° −✍1 ✍1 = 90 ° −✎1
✎1 + ✎2 + ✑ = 180 ° mit oder
✎2 = 90 ° −✍2 ✍2 = 90 ° −✎2
Im Dreieck B gilt:
2 $ ✍1 + 2 $ ✍2 + (180°−✏) = 180 ° e ✏ = 2 $ (✍1 + ✍2)
Auflösen nach dem gesuchten Winkel γ ergibt:
✏ = 2 $ (✍1 + ✍2) = 2 $ (90°−✎1 + 90 ° −✎2) = 180 ° +180 ° −2 $ (✎1 + ✎2)
Im Dreieck A gilt aber auch:
✎1 + ✎2 = 180 ° −✑
Einsetzen von (2) in (1) ergibt:
✏ = 360 ° −2 $ (180°−✑) = 2 $ ✑
d.h. der Winkel γ ist unabhängig von den beiden Einfallswinkeln und
hängt nur von dem Winkel δ zwischen den beiden Spiegeln ab.
Sonderfall:
✑ = 45 ° e ✏ = 2 $ 45 °= 90 ° ! (Prinzip des Winkelspiegels)
Dieses Prinzip findet sich auch beim Sextanten wieder. Der Sextant
wurde (und wird heute noch) in der Seefahrt zur geographischen
Breitenbestimmung eingesetzt. Dabei wird die geographische Breite aus
dem Höhenwinkel (Winkel über dem Horizont) eines bekannten Sterns
(z.B. des Polarsterns) abgeleitet. Zu messen ist dabei der Höhenwinkel
(Elevation) des angezielten Sterns:
Stern
Höhenwinkel
(Elevation)
18
Horizont
(1)
(2)

Prinzip des Sextanten: 2 Spiegel, deren eingeschlossener Winkel δ nicht
fest sondern veränderbar ist. Der eingestellte Winkel δ kann dabei an
einer Skala abgelesen werden.
Diopter
δ
δ
Winkelskala
γ
Stern
S2 halbdurchlässiger
Spiegel (fest)
Horizont
S1 drehbarer Spiegel
Höhenwinkel
(Elevation)
Der Winkel δ zwischen dem festen (und halbdurchlässigen) Spiegel S2
und dem drehbaren Spiegel S1 kann an der Winkelskala abgelesen
werden. Dabei wird der drehbare Spiegel S1 solange verstellt, bis dass
der Lichtstrahl vom Horizont, der über die Spiegel S1 und S2 zum
Diopter gelangen, mit dem Lichtstrahl vom Stern zur Deckung gebracht
wird. Nun kann der Winkel δ an der Skala abgelesen werden, und der
gesuchte Höhenwinkel entspricht dem Winkel γ zwischen einfallendem
und ausfallendem Strahl, für den gilt:
✏ = 2 $ ✑
Dabei ist zu berücksichtigen, dass der Höhenwinkel (Elevation) niemals
größer als 90° werden kann (Stern steht im Zenit), s o dass der Winkel δ
immer kleiner als 45° bleibt. Beim Sextanten wurde di e Skala allerdings
auf 60° = 1/6 des Vollkreises begrenzt - daher stamm t der Name
Sextant.
19
2.3.2 Mathematische Beschreibung der Spiegelung
Bei der ebenen Spiegelung wird jedem Punkt P mit den Koordinaten
P(x,y) ein Bildpunkt P* mit den Koordinaten P*(x*,y*) zugeordnet. Legt
man nun den Ursprung des Koordinatensystems so, dass die Spiegelebene
durch den Ursprung verläuft und mit der x-Achse einen Winkel α
einschließt, so lassen sich die Koordinaten des Bildpunktes P* wie folgt
berechnen:
P 2
P* 2
x 1
x
P
y 1
1
α
x' 1
y* 1
y'
P* 1
S Spiegelebene
Schritt 1: Drehung des Koordinatensystems (x,y) um den Winkel α, so
daß die neu x'-Achse in die Spiegelachse fällt (und die
y'-Achse senkrecht dazu).
Schritt 2: Spiegelung an der x'-Axchse, d.h. die x'-Koordinaten ändern
sich nicht und die y'-Koordinaten der Punkt Pi erhalten das
umgekehrte Vorzeichen.
Schritt 3: Zurückdrehung um den Winkel −α
Diese einzelnen Schritte lassen sich mit Hilfe der Matrizenrechnung
sehr einfach darstellen:
a) Drehung um Winkel α:
x P ∏ = xP $ cos ✍ + yp $ sin ✍
y P ∏ = −xP $ sin ✍ + yP $ cos ✍
b) Spiegelung an der x'-Achse:
oder
20
y' 1
x P ∏
y P ∏
=
x* 1
y
x'
cos ✍ sin ✍
− sin ✍ cos ✍ *
xP
yp

x P ∏∏ = xp ∏
y P ∏∏ = −yP ∏
oder
c) Rückdrehung um Winkel −α:
x P & = xp ∏∏ $ cos ✍ − yP ∏∏ $ sin ✍
y P & = xp ∏∏ $ sin ✍ + yP ∏∏ $ cos ✍
oder
x P ∏∏
y P ∏∏ =
x P &
y P & =
1 0
0 −1 *
x P ∏
y P ∏
cos ✍ − sin ✍
sin ✍ cos ✍
Einsetzen von c) in b) und b) in a) führt schließlich zu:
x P &
y P & =
cos ✍ − sin ✍
sin ✍ cos ✍
* 1 0
0 −1 *
cos ✍ sin ✍
− sin ✍ cos ✍ *
Die einzelnen Matrizen lassen sich noch ausmultiplizieren. Dieses führt
zu:
cos ✍ − sin ✍
*
sin ✍ cos ✍
1 0 cos ✍ sin ✍
=
0 −1 sin ✍ − cos ✍
cos ✍ sin ✍
sin ✍ − cos ✍ *
x P &
y P &
=
*
xP
yP
x P ∏∏
y P ∏∏
cos ✍ sin ✍
− sin ✍ cos ✍ = cos2✍ − sin 2 ✍ 2 $ sin ✍ $ cos ✍
2 $ sin ✍ $ cos ✍ sin 2 ✍ − cos2✍ cos 2 ✍ − sin 2 ✍ 2 $ sin ✍ $ cos ✍
2 $ sin ✍ $ cos ✍ sin 2 ✍ − cos 2 ✍
Beispiele:
a) Spiegelung an x-Achse (α=0°, cos(0°) = 1, sin(0°) = 0):
x P &
y P & =
1 0
0 −1 *
b) Spiegelung an y-Achse (α=90°, cos(90°) = 0, sin(90°) = 1):
x P &
y P & =
−1 0
0 1 *
21
xP
yP
xP
yP
*
xP
yP
2.3.3 Spiegelung an gekrümmten Flächen
hier: gekrümmte Fläche mit konstanter Krümmung (sphärischer Spiegel
mit Radius R = const). Der ebene Spiegel stellt dabei den Sonderfall mit
R = ∞.
Bei sphärischen Spiegeln unterscheidet man zwei Bauformen:
a) Hohlspiegel (Konkavspiegel)
b) Wölbspiegel (Konvexspiegel)
achsparalleler Strahl
180°-2 α
M
Hohlspiegel
α
M
r
x
r
Wölbspiegel
r
Vielzahl kleiner
ebener Spiegel r
Spiegel
α
α
f
Tangente
Scheitelpunkt S
90°- α
Der sphärische Spiegel kann als aus einer Vielzahl kleiner einzelner
ebener Spiegel zusammengesetzt betrachtet werden, die tangential
angebracht sind und senkrecht auf dem Radius r stehen.
Definition des Brennpunktes:
Punkt, in dem sich sämtliche achsparallel einfallende Strahlen
schneiden.
22

Berechnung des Brennpunktes für einen Hohlspiegel
Schritt 1: Anwendung des Sinussatzes im markierten Dreieck:
r
sin(180°−2✍) = x
sin ✍
oder
r
sin 2✍ = x
sin ✍
Schritt 2: Einführung von Näherungen für kleine Winkel α (gilt i.d.R. für
achsnahe Strahlen):
sin ✍ l ✍
sin 2✍ l 2✍
e r
2✍ l x ✍ e x = r
2
Der Abstand x ist somit für sämtliche achsnahe Strahlen (kleine Winkel
α) unabhängig vom Winkel α, d.h. sämtliche Strahlen schneiden sich im
Abstand x vom Mittelpunkt M aus. Vom Scheitelpunkt S aus gesehen,
ergibt sich folgender Abstand f:
f = r − r
2 = r
2
Der Abstand f ist die sog. Brennweite des Hohlspiegels und der
Schnittpunkt auf der optischen Achse wird als Brennpunkt bezeichnet.
Dabei ist zu beachten, dass wegen der Näherungen dieses nur für
achsnahe Strahlen gilt. Je größer der kleine Winkel α ist, um so weniger
schneiden die Strahlen den Brennpunkt. Das (Fehler-)Muster, das sich
für diese Strahlen ergibt, wird als Katakaustik bezeichnet (Brennlinie).
23
2.3.4 Abbildungsgleichung des Hohlspiegels
Bisher wurden nur achsparallel einfallende Strahlen betrachtet. Von
diesen wissen wir nun, dass diese sich im Brennpunkt (Mitte zwischen
Mittelpunkt der sphärischen Fläche und Scheitelpunkt) schneiden. Zur
Herleitung der Abbildungsgleichung des Hohlspiegels betrachten wir
nun einen weiteren Strahl, der von einem punktförmigen Gegenstand G,
der auf der optischen Achse im Abstand g vom Scheitelpunkt S liegt,
ausgeht.
G
Dreieck 1
(GAM)
Dreieck 2
(MAF)
24
g
180°−α
α
M
r-b
β
β
B f
F
b
A
S

gesucht: Zusammenhang zwischen Abstand g und b vom Scheitel S in
Abhängigkeit von der Brennweite f, für die gilt:
f = r
2
Einführung von Näherungen für Strahlen achsnahe Strahlen (bzw. für
kleine Winkel α, β):
g l GS l GA
b l AB
Anwendung des Sinussatzes im Dreieck 1 (GAM):
sin ✎
GM
= sin(180°−✍)
GA
= sin ✍
GA
sin ✎
oder sin ✍ = (1)
GM
GA l GM g = g−r
g
Anwendung des Simussatzes im Dreieck 2 (MAB):
sin ✎
r−b
= sin ✍
AB
l sin ✍
b
sin ✎ r−b
sin ✍ l b
oder (2)
Die linken Seiten von Gleichung (1) und (2) sind gleich, so dass nun die
beiden rechten Seiten gleich gesetzt werden können:
g−r
g = r−b
b
In dieser Gleichungen kommen die Winkel α, β nicht mehr vor! Weitere
Umformungen von (3) ergeben schließlich:
(3)
1 − oder oder
r g = r
b − 1 2 = r g + r
b
2 r = 1 g + 1
b
Der Radius r lässt sich nun noch durch die Brennweite ersetzen. Dieses
ergibt dann:
1
g + 1 1
b = f
Weitere Umformungen:
Grenzfälle:
f = g$b
g+b
g = f$b
b−f
g d ∞ e b d f
g = f e b d ∞
g < f e b < 0
g = 0 e b = 0
25
b = f$g
g−f
b < 0 bedeutet hier, dass ein virtuelles Bild entsteht (Bild entsteht hinter
dem Spiegel)! Dieser Fall tritt ein, wenn der Gegenstand G zwischen
Brennpunkt und Scheitelpunkt liegt.
2.3.5 Abbildung eines räumlichen Gegenstandes durch einen
Hohlspiegel
Zur Bildkonstruktion lassen sich unter Verwendung der bisherigen
Erkenntnisse immer drei ausgezeichnete Strahlen verwenden. Dieses
sind:
G'
G
3 ausgezeichnete Strahlen zur Bildkonstruktion
GG': Gegenstand
(2)
(3)
BB': Bild des Gegenstandes
(1)
g
(3)
M
(1)
r
B F f S
B'
b
Hohlspiegel
(1) achsparalleler Strahl, der nach der Spiegelung durch den Brennpunkt
geht.
(2) Mittelpunktstrahl, der geradlinig in sich selbst wieder reflektiert
wird.
(3) Brennstrahl, der nach der Spiegelung achsparallel verläuft.
An dem Ort, an dem sich sämtliche Strahlen schneiden, wird das Bild
des Gegenstandes (entweder reell oder virtuell) scharf abgebildet.
v = BB∏
GG ∏ = b g
Der Quotient aus Bildgröße und Gegenstandsgröße wird als Abbildungsmaßstab
v bezeichnet:
26

G'
G
M
g
B
Der Zusammenhang mit dem Quotienten b/g lässt sich direkt über die
beiden ähnlichen Dreiecke G'SG und das nach oben gespiegelte
Dreieck B'SB ableiten.
In diesem Beispiel entsteht ein umgekehrtes reelles Bild mit einem
Abbildungsmaßstab v < 1 (verkleinert).
Einsetzen der bereits gefundenen Zusammenhänge für f, g und b in die
Gleichung für v ergibt:
B'
g = b$f
b−f e v = b b$f
b−f
b = g$f
g−f
B'
F
= b$(b−f)
b$f
e v = g$f
(g−f)$g
= f
g−f
b
= b−f
f
Ist v positiv, so entsteht ein umgekehrtes reelles Bild. v wird negativ,
wenn der Gegenstand zwischen Brennpunkt F und Scheitelpunkt S liegt.
In diesem Fall entsteht ein aufrechtes virtuelles vergrößertes Bild.
27
S
2.3.6 Abbildung eines räumlichen Gegenstandes durch einen
Wölbspiegel
Die für den Hohlspiegel aufgestellten Beziehungen lassen sich direkt auf
den Wölbspiegel anwenden, wenn die Brennweite f negativ eingeführt
wird:
3 ausgezeichnete Strahlen zur Bildkonstruktion
G'
G
GG': Gegenstand
(3)
BB': Bild des Gegenstandes
1
g + 1
b = 1
f = − 2 r
oder
(1)
(2)
S
g b
1
g = − 2 r − 1
b
Mit der o.a. Brennweite f ergibt sich nun für den Wölbspiegel:
Da g > 0 ist und f < 0 gilt:
1 1
b = f − 1 g = − 2 r − 1 g = − 2$g+r
r$g
1 2$g+r
b = − r$g e b = − r$g
2$g+r
f
B
B'
Wölbspiegel
b ist also immer negativ, d.h. es entsteht immer ein virtuelles aufrechtes
Bild. Für den Abbildungsmaßstab v ergibt sich:
v = BB∏
GG ∏ = b g = − r$g
g$(2$g+r) = − r
2$g+r
e − 1 [ v [ 0
Das virtuelle aufrechte Bild ist beim Wölbspiegel maximal genauso groß
wie der Gegenstand (ergibt sich für den Grenzfall g = 0); in allen
anderen Fällen ergeben sich verkleinerte virtuelle Bilder.
Sonderfall:
28
F
r
M

= ∞ e 1 g + 1
b = 2 ∞ = 0 e 1 g = − 1
b e b = −g e v = b g = −1
Dieser Fall entspricht der Spiegelung an einem ebenen Spiegel, bei
dem bekanntlich im Abstand g hinter dem Spiegel ein virtuelles aufrechtes
und gleich großes Bild entsteht.
begleitende PC-Programme: KATAK, BRECH
29
2.4 Brechung des Lichtes und Totalreflexion
Experiment: Licht trifft auf eine Wasserfläche oder ein Prisma oder
einen anderen Gegenstand aus Glas oder anderem durchsichtigen
Material.
Beobachtung:
{ nur ein Teil des Lichtes wird reflektiert
{ Hauptteil des Lichtes dringt in das Medium ein und erleidet bei
schrägem Auftreffen des Lichtes eine Richtungsänderung. Dieses
Phänomen wird Brechung des Lichtes genannt.
Bei der Brechung des Lichtes unterscheidet man zwei Formen:
a) Oberfläche rau: diffuse Brechung, d.h. das Licht wird mehr oder
weniger in sämtliche Richtungen gebrochen; dieser Fall wird hier
nicht weiter betrachtet.
b) Oberfläche glatt: reguläre Brechung.
α
10°
40°
60°
90°
Beispiele für den Übergang Luft nach Glas
β
6.43°
24.50°
33.97°
40.18°
δ = α−β
3.57°
15.50°
26.03°
49.82°
Einfallender und ausfallender Strahl liegen außerdem in einer Ebene
(nicht windschief).
Snellius (1620) fand für sämtliche Winkel folgenden Zusammenhang:
sin ✍
sin ✎ = const
Die Ursache für diesen Effekt ergibt sich daraus, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit
des Lichtes (Lichtgeschwindigkeit c1, c2 ) in den beiden
Medien unterschiedlich ist und folgender Zusammenhang gilt:
sin ✍ C1
sin ✎ = C2
30

An Stelle der Lichtgeschwindigkeit kann auch die Brechzahl n verwendet
werden, wobei gilt:
n1 =
absolute Brechzahl n: , c0: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
C0
C1
n2 = C0
C2
oder
Somit ergibt sich:
c1 = C0
n1
c2 = C0
n2
,
sin ✍ n2
1
1
sin ✎ = n1 = n21 oder $ sin ✍ = oder
C2 $ cos ✎ n1 $ sin ✍ = n2 $ sin ✎
C1
Die Zahl n21, die das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten der beiden
Medien enthält wird auch als relative Brechzahl bezeichnet.
Beispiel für absolute Brechzahlen:
relative Brechzahl für den Übergang:
Luft : nl = 1.000 292
Quarzglas : ng = 1.4588
Luft d Glas : ngl = ng
nl = 1.4584
Glas d Luft : nlg = nl
ng = 0.68570
Ein Soff ist optisch dichter, wenn die absolute Brechzahl größer ist, z.B.
Glas ist dichter als Luft. In optisch dichteren Stoffen ist demzufolge die
Lichtgeschwindigkeit kleiner.
Das bereits bekannte Reflexionsgesetz lässt sich auch als Sonderfall
der Lichtbrechung betrachten, in dem
n2 = −n1
gesetzt wird. Somit ergibt sich:
sin ✍ n2
sin ✎ = n1 = −n1
n1 = −1 e sin ✍ = − sin ✎ e ✍ = −✎
Zusammenhang n und c: c1 = c0
n1
31
c2 = c0
n2
-40°
40°
hier:
α = 40°
β = −40°
Spiegelung als Sonderfall der Lichtbrechung
Geometrische Interpretation und Konstruktion der Lichtbrechung:
einfallender Strahl
Radius
r1 = n1 = 1.0
Radius
r2 = n2 = 1.5
α
β
d
2 Kreise mit Radien
B
β
A
C
r1 und r2
gebrochener
Strahl
1. Einfallslot auf die Eintrittsfläche einzeichnen.
2. 2 Kreise mit Radien r1 und r2 zeichnen, deren Verhältnis n21
entspricht.
3. Verlängern des einfallenden Strahls bis zum Kreis mit dem Radius
r1 (Schnittpunkt A)
4. Vom Punkt A das Lot auf die brechende Fläche fällen
(Schnittpunkt B).
5. Die Strecke AB bis zum Schnitt mit dem Kreis mit dem Radius r2
(rückwärtig) verlängern (Schnittpunkt C).
6. gebrochenen Lichtstrahl durch Punkt C zeichnen.
Beweis:
32

n21 = r2
r1
d = r1 $ sin ✍
d = r2 $ sin ✎
q.e.d.
e sin ✍ = d
r1
sin ✎ = d
r2
e
sin ✍
sin ✎ =
d
r 1
d
r 2
Grenzwinkel der Brechung
= r2
r1 = n21
q.e.d.
In den bisherigen Beispielen wurde der Eintritt vom optisch dünneren ins
optisch dichtere Medium betrachtet, wobei der Einfallswinkel α maximal
90° werden kann. In dem Beispiel auf S. 28 ergab sich ein Winkel β von
40.18°. Einer der Grundsätze der geometrischen Optik ist, dass der
Lichtweg umkehrbar ist. Dieses bedeutet in diesem Beispiel, dass ein
Lichtstrahl, der aus dem optisch dichteren Medium kommt, bei einem
Winkel von 40.18° ( Grenzwinkel αg) bereits unter einem maximal möglichen
Winkel von 90° austritt. Der Einfallswinkel kan n aber durchaus
auch größer als der Grenzwinkel αg von 40.18° werden. In diesem Fall
wird lässt sich auch kein Winkel mehr nach dem Brechungsgesetz
berechnen, da das Argument des arcsin > 1 ist:
glatte Oberfläche
einfallender
Lichtstrahl
Ausfallslot
sin ✍
sin ✎ = n21
sin ✍
e ✎ = arcsin( n21 )
δ
α
Wasser oder Glas (Medium 1)
β
n 2
sin ✍g
sin(90°) = n21 = n2
n1 e ✍g = arcsin(n21) (n 21= n 2
n 1
Luft (Medium 2)
Einfallslot
n 1
Lichtstrahl
wird gebrochen
Der Grenzwinkel αg ergibt sich, indem man ß=90° setzt:
33
n1 > n2 d n21 < 1)
sin ✍g
sin(90°) = n21 e ✍g = arcsin(n21)
Daran ist sofort ersichtlich, dass nur für den Übergang vom optisch
dichteren ins optisch dünnere Medium ein Grenzwinkel existiert.
Was passiert aber mit einfallenden Lichtstrahlen, die den Grenzwinkel
αg überschreiten?
34

Totalreflexion
Lichtstrahlen, die unter einem Winkel einfallen, der größer als der
Grenzwinkel ist, treten können nicht mehr aus dem optisch dichteren
Medium austreten. Diese Lichtstrahlen werden total reflektiert.
glatte Oberfläche
einfallender
Lichtstrahl
Grenzwinkel
Grenzwinkel:
Totalreflexion
αg
α β = α
Einfallslot
Wasser oder Glas (Medium 1)
Luft (Medium 2)
total reflektierter
Strahl
sin ✍g
sin(90°) = n21 e ✍g = arcsin(n21)
Die Totalreflexion ist u.a. in der Faseroptik (z.B. Lichtleitfaser (LWL),
Faserkreisel) von großer Bedeutung.
n < 1!
21
optisch dichter
Totalreflexion
Lichtleitfaser
optisch dünner
Bei einer Lichtleitfaser ist die Ummantelung (z.B. Luft) optisch dünner
als die Faser selbst, so dass der Grenzwinkel immer überschritten wird
und das Licht nur an den Enden austreten kann.
35
Weitere Beispiele für die Totalreflexion:
a) Refraktometer:
Geräte zur Analyse chemischer Flüssigkeiten, z.B. Refraktometer:
Bestimmung des Zuckergehaltes von Weintrauben (Einsatz von
Winzern im Weinbau zur Bestimmung des Öchslegrades). Die Brechkraft
(Brechungszahl n) des Traubensaftes variiert nach einer bestimmten
Gesetzmäßigkeit mit dem Zuckergehalt. Diese Eigenschaft wird zur
Bestimmung des Zuckergehaltes ausgenutzt, wobei auch hier der
Grenzwinkel eine wichtige Rolle spielt.
Refraktometer
einfallendes Licht
Halbzylinder aus Glas
αg
Gefäß mit untersuchender
Flüssigkeit
Skala
verdrehbare
Ablesevorrichtung
Beim Refraktometer wird die Lichtbrechung zwischen der Flüssigkeit
und einem Glas mit bekannter Brechzahl nGlas ausgenutzt. Dabei wird
eine Ablesevorrichtung solange verstellt, bis dass der Grenzwinkel αg
erreicht wird. Über die Beziehung
sin ✍g = nFl
nGlas e nFL = nGlas $ sin ✍g
kann nun die Brechzahl der Flüssigkeit nFl bestimmt werden. I.d.R. ist
die Skala bereits so geeicht, dass direkt der Zuckerhalt abgelesen
werden kann.
36

) Umkehrprisma (Einsatz in geodätischen Instrumenten zur
Strahlumkehr)
umgekehrtes Bild
Totalrefelexion
2.4.1 Lichtbrechung an einer planparallelen Platte
Umkehrprisma
aufrechtes
Bild
Beim Durchgang eines Lichtstrahls durch eine planparallele Platte wird
dieser zweimal gebrochen (beim Eintritt und beim Austritt).
Aufgabe: Wie verläuft der Lichtstrahl nach Durchgang durch die Platte?
d
n
Planparallele Platte
α
β
n
d
β
α
α−β
Beim Eintritt wird der Lichtstrahl zum Einfallslot hin gebrochen, wenn die
planparallele Platte mit dem Brechungsindex n optisch dichter als die
Umgebung ist. Der Winkel β tritt infolge der Parallelität der Lote auf die
Ein- bzw. Austrittsfläche innen zweimal auf, da Eintritts- und Austrittsfläche
parallel zueinander sind. Beim Austritt wird der Lichtstrahl diesmal
um den gleichen Winkel vom Einfallslot weg gebrochen und verläuft
daher parallel zum einfallenden Winkel. Der austretende Lichtstrahl
verläuft parallel zum einfallenden Lichtstrahl weiter. Der Parallelversatz
Δ hängt vom Einfallswinkel α und von der Dicke der Platte ab.
Es gilt:
sin ✍
d
sin ✎ = n cos ✎ = S
37
sin(✍ − ✎) = ✁
S
β
Δ
d
S
Δ
S =
Hieraus folgt: (1)
d
cos ✎
✁ e
S =
d
cos ✎ =
✁
sin(✍−❴) e ✁ = d$sin(✍−❴)
cos ✎
sin(✍−❴)
Additionstheorem: sin(✍ − ✎) = sin ✍ $ cos ✎ − cos ✍ $ sin ✎
(2a)
Quadratsumme sin, cos: sin (2b)
2 ✎ + cos2✎ = 1 e cos ✎ = 1 − sin 2 ✎
Einsetzen von (2a), (2b) in (1):
✁ =
Weiterhin gilt: sin ✎ =
Hiermit ergibt sich:
d$(sin ✍$cos ✎−cos ✍$sin ✎)
cos ✎
sin ✍
n
✁ = d $ sin ✍ − cos ✍ $
sin ✍
n $
= d $ (sin ✍ − cos ✍ $
1
1− sin2 ✍
n2
= d $ sin ✍ $ 1 −
sin ✎
1−sin 2 ✎ )
cos ✍
n 2−sin 2 ✍
Die Parallelverschiebung wächst mit zunehmender Dicke Δ der Platte
und zunehmendem Winkel α. Für α = 0° ist Δ = 0, d.h. der Strahl geht
ungebrochen durch die Platte.
2.4.2 Strahlengang durch ein Prisma
Beim Durchgang eines Lichtstrahls durch ein Prisma wird dieser
ebenfalls beim Eintritt und beim Austritt zweifach gebrochen. Gesucht
ist hier der Zusammenhang zwischen dem Ablenkungswinkel und dem
Winkel γ des Prismas.
Lot
90°−β 1
α 1
γ
δ1
β
1 β
2
n
Prisma
38
90°−β 2
α 2
Lot
δ 2

Allgemein gilt auch hier das Brechungsgesetz:
sin ✍1 sin ✍2
sin = n = ✎1 sin ✎2
sin ✍1
d ✎1 = arcsin( n )
d ✍2 = arcsin(n $ ✎2)
In dem oberen markierten Dreieck gilt weiterhin:
✏ + (90°−✎1) + (90°−✎2) = 180 °e ✏ = ✎1 + ✎2
Beim Eintritt wird der Lichtstrahl um den Winkel δ1 und beim Austritt
nochmals um den Winkel δ2 abgelenkt, so dass sich der gesamte Ablenkungswinkel
δ wie folgt ergibt:
(1)
✑1 = ✍1 − ✎1 ✑2 = ✍2 − ✎2 e ✑ = ✑1 + ✑2 = ✍1 + ✍2 − (✎1 + ✎2)
In (2) kann nun noch der Ausdruck in Klammern durch (1) ersetzt
werden.
✑ = ✍1 + ✍2 − ✏ (3)
Der Winkel α2 ergibt sich durch zweifache Anwendung des
Brechungsgesetzes:
sin ✍1
sin ✍2 = n $ sin ✎2 = n $ sin(✏ − ✎1) = n $ sin ✏ − arcsin n
oder
✍2 = arcsin n $ sin ✏ − arcsin = f(✍1, ✏, n)
Die Auslenkung wird minimal für: ✍1 = ✍2
Beweis: Übungsaufgabe
Beim Austritt (Übergang Glas nach Luft) kann es u.U. zur Totalreflexion
kommen. Dieser Fall stellt sich ein, wenn der Winkel β2 größer als der
Grenzwinkel βg ist: sin ✎g
sin(90°) = 1 n e sin ✎g = 1 n e ✎g = arcsin( 1 n )
Beim Strahlengang von weißem Licht durch ein Prisma kommt es bei
großen Ablenkungswinkeln zur Dispersion, d.h. der austretende Lichtstrahl
wird in seine Spektralfarben zerlegt. Der Grund hierfür liegt darin,
dass der Brechungsindex n nicht für alle Wellenlänge des Lichtes
konstant ist, sondern von der Wellenlänge des Lichtes abhängt:
n = n(✘)
39
sin ✍1
n
(2)
Dispersion
weißes Licht
n = n(λ)
λ=
λ=
0.8 um
0.4 um
rot
orange
gelb
grün
blau
violett
Blaues Licht (kleine Wellenlänge) wird stärker als rotes Licht (große
Wellenlänge) gebrochen.
Beispiele für die Lichtbrechung und Dispersion in der Natur:
Regenbogen: Sonnenlicht wird in den Regentropfen gebrochen.
Refraktion: Strahlkrümmung in der Atmosphäre, bei einem großen
Einfallswinkel (= niedriger Sonnenstand) erscheint die Sonne rötlich,
d.h. die grünen und blauen Anteile im Sonnenlicht werden bereits so
stark gebrochen, dass diese unter dem Horizont fallen.
Schichten der
Erdatmosphäre
mit unterschiedlichembrechungsindex
n
Erde
absoluter Brechungsindex n nimmt mit der Höhe ab
40
Lichtstrahl (Sonne)
Refraktion (Strahlkrümmung)

2.4.3 Theorie der Lichtbrechung
Ursprünglich existierten zwei unterschiedliche, kontroverse Theorien
über die Lichtbrechung:
{ Gravitationstheorie von Newton
{ Wellentheorie von Huygens
a) Gravitationstheorie von Newton
Die Theorie von Newton basierte auf der Gravitation (Massenanziehung
von Teilchen; z.B. Apfel fällt infolge der Anziehungskräfte von Apfelmasse
und Erdmasse auf die Erde). Diese Theorie setzt ein Massemodell
des Lichtes (Korpuskelmodell des Lichtes) voraus. Je mehr Masse
in der Umgebung des Lichtes wirkt, um so stärker wird das Licht von der
Masse angezogen. Dieses Modell lässt sich z.B. durch eine an einen
Permanentmagneten vorbei rollende Eisenkugel darstellen:
Eisenkugel
Geschwindigkeit V 1
Magnet
V 2
V 1
V Res
Die Eisenkugel roll zunächst mit einer Anfangsgeschwindigkeit V1
geradlinig in Richtung Magnet. Durch den Magneten wird die Eisenkugel
quer zur Anfangsrichtung beschleunigt (Geschwindigkeitskomponente
V2). Die resultierende Gesamtgeschwindigkeit VRes ist größer als die
ursprüngliche Geschwindigkeit V1. Dieses würde bedeuten, dass die
Geschwindigkeit des Lichtes bei Eintritt in ein dichteres Medium zunehmen
müsste.
b) Wellentheorie von Huygens
Huygens Theorie der Lichtbrechung beruht auf der Überlagerung und
Interferenz von Elementarwellen, aus denen er folgenden Zusammenhang
zwischen Ein- und Ausfallwinkel (α, β) und den
41
Lichtgeschwindigkeiten (c1, c2) in den beiden Stoffen mit dem
Brechungsindex n1 und n2 ableitete:
sin ✍ C1 n2
sin ✎ = C2 = n1 = n21
Lichtwellen gehören zu den elektromagnetischen Wellen, die sich in
Form von Transversalwellen (Schwigungsrichtung quer zur Ausbreitungsrichtung)
ausbreiten; bei natürlichem Licht dominiert im Gegensatz
zum polarisierten Licht keine bevorzugte Schwingungsrichtung. Das
Huygen'sche Prinzip besagt:
Jeder Punkt einer Wellenfront ist als Ausgangspunkt einer neuen Welle,
der sog. Elementarwelle anzusehen, die sich dann miteinander
interferieren.
Beispiele für eine Wellenfront:
Wellenfront
Kugelwelle
Wellenlänge λ
Elementarwellen
Ebene Welle
Wellenfront
Die Wellenfront ist die Einhüllende der Elementarwellen (gleiche
Phase), die in der Zeit T (Schwingungszeit) den Weg λ (Wellenlänge)
zurücklegen. Daraus resultiert die Ausbreitungsgeschwindigkeit C der
Wellen:
Ausbreitungsgeschwindigkeit = Weg
Zeit
42
C = ✘
T

Weg x
Zeit t
λ λ
0 λ 2λ
0 T 2T
Was passiert nun bei Eintritt der Elementarwellen in ein anderes
Medium?
Ausbreitungsgeschwindigkeit C 1
Medium n 1 Medium n 2
Wellenlänge λ 1
C < C
2 1
λ 2 < λ 1
Wellenlänge λ 2
Ausbreitungsgeschwindigkeit C 2
Tritt eine Welle aus einem Gebiet der Ausbreitungsgeschwindigkeit C1 in
ein Gebiet kleinerer Ausbreitungsgeschwindigkeit C2 über, so wird bei
gleicher Frequenz f (f = 1/T) die Wellenlänge λ kleiner (die Wellenfronten
rücken näher zusammen). Dadurch wird das Licht zum Einfallslot
hingebrochen, wobei gilt:
✘1 = C1
f
✘2 = C2
f
Die Theorie der Lichtbrechung von Huygens beruht auf dem Interferenzprinzip
und der unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten,
wodurch die Theorie von Newton (Korpuskelmodell) widerlegt ist. Licht
43
besitzt jedoch nicht nur Welleneigenschaften sondern auch auch
Masseeigenschaften (Photonen).
2.4.4 Fermat'sches Prinzip
Mit dem Reflexions- und Brechungsgesetz lassen sich sämtliche Phänomene
der Strahlenoptik erklären (teilweise mehrfache Anwendung
notwendig). Reflexions- und Brechungsgesetz sind auch auf den
Fermat'schen Satz vom ausgezeichneten Lichtweg zurückzuführen:
Licht, das sich durch Spiegelung oder Brechung von einem
Raumpunkt zu einem anderen Raumpunkt ausbreitet, schlägt
stets den Weg ein, der am schnellsten zum Ziel führt (t ->
min).
Dieser Satz ist einleuchtend für die geradlinige Ausbreitung des Lichtes
in einem homogenen Medium, da die geradlinige Verbindung dort immer
der kürzeste somit schnellste Weg ist. Insbesondere bei der Brechung,
bei der die Strahlrichtung sich ändert, ist der Satz nicht sofort
einleuchtend.
Beweis des Fermat'schen Satzes:
Es gilt:
a) Spiegelung
Medium 1: n1, c1
Medium 2: n2, c2
Welche der verschiedenen eingezeichneten Wege (a-a', b-b', c-c', d-d')
nimmt das Licht, um von Punkt A zum Punkt B zu kommen?
A
a b c d
Spiegel
Hindernis
44
a'
b'
c'
d'
B

Zur Beantwortung dieser Frage führen wir folgende Strecken S1 und S2
sowie den unbekannten Abstand x auf dem Spiegel ein:
A
a
α
x
S 1
α
α '
d
Die Zeit ts, die das Licht vom Punkt A zum Punkt B benötigt, berechnet
sich über die Lichtgeschwindigkeit c wie folgt:
mit
ts = S1
C + S2
C = 1
C $ (S1 + S2)
S1 = a 2 + x 2
S2 = (d − x) 2 + b 2
Einsetzen von (2) in (1) ergibt:
S 2
d-x
ts = 1
C $ a 2 + x 2 + (d − x) 2 + b 2
In dieser Gleichung ist der Abstand x unbekannt. Damit das
Fermat'sche Prinzip gilt, muss die Zeit ts ein Minimum sein! Gesucht ist
also der Wert der Variablen x, für die dieses zutrifft. Hierzu muss die
Gleichung
t = f(x)
nach der Veränderlichen x abgeleitet werden:
dt 1
dx = C $
2$x
2 a2 +
+x2 −2$(d−x)
C $
2 (d−x) 2 1
=
+b2 x (d−x)
S1 − S2
Die Funktion besitzt an der Stelle x einen Extremwert (Minimum oder
Maximum), an der die Ableitung (4) genau 0 wird, d.h. gesucht wird:
45
(1)
(2)
(3)
(4)
α '
b
B
min d 1
C $
Hieraus folgt:
x (d−x)
S1 − S2
= 0!
x (d−x)
S1 = S2
Unter Berücksichtigung von
x
S1 = sin ✍
(d−x)
(5)
(6)
und = sin ✍∏
(7)
resultiert schließlich das bekannte Reflexionsgesetz
✍ = ✍ ∏
S2
Es bisher wurde nicht überprüft, ob es sich hier um ein Maximum oder
um Minimum der Funktion (3) handelt. Um dieses zu überprüfen,
müsste die Funktion (3), (4) noch ein zweites Mal differenziert und auf
>0 (Minimum) oder

) Anwendung des Fermat'schen Prinzips auf die Lichtbrechung
A
a
α
S
1
x
α
d-x
d
β
Medium n ,c
1 1
S
2
β
Medium n ,c
2 2
b
Wie bei der Spiegelung wird zunächst der Gesamtweg von A nach B
ermittelt:
S = S1 + S2 = a 2 + x 2 + (d − x) 2 + b 2
wobei gilt:
x
S1 = sin ✍
und
d−x
S2
= sin ✎
Die Gesamtzeit ts, die das Licht von A nach B benötigt, ergibt sich unter
Berücksichtigung der unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten zu:
ts = S1 S2
C1 + C2 = a2 +x2 C1 + (d−x)2 +b2 C2
Die Ableitung dieser Funktion nach der Veränderlichen x und Nullsetzen
ergibt:
!
= 0 (Minimumbedingung)
oder
dt
dx =
x
C1$ a2+x − 2
sin ✍
C1
d−x
C2$ (d−x) 2+b 2
− sin ✎
C2
! sin ✍ C1 n2
= 0 e sin ✎ = C2 = n1
Dieses ist das bereits bekannte Brechungsgesetz.
47
B
2.4.5 Optische Weglänge
Betrachtet man die Ausbreitung des Lichtes in unterschiedlichen Stoffen
(Medium 1 und Medium 2 ) so gilt für die in der (gleichen) Zeit t zurückgelegten
Wege:
bzw.:
S1
C1
oder allgemein:
= S2
C2
S1 = C1 $ t und S2 = C2 $ t
oder
S1
S2
C1 n2
= C2 = n1 e S1 $ n1 = S2 $ n2
SL = n $ S
Die Strecke SL wird auch als optische Weglänge bezeichnet. Gleiche
optische Weglängen bedeutet, dass die Zeiten, die das Licht für diese
Strecken benötigt, auch gleich sind.
48

3 Abbildung durch Linsen
3.1 Linsenformen
Hier werden speziell sphärische Linsen analysiert, deren Umrisse sich
durch zwei Kugelflächen mit den Radien r1 und r2 darstellen lassen.
Auch die Sonderfälle, bei denen eine Linsenfläche eine ebene Fläche
ist, lässt sich durch den Radius R = ∞ abdecken.
Bei den sphärischen Linsen unterscheidet man 6 Grundformen:
1 2 3 4 5 6
bikonvex plankonvex konkavkonvex
1-3: Sammellinsen
4-6: Zerstreuungslinsen ( � virtuelle Bilder)
Eine Linse wird durch folgende Parameter beschrieben:
r r
n
1 2
Dicke d
bikonkav plankonkav konvexkonkav
Radien r1 und r2 (mit Berücksichtigung des Vorzeichens!)
Material der Linse: Brechungsindex n
Abstand der begrenzenden Flächen: Dicke d
Eine weitere, grundlegende Unterscheidung ergibt sich aus der Dicke d
der Linsen: dünne Linsen und dicke Linsen.
49
3.2 Dünne Linsen
Der Strahlengang durch dünne Linsen lässt sich einfacher als für dicke
Linsen berechnen, da die Dicke d vernachlässigt werden kann. Dieses
gilt i.d.R. unter folgender Voraussetzung:
r r
1 2
d
d

Für den Strahlengang durch eine planparallele Platte gilt bekanntlich:
✁ = d $ sin ✍ $ 1 −
cos ✍
n 2 −sin 2 ✍
Für gilt: , d.h. sämtliche Strahlen, die in der Nähe der
d d 0 ✁ d 0
optischen Achse in die dünne Linse eintreten, gehen ungebrochen
hindurch. Dieses Modell gilt nicht mehr für Strahlen, die oberhalb bzw.
unterhalb der optischen Achse eintreten. Da die Linse aber sehr dünn
ist, darf angenommen werden, dass Ein- und Austrittspunkt näherungsweise
den gleichen Abstand von der optischen Achse haben. Für die
Analyse des Strahlengangs wird das Prisma in der u.a. Abbildung
vergrößert dargestellt:
A'
α 1
r 2
γ a
h
1
B
γ a
C
β 1
γ
h
γ b
β 2
51
h
2
B'
γ b
α 2
r 1
δ
C' α
1 A
Für den Ablenkungswinkel δ beim Strahlengang durch ein Prisma mit
einem Winkel γ gilt bekanntlich:
✑ = ✍1 + ✍2 − ✏ ✎1 + ✎2 = ✏
In dem Dreieck ABC bzw. A'B'C' gilt:
ABC :
A ∏ B ∏ C ∏ :
h1
r1 = cos(90°−✏a) = sin ✏a
h2
r2 = cos(90°−✏b) = sin ✏b
sin ✍1 sin ✍2
sin = n = ✎1 sin ✎2
Führt man nun für den Sinus Näherungen ein (kleine Winkel), so ergibt
sich hieraus:
und
h1
r2 l ✏a
h2
r1 l ✏b
✍1 l n $ ✎1
✍2 l n $ ✎2
e ✍1 + ✍2 l n $ ( ✎1 + ✎2) = n $ ✏
e ✏ = ✏a + ✏b l h2
r1 + h1
r2 l h $ ( 1
r1 + 1 r2 )
Für den Ablenkungswinkel δ ergibt sich somit:
✑ = ✍1 + ✍2 − ✏ = n $ ✏ − ✏ = ✏ $ ( n − 1) = h $ ( 1
r1 + 1
r2 ) $ (n − 1)
Gesucht ist weiterhin der Schnittpunkt des austretenden Strahls mit der
optischen Achse.
achsparalleler Strahl
Strahlengang durch eine dünne Linse
h
Bei einer dünnen Linse kann die Dicke vernachlässigt werden, so dass
für diesen Fall und für kleine Winkel δ näherungsweise gilt:
h
f l tan ✑ l ✑
52
δ
f
δ
(2)
(1)
F

Setzt man nun (1) und (2) gleich, so ergibt sich:
h $ ( 1 r1 + 1 r2 ) $ (n − 1) = h
f
Der Abstand h kürzt sich heraus, und es ergibt sich für den reziproken
Abstand f:
1
f = (n − 1) $ ( (4)
1
r1 + 1 r2 )
Da der Abstand f unabhängig von h ist, gehen somit sämtliche
achsparallele Strahlen durch den Punkt F auf der optischen Achse.
Dieser Punkt wird deshalb Brennpunkt genannt; der Abstand f ist die
Brennweite.
Bei der Herleitung von (4) wurde eine bikonvexe Linse angenommen.
Um nicht für sämtliche 6 Linsenformen entsprechende Formeln für f
herleiten zu müssen, werden die Krümmungsradien hier mit Vorzeichen
eingeführt, wobei folgende Vorzeichenkonvention für einen Strahlenverlauf
von links nach rechts festgelegt wird:
Strahlrichtung
Vorzeichenfestlegung für die Radien einer Linse
r positiv
M
Mittelpunkt M
hinter der sphärischen
Fläche
r negativ
M
Mittelpunkt M
vor der sphärischen
Fläche
Somit müssen für eine bikonvexe Linse die Radien r1 und r2 mit folgenden
Vorzeichen eingeführt werden:
r 1
+ -
r 2
Bikonvexlinse: r1: positiv, r2: negativ
53
(3)
Unter Berücksichtigung dieser Vorzeichenkonvention ergibt sich aus (4)
folgende allgemeingültige Formel zur Berechnung der reziproken Brennweite
1/f einer dünnen Linse:
1
f = (n − 1) $ ( 1
r1 − 1 r2 ) = (n − 1) $ r2−r1
r1$r2
(mit neuer Vorzeichenkonvention!)
Beispiel: Symmetrische Bikonvexlinse mit und n = 1.5 (Glas):
r2 = −r1
Da r1 positiv ist, ergibt sich somit eine positive Brennweite.
Bei optischen Gläsern wird häufig an Stelle der Brennweite f die Brechkraft
D eingeführt. Die Bezeichnung Brechkraft D steht in engem
Zusammenhang mit dem Ablenkungswinkel δ: Je stärker die Brechkraft
um so stärker die Ablenkung.
δ ✑ l h
f
f
F
h
1
= h $ f = h $ D
Da die Brennweite f in der Einheit [m] gemessen wird, ergibt sich die
Brechkraft D zu [ , für die auch die Einheit Dioptrie [dpt]
1 m ] h [dpt]
gebräuchlich ist.
Da der Strahlengang umkehrbar ist, gibt es immer zwei Brennpunkte:
ein bildseitiger und ein gegenstandsseitiger Brennpunkt (bzw.
Brennweite).
Gegenstandsseite
optische
Achse
F
f
54
f'
F'
Bildseite

Definition der gegenstandsseitigen und bildseitigen Brennpunkte F, F'
(Brennweite f, f'):
Alle von der Gegenstandsseite achsparallel einfallenden Strahlen
schneiden sich in dem bildseitigen Brennpunkt F', zu der die bildseitige
Brennweite f' gehört.
Alle von der Bildseite achsparallel einfallenden Strahlen schneiden sich
in dem gegenstandsseitigen Brennpunkt F, zu der die gegenstandsseitige
Brennweite f gehört.
Sammellinsen sind daran zu erkennen, dass f, f' positiv sind, während
bei Zersteuungslinsen f, f' negativ sind, d.h. die Brennpunkte liegen auf
der anderen Seite der Linse als für den o.a Normalfall.
3.2.1 Bildkonstruktion für Sammellinsen
Wie beim Hohl- bzw. Wölbspiegel lassen sich auch für die Bildkonstruktion
bei Linsen drei ausgezeichnete Konstruktionsstrahlen verwenden.
G
g
1
F
2
f
3
f'
2'
1'
Strahl 1: achsparalleler Strahl geht nach Durchgang durch die Linse
durch den Brennpunkt F'
Strahl 2: Mittelpunktsstrahl geht (bei dünnen Linsen) ungebrochen
hindurch
Strahl 3: Brennstrahl (durch F) verläuft nach Durchgang durch die Linse
achsparallel weiter
Der Abbildungsmaßstab v lässt sich direkt aus den beiden gekennzeichneten
Dreiecken ableiten:
v = (1)
B
G = b g
55
b
F'
b-f'
B
3'
Nach dem Strahlensatz gilt weiterhin für die Dreiecke auf der Bildseite:
G
Aus (2) ergibt sich:
oder
F'
f'
b-f'
B
b
1
g = b−f∏
b$f∏ = b
b$f∏ − f∏
b$f∏ = 1
f∏ − 1
b
G
f ∏ = B
b−f ∏
g f∏
b = b−f∏ e g = b$f∏
b−f∏ G
B = f∏
b−f∏ = g
b = 1 v
oder (2)
1
g + 1
b = 1
f∏ (3)
oder (4)
Dieses ist die Abbildungsgleichung für dünne Linsen. Durch Umformungen
lassen sich entweder g, b oder f' aus den anderen beiden Größen
berechnen:
b =
g =
f ∏ =
g $ f∏
g − f∏ b $ f∏
b − f∏ g $ b
g+b
Unter Ausnutzung von (5) lässt sich der Abbildungsmaßstab v auch wie
folgt berechnen:
(6)
v = B
G = b g = f∏
g−f∏ = b−f∏
f∏ Für den hier dargestellten Normalfall entsteht bei Sammellinsen ein
umgekehrtes reelles Bild (b > 0). An (5a) lässt sich erkennen, dass b
auch bei Sammellinsen negativ werden kann. Dieses ist der Fall, wenn
der Gegenstand zwischen Brennpunkt F und Linse liegt. In diesem Fall
entsteht ein virtuelles aufrechtes Bild (b < 0). Auch für diesen Fall ergibt
sich die Bildkonstruktion mit Hilfe der drei ausgezeichneten Konstruktionsstrahlen
- mit dem Unterschied, dass sich die Konstruktionsstrahlen
nicht hinter der Linse sondern vor der Linse, d.h. auf der Gegenstandsseite,
schneiden.
56
(5)

B
3
G
1
2
F g
F'
f
b
f'
Bei einer Sammellinse (Brennweiten f, f' sind positiv) ergibt sich für den
Fall, dass der Gegenstand G zwischen F und der Linse liegt, eine
negative Bildweite b:
1
b = 1
f − 1 g
Die Konstruktionsstrahlen 1', 2', 3' schneiden sich nicht mehr hinter der
Linse sondern in ihrer rückwärtigen Verlängerung vor der Linse. Es
entsteht ein virtuelles aufrechtes und vergrößertes Bild B.
Bildkonstruktion für schräg einfallende Strahlen:
Gegeben ist der in der Abbildung eingezeichnete schräg einfallende
Strahl 1. Der weitere Verlauf des Strahl lässt sich mit Hilfe von ein (oder
zwei Parallelstrahlen) direkt konstruieren:
einfallender Strahl
Hilfsstrahlen
zur Bildkonstruktion
F
1
F'
2'
3'
1'
Brennebene
optische Achse
Die drei Strahlen schneiden sich in der sog. Brennebene. Dieses
Ergebnis lässt sich auch ableiten, in dem in der Abbildungsgleichung für
57
1'
die Gegenstandsweite eingesetzt wird (parallele Strahlen kommen aus
dem Unendlichen). Für diesen Fall ergibt sich rechnerisch:
g $ f∏
b = g − f∏ v = f∏
g − f∏ g d ∞ e
b = f∏
v = 0
Ein im Unendlichen befindlicher Gegenstand wird punktförmig (v=0) in
der Brennebene abgebildet.
3.2.2 Bildkonstruktion für Zerstreuungslinsen
Die Regeln zur Bildkonstruktion für Sammellinsen lassen sich auch für
Zersteuungslinsen anwenden. Klassisches Beispiel für eine Zerstreuungslinse
ist eine Bikonkavlinse, bei der laut Vorzeichenkonvention der
Radius r1 (Eintrittsfläche) negativ und der Radius r2 (Austrittsfläche)
positiv ist. Hieraus resultiert nach
Zerstreuungslinse
1
f ∏ = (n − 1) $ r2−r1
r1$r 2
für die Brennweite f' immer ein negativer Wert, wenn der Brechungsindex
n > 1 (immer der Fall bei Eintritt in ein optisch dichteres Medium) ist,
da der Zähler in (1) immer positiv und der Nenner immer negativ ist.
G
1
2
g
F'
3
B
b
f'
58
f
1'
F
Zerstreuungslinse
(1)
3'
2'

Auch hier lassen sich wieder 3 ausgezeichnete Strahlen zur Bildkonstruktion
benutzen. Die Abbildungsstrahlen schneiden sich jedoch nicht
hinter der Linse sondern ihre rückwärtigen Verlängerungen vor der
Linse, d.h. die Bildweite b ist negativ. Dieses ergibt sich auch aus der
Abbildungsgleichung:
g $ f∏
b = g − f∏ v = f∏
g − f∏ f ∏ < 0 e
f ∏ [ b [ 0
v [ 0 . v [ 1
Für sämtliche Gegenstandsweiten g ergeben sich immer negative
Bildweiten b, d.h. es entstehen immer virtuelle Bilder, die zwischen dem
Brennpunkt F' und der Linse liegen. Der Abbildungsmaßstab ist immer
negativ und betragsmäßig kleiner als 1, d.h. es entstehen virtuelle
aufrechte und verkleinerte Bilder.
3.3 Dicke Linsen
Dicke Linsen sind dadurch gekennzeichnet, dass deren Dicke d nicht
mehr wie bei dünnen Linsen vernachlässig werden darf. Die sehr einfachen
Abbildungsgleichungen für dünne Linsen sind daher nicht mehr
anwendbar.
Zur Herleitung der Abbildungsgleichung für dicke Linsen muss zunächst
wieder auf das strenge, allgemeingültige (keine Näherungen)
Brechungsgesetz zurückgegriffen werden. Der Strahlengang durch eine
dicke Linse lässt sich in drei Einzelschritte zerlegen:
Schritt 1: Eintritt in die Linse (1. Brechung)
Schritt 2: Durchgang durch die Linse
Schritt 3: Austritt aus der Linse (2. Brechung).
59
Eintritt (1)
Scheitelpunkt
S
Dicke Linse
Durchgang (2)
Dicke d
S'
Austritt (3)
Schritt 1 entspricht der Brechung an einer gekrümmten (sphärischen)
Fläche mit dem Radius r, wobei der Strahl von einem Medium mit dem
Brechungsindex n1 in ein Medium mit dem Brechungsindex n2 eintritt.
Die hieraus resultierende Abbildung soll hier zunächst allein betrachte
werden.
3.3.1 Brechung an einer spärischen Fläche
Gegeben: Brechungsindex n1, n2, Radius r
Gegenstandsweite g
gesucht: Bildweite b
Medium n 1
G
S
1
g
A
α
180°−α β
r
S
2
r ϕ 180°−ϕ
S
Aus dem Brechungsgesetz ergibt sich:
M
60
b
Medium n 2
B

sin ✍ n2
sin ✎ = n1
In dem Dreieck GAM gilt:
sin(180°−✍)
g+r
= sin ✍
sin ✩
S1
g+r = S1 e sin ✩ = g+r $ sin ✍
In dem markierten Dreieck ABM gilt:
sin ✎
b−r
= sin(180°−✩)
S2
= sin ✩
S2
e sin ✩ = S2
b−r $ sin ✎
Aus (2) und (3) ergibt sich unter Berücksichtigung von (1):
S1
g+r $ sin ✍ = S2
sin ✍ S2 g+r n2
b−r $ sin ✎ e sin ✎ = S1 $ b−r = n1
sin ✍ n2
sin ✎ = n1
(1)
Die Winkel sind hier zwar eliminiert, aber die Strecken S1 und S2 sind
nicht bekannt. Für achsnahe Strahlen (nahe der optischen Achse)
lassen sich hierfür aber folgende Näherungen einführen:
S1 l g
S2 l b
Einsetzen dieser Näherungen in (4) führt zu:
b
g $ g+r n2
b−r l n1
Durch Umordnen von (6) erhält man schließlich:
n2 $ b−r
b = n1 $ g+r
g
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
oder n2 $ (1 − (7)
r
b ) = n1 $ (1 + r g )
Teilt man (7) noch durch den Radius r, so ergibt sich:
n2
r − n2
b = n1
r + n1
g
n1
oder (8)
g + n2
b = n2−n1
r
Dieses ist die Abbildungsgleichung für den Strahlengang durch eine
sphärische Fläche. Auch hier gilt:
b > 0: Bild liegt rechts vom Scheitelpunkt S: � reeller Bildpunkt
b < 0: Bild liegt links vom Scheitelpunkt S: � virtueller Bildpunkt
61
Der Radius r ist - wie bereits bekannt - mit entsprechender Vorzeichenkonvention
einzuführen:
Mittelpunkt M rechts vom Scheitelpunkt: r ist positiv (+)
Mittelpunkt M links vom Scheitelpunkt: r ist negativ (-)
Strahlrichtung
Vorzeichenfestlegung für die Radien einer Linse
r positiv
M
Mittelpunkt M
hinter der sphärischen
Fläche
r negativ
M
Mittelpunkt M
hinter der shärischen
Fläche
Für die Brennpunkte gilt ebenfalls die bereits bekannte Definition, wobei
die gegenstandsseitigen und bildseitigen Brennweiten f, f' unterschiedlich
sind. Die beiden Brennpunkte erhält man, indem die Grenzwerte für
untersucht g = ∞ bzw. b = ∞ werden.
g=
Medium 1
g=
F
Medium 1
f
S
M
Medium 2
Medium 2
F'
M S
F
f'
f'
Lage der Brennpunkte für den Übergang Medium 1 nach Medium 2
Medium 2 ist optisch dichter als Medium 1
62
f
F'
b=
konvex
b=
konkav

Für eine konvexe sphärische Fläche liegt der Brennpunkt F' hinter der
Eintrittsfläche (f, f' sind positiv); für eine konkave sphärische Fläche liegt
der Brennpunkte F' auf der Gegenstandsseite (f, f' sind negativ).
Die Werte für f und f' ergeben sich, wenn in der Abbildungsgleichung (8)
n1
g + n2
b = n2−n1
r
die entsprechenden Grenzwerte für g bzw. b eingesetzt werden:
g d ∞ e F∏ , b d f ∏
b d ∞ e F, g d f
g = ∞ :
b = ∞ :
n1
∞ + n2
f∏ = n2−n1
r
n1
f + n2
∞ = n2−n1
r
e f∏ = n2$r
n2−n1
f = n1$r
n2−n1
Differenz und Verhältnis der beiden Brennweiten:
f ∏ − f = r $ n2−n1
n2−n1 = r
f
f∏ = n1$r
n2$r = n1
n2
(9a, b)
(10a, b)
In der Abbildungsgleichung (8) gehen neben g und b als Parameter der
sphärischen Fläche die beiden Brechungsindexe n1, n2 sowie der Radius
r ein. Gewöhnlich werden aber an deren Stelle die beiden Brennweiten
f, f' benutzt. Hierzu wird zunächst (9a, b) nach n1, n2 umgestellt
n2 = f ∏ $ n2−n1
r
n1 = f $ n2−n1
r
und anschließend in (8) eingesetzt:
f
g $ n2−n1
r + f∏ n2−n1
b $ r = n2−n1
r
(11a, b)
(12a)
Hierin lassen sich die beiden Brechungsindexe n1, n2 sowie der Radius r
kürzen:
f
g + f∏
b = 1
(12b)
Dieses ist die andere Form der Abbildungsgleichung für eine sphärische
Fläche. Neben der Abbildungsgleichung ist der Abbildungsmaßstab v
eine weitere wichtige Größe. Hierzu muss der Strahlengang für einen
63
Gegenstand G betrachtet und analysiert werden. Mit Hilfe der drei
Konstruktionsstrahlen erhält man das Bild B von G.
G
3
g
1
F
2
S
Aus den beiden markierten Dreiecken ergibt sich sofort:
v = B
G = b−r
g+r
r
r
M
b
F'
b
g $ g+r
B
3'
2'
1'
(13a)
n2
Vergleicht man diesen Ausdruck mit (6) ( b−r l n1 ), so lässt sich hierfür
auch schreiben:
b−r
g+r = n1
n2 $ b g = v
Beispiel für eine sphärische Fläche:
(13b)
Ein Gegenstand befindet sich auf dem Boden eines Schwimmbeckens
mit einer Tiefe g. Wie groß ist der Abbildungsmaßstab und wie tief
erscheint der Gegenstand dem Beobachter?
Wasseroberfläche
virtuelles
Bild B
G
b
64
g
Beobachter
Wasser-
tiefe

Die glatte Wasseroberfläche stellt eine sphärische Fläche mit r = ∞ dar.
Der Gegenstand befindet sich auf dem Boden, so das die Wassertiefe
identisch mit der Gegenstandsweite ist. Wasser hat einen Brechungsindex
von ca. 1.333 während Luft ca. 1.0 hat, so dass hier der Übergang
von optisch dicht nach optisch dünn vorliegt.
Setzt man in (8) den Wert für r ein, so erhält man für die Bildweite b:
n1
g + n2
b = n2−n1
∞ = 0 e n1
g = − n2
b e b = − n2
n1 $ g
Der Abbildungsmaßstab ergibt sich mit b zu:
v = n1
n2 $ b g = n1
n2$g $ (− n2
n1 $ g) = −1
d.h. der Gegenstand wird in Originalgröße als virtuelles Bild gesehen.
Mit den o.a. Zahlenwerten für die Brechungsindexe ergibt sich b zu:
b = − 1.0
1.3333 $ g = − 1 4
3
$ g = − 3
4 $ g
d.h. die Wassertiefe erscheint immer geringer als diese in Wirklichkeit
ist!
Als Sonderfall der sphärischen Fläche kann auch der Hohlspiegel
betrachtet werden, indem gesetzt wird. In (8) eingesetzt, erhält
n2 = −n1
man hiermit:
n1
g + −n1
b = −2$n1
r e 1 g − 1
b = − 2 r
Für den ebenen Spiegel mit r = ∞ erhält man:
1
g − 1
b = − 2 ∞ e g = b
Ein positive Bildweite b bedeutet bekanntlich, dass das Bild hinter der
sphärischen Fläche liegt; in diesem Fall erhält man ein virtuelles Bild mit
dem Abbildungsmaßstab v = 1.
3.3.2 Strahlengang durch eine dicke Linse
Mit Hilfe der sphärischen Fläche lässt sich nun der Strahlengang
bestimmen, der sich nach Eintritt in eine dicke Linse ergibt. Als nächstes
ist der Durchgang durch die Linse und anschließend der Austritt, der
wieder eine Brechung an einer sphärischen Fläche darstellt, zu
berechnen.
65
C.F. Gauß hat herausgefunden, dass auch bei dicken Linsen ein Modell
mit einem bildseitigen Brennpunkt F' und einem gegenstandsseitigen
Brennpunkt F gilt. Allerdings beziehen sich die Brennweiten f', f nicht
wie bei einer dünnen Linse auf die Mitte der Linse sondern auf zwei
Hauptebenen H' und H. Diese Parameter gilt es im folgenden zu ermitteln.
Dazu müssen folgende 5 Parameter einer dicken Linse bekannt
sein:
Brechungsindex n1 des 1. Mediums (vor Eintritt in die Linse)
Brechungsindex n2 des 2. Mediums (Linsenmaterial)
Brechungsindex n3 des 3. Mediums (nach Austritt aus der Linse)
Krümmungsradius r1 der Eintrittsfläche
Krümmungsradius r2 der Austrittsfläche
Dicke der Linse d
Aus diesen Parameter müssen nun die in der nachfolgenden Abbildung
eingetragenen Abstände (Lage der Brennpunkte F, F', Hauptebenen H,
H') bestimmt werden.
n 1
F
Hierin bedeuten:
Strahlengang durch eine dicke Linse
r 1
H H'
n 2
S S'
ψ
h
d
D h'
ψ'
f f'
r 1
: positiv
r
2 : negativ
r 2
sämtliche anderen Größen positiv
66
n 3
F'

F, F': Brennpunkt
f, f': Brennweite
H, H': Hauptebene
h, h': Abstand der Hauptebene vom Scheitelpunkt S bzw. S'
ψ, ψ': Abstand des Brennpunktes vom Scheitelpunkt S bzw. S'
Δ: Abstand der beiden Hauptebenen H, H'
d: Dicke der Linse
r1, r2: Krümmungsradien der Linse
n1, n2, n3: Brechungsindex
Die gestrichenen Größen beziehen sich auf die Bildseite, die anderen
auf die Gegenstandsseite. In der Abbildung sind sämtliche Größen mit
Ausnahme von r2 positiv zu zählen. Dieses ist die Normallage für eine
dicke Positivlinse. Bei anderen Linsenformen bzw. Linsensystemen, auf
die dieses Modell ebenfalls anwendbar ist, können sich auch negative
Werte ergeben. In diesem Fall sind die Abstände zur anderen Seite
einzutragen.
Für die Aufstellung der Abbildungsgleichung für eine dicke Linse ist
zunächst der Strahlengang durch die erste brechende Fläche (Radius
r1) aufzustellen. Dieses entspricht dem Strahlengang durch eine sphärische
Fläche, für die bereits folgende Zusammenhänge gefunden
wurden (vgl. S. 64):
f ∏ = n2$r
n2−n1
f = n1$r
n2−n1
f
g + f∏
b = 1
Für die weitere Betrachtung des Strahlengangs wird ein neues allgemeingültiges
Modell für den Strahlengang eingeführt.
Prinzipiell wird jeder Lichtstrahl bei Eintritt in ein anderes Medium gebrochen,
d.h. die ursprüngliche Richtung (Winkel zur optischen Achse) und
der Abstand zur optischen Achse wird beeinflusst. Demzufolge lässt
sich jeder Lichtstrahl durch zwei Kriterien beschreiben:
1. Abstand y zur optischen Achse
2. Winkel α bzw. Steigung y' gegenüber der optischen Achse
67
Lichtstrahl y'
a
y
1
P 1
P 2
y 2
optische Achse
l
y∏ = dy y2−y1
dl = = tan ✍
l2−l1
Die Steigung y' (bzw. Winkel α) zählt positiv, wenn sich der Abstand y
von der optischen Achse vergrößert (Strahlrichtung: von links nach
rechts).
Beim Durchgang durch ein optisch dichteres oder dünneres Medium
werden die beiden Parameter des Lichtstrahls y, y' verändert. Dieses
lässt sich durch folgende Abbildung (Transformation) beschreiben:
y1
y 1 ∏
Transformation
d
Diese Transformation soll hier zunächst für zwei ausgewählte Strahlen,
die auf eine brechende Fläche treffen, untersucht werden:
Strahl 1: achsparalleler Strahl mit y11 und y11' = 0
Strahl 2: im Scheitelpunkt S einfallender Strahl mit y12 = 0 und y12'
y2
y 2 ∏
a) Strahl 1: unmittelbar vor Eintritt: y11 = const
∏ y11 = 0
y , y ' vor Eintritt
11 11
achsparalleler Strahl
δ
S
n 1
unmittelbar nach Eintritt:
y 21
α
nach Eintritt
n 2
f '
y21 = y11
∏ = − tan ✍ = − y21
68
α
F'
y11
f∏−✑ l − f∏ y 21 , y '
21
α ist hier negativ!

Ergebnis: y21 = y11
y11
∏ y21 = − f∏ b) Strahl 2: unmittelbar vor Eintritt:
y , y '
12
vor Eintritt
12
n1 α
α ist hier positiv!
S
y12 = 0
∏ y12 = tan ✍
n 2
unmittelbar nach Eintritt: Y22 = 0
∏ Y22 = tan ✎
Weiterhin gilt das Brechungsgesetz:
f '
sin ✍ n2
sin ✎ = n1
nach Eintritt
β
F'
y 22 , y '
22
Für kleine Winkel α, β lassen sich für tan ✍, tan ✎ Näherungen in Form
von
sin ✍ l tan ✍
sin ✎ l tan ✎
einführen. Unter Berücksichtigung dieser Näherungen lässt sich nun
schreiben:
∏ y12 l sin ✍
∏ e
y22 l sin ✎ y∏ 12
y∏ 22
l
sin ✍ n2 ∏ n1 ∏
sin ✎ = n1 e y22 = n2 $ y12 Gesucht ist nun eine allgemeingültige Transformation, die sowohl den
Strahl 1 als auch den Strahl 2 entsprechend der oben festgestellten
Beziehungen transformiert. Die bisher gefundenen Beziehungen lauten:
69
∏
y21 = 1 $ y11 + B $ y11 ∏ 1
y21 = − f∏ ∏ $ y11 + D $ y11 ∏ Strahl 1: mit y11 = 0
(1a)
∏
y22 = A $ y12 + 0 $ y12 Strahl 2: ∏ (1b)
y22 = C $ y12 + n1 ∏
n2 $ y12 mit y12 = 0
Während in (1a) über die Parameter B, D beliebig verfügt werden kann,
kann in (1b) nur über die Parameter A, C beliebig verfügt werden. Fasst
man beide Ergebnisse zusammen, so gilt für die Transformation eines
beliebigen Strahles vorher (y1i, y1i') und nachher (y2i, y2i'):
∏
y2i = A $ y1i + B $ y1i ∏ ∏
y2i = C $ y1i + D $ y1i mit
A = 1 B = 0
C = − 1
f∏ D = n1
n2
In Matrizenschreibweise ergibt sich dann folgende
Transformationsgleichung:
y2
y 2 ∏
i
= A B
C D *
y1
y 1 ∏
i
oder
y2
y 2 ∏
= T $
Der Strahlendurchgang (Abbildung) durch eine brechende Fläche lässt
sich also eindeutig durch vier materialabhängige Parameter (Konstanten
A, B, C, D) beschreiben, wobei für die sphärische Fläche folgende Abbildungsmatrix
gilt:
Abbildungsmatrix für die sphärische Fläche:
TspFl =
1 0
− 1
f ∏
n1
n2
mit
f 1 ∏ = n2$r1
n2−n1
Damit ist die Abbildungsgleichung für den Strahlengang durch eine
dicke Linse bis unmittelbar nach Eintritt bekannt.
70
y1
y 1 ∏

n 1
d
r n
1 2 r2
Als nächster Schritt ist die Abbildung für den Durchgang im Innern der
Linse (Strecke d) aufzustellen und anschließend die Abbildung für den
Austritt an der sphärischen Fläche mit dem Radius r2.
Beim Durchgang durch die Linse verändert sich die Steigung des Lichtstrahls
y' nicht, aber der Abstand verändert sich in Abhängigkeit von der
Steigung y', so dass sich hier folgende Abbildungsgleichung ergibt:
∏
y3i = 1 $ y2i + d $ y2i ∏ ∏
y3i = 0 $ y2i + 1 $ y2i oder
∏
y3i = 1 $ y2i + d $ y2i ∏ ∏
y3i = 0 $ y2i + 1 $ y2i Somit ergibt sich folgende Abbildungsmatrix für der Strahlendurchgang
durch einen Abschnitt d:
Td =
1 d
0 1
Im letzten Schritt ist nun noch der Austritt aus der sphärischen Fläche
mit dem Radius r2 und den Medien n2 und n3 zu behandeln. Diese Abbildung
lässt sich mit der bereits bekannten Abbildungsmatrix für die
sphärische Fläche behandeln, wobei nur der entsprechende Radius und
die Brechungsindexe einzusetzen sind. Hiermit ergibt sich nun folgende
Abbildungsgleichung:
∏
y4i = 1 $ y3i + 0 $ y3i ∏ 1
y4i = − f∏ $ y3i +
2 n2 ∏
n3 $ y1i mit
f 2 ∏ = n3$r2
n3−n2
71
n 3
oder in Matrixschreibweise: y4
y 4 ∏
i
=
1 0
Der Strahlendurchgang vom Eintritt in die Linse bis unmittelbar hinter
dem Austritt lässt sich folglich durch folgende drei Transformationen
beschreiben:
− 1
f 2 ∏
n2
n3
y2 y1
1 0
1.: = T1 * mit T1 = n1 und
y 2 ∏
y3
∏ y3 y 1 ∏
y2
∏
T2 =
y2 2.: = T2 * mit
− 1
f∏ 1
1 d
0 1
y4 y3
1 0
3.: = T3 * mit T3 = n2 und
y 4 ∏
y 3 ∏
− 1
f∏ 2
n2
n1
*
y3
y 3 ∏
f 1 ∏ = n2$r1
n2−n1
f 2 ∏ = n3$r2
n3−n2
Fasst man diese drei Transformationen zusammen, so ergibt sich für die
gesuchte Transformation y1
y 1 ∏
mit
y4
y 4 ∏
= T3 * T2 * T1 *
Tg = T3 * T2 * T1
y1
y 1 ∏
Transformation
d
oder
y4
y 4 ∏
y4
y 4 ∏
= Tg *
d.h. die gesamte Transformation lässt sich wieder durch eine Matrix mit
4 Elemente (A, B, C, D) beschreiben. Die Transformationsmatrix Tg
lässt sich aus den drei Einzelmatrizen nach den Regeln der Matrizenalgebra
berechnen, wobei darauf zu achten ist, dass die Matrizenmultiplikation
nicht kommutativ ist. Die Ausmultiplikation führt dann zu:
T21 = T2 * T1 =
Tg = T3 * T21 =
1 d
0 1 *
1 0
− 1
f 2 ∏
n2
n3
1 0
− 1
f 1 ∏
* 1 − d
n1
n2
= 1 − d
f∏ d $
1 n1
n2
− 1
f 1 ∏
72
n1
n2
f∏ d $
1 n1
n2
− 1
f 1 ∏
=
n1
n2
y1
y 1 ∏
:

oder
=
1 − d
f 1 ∏
d $ n1
n2
− 1
f∏ +
2 d
f∏ 1$f2 ∏ − n2
n3 $ 1
f∏ −
1 d
f∏ $
2 n1
n2 + n2
n3 $ n1
n2
Ag = 1 − d
f 1 ∏
Bg = d $ n1
n2
Cg = − 1
f∏ +
2 d
f∏ 1$f2 ∏ − n2
n3 $ 1
f∏ =
1 −f1 ∏ +d− n2 n $f∏ 3 2
f∏ 1$f2 ∏
Dg = − d
f∏ $
2 n1
n2 + n1
n3
= Ag Bg
Cg Dg
In der Regel gilt für den Strahlendurchgang durch eine Linse, dass das
Medium nach Durchgang dasselbe ist wie vor dem Eintritt, d.h. es gilt:
n3 = n1
In diesem Fall vereinfachen sich die Elemente der Abbildungsmatrix zu:
Ag = 1 − d
f 1 ∏
Bg = d $ n1
n2
Cg = − 1
f∏ +
2 d
f∏ 1$f2 ∏ − n2
n1 $ 1
f∏ =
1 −f1 ∏ +d− n2 n $f∏ 1 2
f∏ 1$f2 ∏
Dg = − d
f∏ $
2 n1
n2 + 1
Mit Hilfe der Abbildungsmatrix lassen sich nun für einen beliebigen
Lichtstrahl, dessen Abstand zur optischen Achse bzw. dessen Steigung
zur optischen Achse unmittelbar vor Eintritt bekannt ist (y1, y1'), berechnen,
mit welchem Abstand bzw. welcher Steigung dieser die dicke Linse
(oder das System) wieder verlässt (y4, y4').
Die eigentliche Aufgabe bestand jedoch darin, die beiden Hauptebenen
H, H' bzw. die Brennpunkte F, F' und die Brennweiten f, f' zu bestimmen.
73
n 1
Strahlengang durch eine dicke Linse
r 1
H H'
n 2
F S S'
F'
ψ
h
d
Δ h'
ψ'
f f'
r 1
: positiv
r
2 : negativ
r 2
sämtliche anderen Größen positiv
Zur Lösung dieser Aufgabe wird hier auf die vier Elemente der Abbildungsmatrix
und die Definition des Brennpunktes zurückgegriffen. Der
Brennpunkt ist der Punkt (auf der optischen Achse), in dem sich sämtliche
achsparallele Strahlen schneiden. Die Hauptebene ist definiert als
die Ebene, an der sämtliche achsparallele Strahlen scheinbar nur
einmalig gebrochen werden.
Achsparallel bedeutet für den Strahl bei Eintritt: y1 = const
y 1 ∏ = 0
Unmittelbar nach Durchgang erhält man für diesen Strahl folgenden
Abstand bzw. folgende Steigung:
y4
y 4 ∏ =
A B
C D *
y1
∏ =
y1 A $ y1
∏ + B $ y1 ∏ =
C $ y1 + D $ y1 n 3
A $ y1
C $ y1
Der Schnittpunkt dieses Strahls mit der optischen Achse lässt sich nun
über die Geradengleichung bestimmen, in der der gesuchte Abstand ψ'
enthalten ist:
∏ ∏ 0 = y4 + y4 $ ✫ oder ✫∏ = − y4
y∏ = −
4 A$y1 A
C$y1 = − C
74

y 1
y 1 ' = 0
bildseitige Parameter
d
H'
y 4 '
y
4
h'
S'
f'
'
ψ
Der Abstand ψ' hängt also nur von den beiden Parametern A und C der
Abbildungsmatrix ab (nicht mehr von y1)! Zur Bestimmung des Abstandes
h' der Hauptebene H' lässt sich entsprechend eine Geradengleichung
aufstellen:
∏ ∏
y4 = y1 + y4 $ h = y1 + C $ y1 $ h oder ∏ A $ y1 = y1 + C $ y1 $ h∏ Umstellen nach h' ergibt schließlich:
h ∏ = A−1
C
Die Brennweite f' ergibt sich direkt aus der Summe von ψ' und h':
f ∏ = ✫ ∏ + h ∏ = − A
C + A−1
C = − 1
C
d.h. aus dem Element C leitet sich allein die Brennweite f' (bildseitig) ab.
Ist die Brennweite f' positiv, so liegt der Brennpunkt F' (von links nach
rechts gesehen) hinter der Hauptebene H'. Ist ψ' positiv, so liegt der
Brennpunkt hinter dem Scheitelpunkt S'. Ist h' positiv, so liegt die
Hauptebene H' vor dem Scheitelpunkt S'.
Für eine dicke Linse ergibt sich somit folgende Brennweite f':
f ∏ = − 1
C =
f 1 ∏ $f2 ∏
f 1 ∏ −d+ n 2
n 1 $f 2 ∏
Bisher wurden nur die bildseitigen Parameter abgeleitet. Die gegenstandsseitigen
Parameter erhält man, in dem man den umgekehrten
Strahlengang von rechts nach links betrachtet. Dieses führt dann zu den
Parametern H, F, f, h und ψ.
Zur Berechnung dieser Parameter wird wieder die Abbildungsmatrix
benutzt, die folgende Abbildung beschreibt:
75
F'
y1
y 1 ∏
Transformation
d
y 1 '
S
y 1
y4
y 4 ∏
d
mit
y 4
y 4 '
y4
y 4 ∏ =
S'
A B
C D *
F'
y1
y 1 ∏
Abbildung eines Lichtstrahls
Zur Ermittlung der gegenstandsseitigen Parameter wird nun ein ganz
spezieller Strahl (y1, y1') gesucht, der nach Durchgang die Linse (oder
das System) achsparallel verlässt. Dieser Strahl muss durch den gegenstandsseitigen
Brennpunkt F gehen.
F
ψ
y 1 '
f
S
y 1
h
H
d
S'
y' = 0
4
y 4
gegenstandsseitige Parameter
Zunächst ist also der Strahl (y1, y1') aus der Vorgabe (y4, y4'=0) zu ermitteln
und anschließend dann die gegenstandsseitigen Parameter. Hierzu
ist die o.a. Abbildungsmatrix zu invertieren:
y1
y 1 ∏ =
A B
C D
−1
*
y4
∏ =
y4 A∏ B∏ C∏ D∏ *
Die gesuchte Umkehrung lässt sich z.B. aus den beiden Gleichungen,
die in dieser Matrixoperation enthalten sind, herleiten:
Gl.1 :
Gl.2 :
y4 = A $ y1 + B $ y 1 ∏
y 4 ∏ = C $ y1 + D $ y 1 ∏
y4
y 4 ∏
1D :
1B : e D $ y4
∏
= A $ D $ y1 + B $ D $ y1 ∏ ∏
B $ y4 = B $ C $ y1 + B $ D $ y1 76
F'

∏ 1
Gl.1 − Gl.2 : D $ y4 − B $ y4 = (A $ D − B $ C) $ y1 e y1 = A$D−B$C [D $ y4
∏ − B $ y4 ]
Gl.1 :
Gl.2 :
y4 = A $ y1 + B $ y 1 ∏
y 4 ∏ = C $ y1 + D $ y 1 ∏
Gl.2 − Gl.1 : − C $ y4 + A $ y 4 ∏ = (A $ D − B $ C) $ y1 ∏ e y1 ∏ =
oder in Matrizenschreibweise:
d.h.
y1
y 1 ∏
=
A∏ =
B∏ = −
C∏ = −
D∏ =
1
A$D−B$C $
D
A$D−B$C
B
A$D−B$C
C
A$D−B$C
A
A$D−B$C
D −B
−C A
*
1C :
1A : e C $ y4 = A $ C $ y1 + B $ C $ y 1 ∏
A $ y 4 ∏ = A $ C $ y1 + A $ D $ y 1 ∏
y4
y 4 ∏
1
A$D−B$C [−C $ y4
∏ + A $ y4 ]
Dieses ist die gesuchte Inverse der Abbildungsmatrix. Der Faktor vor
der Matrix enthält die sog. Determinante der Matrix:
det = A $ D − B $ C d 1
det =
1
A$D−B$C
Durch Aufstellung der entsprechenden Geradengleichungen lassen sich
nun die gesuchten Parameter ψ, h, f unter Berücksichtigung von (y4,
y4'=0) herleiten (s. vorherige Abb.):
∏ 0 + ✫ $ y1 = y1 e ✫ = y1
y∏ =
1 A∏ $y4+B ∏ $y∏ 4
C∏$y4+D ∏$y∏ =
4 A∏
C∏ = − D
C
y1 + h $ y 1 ∏ = y4 e h = y4−y1
y 1 ∏
= y4−A ∏ $y4
C ∏ $y4
= 1−A∏
C ∏
= 1−
D
A$D−B$C
C
− A$D−B$C
f = ✫ + h = − D
C + D−A$D+B$C
C = − A$D−B$C
C = − det
C
Für det = 1 gilt daher f = f∏ Abstand Δ der beiden Hauptebenen:
77
= A$D−B$C−D
−C
= D−A$D+B$C
C
✁ = d − h − h ∏
d
h Δ
h'
Beispiel: Brennweiten f, f' für eine dicke Linse mit n3 = n1
Die Elemente der Abbildungsmatrix und die bildseitige Brennweite f'
wurden bereits für eine dicke Linse hergeleitet:
Ag = 1 − d
f 1 ∏
Bg = d $ n1
n2
Cg = − 1
f∏ +
2 d
f∏ 1$f2 ∏ − n2
n1 $ 1
f∏ =
1 −f1 ∏ +d− n2 n $f∏ 1 2
f∏ 1$f2 ∏
Dg = − d
f∏ $
2 n1
n2 + 1
f ∏ = − 1
C =
f 1 ∏ $f2 ∏
f 1 ∏ −d+ n 2
n 1 $f 2 ∏
det = Ag $ Dg − Bg $ Cg = 1 − d
f 1 ∏
$ 1 − d
f 2 ∏ $ n1
n2 − (d $ n1 ) $
= 1 − d
f 1 ∏ − d
f 2 ∏ $ n1
n2 + d2
f 1 ∏ $f2 ∏ $ n1
n2 + d
f 2 ∏ $ n1
n2 − d2
f 1 ∏ $f2 ∏ $ n1
n2 + d
f 1 ∏ $ n1
n2 $ n2
n1 = 1
Somit gilt im Normalfall ( n3 = n1)
für eine dicke Linse: f = f ! ∏
78
n2
−f 1 ∏ +d− n 2
n 1 $f 2 ∏
f 1 ∏ $f2 ∏
=

Berechnung der Bildweite b und des Abbildungsmaßstabes v (oder
Bildgröße) aus den Elementen der ABCD-Abbildungsmatrix:
gegeben:
Abbildungsmatrix einer Linse oder eines Linsensystems
Gegenstandsweite g
Gegenstandsgröße G
gesucht:
Bildweite b
Abbildungsmaßstab v oder Bildgröße B*
A B
C D
Zur Lösung dieser Aufgabe werden zwei ausgewählte Strahlen
verwendet:
Strahl 1: achsparallel im Abstand G zur optischen Achse
Strahl 2: von der Spitze von G mit Eintritt bei Scheitelpunkt S
G
Linse oder Linsensystem
1
2
1'
2'
g S S'
b
Eintritt Austritt
Für diese beiden Strahlen gilt zum Zeitpunkt des Eintritts in die Linse
(Linsensystem):
y1E
Strahl 1: ∏ = Strahl 2:
G
0
y 1E
Diese beiden Strahlen (wie auch alle anderen Strahlen) werden mittels
der Abbildungsmatrix abgebildet, d.h. verlassen beim Austritt das
Linsensystem wie folgt:
Austritt Eintritt
yiA
∏ =
yiA A B
C D *
79
y2E
∏ y2E yiE
∏ yiE =
0
− G g
, i = 1, 2
B*
Die Ausmultiplikation der Abbildungsgleichung ergibt nun:
Strahl 1: y1A = A $ G + B $ 0 = A $ G
∏ y1A = C $ G + D $ 0 = C $ G
Strahl 2: y2A = A $ 0 − B $ G g
∏ G
y2A = C $ 0 − D $ g
Abs tan d
= S1 (Steigung)
Abs tan d
= S2 (Steigung)
(0,0)
Y
1'
2'
S
1
X
S'
S 2
b
B*
P(x,y)
Führt man nun ein Koordinatensystem (x,y) mit dem Ursprung im Scheitelpunkt
S' ein, so ergeben sich für den Punkt P (Spitze von B*) die
Koordinaten P(xP, yP), die sich wie folgt über die Steigungen S1 und S2
berechnen lassen:
yp = y1A + S1 $ xp = A $ G + C $ G $ xp
yp = y2A + S2 $ xp = −B $ G g − D $ G g $ xp
In diesen beiden Gleichungen treten als Unbekannte die Koordinaten xP,
yP auf. Dividiert man beide Seiten durch G, so ergibt sich:
y p & = yp
G = A + C $ xp
y p & = yp
G = − B g − D g $ xp
(2 Gleichungen mit 2 Unbekannten: & yp, xp)
1-2: 0 = A + C $ xp + B g + D g $ xp = A + B g + (c + D g ) $ xp
Auflösung nach xp: xp = − A+ B g
C+ D g
= − A$g+B
C$g+D
Die Koordinate xp ist aber genau die gesuchte Bildweite b!
b = − A$g+B
C$g+D
(allein aus A, B, C, D und g berechenbar!)
80

Setzt man die gefundene Lösung für xp in die erste Gleichung ein, so
ergibt sich für die zweite Unbekannte:
yp &
G = yp = A + C $ xp = A + C $ (− A$g+B
A$C$g+B$C
C$g+D ) = A − C$g+D
y p & = yp
G = A$D−B$C
C$g+D = det
C$g+D
= A$C$g+A$D−A$C$g−B$C
C$g+D
Die Koordinate yp ist der Abstand der Spitze des Bildes von der
optischen Achse und entspricht somit der Bildgröße. Berücksichtigt man
nun, dass im Normalfall für eine Positivlinse bei einem reellen Bild die
Bildgröße B (hier B*, um Verwechselungen mit dem Matrixelement zu
vermeiden) bisher positiv nach unten gezählt wurde, so erhält man:
y p & = yp
G = −B&
G = −v
B
Das Verhältnis ist der bekannte Abbildungsmaßstab v, der sich also
&
G
wie folgt berechnen lässt:
v = − A$D−B$C
C$g+D
= − det
C$g+D
Die Bildgröße B* ergibt sich zu: B & = v $ G
Mit Hilfe des Abbildungsmaßstabes und der Bildweite b lässt sich
bestimmen, was für ein Bild entsteht (aufrecht, umgekehrt, reell, virtuell).
Unter Berücksichtigung der Spiegelung (det = -1), die an Hand einer
negativen Determinante erkennbar ist, gilt allgemein:
v: positiv: umgekehrtes Bild
v: negativ: aufrechtes Bild
det $ b = positiv: reelles Bild
det $ b = negativ: virtuelles Bild
Zusammenfassung:
Bildweite: b = − (1)
A$g+B
C$g+D
Abbildungsmaßstab: v = − (2)
A$D−B$C
C$g+D
Stellt man (1) um, so lässt sich bei bekannter Bildweite b auch die
Gegenstandsweite g berechnen:
81
oder
b = − A$g+B
C$g+D e b $ (C $ g + D) = −A $ g − B
b $ C $ g + b $ D = −A $ g − B
g $ (A + C $ b) = −B − b $ D
g = − B+b$D
A+C$b
Jede Abbildung durch eine Linse oder ein Linsensystem lässt sich
immer durch die vier Elemente (A, B, C, D) der Abbildungsmatrix
beschreiben. Bei bekannter Gegenstandsweite g (oder Bildweite b)
lassen sich dann Bildweite b oder (Gegenstandsweite g) und der Abbildungsmaßstab
berechnen.
3.3.3 Sonderfälle
a) Dünne Linse
Eine dünne Linse stellt den Sonderfall einer dicken Linse dar (d = 0).
Ag = 1 − d
f 1 ∏
Bg = d $ n1
n2
allgemein: mit
Cg = − 1
f∏ +
2 d
f∏ 1$f2 ∏ − n2
n1 $ 1
f∏ =
1 −f1 ∏ +d− n2 n $f∏ 1 2
f∏ 1$f2 ∏
Dg = − d
f 2 ∏ $ n1
n2 + 1
für d = 0 gilt:
A = 1
B = 0
n $f∏ 1 2 also:
C = −f1 ∏ − n2 f∏ 1$f2 ∏
D = 1
1 0
−f 1 ∏ − n 2
n 1 $f 2 ∏
f 1 ∏ $f2 ∏
1
f 1 ∏ = n2$r1
n2−n1
f 2 ∏ = n1$r2
n1−n 2
Die Gesamtbrennweite f' der Abbildung ergibt sich bekanntlich zu
f . ∏ = − 1
C
Durch Einsetzen der Werte für die beiden Einzelbrennweiten erhält man
für den Parameter C der Abbildungsmatrix:
82

C = − n2 $r1 n2−n −
1 n2 n $
1 n1 $r2 n1−n 2
n2 $r1 n2−n $
1 n1 $r2 n1−n 2
b) Hohlspiegel
=
−n 2 $r 1 +n 2 $r 2
n 2 −n 1
n 2 $r 1 $n 1 $r 2
(n 2 −n 1 )$(n 1 −n 2 )
= −r1+r2
r 1 $n 1 $r 2
n 1 −n 2
= r2−r1
r1$n1$r2 $ (n1 − n2) = n1$(r2−r1)
r1$n1$r2 − n2$(r2−r1)
r1$n1$r2
C = r2−r1
r1$r2 − n2
n1 $ r2−r1
r1$r2 = r2−r1
r1$r2 $ (1 − n2
n1 ) = − 1
f ∏
1
f ∏ = r2−r1
r1$r2 $ ( n2
n1 − 1)
(Brennweite einer dünnen Linse)
Die Abbildungsmatrix für den Hohlspiegel kann aus dem Sonderfall
einer sphärischen Fläche mit dem Radius r und dem Brechungsindex
n2 = −n1 abgeleitet werden.
1 0
sphärische Fläche: mit
− 1
f∏ Einsetzen von ergibt:
n2 = −n1
f ∏ = −n1$r
−n1−n1 = r
2
e 1 0
− 2 r −1
n1
n2
f ∏ = n2$r
n2−n1
Determinante des Systems: det = A $ D − B $ C = 1 $ (−1) − (− !
2 r $ 0) = −1
Ebener Spiegel: r = ∞ e
1 0
0 −1
Für die Bildweite b und den Abbildungsmaßstab v des ebenen Spiegels
gilt also:
b = − also
A$g+B g
A$D−B$C
C$g+D = − −1 = g b = g v = − C$g+D = − −1
−1 = −1
G B
g b
v: negativ: aufrechtes Bild
det $ b = −b:
negativ: virtuelles Bild
83
c) Planparallele Platte
Die Abbildungsmatrix für eine planparallele Platte ergibt sich aus der
Abbildungsmatrix für eine dicke Linse mit :
Ag = 1 − d
f 1 ∏
Bg = d $ n1
n2
Cg = − 1
f∏ +
2 d
f∏ 1$f2 ∏ − n2
n1 $ 1
f∏ =
1 −f1 ∏ +d− n2 n $f∏ 1 2
f∏ 1$f2 ∏
Dg = − d
f∏ $
2 n1
n2 + 1
planparallele Platte e f 1 ∏ = ∞
f 2 ∏ = ∞ e
mit
1 d $ n1
n2
0 1
f 1 ∏ = n2$r1
n2−n1
f 2 ∏ = n1$r2
n1−n 2
Anwendung der Abbildung auf einen einzelnen Strahl:
Austritt Eintritt
yA
y A ∏ =
1 d $ n1
n2
0 1
*
yE
y E ∏
e yA = yE + d $ n1
n2 $ y E ∏
y A ∏ = yE ∏
d.h. die Steigungen des Strahls bleiben unverändert, und der Abstand
ändert sich mit zunehmender Steigung des Lichtstrahl!
Planparalle
Platte
d) Zwischenraum oder Strecke e:
vgl. Herleitung dicke Linse:
d
1 e
0 1
84

3.4 Synopse
G
hier:
Dünne Linsen: Ausgezeichnete Strahlen zur Bildkonstruktion
n 1
F
F
F'
Strahlengang durch eine dicke Linse
ψ
r 1
H H'
n 2
S S'
h
d
Δ h'
f f'
r 1 :positiv r 2 :negativ sämtliche anderen Parameter positiv
85
r 2
n 3
ψ
'
F'
B
Berechnung des Strahlengangs durch eine dicke Linse
Linsenparameter: Krümmungsradien r1, r2
Linsendicke d (Abstand SS')
Brechzahlen n1, n2, n3
Y2 = A $ Y1 + B $ Y 1 ∏
Y 2 ∏ = C $ Y1 + D $ Y 1 ∏
f ∏ = − 1
C
A = 1 − d
f 1 ∏
C = −f 1 ∏ + d − n 2
n 3 f 2 ∏
f 1 ∏ $f2 ∏
f 1 ∏ = n2$r1
n2−n1
Y2
Y 2 ∏
abgeleitete Parameter der dicken Linse
n2$r1$n3$r2
= N
h∏ = A−1
C
h = D−A$D+B$C
C
D = − d
f 2 ∏
86
= A B
C D
B = d n1
n2
n1
n2 + n1
n3
f 2 ∏ = n3$r2
n3−n2
f = − A$D−B$C
C
= n3$r2$(n2−n1)$d
N
= n1$r1$(n3−n2)$d
N
* Y1
Y 1 ∏
= n2$r2$n1$r1
N
N = n2 $ r1 $ (n3 − n2) + n2 $ r2 $ (n2 − n1) − d $ (n2 − n1) $ (n3 − n2)
✫ ∏ = f ∏ − h ∏ = − A
C
✁ = d − h ∏ − h
✫ = f − h = − D
C

Gegenstandsweite, Bildweite,
Abbildungsmaßstab
(aus Elementen der ABCD-Matrix)
b = −
g = −
v = −
A$g + B
C$g + D
B + b$D
A + b$C
A$D − B$C
D + g$C
b: Bildweite
g: Gegenstandsweite
v: Abbildungsmaßstab
v positiv: umgekehrtes Bild
v negativ: aufrechtes Bild
det*b: positiv: reelles Bild
det*b: negativ: virtuelles Bild
87
ABCD-Matrizen für die wichtigsten Anwendungsfälle
sphärische Fläche:
1 0
− 1
f ∏
n1
n2
dicke Linse für n1 = n3:
1 − d
f∏ 1
−f∏ n2 1+ d − n f∏ 1 2
f 1 ∏ $f2 ∏
mit f ∏ = n2$r
n2 − n1 , ( f = n1$r
n2 − n1 )
d n1
n2
1 − d$n1
f 2 ∏ $n2
mit
dünne Linse mit Brennweite f(n1, n2, r1, r2):
1 0 1
mit
1 f
− 1
f
Zwischenraum der Länge e:
f 1 ∏ = n2$r1
n2−n1
f 2 ∏ = n1$r2
n1−n2
= (n2
n1 − 1) $ r2−r1
r1$r2 , (f = f ∏ )
1 e
0 1
88

ABCD-Matrizen für die wichtigsten Anwendungsfälle
Zwei dünne Linsen der Brennweite f1, f2 im Abstand e:
1 − e
f1
−f1+ e −f2
f1$f2
e
1 − e
f2
Sonderfälle
Spiegelung am Planspiegel (Sonderfall der sphärischen
Fläche mit f und n2= -n1):
∏ = ∞
1 0
0 −1
Spiegelung am Hohlspiegel (Sonderfall der sphärischen
Fläche mit Radius r und n2 = -n1):
1 0
− 1
f∏ −1 mit f∏ = n2$r
n2−n1 = r
2
planparallele Platte (Sonderfall der dicken Linse mit r1= r2= ∞)
1 d $ n1
n2
0 1
89
4 Linsensysteme
Linsensysteme, die aus verschiedenen Linsen zusammengesetzt sind,
lassen sich aus den einzelnen Abbildungsmatrizen kombinieren. Das
Resultat ist immer eine 2x2-Abbildungsmatrix.
Beispiel:
2 dünne Linsen im Abstand e:
Eintritt
Linsensystem
L1 L2
Abstand e
Austritt
Mittels der Abbildungsmatrix lässt sich für jeden Strahl, dessen Steigung
und Abstand zur optischen Achse am Eintrittspunkt bekannt sind,
berechnen, in welchem Abstand und mit welcher Steigung dieser Strahl
das System wieder verlässt. Der Strahlverlauf innerhalb des Linsensystems
braucht dabei nicht bekannt zu sein.
Aufstellung der einzelnen Abbildungsmatrizen:
1.) Durchgang durch dünne Linse L1: TL1 =
1 0
− 1
f1 1
2.) Durchgang durch Zwischenraum (Länge e): TZ =
3.) Durchgang durch dünne Linse L2: TL2 =
90
1 0
− 1
f2 1
1 e
0 1

Die einzelnen Strahlengänge lassen sich mit Hilfe der drei Abbildungsmatrizen
wie folgt berechnen:
1. Durchgang durch Linse 1: = TL1 * (1a)
2. Durchgang durch Zwischenraum: = TZ *
(1b)
3. Durchgang durch Linse 2: = TL2 * (1c)
Der eintretende Strahl
y1
∏ y1 wird nach Durchgang durch das Linsensy-
stem, das hier durch drei Abbildungsmatrizen repräsentiert wird, in den
y4
Strahl ∏ abgebildet.
y4 Setzt man nun (1c) in (1b) und anschließend in (1a) ein, so erhält man:
y4
y 4 ∏
= TL2 * TZ * TL1 *
y1
y 1 ∏
= TG *
Die gesuchte Abbildungsmatrix TG für das Linsensystem erhält man
daher wie folgt:
TG = TL2 * TZ * TL1 =
1 0 1 e
*
1 0 1 *
− 1
f2
y2
∏ y2 y3
∏ y3 y4
∏ y4 y1
y 1 ∏
1 0
− 1
f1 1
Die Ausmultiplikation der drei Matrizen ergibt:
Schritt 1:
Schritt 2:
1 e
0 1 *
e
1 0 1 −
=
1
− 1
f1
e
1 0 1 −
*
1
− 1
f2
f1 e
− 1
f1 1 =
f1 e
− 1
f1 1
− 1
f2
91
1 − e
f1
+ e
f1$f2
− 1
f1
e
e
1 − f2
y1
∏ y1 y2
∏ y2 y3
∏ y3 = TG
Die Gesamtbrennweite f' (bildseitig) des Systems berechnet sich aus
dem (2,1)-Element und ergibt:
Cg = − 1 e 1 −f1+e−f2
f2 + − f1$f2 f1 = f1$f2
und
f∏ = − 1 f1$f2
Cg = − −f1+e−f2
Zur Berechnung der gegenstandsseitigen Brennweite f wird zunächst
die Determinante der Abbildungsmatrix berechnet:
det = Ag $ Dg − Bg $ Cg = 1 − e
f1 $ 1 − e
f2
= 1 − e e e2 e e2 e
f1 − f2 + f1$f2 + f2 − f1$f2 + f1 = 1
− −f1+e−f2
f1$f2
$ (e) =
d.h. bild- und gegenstandsseitige Brennweite sind gleich groß!
f = f ∏
Lage der beiden Hauptebenen H und H' (bezogen auf Scheitelpunkt S
bzw. S'):
h ∏ = Ag−1
Cg
h = Dg−det
Cg
= − e
f1 $
e
= − f2 $
Abstand der beiden Hauptebenen:
f1$f2
−f2+e−f1
e$f2
= f1+f2−e
f1$f2
−f2+e−f1
e$f1
= f1+f2−e
✁ = e − h − h ∏ = e − e$f1
f1+f2−e − e$f2
f1+f2−e = e $ (1 − f1+f2
f1+f2−e ) = e $ f1+f2−e−f1−f2
f1+f2−e = − e2
f1+f2−e
2 dünne Linsen im Abstand e = 0:
Für e = 0 (2 dünne Linse direkt hintereinander) fallen beide Hauptebenen
zusammen. Die Abbildungsmatrix vereinfacht sich dann zu:
e = 0
Tg =
− 1
f1
1 0
− 1
f2 1
:
1
f = − 1 1 1
Cg = f1 + f2
d.h. die einzelnen Brechkräfte addieren sich: D12 = D1 + D2 = 1 1
+ f1 f2
Beispiel: f1 = f2 e (Einheit: )
1 1 2
+ = f1 u D12 = 2 $ D1 [ 1 m ] h [dpt]
f = 1
f1
f2
92

4.1 Strahlengang durch Linsensysteme
Der Strahlengang durch Linsensysteme lässt sich mit Hilfe der Abbildungsmatrizen
sehr einfach darstellen. Die Gegenstandsweite g sowie
alle gegenstandsseitigen Größen (h, ψ) zählen dabei vom Scheitelpunkt
S, während die Bildweite b und die bildseitigen Größen (h', ψ') vom
Scheitelpunkt S' zählen. Die beiden Brennweiten f, f' des Linsensystems
beziehen sich immer auf die beiden Hauptebenen H, H'. Die Lage der
Brennpunkte und der Hauptebenen hängt von den einzelnen Linsen im
Innern des Linsensystems ab. Die Hauptebenen als auch die Brennpunkte
können dabei sowohl innerhalb als auch außerhalb des Linsensystems
liegen. Daher sind die Vorzeichen der o.a. Größen unbedingt
zu beachten.
G
Konstruktions- H Linsensystem H'
strahlen f f'
g
F S S' F'
ψ h h' ψ '
Die entstehende Abbildung lässt sich auch konstruktiv durch mehrfache
Anwendung der Konstruktionsstrahlen auf die entstehenden Zwischenbilder
lösen. Dieses soll das nachfolgende Beispiel zeigen.
G
L 1 ZW1
F'
1
L 2 ZW 2
F'
2
F3
F'
3
g Zb
1 Zb2
b
F
2
H H'
L
3
In diesem Beispiel setzt sich die Abbildungsmatrix Tg des Linsensystems
aus insgesamt 5 einzelnen Abbildungsmatrizen zusammen:
Tg = TL3 * TZW2 * TL2 * TZW1 * TL1
93
B
b
B
Hierbei handelt es sich um insgesamt 5 Abbildungsmatrizen:
{ Abbildungsmatrix 1: dünne Positivlinse L1
{ Abbildungsmatrix 2: Zwischenraum ZW1
{ Abbildungsmatrix 3: dünne Negativlinse L2
{ Abbildungsmatrix 4: Zwischenraum ZW2
{ Abbildungsmatrix 5: dicke Linse L3
Bei der Bildkonstruktion ist hier wie folgt vorzugehen:
{ Konstruktion des Zwischenbildes Zb1 der Linse L1
{ Konstruktion des Zwischenbildes Zb2 der Linse L2, wobei zu
beachten ist, dass das Zwischenbild Zb1 hinter der Linse L2 entsteht
und somit die bild- und gegenstandsseitigen Brennpunkte hier für
den Strahlengang von rechts nach links zu berücksichtigen sind.
{ Konstruktion des Bildes B für die dicke Linse L3
Das entstehende Zwischenbild ist für die nächste Abbildung als Gegenstand
G zu betrachten. Auf diese Weise lassen sich auch für komplexe
Linsensysteme über die Zwischenbilder das Bild B konstruieren.
4.2 Spezielle Linsensysteme
4.2.1 Zwei dünnne Linsen in konfokaler Anordnung
Bei diesem Linsensystem wird der Zwischenraum e zwischen den
beiden Linsen so gewählt, dass gilt:
f1 + f2 = e
Die Abbildungsmatrix für diese Anordnung führt dann zu:
T =
Hieraus ergibt sich sofort:
1 − f1+f2
f1
−f1+f1+f2−f2
f1$f2
f1 + f2
1 − f1+f2
f2
f = f ∏ = − 1
0 = −∞ h = h ∏ = ∞ ✁ = ∞
94
= − f2
f1 f1 + f2
0 − f1
f2

Die Eigenschaften dieses Linsensystems sollen hier an Hand der Abbildungsmatrizen
analysiert werden. Hierzu betrachten wir zunächst den
Strahlengang eines beliebigen Lichtstrahls durch das Linsensystem.
y2
y 2 ∏
= T *
y1
y 1 ∏
Die Ausmultiplikation führt zu:
y2 = − f2
f1 $ y1 + (f1 + f2) $ y 1 ∏
y 2 ∏ = 0 $ y1 − f1
f2 $ y 1 ∏
d.h. das Verhältnis der beiden Steigungen vor und nach dem Durchgang
ergibt sich hier zu:
y 2 ∏
y 1 ∏ = − f1
f2
Der Abbildungsmaßstab v ergibt sich, da C = 0, zu:
v = − A$D−B$C
D+C$g = − 1
D = f2
f1
y 1
Zwei dünne Linsen in konfokaler Anordnung
e
Objektiv
f
1
f
2 Okular
Ein achsparallel im Abstand y1 einfallender Lichtstrahl verlässt das
Linsensystem wieder achsparallel, wobei der Abstand y2 sich im Verhältnis
der beiden Brenweiten f2, f1 ändert.
Dieses ist das Prinzip des Kepler'schen Fernrohrs (Kepler 1611),
wobei folgende Linsen eingesetzt werden:
Linse 1: langbrennweitige Sammellinse (f1 groß): Objektiv
Linse 2: kurzbrennweitige Sammellinse (f2 klein): Okular
Der Abbildungsmaßstab v ist hierbei betragsmäßig < 1, d.h. B < G!
95
y
2
Beim Kepler'schen Fernrohr entsteht für weit entfernte Objekte (z.B.
Sterne) ein reelles punktförmiges Zwischenbild in der Brennebene.
Nach Durchgang durch das Okular entsteht ein virtuelles Bild:
g = ∞ d b = −∞
Primäre Aufgabe eines Fernrohres ist die Vergrößerung eines weit
entfernten Gegenstandes. Da sich der Abbildungsmaßstab aber
betragsmäßig kleiner als 1 ergibt, scheint hier ein Widerspruch vorzuliegen
- oder?
4.3 Zusammenhang von Vergrößerung und menschliches Auge
Der Begriff Vergrößerung darf hier nicht mit dem Abbildungsmaßstab
verwechselt werden. Die Vergrößerung hängt davon ab, wie ein Gegenstand
ohne Hilfsmittel und wie derselbe Gegenstand mit einem
optischen Hilfsmittel (z.B. Fernrohr) gesehen wird, d.h. das menschliche
Auge ist hier zu berücksichtigen.
Beim menschlichen Auge wird ein Gegenstand über die Augenlinse auf
der Netzhaut abgebildet. Das Auflösungsvermögen wird dabei durch die
lichtempfindlichen Rezeptoren, die sich auf der Netzhaut befinden,
begrenzt. Ein ausgedehnter Gegenstand wird dabei unter dem Sehwinkel
w gesehen.
G
Augenlinse
w
Sehwinkel w
blinder Fleck
Netzhaut
mit Rezeptoren
B
Sehnerv
Je größer der Sehwinkel ist, um so deutlicher kann der Gegenstand G
gesehen werden. Der minimale Sehwinkel w, bei dem zwei punktförmige
Gegenstände noch unterschieden werden können, beträgt beim
menschlichen Auge 1' (1°/60). Für strichförmige Gege nstände beträgt
der minimale Sehwinkel 10" (1°/360) = Nonienschärfe.
96

Damit ein Gegenstand in beliebigem Abstand g zum Auge scharf
gesehen werden kann, kann die Brennweite der Augenlinse verändert
werden (Bildweite = Abstand zur Netzhaut bleibt konstant; b = const).
Diesen Vorgang nennt man Akkomodation. Die Akkomodation funktioniert
für Gegenstandsweiten g > 10 cm bis unendlich, wobei ein auf
unendlich fokussiertes Auges als entspanntes Auge (ermüdet nicht)
bezeichnet wird. Je geringer der Abstand des Gegenstandes zum Auge
ist, um so größer wird der Sehwinkel w. Akkomodation ist zwar noch bis
ca. 10 cm Abstand möglich, aber für das Auge dann sehr anstrengend
und nur für kurze Zeit möglich. Aus diesem Grunde wird als deutliche
Sehweite sd ein Abstand von 25 cm festgelegt:
deutliche Sehweite: sd = 25 cm
Die Vergrößerung Γ berücksichtigt nun, unter welchem Sehwinkel w ein
Gegenstand ohne und mit einem Hilfsmittel gesehen wird.
wobei gilt:
Definition der Vergrößerung Γ: ✄ =
w: Sehwinkel ohne Hilfsmittel
w': Sehwinkel mit Hilfsmittel.
tan w∏
tan w
Die Vergrößerung Γ darf nicht mit dem Abbildungsmaßstab v verwechselt
werden, der unabhängig vom menschlichen Auge definiert ist. Der
Abbildungsmaßstab ergibt sich bekanntlich aus dem Verhältnis von
Bildgröße und Gegenstandsgröße:
v = B
G =
Bildgrö❴e
Gegens tan dsgrö❴e
v: positiv: umgekehrtes Bild
v: negativ: aufrechtes Bild
Die Vergrößerung Γ kann > 1 sein, auch wenn v < 1 ist!
Als Beispiel hierfür ist das Kepler'sche Fernrohr zu nennen. Um die
Vergrößerung Γ für das Fernrohr zu bestimmen, werden zunächst einfachere
optische Geräte zur Sehwinkelvergrößerung betrachtet.
97
4.4 Optische Geräte zur Sehwinkelvergrößerung
4.4.1 Die Lupe
Der Sehwinkel w ohne Hilfsmittel ergibt sich unter Berücksichtigung der
deutlichen Sehweite sd und der Gegenstandsgröße G zu:
G
ohne Hilsmittel
w
S d = 25 cm
Sehwinkel w ohne Hilfsmittel: tan w = (1)
G sd
Eine Lupe ist eine Positivlinse, bei der der Gegenstand G innerhalb der
Brennweite F der Linse angeordnet wird. Dabei entsteht bekanntlich ein
virtuelles Bild B. Das Auge befindet sich i.d.R. unmittelbar hinter der
Linse, so dass sich folgende Situation ergibt:
B
mit Hilfsmittel
b
w'
G
Lupe
F g
F'
f f'
Auge
Das Auge betrachtet somit das Bild B des Gegenstandes G, das sich im
Abstand b vom Auge befindet, unter dem Sehwinkel w'. Dieser Sehwinkel
w' (mit Hilfsmittel) berechnet sich wie folgt (Abbildungsgesetz für
eine dünne Linse):
Sehwinkel w' mit Hilfsmittel (Lupe): tan w (2)
∏ = B
b = G g
Für die Vergrößerung Γ ergibt sich nun aus (1) und (2):
✄ =
tan w∏
tan w = G g $ sd
G = sd
g
98
(3)

Je kleiner g ist (Abstand des Gegenstandes G zur Lupe), um so größer
wird die Vergrößerung Γ, wobei sich folgender Grenzwert für die
Bildweite b ergibt:
g d 0 : b = g$f
g−f e b d 0
Dabei ist zu beachten, dass b niemals kleiner als 10 cm werden darf
(kleinster Abstand für die Akkomodation). Der andere Grenzwert ergibt
sich, wenn der Gegenstand G im Abstand f vor der Linse angeordnet
wird. Für diesen Fall ergibt sich:
g d f : b = g$f
g−f e b d ∞
In diesem Fall kann das virtuelle Bild mit entspanntem Auge betrachtet
werden, und man spricht von der Normalvergrößerung der Lupe, die
sich somit aus (3) wie folgt ergibt:
Normalvergrößerung einer Lupe (g = f):
✄Lupe = sd
f
mit sd = 25 cm (deutliche Sehweite).
Die maximale Vergrößerung erreicht man, wenn der Abstand g so
variiert wird, dass das Bild in einem Abstand b = -sd = - 25 cm erscheint.
In diesem Abstand funktioniert die Akkomodation des Auges noch
problemlos.
Beispiel für eine Lupe mit f = 2.5 cm:
Normalvergrößerung:✄normal = sd
f
= 25 cm
2.5 cm = 10 fach
maximale Vergrößerung für b = - 25 cm:
g = b$f −25 cm$2.5 cm
b−f = −25 cm−2.5 cm = 2.273 cm
maximale Vergrößerung:✄max = sd 25 cm
g = 2.273 cm = 11 fach
Bei der Normalvergrößerung wird das Bild im Unendlichen und bei der
Maximalvergrößerung in der deutlichen Sehweite betrachtet. Dabei wird
in diesem Beispiel die Vergrößerung von 10fach auf 11fach gesteigert.
99
Die Vergrößerung Γ lässt sich auch mittels der Abbildungsmatrix für
eine dünne Linse herleiten, für die bekanntlich gilt:
dünne Linse: T =
1 0
− 1
f 1
Wird nun der Gegenstand G in den Brennpunkt F gebracht (g = f), so
ergibt sich für einen im Scheitelpunkt S der Lupe einfallenden Strahl
folgende Situation:
G
F
g = f
y' 1
einfallender Strahl bei S mit g = f: y1
y 1 ∏
Anwendung der Abbildungsgleichung:
y2
y 2 ∏
=
Hierin gilt aber:
1 0
*
1
− 1
f
y1
y 1 ∏
=
tan w = G sd
tan w ∏ = −y 2 ∏ = G
f
S
Lupe
=
y1
− 1
f $ y1
∏ + y1 0
− G g
y' 2
Somit ergibt sich für die Normalvergrößerung Γ:
✄ =
tan w∏
tan w = G sd
f $ G = sd
f
(q.e.d.)
100
=
=
0
− G
f
-w'
0
− G
f

4.4.2 Vergrößerung beim Kepler'schen Fernrohr
Bei dem astronomischen Fernrohr nach Kepler handelt es sich um eine
zweistufige Abbildung:
Frontlinse = Objektiv, bildet ein unendlich entferntes Objekt (Gegenstand)
in der Brennebene des Objektivs ab, wobei ein reelles Zwischenbild
entsteht.
Dieses Zwischenbild wird nun über die zweite Linse = Okular betrachtet.
Das Okular wirkt dabei wie eine Lupe.
Bei der konfokalen Anordung ist der Abstand der beiden Linsen so
gewählt, dass gilt:
e = fObj + fOku
Die Abbildungsmatrix ergibt sich dabei zu:
1 − e
fObj e
−fObj+e−fOku
fObj$fOku 1 − e
fOku
= − fOku
fObj fObj + fOku
0 − fObj
fOku
Für die Steigungen sämtlicher Lichtstrahlen ergibt sich daher nach
Durchgang durch das Fernrohr:
y 2 ∏ = C $ y1 + D $ y 1 ∏ = − fObj
fOku $ y 1 ∏
oder
y 2 ∏
y 1 ∏ = − fObj
fOku
= tan w∏
tan w
Das Verhältnis der beiden Steigungen ist hier für unendlich entfernte
Objekte identisch mit dem Verhältnis der beiden Sehwinkel w, w' (w:
ohne Hilfsmittel; w': mit Hilfsmittel), so dass sich für die Vergrößerung Γ
des Fernrohrs auch schreiben lässt:
✄ = fObj
fOku
Für eine möglichst große Vergrößerung Γ ist also zu fordern:
Objektiv: lange Brennweite ( groß)
fObj
Okular: kleine (kurze) Brennweite ( klein)
fOku
101
Falls mit dem Fernrohr nicht nur Objekte im Unendlichen betrachtet
werden sollen, muss zusätzlich eine verstellbare Zwischenlinse eingebaut
werden. Die Zwischenlinse sorgt dann dafür, dass das Zwischenbild
auch für nicht unendlich entfernte Objekte in der Brennebene des
Okulars entsteht. Es besteht weiterhin die Möglichkeit, in der Brennebene
des Okulars eine Strichplatte mit Fadenkreuz oder andere Strichplatten
mit Einteilungen zu positionieren.
Objektiv verstellbare
Zwischenlinse
4.4.3 Das Mikroskop
Strichplatte
mit Fadenkreuz
Okular
Das Mikroskop ist wie das Fernrohr ein zweilinsiges System mit Objektiv
und Okular, das auch hier als Lupe dient. Im Gegensatz zum Fernrohr
werden mit dem Mikroskop aber nicht weit entfernte Objekte betrachtet,
sondern sehr kleine Objekte, die in die Nähe des Objektivs gebracht
werden. Der Abstand e der beiden Linsen wird auch hier so gewählt,
dass das Zwischenbild in die Brennebene des Okulars bzw. innerhalb
der Brennweite des Okulars fällt. Damit ein reelles Zwischenbild
entsteht, muss der Gegenstand mindestens außerhalb der Brennweite
des Objektivs positioniert werden, d.h. g l fObj.
Die Gesamtabstimmung
erfolgt dabei über die Tubuslänge t. Somit ergeben sich folgende
Strahlverläufe:
102

Objektiv
G
Mikroskop
f f
Obj Tubuslänge t Oku
virtuelles Bild B
b z
Okular
Zwischenbild
Die Abbildungsmatrix für das Mikroskop ergibt sich hier wie folgt:
e = fObj + t + fOku
1 − e
fObj e
−fObj+e−fOku
fObj$fOku 1 − e
fOku
= − t+fOku
fObj
t
fObj$fOku
fObj + t + fOku
− t+fObj
fOku
Bei der Berechnung der Vergrößerung muss wieder das Verhältnis der
beiden Sehwinkel betrachtet werden. Ohne Hilfsmittel beträgt der
Sehwinkel w, wenn der Gegenstand G im Abstand der deutlichen
Sehweite sd vor dem Auge positioniert wird:
ohne Hilfsmittel: tan w = G sd
Der Sehwinkel w' mit Hilfsmittel ergibt sich direkt aus der Steigung des
Strahls nach Durchgang durch das Mikroskop und ergibt sich für den
Mittelpunktstrahl von der Spitze G (y1 = 0) zu:
Mittelpunktstrahl von der Spitze G: y1
y 1 ∏
=
0
− G g
l
0
− G
fObj
Anwendung der Abbildungsgleichung auf die Steigung führt zu:
t+fObj
∏ ∏ y2 = C $ y1 + D $ y1 = − fOku $ (− G t+fObj
) = fObj fOku $ G g
mit Hilfsmittel: tan w ∏ = y 2 ∏ = t+fObj
fOku $ G g
103
Die Vergrößerung des Mikroskops ergibt sich somit zu:
✄ =
tan w∏
tan w = sd
G $ t+fObj
fOku $ G g = sd
t+fObj
fOku $ g
Für die Tubuslänge t und die Brennweite des Objektivs gilt in erster
Näherung:
t + fObj l bz
bz : Bildweite des Zwischenbildes nach Abbildung durch das Objektiv
Somit ergibt sich:
✄ = sd bz
fOku $ g = ✄Oku $ vObj
Die Vergrößerung des Mikroskops ergibt sich also aus der Vergrößerung
des Okulars (wirkt als Lupe) und dem Abbildungsmaßstab des
Objektivs.
Da für das Mikroskop weiterhin
g l fObj
t >> fObj
in erster Näherung gilt, lässt sich (1) auch wie folgt umformen:
Beispiel:
✄ = t$sd t
= $ ✄Oku
fObj$fOku fObj
Gegeben ist ein Okular (Lupe) mit 10-facher Vergrößerung und einer
Tubuslänge von 160 mm. Wie groß muss die Brennweite des Objektivs
gewählt werden, damit eine 400-fache Vergrößerung erreicht wird?
Gegeben:
✄Oku = 10
t = 160 mm
✄Mikroskop = 400
gesucht:
Löst man (3) nach der unbekannten Brennweite des Objektivs auf, so
ergibt sich:
104
fObj
(1)
(2)
(3)

fObj =
t
✄Mikroskop $ ✄Oku
160 mm
= 400 $ 10 = 4 mm
Unter Berücksichtigung der deutlichen Sehweite lässt sich auch für das
Okular die Brennweite angeben:
✄Oku = sd
fOku e fOku = sd 250 mm
✄Oku = 10 = 25 mm
Gesamte Baulänge l des Mikroskops:
l = fObj + t + fOku = 4 mm + 160 mm + 25 mm = 189 mm
4.4.4 Spezielle Anwendungen von Fernrohren
- Kollimatoren und Autokollimation -
Bei der Justierung und Kontrolle von geodätischen Instrumenten und bei
speziellen geodätischen Messverfahren werden besonders umgerüstete
Fernrohre als Kollimatoren eingesetzt.
Kollimator: auf fokussiertes Fernrohr, dessen Fadenkreuz oder
∞
dessen Strichplatte mittels einer Lichtquelle beleuchtet wird (s. u.a.
Abbildung).
Lichtquelle
Okular
halbdurchlässiger
Spiegel
Fadenkreuzbeleuchtung
Strichplatte oder Fadenkreuz
105
Objektiv
Kollimator
Kollimatoren werden z.B. bei der Justierung der Ziellinie von Nivellieren
oder anderen geodätischen Instrumenten eingesetzt. Beim Kollimator
handelt es sich um ein bereits justiertes und auf Unendlich fokussiertes
Fernrohr, dessen Ziellinie zunächst horizontal eingerichtet wird. Hierzu
wird eine Lichtquelle im Kollimator so angeordnet, dass sämtliche Strahlen
den Kollimator achsparallel verlassen.
Dem Kollimator wird nun das zu justierende Gerät - ebenfalls auf
Unendlich fokussiert und horizontiert - gegenüber gestellt. Blickt man
nun durch das Okular des Prüflings, so lassen sich die Fadenkreuze
(oder Strichplatten) beider Instrumente beobachten. Das Gerät ist
justiert, wenn beide Fadenkreuze zusammenfallen. Anderenfalls tritt
aufgrund der nicht horizontal verlaufenden Zielstrahlen des Prüflings ein
vertikaler Versatz Δ der beiden Fadenkreuze auf. Der Versatz ergibt
sich dabei aus dem Fehlwinkel δ des Prüflings und dessen Objektivbrennweite
fObj:
tan ✑ = ✁
fObj
Lichtquelle Strichplatte oder Fadenkreuz
Kollimator
Versatz Δ
f Obj
Fadenkreuz des
Prüflings
Prüfling
Δ
δ
Fadenkreuz
des Kollimators
Bei diesem Verfahren müssen Kollimator und Prüfling nur ungefähr die
gleiche Höhe aufweisen, so dass genügend Licht(-strahlen) des Kollimators
noch in das Objektiv des Prüflings einfallen. Eine ungleiche
Objektivhöhe der beiden Instrumente wirkt sich nicht auf den Versatz Δ
aus. Dieses lässt sich auch mittels der Abbildungsmatrix des Objektivs
zeigen. Da das Fadenkreuz in der Brennebene des Objektivs
106

angeordnet ist (denn dort entsteht das Zwischenbild für parallel einfallende
Strahlen) gilt für sämtliche Strahlen, die parallel unter einem
Winkel δ einfallen, folgende Abbildungsgleichung:
unter Winkel δ einfallender Strahl: ∏ =
(1)
y1 tan ✑
Abbildung durch Objektiv (dünne Linse mit fObj) in der Brennebene
(Zwischenbild):
y2
y 2 ∏
=
1 0
1
*
− 1
fObj
y1
y 1 ∏
=
y1
y1
− y1
fObj
+ tan ✑
Der Versatz Δ zur optischen Achse in der Brennebene ergibt sich somit
zu:
(3)
✁ = y1 + y 2 ∏ $ b = y1 + y 2 ∏ $ fObj
Einsetzen von (2) in (3) ergibt:
✁ = y1 + (− y1
fObj + tan ✑) $ fobj = y1 − y1 + fObj $ tan ✑ = fObj $ tan ✑ = const
4.4.5 Autokollimation
Autokollimatoren sind normale Fernrohre mit einer Zusatzeinrichtung zur
Beleuchtung des Faden- oder Strichkreuzes.
Bei der Autokollimation wird das eigene (beleuchtete) Fadenkreuz nach
Reflexion an einem ebenen Spiegel, der z.B. an einem zu vermessenden
Objekt angebracht ist, beobachtet. Wenn das über den Spiegel
reflektierte und das direkt beobachtbare Fadenkreuz zur Deckung
gebracht werden, ist der Spiegel genau senkrecht zur Ziellinie des
Autokollimationsfernrohres ausgerichtet. Dabei kann die Ausrichtung
des Spiegels sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung
überprüft werden.
107
y1
(2)
(4)
Okular
Δ
Fadenkreuzbeleuchtung
Fadenkreuz
5 Abbildungsfehler
f
Obj
horizontaler Versatz Δ
vertikaler
reflektiertes
Fadenkreuz
Versatz Δ
δ
Spiegel
Autokollimation
Eine ideale (fehlerfreie) geometrisch-optische Abbildung ordnet jedem
Punkt eines Objektes des Gegenstandsraumes eindeutig einen
Bildpunkt zu und transformiert geometrische Formen (Figuren) in ähnliche
Formen (Figuren).
Die hergeleiteten Abbildungsgleichungen für Spiegel, dünne Linsen,
dicke Linsen oder Linsensystemen gelten streng nur für paraxiale
(achsnahe) Strahlen. Strahlen, die außerhalb des paraxialen Gebietes
verlaufen, führen dazu, dass die Objektpunkte nicht mehr punktförmig
abgebildet werden: �Abbildungsfehler.
Aus den Versuchen ist bereits bekannt, dass der Brechungsindex eines
Materials sich mit der Wellenlänge des Lichtes (Lichtfarbe) ändert, d.h.
Lichtstrahlen unterschiedlicher Wellenlängen (wie z.B. in weißem Licht
enthalten) werden unterschiedlich stark gebrochen (Dispersion):
�Farbfehler.
5.1 Sphärische Aberration
Von dem Hohlspiegel ist bereits ein spezieller Fehler bekannt: Katakaustik.
Diese Art des Fehlers gibt es auch beim Durchgang von achsparallelen
Strahlen, die symmetrisch zur optischen Achse verlaufen, durch
eine Linse. Dieser Fehler wird bei Linsen
108

genannt.
Öffnungsfehler oder sphärische Aberration
Sphärische Aberration
F R
F
R
: Brennpunkt für Randstrahlen
F
M
: Brennpunkt für paraxiale Strahlen
Ein Punkt wird in diesem Beispiel als unscharfer Kreis dargestellt. Der
Fehler ist wegen der symmetrisch zur optischen Achse einfallenden
Lichtstrahlen rotationssymmetrisch (kreisförmig).
Sphärische Aberration
Die sphärische Aberration nimmt mit zunehmender Krümmung der Linse
zu (je kürzer die Brennweite um so größer der Fehler).
5.2 Koma
Fallen die Lichtstrahlen nicht symmetrisch zur optischen Achse sondern
schräg ein, so ergibt sich kein kreisförmiges Fehlermuster mehr. Das
dabei entstehende unsymmetrische Fehlermuster ähnelt in bestimmten
Fällen einem Kometen; aus diesem Grunde wird dieser Abbildungsfehler
genannt.
Koma
109
r
r
F M
r
r
P
schräg einfallende
Strahlen
Koma
F'
Schirm
Je nach Anordnung des Schirms können unterschiedliche dabei Fehlermuster
entstehen.
Verschiedene Formen des Komas
110

5.3 Astigmatismus (Punktlosigkeit)
Mittels Blenden lassen sich Strahlen ausblenden, die im Randbereich
der Linse einfallen. Dieses mildert zwar die zuvor erläuterten Fehler, wie
sphärische Aberration oder Koma, dennoch kann ein Abbildungsfehler
auftreten, wenn ein Lichtbündel von einem Punkt kommt, der in einer
Ebene (Meridianebene) weit außerhalb der optischen Achse und in der
hierzu senkrechten Ebene (Sagittalebene) in der Ebene der optischen
Achse liegt. Betrachtet man nun den Strahlenverlauf in diesen beiden
Ebenen, so ergeben sich die in der Abbildung dargestellten Strahlverläufe.
P
Astigmatismus (Punktlosigkeit)
Lichtstrahl kommt von einem Punkt P weit außerhalb
der optischen Achse (o.A.)
optische Achse
Meridianebene (Seitenansicht)
Blende
Sagittalebene (Draufsicht)
Blende
seitlich
gedehnt
F Mer
o.A.
vertikal
gedehnt
o.A.
F
Sag
Für die Strahlen der Meridianebene gilt als Brennebene die Ebene
durch den Punkt FMer, für die Strahlen der Sagittalebene jedoch die
Ebene durch den Punkt FSag. Je nachdem, wo ein Schirm oder eine
111
Leinwand angebracht wird, erhält man entweder einen seitlich oder
einen vertikal gedehnten Punkt. Die Differenz der beiden Punkte
✁ = FMer − FSag
wird auch astigmatische Differenz genannt. Die Differenz ist um so
größer, je schiefer das Lichtbündel einfällt.
Beispiel für Astigmatismus
5.4 Bildfeldwölbung
Bei den bisher erörterten Fehlern, wie z.B. Astigmatismus, wurde bisher
nur ein Strahlenbündel, das von einem einzigen Punkt ausgeht, betrachtet.
Die mehrfache Anwendung des Astigmatismus für unterschiedliche
Objektpunkte, die in einer Ebene liegen, führt schließlich zu einer neuen
Fehlerart, der Bildfeldwölbung.
112

G 0
G 1
G 2
G 0
G 1
G 2
Bildfeldwölbung
FMer
B2M
B2S
B1M
FSag
B1S
Für die in einer Ebene liegenden Objektpunkt G0, G1, G2 ergeben sich
zwei Kugelschalen mit unterschiedlichen Radien, auf denen die Punkte
der Meridianebene bzw. der Punkte der Sagittalebene scharf abgebildet
werden.
Beispiel für Bildfeldwölbung
113
B0
5.5 Verzeichnung und Verzerrung (Distorsion)
Die Fehler Astigmatismus und Bildfeldwölbung lassen sich durch die
Kombination mehrerer Linsen mit unterschiedlichem Brechungsindex
(sog. Anastigmate) oder durch Blenden mildern.
Der Einsatz von Blenden ist nicht unproblematisch, da hierdurch eine
Verzeichnung oder eine Verzerrung hervorgerufen werden kann.
Zur Begrenzung des Astigmatismus werden oft Blenden eingesetzt, die
dafür sorgen, dass nur Lichtstrahlen in der Nähe der optischen Achse in
die Linse einfallen. Je kleiner die Öffnung um so schärfer werden die
einzelnen Objektpunkte abgebildet, d.h. um so kleiner ist der Zerstreuungskreis
des Abbildes des Objektpunktes.
Die Blenden haben jedoch zur Folge, dass sich der Abbildungsmaßstab
v rotationssymmetrisch ändert (unterschiedlicher Bildmaßstab). Dieser
Fehler wird Verzeichnung oder Verzerrung genannt. Der Verzeichnungsfehler
hängt außerdem davon ab, ob die Blende vor oder hinter
der Linse angeordnet ist.
G 2
G 1
Blende hinter der Linse
Blende
Z,Z': Zerstreuungskreis ohne Blende
M: Mittelpunktstrahl durch Linse
M': Mittelpunktstrahl durch Blende
Schirm
M' > M Randgebiete werden gedehnt
B
1
Z
M
M'
Z'
kissenförmige
Verzeichnung
Ohne Blende würde sich ein Zerstreuungskreis ZZ' mit Mittelpunkt bei M
auf dem Schirm abbilden. Durch die Blende gelangen nur noch sehr
wenige Lichtstrahlen zum Schirm, wobei der Mittelpunktstrahl durch die
Blende bei M' abgebildet wird. Da sich die Linse hinter der Linse
114

efindet, liegt der Punkt M' weiter außen auf dem Schirm als der Punkt
M, d.h. das Bild von G2 wird gedehnt, während das Bild von G1 weiterhin
auf der optischen Achse liegt. Aus einem ursprünglichen Quadrat würde
sich die in der Abbildung aufgeführte Figur ergeben. Diese Form der
Verzerrung wird deshalb als kissenförmige Verzeichnung bezeichnet.
Eine andere Form der Verzeichnung ergibt sich für den Fall, dass die
Blende vor der Linse angeordnet wird. In diesem Fall werden die Strekken
gestaucht, da der Punkt M' weiter innen als der Punkt M liegt. Diese
Form der Verzerrung heißt deshalb tonnenförmige Verzeichnung.
G 2
G 1
Blende
Blende vor der Linse
Z,Z': Zerstreuungskreis ohne Blende
M: Mittelpunktstrahl durch Linse
M': Mittelpunktstrahl durch Blende
Schirm
M' < M Randgebiete werden gestaucht
B
1
Z
M'
M
Z'
tonnenförmige
Verzeichnung
a) kissenförmige Verzeichnung b) tonnenförmige Verzeichnung
115
5.6 Farbfehler (Chromatische Aberration)
Aus den Übungen ist bekannt, dass die Lichtfarben unterschiedlich stark
gebrochen werden. So wird z.B. bei einer Konvex- oder Konkavlinse
rotes Licht weniger stark als violettes Licht gebrochen. Farbfehler
entstehen durch die Abhängigkeit der Brechkraft (Brechungsindex) von
Gläsern von der Wellenlänge des Lichtes (Dispersion). Dieses wird
besonders deutlich beim Strahlendurchgang durch ein Prisma.
weißes Licht
weißes Licht
weißes Licht
weißes Licht
Konvexlinse
violett
Konkavlinse
violett
rot
rot
violett
rot
rot
violett
Für rotes bzw. violettes Licht gelten folgende Wellenlängen:
✘violett l 400 nm
✘rot l 650 nm e ✘violett < ✘rot
Für die Brechungsindexe ni gilt bei normaler Dispersion: .
nviolett > nrot
Die Variation des Brechungsindexes mit der Wellenlänge ( n = f(✘) ) hängt
auch von dem Linsenmaterial ab (siehe Abb.). Diese Eigenschaft wird
auch ausgenutzt, um Farbfehler zu eliminieren. Dabei werden mindestens
zwei Linsen mit unterschiedlichem Glasmaterial kombiniert.
Solche zusammengesetzten Linsen werden Achromate genannt.
116

n=f(λ)
1.70
1.65
1.60
Variation des Brechungsindexes mit der Wellenlänge
Schwefelkohlenstoff
leichtes Flintglas
schweres Kronglas
Achromat
400 nm 500 nm 600 nm 700 nm λ
violett blaugrün
gelb rot
Die Kombination verschiedener Glasmaterialen bei den sog. Achromaten
soll bewirken, dass die Abhängigkeit der Brechkraft von der Wellenlänge
vermindert oder gar eliminiert wird. In der Abbildung würde dieses
einem horizontalen Verlauf der Kurve bedeuten.
Beispiel: Kombination von zwei dünnen Linsen:
Für eine dünne Linse mit den Radien r1 und r2 gilt für die Brechkraft D
bzw. Brennweite f unter Berücksichtigung des variablen Brechungsindexes
n(λ):
D = 1
f = (n(✘) − 1) $ ( 1
r1 − 1 1
r2 ) = (n − 1) $ ( r1 − 1
r2 )
Da sich die Brechkraft mit der Wellenlänge ändert, ändert sich somit
auch die Brechkraft D. Dabei ändert sich die Brechkraft differentiell um
dD, wenn sich der Brechungsindex um dn ändert, d.h. es gilt folgender
dD
dn
Differenzenquotient ( ):
dD 1
dn = ( r1 − 1 r2 )
Für größere Differenzen gilt näherungsweise unter Berücksichtigung
von (1):
✁D
✁n = ( (3)
1 r1 − 1 1
r2 ) e ✁D = ✁n $ ( r1 − 1 1
r2 ) = f $ ✁n
n−1 = 1
f $ 1 ✚
Der in (3) enthaltene reziproke Quotient wird auch als Abbesche Zahl ν
bezeichnet, so dass sich hiermit schließlich ergibt:
1 ✚ = ✁n
n−1 e ✁D = 1
f $ 1 ✚
117
(1)
(2)
(4)
Kombiniert man nun zwei dünne Linsen mit den beiden Brechkräften D1
und D2, so gilt für die Gesamtbrechkraft Dges:
Dges = D1 + D2
Bei den Achromaten versucht man nun zwei Linsen so zu kombinieren,
dass sich die Gesamtbrechkraft für einen bestimmten Wellenlängenbereich
λ1 - λ2 nicht ändert, d.h. folgende Forderung ist zu erfüllen:
✁Dges ! = 0
Wegen (5) gilt für die Änderung der Gesamtbrechkraft:
Hierin bedeuten:
✁Dges = ✁D1 + ✁D2 = 1 1
f1 $ ✚1 + 1 1
f2 $ ✚2
f1: Brennweite von Linse 1, ν1: Abbesche Zahl von Linse 1
f2: Brennweite von Linse 2, ν2: Abbesche Zahl von Linse 2
Aus (6) und (7) erhält man nun:
(8)
1 1
$ f1
✚1 + 1 1
$ f2
✚2
!
= 0 e f1 $ ✚1 = −f2 $ ✚2 e f2 ! = −f1 $ ✚1
✚2
Da die Vorzeichen der in (8) eingehenden Abbeschen Zahlen
1
✚1 = ✁n1
n1−1
1
✚2 = ✁n2
n2−1
(5)
(6)
(7)
n1 − 1
✚1 =
✁n1
oder e (9)
n2 − 1
✚1
✚2 = n1−1
$ ✁n1 ✁n2 ✁n2
n2−1 l ✁n1
✚2 =
✁n2
für sämtliche Materialen gleich bleiben (vgl. Zeichnung), lässt sich (8)
nur durch die Kombination von einer Positiv- mit einer Negativlinse
erfüllen.
Die nachfolgende Abbildung zeigt exemplarisch die Abhängigkeit des
Brechungsindexes von der Wellenlänge für zwei Glassorten.
118

n
n
Δ 1
n
Δ 2
λ 1
λ 2
n = n
Δ
( λ )
2
- n(
λ )
1
Glas von Linse 1 mit n
1
Glas von Linse 2 mit n
2
λ
Je geradliniger der Kurvenverlauf zwischen den beiden Wellenlängenbereichen
ist, um so besser wird der Farbfehler kompensiert.
Beispiel für den Strahlenverlauf bei der Kombination von einer Positivund
einer Negativlinse:
Kronglas
weißes Licht
weißes Licht
violett
violett
Flintglas
rot
rot
Positivlinse Negativlinse
119
Achromat