intern - VDB - Verband Deutscher Betoningenieure

Tabelle 1: Die mathematische Formulierung
der Standardform der Normalverteilung
Flächenanteil
p
u p
0,005 –2,576
0,05 –1,645
0,10 –1,282
0,16 –1,000
0,50 0
0,84 1,000
0,90 1,282
0,95 1,645
0,995 2,576
Tabelle 2: Faktoren t s, n-1
Faktoren t 1-α , n–1
Wahrscheinlichkeit
n – 1
1 - α = 0,9 1 - α = 0,95
1 3,078 6,314
2 1,886 2,920
3 1,638 2,353
4 1,533 2,132
5 1,476 2,015
6 1,440 1,943
7 1,415 1,895
8 1,397 1,860
9 1,383 1,833
10 1,372 1,812
11 1,363 1,796
12 1,356 1,782
13 1,350 1,771
14 1,345 1,761
15 1,341 1,753
16 1,337 1,746
17 1,333 1,740
18 1,330 1,734
19 1,328 1,729
20 1,325 1,725
21 1,323 1,721
22 1,321 1,717
23 1,319 1,714
24 1,318 1,711
25 1,316 1,708
26 1,315 1,706
27 1,314 1,703
28 1,313 1,701
29 1,311 1,699
30 1,310 1,697
40 1,303 1,684
50 1,299 1,676
60 1,296 1,671
80 1,292 1,664
100 1,290 1,660
200 1,286 1,653
500 1,283 1,648
∞ 1,282 1,645
Bild 2: Einseitige Zufallsstreubereiche für ⎺x
streubereiche für ⎺x zur Wahrscheinlichkeit
1 – α wie folgt defi nieren:
⎺x ≥ ⎺x Unten = µ - u 1−α ⋅ bzw.
⎺x ≤ ⎺x Oben = µ + u 1−α ⋅ (4)
Falls σ unbekannt ist, wird σ durch die Stichprobenstandardabweichung
s statistisch geschätzt.
Für die mit s gebildeten Zufallsstreubereiche
für ⎺x gilt:
⎺x ≥ ⎺x Unten = µ - t 1−α, n-1 ⋅ bzw.
⎺x ≤ ⎺x Oben = µ + t 1−α, n-1 ⋅ (5)
Die Werte t 1−α, n-1 nach Tabelle 2 sind für
jedes n größer als die Werte u 1−α nach Tabelle
1. Für den Schluss von der Stichprobe
auf die Grundgesamtheit lässt sich für ein ⎺x
der Vertrauensbereich für den Erwartungswert
µ durch Umstellung von (4) und (5) defi
nieren.
3 Der Identitätsnachweis in DIN 1045-3
Es wird geprüft, ob das Ergebnis der Stichprobe
den Festlegungen der gegebenen
(µ , σ)-normal verteilten Grundgesamtheit
0
nicht widerspricht. Falls gilt:
⎺x ≥ ⎺x Unten = µ o - u 1−α ⋅ (6)
ist die Stichprobe mit der gegebenen Grundgesamtheit
verträglich. Gleichung (6) wird in
[1] aus dem Nachweis der Verletzung von
µ ≥ µ entwickelt. Nun habe die p-Quan-
0
tile der Grundgesamtheit die Anforderung
x ≥ x zu erfüllen:
p Nenn
x = µ + u ⋅ σ ≥ x (7)
p ο p Nenn
Der Nachweis, dass eine Stichprobe der
Anforderung (7) nicht widerspricht, ist bei
(µ o , σ)-normalver teilter Grundgesamtheit mit
der Aussagewahrscheinlichkeit 1 – α gege-
ben, wenn die nach Einsetzen von (7) in (6)
gewonnene Ungleichung für das beobachtete
⎺x zutrifft:
⎺x ≥ x Nenn − u p ⋅ σ − u 1-α ⋅
⎺x ≥ x Nenn + ⋅ σ = x Nenn +
„Vorhaltemaß“ (8)
Die Zusammensetzung des „Vorhaltemaßes“
ist in Bild 3 veranschaulicht. Mit größerer
Aussagewahrscheinlichkeit 1 – α sinkt das
Vorhaltemaß im Sinne des Ausspruches:
„dieses ⎺x wird sicher noch zur Grundgesamtheit
gehören“. Auch sinkt das Vorhaltemaß
bei kleinerem n, mit dem die Beweiskraft für
einen Widerspruch geringer wird.
In der Betontechnologie mit p = 5 % wird
in DIN 1045-3 die Entscheidungsregel (8)
in der Form (9) als Identitätsnachweis mit
1 – α = 99,5 % verwendet (bzw. 99 % bei
zweiseitiger Begrenzung des Zufallsstreubereiches
[6]). Mit den u-Werten aus Tabelle
1 ergibt sich:
⎺f
c ≥ f ck + ⋅ σ (9)
Die Werte der dortigen Tabelle 13 wurden daraus
für σ = 4 N/mm2 berechnet. Ergänzend
wird min f abgefragt.
Im DIN FB 100 steht (9) für die Abfrage der
Verträglichkeit der Stichprobe eines Familienmitglied-Betons
mit der (µ, σ)-normalverteilten
Grundgesamtheit der eigenständigen
Betonfestigkeitsklasse. Die Formel wird
für n ≤ 6 und σ = 5 N/mm2 in der dortigen
Tabelle 15 ausgewertet.
4 Der Konformitätsnachweis im DIN
Fachbericht 100
4.1 Herleitung der Entscheidungsregel
Es wird geprüft, ob der Stichprobenmittelwert
⎺x mit Aussagewahrscheinlichkeit 1 – α
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