2/2012 - Sternwarte Calden Kassel

50 KORONA Nr. 115
Die Dominante Konfiguration und Entropie S.
Die Maximierung der Gesamtentropie bei spontan ablaufenden Reaktionen und die Maxi-
mierung der Mikrozustände in den dominanten Konfigurationen im Münzen- oder
Wuerfel- modell, legt es nahe, die Entropie S mit der dominanten Konfiguration zu
verbinden. Aller- dings ist dabei zu beruecksichtigen, dass S die Dimension
Energie/Temperatur hat und dass S eine additive Groesse ist, d.h., S verdoppelt sich bei
Verdoppelung der Stoffmenge. Andere Groessem dieser Art sind z.B.das Volumen oder
das Gewicht. Die Dimension von S laesst sich aus unserem einfachen Modell nicht
ableiten, denn weder Temperatur noch Energie spielen hier eine Rolle.Man koennte an
eine direkte Beziehung zwischen einer entropieaehn- lichen wie � = Wmax denken. Aber �
hat nicht den additiven Charakter der Entropie S, denn bei Verdoppelung der Stoffmenge,
hier also der Anzahl Muenzen, verdoppelt sich � nicht, wie ein Zahlenbeispiel zeigt:
Fuer die dominante Konfiguration von N Münzen ist Wmax = N!/(N/2)!) 2 . Für 100000
Mün- zen ergibt sich Wmax = 10 3010291 und für die doppelte Anzahl 2N ist Wmax= 10
6020569 . Die Verdoppelung der Münzenanzahl vergrößert die Zahl der Mikrozustände nicht
um den Fak- tor 2, sondern um einen Faktor von rund 10 3010300 .
Abhilfe bringt eine logarithmische Verknuepfung der
Form
� = ln (Wmax) [2]
Da der Logarithmus eines Produktes gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren des
Produktes ist, ergibt sich mit der so definierte entropieaehnlichen Groesse � das
Verhaeltnis der Entropien für die oben beschriebene Teilchenverdoppelung:
�2N / �N = ln( Wmax)2N / ln( Wmax)N. = 2.00.
Die logarithmische Verbindung von Entropie und dominanter Konfiguration erfüllt
die geforderte Additivität.
Frage: Wie groß ist � für höchste Ordnung im
Münzenbeispiel?
Antwort: Dieser Zustand entspricht dem ausschließlichen Auftreten der Vorder- oder Rückseiten.
Dann
ist V=R =N, so daß Wmax= N! (/N! 0!) 2 = 1 und damit � = 0.
Es gibt nur eine einzige Verteilung der Münzseiten, was dem höchsten
Ordnungszustand
entspricht. In realen Systemen wäre idealer Weise dieser Zustand bei T = 0 Kelvin
erreicht.