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2.2 Der Zufallsstreubereich für die Stichprobenmittelwerte ⎺x Für Qualitätsprüfungen der Baustofftechnologie ist häufi g der Mittelwert ⎺x einer Stichprobe aus einer normalverteilten Grundge- 2 Häufi gkeitsverteilung für die Merkmalwerte in einer STICHPROBE aus einer normalverteilten Grundgesamtheit Bild 1: Die statistische Darstellung bei Normalverteilung samtheit im Hinblick auf den Mittelwert µ der Grundgesamtheit zu bewerten. Es gilt: Bei Stichproben aus einer (µ, σ)-Normalverteilung sind die Stichprobenmittelwerte ⎺x ebenfalls exakt normalverteilt mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ . Dabei ist Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Merkmalwerte in einer GRUNDGESAMTHEIT, die normalverteilt ist die Streuung der Mittelwerte mit ⎺σ = σ/ kleiner als die Streuung der Einzelwerte mit σ (Bild 2). Für den Schluss von einer bekannten Grundgesamtheit auf die Stichprobe lassen sich die in Bild 2 dargestellten einseitigen Zufalls-
Tabelle 1: Die mathematische Formulierung der Standardform der Normalverteilung Flächenanteil p u p 0,005 –2,576 0,05 –1,645 0,10 –1,282 0,16 –1,000 0,50 0 0,84 1,000 0,90 1,282 0,95 1,645 0,995 2,576 Tabelle 2: Faktoren t s, n-1 Faktoren t 1-α , n–1 Wahrscheinlichkeit n – 1 1 - α = 0,9 1 - α = 0,95 1 3,078 6,314 2 1,886 2,920 3 1,638 2,353 4 1,533 2,132 5 1,476 2,015 6 1,440 1,943 7 1,415 1,895 8 1,397 1,860 9 1,383 1,833 10 1,372 1,812 11 1,363 1,796 12 1,356 1,782 13 1,350 1,771 14 1,345 1,761 15 1,341 1,753 16 1,337 1,746 17 1,333 1,740 18 1,330 1,734 19 1,328 1,729 20 1,325 1,725 21 1,323 1,721 22 1,321 1,717 23 1,319 1,714 24 1,318 1,711 25 1,316 1,708 26 1,315 1,706 27 1,314 1,703 28 1,313 1,701 29 1,311 1,699 30 1,310 1,697 40 1,303 1,684 50 1,299 1,676 60 1,296 1,671 80 1,292 1,664 100 1,290 1,660 200 1,286 1,653 500 1,283 1,648 ∞ 1,282 1,645 Bild 2: Einseitige Zufallsstreubereiche für ⎺x streubereiche für ⎺x zur Wahrscheinlichkeit 1 – α wie folgt defi nieren: ⎺x ≥ ⎺x Unten = µ - u 1−α ⋅ bzw. ⎺x ≤ ⎺x Oben = µ + u 1−α ⋅ (4) Falls σ unbekannt ist, wird σ durch die Stichprobenstandardabweichung s statistisch geschätzt. Für die mit s gebildeten Zufallsstreubereiche für ⎺x gilt: ⎺x ≥ ⎺x Unten = µ - t 1−α, n-1 ⋅ bzw. ⎺x ≤ ⎺x Oben = µ + t 1−α, n-1 ⋅ (5) Die Werte t 1−α, n-1 nach Tabelle 2 sind für jedes n größer als die Werte u 1−α nach Tabelle 1. Für den Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit lässt sich für ein ⎺x der Vertrauensbereich für den Erwartungswert µ durch Umstellung von (4) und (5) defi nieren. 3 Der Identitätsnachweis in DIN 1045-3 Es wird geprüft, ob das Ergebnis der Stichprobe den Festlegungen der gegebenen (µ , σ)-normal verteilten Grundgesamtheit 0 nicht widerspricht. Falls gilt: ⎺x ≥ ⎺x Unten = µ o - u 1−α ⋅ (6) ist die Stichprobe mit der gegebenen Grundgesamtheit verträglich. Gleichung (6) wird in [1] aus dem Nachweis der Verletzung von µ ≥ µ entwickelt. Nun habe die p-Quan- 0 tile der Grundgesamtheit die Anforderung x ≥ x zu erfüllen: p Nenn x = µ + u ⋅ σ ≥ x (7) p ο p Nenn Der Nachweis, dass eine Stichprobe der Anforderung (7) nicht widerspricht, ist bei (µ o , σ)-normalver teilter Grundgesamtheit mit der Aussagewahrscheinlichkeit 1 – α gege- ben, wenn die nach Einsetzen von (7) in (6) gewonnene Ungleichung für das beobachtete ⎺x zutrifft: ⎺x ≥ x Nenn − u p ⋅ σ − u 1-α ⋅ ⎺x ≥ x Nenn + ⋅ σ = x Nenn + „Vorhaltemaß“ (8) Die Zusammensetzung des „Vorhaltemaßes“ ist in Bild 3 veranschaulicht. Mit größerer Aussagewahrscheinlichkeit 1 – α sinkt das Vorhaltemaß im Sinne des Ausspruches: „dieses ⎺x wird sicher noch zur Grundgesamtheit gehören“. Auch sinkt das Vorhaltemaß bei kleinerem n, mit dem die Beweiskraft für einen Widerspruch geringer wird. In der Betontechnologie mit p = 5 % wird in DIN 1045-3 die Entscheidungsregel (8) in der Form (9) als Identitätsnachweis mit 1 – α = 99,5 % verwendet (bzw. 99 % bei zweiseitiger Begrenzung des Zufallsstreubereiches [6]). Mit den u-Werten aus Tabelle 1 ergibt sich: ⎺f c ≥ f ck + ⋅ σ (9) Die Werte der dortigen Tabelle 13 wurden daraus für σ = 4 N/mm2 berechnet. Ergänzend wird min f abgefragt. Im DIN FB 100 steht (9) für die Abfrage der Verträglichkeit der Stichprobe eines Familienmitglied-Betons mit der (µ, σ)-normalverteilten Grundgesamtheit der eigenständigen Betonfestigkeitsklasse. Die Formel wird für n ≤ 6 und σ = 5 N/mm2 in der dortigen Tabelle 15 ausgewertet. 4 Der Konformitätsnachweis im DIN Fachbericht 100 4.1 Herleitung der Entscheidungsregel Es wird geprüft, ob der Stichprobenmittelwert ⎺x mit Aussagewahrscheinlichkeit 1 – α 3
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Seite 9 und 10: Exkursion der Regionalgruppe Hessen
Seite 11 und 12: Wechsel in der Leitung der Regional

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