intern - VDB - Verband Deutscher Betoningenieure

Bild 3: Vorhaltemaß in der Entscheidungsregel für den Identitätsnachweis
die Ober grenze des zum geforderten µ o gehörenden
einseitig nach oben abgegrenzten
Zufallsstreubereiches übertrifft:
⎺x > ⎺x Oben = µ o + u 1−α ⋅ (10)
Nur in diesem Fall kann der Stichprobenmittelwert
das geforderte µ o wirklich gewährleisten.
Gleich wertig ist die Aussage, dass
die Untergrenze des zu ⎺x gehörenden einseitig
nach unten abge grenzten Vertrauensbereiches
für µ den Wert µ o übertreffen
muss; dies entspricht dem Nachweis der
Einhaltung von µ > µ 0 nach [1]. Durch Einsetzen
von (7) in (10) ergibt sich die Ent-
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scheidungs regel auf Basis einer Stichprobe
dafür, dass mit Aussagewahrscheinlichkeit
1 – α die Anforderung (7) an die p-Quantile
der (µ 0 , σ)-normalverteilten Grundgesamtheit
eingehalten ist:
⎺x ≥ x Nenn – u p ⋅ σ + u 1−α ⋅
⎺x ≥ x Nenn + ⋅ σ (11)
Der Zusammenhang der Gleichungen (8)
und (11) wurde in [1] als jeweils einseitig begrenzter
Tole ranzbereich entwickelt. Mit der
Abkürzung λ aus Tabelle 3 lässt sich (11),
Bild 4: Vorhaltemaß in der Entscheidungsregel für den Konformitätsnachweis
auf Druckfestigkeiten f be zogen, als (12a)
schreiben:
⎺f ≥ f + λ ⋅ σ (12a)
k
⎺f ≥ f + λ’⋅ s (12b)
k
Gleichung (12b) - für den Fall, dass σ durch
s geschätzt wird - sowie die zugehörigen
Werte für λ’ in Tabelle 3 sind [2] (dort
zitiert aus [3]) entnommen. Das „Vorhaltemaß“
λ ⋅ σ ist in Bild 4 veranschaulicht. Hier
wächst das Vorhaltemaß wie erwartet mit
1 – α und kleiner werdendem n. Die Probenzahl
wird im Weiteren für (12a) auch mit
n σ und für (12b) mit n s bezeichnet.
4.2 Entscheidungsregel mit großer
Aussagesicherheit
Tabelle 3 enthält die Faktoren λ und λ’ aus
Gleichung (12) für hohe Aussagesicherheiten
von 1 – α = 90 % und 95 %. Sie liefert
z. B. für die Absicherung der 5 %-Quantile
bei 1 – α = 95 % mit u = 1,645 und u =
1-α p
–1,645 aus Tabelle 1:
für n = 15: λ = 2,07
σ
für n = 15: λ’ ≅ 2,65
s
für n = 50: λ = 1,88
σ
für n = 50: λ’ = 2,07
s
In Bild 5 oben sind die entsprechenden
Vorhaltemaße λ ⋅ σ veranschaulicht. Wenn
nun ein Vorhalte maß fest eingestellt ist, lässt
sich wie in Bild 5 gezeigt, auch für andere
Schlechtanteile p durch horizontales Verschieben
des λ ⋅ σ das jeweils zugehörige α
ablesen. Der Wert α stellt sich hier als jeweils
zugehörige Annahmewahrscheinlichkeit dar.
Die entsprechenden aus Bild 5 oben gewonne
nen Wertepaare p und α (gekennzeichnet
durch gleiche Symbole) ergeben, als Funktion
dargestellt, die Operationscharakteristik OC
(Bild 5 unten). Sie wird in [1] als Wahrscheinlichkeit
β des Fehlers 2. Art entwickelt.
Dabei nimmt die OC die - auf ein linear steigendes
p bezogen verzerrte - Form der zu
100 % ergänz ten Summenhäufi gkeit der
(µ , σ/ )-normal verteilten Grundgesamtheit
σ
der ⎺f an: mit sinkendem Stichprobenumfang
n verläuft die OC fl acher. Im idealen Fall n
→ ∞ hätte die OC die Gestalt einer Sprungfunktion
(Bild 5 unten); bei abzusicherndem
p = 5 % ergäbe sich dann aus (11):
λ = 1,645. Bei endlichem n besteht nun das
Herstellerrisiko darin, dass ein Prüfl os mit
der positiven Anzeige p < 5 % trotzdem abgewiesen
wird; als Abnehmerrisiko (Fehler
2. Art) wird bezeichnet, wenn ein Prüfl os mit
der negativen Anzeige p > 5 % trotzdem angenommen
wird.
Entscheidungsregeln mit geringem Abnehmerrisiko
auf Basis der Tabelle 3 werden
beim Konformi täts nachweis für die Normfestigkeit
von Zement verwendet und zwar mit
p = 5 % und α = 5 % gemäß Bild 5 für die
Untergrenze und mit p = 10 % und α = 5 %
für die Obergrenze der Festigkeit [5].
4.3 Der Konformitätsnachweis als Entscheidungsregel
mit ausgewogenem Herstellerund
Abnehmerrisiko
Für die Kontrolle einer Betonfertigung mit
abzusicherndem p = 5 % ist die Forde-