2. Grundlagen der Booleschen Algebra - Fachgebiet Rechnersysteme

Fachgebiet Rechnersysteme1
2. Grundlagen der Booleschen Algebra
Inhalt
2.1 Boolesche Elementaroperationen
2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
2.3 Boolesche Terme
2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
2.5 Veitch-Diagramme
2.6 Produkt- und Summenterme
2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
2.10 Gattergleichungen und Gatternetze
Vorlesung Logischer Entwurf

Lernziele von Kap. 2:
� Bedeutung der booleschen Grundverknüpfungen kennen
(Und, Oder, Nicht, Nand, Nor, Exor)
� Gesetze der booleschen Algebra kennen und effizient
anwenden (Terme vereinfachen)
� Veitch-Diagramm �� boolescher Term
� Konzepte: Produkt- und Summenterme, Minterm, Maxterm,
De Morgan'scher Satz, DNF, KNF, Reed-Muller-Form,
Nand/Nand- und Nor/Nor-Realisierungen, Boolescher
Entwicklungssatz, Multiplexor kennen
� boolescher Term �� Gatternetz
2

2.1 Boolesche Elementaroperationen
� Und-Verknüpfung (Konjunktion)
a b a⋅b 0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
� 0-Dominanz
a
b
a
b
a
b
Gattersymbole
&
DIN (alt)
IEEE-
Standard
3
US-Norm
(alt)

2.1 Boolesche Elementaroperationen
— Anwendungsbeispiele:
� ist a = 1, folgt der Ausgang dem Eingang b
� ist a = 0, ist der Ausgang = 0 unabhängig
von b
a b a⋅b 0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a
b
� ein Und-Gatter kann als steuerbares Tor
benutzt werden
&
4

2.1 Boolesche Elementaroperationen
� Oder-Verknüpfung (Disjunktion)
a b a+ b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
� 1-Dominanz
a
b
a
b
a
b
Gattersymbole
≥1
DIN (alt)
IEEE-
Standard
US-Norm
(alt)
5

2.1 Boolesche Elementaroperationen
� Negation Gattersymbole
a a
0 1
1 0
a DIN (alt)
a 1
IEEE-
Standard
a US-Norm
(alt)
6

2.1 Boolesche Elementaroperationen
� bei Gattern ist der Informationsfluß
gerichtet, es wird zwischen Ein- und
Ausgängen unterschieden (im Gegensatz
beispielsweise zu einem ohmschen
Widerstand)
7

2.1 Boolesche Elementaroperationen
� Weitere Notationen sind gebräuchlich, z.B.
a • b a ∧ b a & b
a + b a ∨ b a | b
a ¬a a'
aussagenlogische Symbole
8

2.2 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
Funktionstabellen
� In vielen Fällen ist es bei dem Entwurf eines Systems
sinnvoll, mit Tabellen zu arbeiten
— sehr einfaches Beispiel:
gesucht ist eine Schaltung zur Prüfung einer Ampel.
die Schaltung soll genau dann den Wert 1 liefern,
wenn die Ampel eine zulässige Kombination von
Lichtern anzeigt (z.B. nur grün).
eine 0 soll bei einer unzulässigen Kombination
angezeigt werden.
9

2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
— Eingänge: r rot, g grün, e gelb
r = 0: rotes Licht aus, r = 1: rotes Licht an, usw.
— Ausgang: p
— drei Eingänge, die jeweils zwei Werte annehmen
können: systematisch gibt es offenbar 2 3 =8
Fälle (Eingangskombinationen), die untersucht
werden müssen
� die folgende Darstellung in Tabellenform
hilft, alle Fälle zu berücksichtigen
r
e
g
Ampelprüfer
p
10

2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
— Eingänge: r rot, g grün, e gelb
2 3 = 8 Fälle
r
e
g
r e g p?
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Ampelprüfer
p
11

2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
� Im Beispiel sind r, e, g und p boolesche Variable
� Eine boolesche Variable kann einen der Werte 0 oder 1 aus
der booleschen Wertemenge B = {0, 1} annehmen
� Allgemein ist eine boolesche Funktion F von n Variablen
eine Funktion
F: B n → B
� eine solche Funktion modelliert eine
Schaltung mit n Eingängen und einem
Ausgang, im Beispiel also B 3 → B
r
e
g
Ampelprüfer
p
12

2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
� Durch eine Boolesche Funktion F in n Variablen wird
jeder der 2 n Wertekombinationen der Eingangsvariablen
ein eindeutiger Wert zugeordnet (Funktionsbegriff)
F: B n → B
� dies entspricht erwünschtem deterministischem
Systemverhalten
r
e
g
Ampelprüfer
p
13

2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
� Unter einem Funktionsbündel versteht man eine Funktion
F: B n → B m
� ein Funktionsbündel modelliert eine
Schaltung mit mehreren Ausgängen, im
Beispiel unten etwa B 3 → B 2
r
e
g
andere
Schaltung
p
q
14

2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
� Hier ein Beispiel einer Funktionstabelle
mit vier booleschen
Variablen x 1 , x 2 , x 3 , x 4
� Wir schreiben
f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
und zum Beispiel
f(0,1,0,1) = 1
� die Funktionstabelle
der Funktion in vier
Variablen hat 2 4
Zeilen
x 1 x 2 x 3
x 4
f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
15

2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
Problem: die Größe von Funktionstabellen wächst
exponentiell mit der Anzahl der Variablen
16

2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstabellen
� Die Dezimaläquivalent-Darstellung einer
booleschen Funktion
� Zuordnung von Dezimaläquivalenten
zu Wertekombinationen der
Variablen entsprechend einer
Wertigkeit
� Repräsentation durch die Menge
aller Wertekombinationen für f = 1
f = {1,4,5,7,9,12,13,15}
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2222
xxxx
3 2 1 0
3 2 1 0
f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
17

2.3 2.4 Boolesche Terme
� Boolesche Terme sind textliche Darstellungen von
booleschen Funktionen, z.B.
� Die Syntax boolescher Terme:
� die Konstanten 0 und 1 sind boolesche Terme
� Literale, d.h. Variablen oder ihre Negation sind
boolesche Terme, z.B. a und a
� sind a und b boolesche Terme, dann sind auch
(a ⋅ b),
boolesche Terme
a ⋅ b ⋅ c + c ⋅a
⋅ (e
(a
+ b),
+ b)
a
18

2.3 Boolesche Terme
� Klammern sind notwendig, um die Eindeutigkeit zu sichern,
— Beispiel: a • b + c,
bedeutet dies (a • b) + c oder a • (b + c) ?
� Klammern können dadurch wegfallen, daß die Eindeutigkeit
durch die Zuordnung von Prioritäten ("Punkt vor Strich")
gesichert wird:
Und (•) bindet stärker als Oder (+),
d.h. a • b + c bedeutet (a • b) + c
� Weiterhin kann das Symbol für die Und-Verknüpfung
weggelassen werden, falls eine entsprechende Vereinbarung
über die Variablennamen getroffen wird
— Beispiel: nur ein Buchstabe ist als Variablenname
erlaubt � ab + c ist eindeutig a•b + c
� Die beiden äußersten Klammern können (selbstverständlich)
weggelassen werden
19

2.3 Boolesche Terme
� Die Beziehung zwischen
booleschen Termen und
booleschen Funktionen
� die Konstanten bezeichnen
konstante Funktionen,
Beispiel: 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2222
xxxx
3 2 1 0
3 2 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
20

2.3 Boolesche Terme
� Die Literale bezeichnen
Funktionen, die genau für
diejenigen Werte gleich 1 sind,
für die die Variable gleich 1
bzw. gleich 0 ist
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2222
xxxx
3 2 1 0
3 2 1 0
x x
2 2
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0
0 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0
1 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 0
21

2.3 Boolesche Terme
� Die Bedeutung weiterer
Verknüpfungen ergibt sich für
0
jede Wertekombination durch
1
Anwendung der Definition der 2
Verknüpfungen
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2222
xxxx
3 2 1 0
3 2 1 0
x2 x3 x2 ⋅ x3
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
22

2.3 Boolesche Terme
� Eine andere Möglichkeit, die boolesche Funktion aus
einem Term zu ermitteln, ist es, alle Wertekombinationen
der Variablen in den Term einzusetzen und jeweils den
Funktionswert zu bestimmen (den Term für die
Wertekombination auszuwerten).
— Beispiel: es sei f(a,b,c,d) = a + b + cd.
Für a=0, b=0, c=0, d=1 ergibt sich entsprechend
den Funktionstabellen für die Und- und Oder-
Verknüpfung der Wert f(0,0,0,1) = 0, usw.
23

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� Zwei boolesche Terme f und g sind gleich, f = g, wenn
für alle Wertekombinationen der Variablen eine
Auswertung der Terme denselben Wert ergibt
� In der booleschen Algebra gelten die folgenden
Gleichungen:
(T1) x + 0 = x (T1') x • 1 = x Identität
(T2) x + 1 = 1 (T2') x • 0 = 0 Eins/Null-Element
(T3) x + x = x (T3') x • x = x Idempotenz
(T4) x = x (T4') 1 = 0 Involution
(T5) x + x = 1 (T5') x • x = 0 Komplement
24

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
(T6) x + y = y + x (T6') x • y = y • x Kommutativität
(T7) (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z Assoziativität
(T7') (x • y) • z = x • (y • z) = x • y • z
(T8) x•y + x•z = x•(y + z) Distributivität
(T8') (x + y)•(x + z) = x + y•z
(T9) (x + y) = x • y (T9') (x • y) = x + y De Morgan'scher
Satz
(T10) (x 1 +...+ x n )= x 1 •...• x n
(T10') (x 1 •...• x n )= x 1 +...+ x n
generalisierter
De Morgan'scher
Satz
25

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
(T11) x + x•y = x + y (T11') x•(x + y) = x•y
(T12) x + x•y = x (T12') x•(x + y) = x
x
x
y
&
Absorption
� grundlegende Bedeutung für die Vereinfachung
von Schaltungen und Termen, z.B.
≥1
x
y
≥1
26

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
(T13) x•y + x•z + y•z = x•y + x•z
(T13') (x + y)•(x + z)•(y + z) = (x + y)•(x + z)
Konsensus
� es gibt offenbar für dieselbe Funktion viele
Termdarstellungen
27

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� Weitere Vereinfachungstechnik für Terme (Kombination
T8, T5, T1):
x
y
x
y
x⋅ y+ x⋅ y = x ⋅ (y+ y) = x⋅ 1= x
(x + y) ⋅ (x + y) = x + y ⋅ y = x + 0 = x
&
&
≥1
x
28

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� Noch eine Vereinfachungstechnik für Terme (Erweitern
T1, T5, T8 und Absorption T12): Beispiel T13
x
x
⋅
⋅
y
y
+
+
x
x
⋅ z +
⋅ z
y
⋅
z
=
x
⋅
y
+
x
⋅
z
+
x
⋅
y
⋅
z
+
x
⋅
y
⋅
z
=
29

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� Das algebraische System
(B, +, ⋅ , 0, 1)
das die Eigenschaften T1, T5, T6, T8 (Identität,
Komplement, Kommutativität, Distributivität) besitzt, ist
eine boolesche Algebra (Boole 1854).
(Anm.: die Negation wird nicht als Operator, sondern als
Bezeichner des inversen Elements angesehen,
Huntington'schen Axiome)
� Beispiel einer anderen booleschen Algebra (S ist eine
beliebige Menge):
S
(2 , ∪, ∩, ∅,
S)
30

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� Nachtrag einiger weiterer boolescher Elementaroperationen:
� Exor ⊕ (Exklusiv-Oder, Ungleich, Addition modulo 2)
Definition: a ⊕ b = a ⋅ b + a ⋅b
a b a ⊕b
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
a
b
a
b
a
b
Gattersymbole
⊕
=1
DIN (alt)
31
IEEE-
Standard
US-Norm
(alt)

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
— die Exor-Verknüpfung ist kommutativ und
assoziativ, d.h. es gilt z.B.
a ⊕ b ⊕ c = c ⊕ b ⊕ a
— weitere Eigenschaften:
x ⊕ x = 0,
x ⊕ 0 = x,
x ⊕ 1 = ⌧
32

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� NAND
a b (a⋅b)
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
a
b
a
b
a
b
Gattersymbole
&
DIN (alt)
IEEE-
Standard
US-Norm
(alt)
33

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� NOR
a b (a+
b)
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
a
b
a
b
a
b
Gattersymbole
≥1
DIN (alt)
IEEE-
Standard
US-Norm
(alt)
34

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� Die Implikation →:
a
� Die Äquivalenz ≡ (Gleichheit):
a
→
≡
b
b
=
a + b
= a ⋅b
+ a ⋅ b
— die Äquivalenz ist genau dann gleich 1, wenn die
Argumente den gleichen Wert haben
— die Exor-Funktion ist genau dann gleich 1, wenn
die Argumente ungleichen Wert haben
— es gilt: a ≡ b = (a ⊕ b)
35

2.4 Elementare Gleichungen der booleschen Algebra
� Technisch gibt es Und-, Oder-, Nand-, Nor-, ... -Gatter
mit mehr als zwei (typisch: maximal 8) Eingängen
— Beispiele:
&
&
� wegen der Kommutativität und Assoziativität
der Und- und Oder-Operation (T6/T7) spielt die
Reihenfolge der Eingänge keine Rolle
≥1
& &
36

2.5 Veitch-Diagramme
� Veitch-Diagramme sind ein wichtiges Hilfsmittel für den
manuellen Entwurf von Schaltungen für Probleme mit bis
zu sechs Variablen
� Veitch-Diagramme stellen boolesche Funktionen in
Matrixform dar
37

2.5 Veitch-Diagramme
�
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2222
xxxx
3 2 1 0
3 2 1 0 f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
Beispiel: Veitch-Diagramm
in vier Variablen
x 0
0
1
3
2
4
5
7
6
�
x 2
12
x 3
13
15
14
38
markiert alle
Felder mit x 3 = 1
8
9
11
10
x 1

2.5 Veitch-Diagramme
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2222
xxxx
3 2 1 0
3 2 1 0 f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
x 0
0
1
3
2
4
5
7
6
x 2
12
13
15
14
x 3
8
9
11
10
x 1
39

2.5 Veitch-Diagramme
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2222
xxxx
3 2 1 0
3 2 1 0 f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
Eintragen der Funktionswerte:
x 0
0 1 1 0
1
0
0
0
1
3
2
1
1
0
4
5
7
6
x 2
1
1
0
12
13
15
14
x 3
1
0
0
8
9
11
10
x 1
40

2.5 Veitch-Diagramme
� Von zentraler Bedeutung sind die Nachbarschaftsbeziehungen
in Veitch-Diagrammen: zwei benachbarte
Felder unterscheiden sich nämlich in genau einer
Variablen
41

2.5 Veitch-Diagramme
hier
ändern
sich vier
Variable
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2222
xxxx
3 2 1 0
3 2 1 0 f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
hier ändert sich jeweils
nur eine Variable
x 0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
1
1
0
4
5
7
6
x 2
1
1
1
0
12
13
15
14
x 3
0
1
0
0
8
9
11
10
x 1
42

2.5 Veitch-Diagramme
dies gilt auch bei den
Randfeldern (a)
x 0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
1
1
0
4
5
7
6
x 2
1
1
1
0
12
13
15
14
x 3
0
1
0
8
9
11
010 10
x 1
43

2.5 Veitch-Diagramme
das gilt auch bei den
Randfeldern (b)
x 0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
1
1
0
4
5
7
6
x 2
1
1
1
0
12
13
15
14
x 3
0
1
0
0
8
9
11
10
x 1
44

2.5 Veitch-Diagramme
x 0
Veitch-Diagramme in zwei und drei Variablen
0 2
1
x 1
3
x 0
0 2
1
6
x 2
4
3 7 5
x 1
45

2.5 Veitch-Diagramme
x 0
Veitch-Diagramm in fünf Variablen
0
1
3
2
4
5
7
6
x 2
12
13
15
14
8
9
11
10
x 3
24
25
27
26
28
29
31
30
x 2
x 4
20
21
23
22
16
17
19
18
x 1
46

2.5 Veitch-Diagramme
Problem: der Darstellungsaufwand (Platz) wächst auch
bei Veitch-Diagrammen exponentiell in der Anzahl der
Variablen
— Beispiel: 32-bit Addierer ~ 264 Felder !
� Veitch-Diagramme sind sinnvoll bis zu 6
Variablen
� Alternativen u.a.:
� textliche Darstellungen (Abschnitt 2.4)
� sog. Entscheidungsgraphen (Abschnitt 3.2)
47

2.6 Produkt- und Summenterme
� Produktterme (auch Monome oder Und-Klauseln genannt)
sind Und-Verknüpfungen von Literalen
� jede Variable kommt maximal einmal vor (also insbes.
nicht positiv und negiert)
— Beispiel: x•y•z
� Spezialfall: Minterm (Produktterm in allen Variablen)
� Summenterme (auch Oder-Klauseln genannt) sind Oder-
Verknüpfungen von Literalen
� Spezialfall: Maxterm (Summenterm in allen Variablen)
� im folgenden insbes.: wie werden diese
Terme im Veitch-Diagramm dargestellt?
48

2.6 Produkt- und Summenterme
� Ein Minterm ist ein Produktterm
in allen Variablen und
repräsentiert eine boolesche
Funktion, die für genau eine
Wertekombination den Wert
1 hat.
— Beispiel:
xxxx
1 2 3 4 f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
f = x 1 •x 2 •x 3 •x 4
49

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein Minterm entspricht einem einzigen mit 1 belegten
Feld im Veitch-Diagramm (Konvention im folgenden:
leere Felder sind mit 0 belegt).
— Beispiel: x1x2x3x4 x 1
x 4
x 3
x 2
50

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein Minterm entspricht einem einzigen mit 1 belegten
Feld im Veitch-Diagramm (Konvention im folgenden:
leere Felder sind mit 0 belegt).
— Beispiel: x1x2x3x4 x 1
x 4
x 3
1 1 1 1
1 1 1 1
x 2
x 1
51

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein Minterm entspricht einem einzigen mit 1 belegten
Feld im Veitch-Diagramm (Konvention im folgenden:
leere Felder sind mit 0 belegt).
— Beispiel: x1x2x3x4 x 3
x1x2 x 1
1 1 1 1
x 4
x 2
52

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein Minterm entspricht einem einzigen mit 1 belegten
Feld im Veitch-Diagramm (Konvention im folgenden:
leere Felder sind mit 0 belegt).
— Beispiel: x1x2x3x4 x 3
x1x2x3 x 1
x 4
1 1
x 2
53

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein Minterm entspricht einem einzigen mit 1 belegten
Feld im Veitch-Diagramm (Konvention im folgenden:
leere Felder sind mit 0 belegt).
— Beispiel: x1x2x3x4 x 3
x1x2x3x4 x 1
x 4
1
x 2
54

2.6 Produkt- und Summenterme
— weitere Beispiele von Mintermen:
xxxx
1 2 3 4
x 1
11
x 4
x 3
11
x 2
xx x x
1 2 3 4
55

2.6 Produkt- und Summenterme
� Andere Produktterme:
xxxx
1 2 3 4
x 1
x 4
x 3
x 2
xxxx
1 2 3 4
die beiden Produktterme unterscheiden sich nur in der
Variablen und können zusammengefaßt werden:
x 4
11 1 1
xxxx 1 2 3 4+ xxxx 1 2 3 4 =
xxx(x + x ) = xxx
1 2 3 4 4 1 2 3
xxx
1 2 3
56

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein weiterer Produktterm in 3 Variablen x 2 x 3 x 4
x 1
x
4
x 3
x 2
57

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein weiterer Produktterm in 3 Variablen x 2 x 3 x 4
x 1
x 3
1 1 1 1
1 1 1 1
x 4
x 2
x 2
58

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein weiterer Produktterm in 3 Variablen x 2 x 3 x 4
x 1
1
1
1
1
x 4
x 3
x 2
x 2 x 3
59

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein weiterer Produktterm in 3 Variablen x 2 x 3 x 4
x 1
1
1
x 4
x 3
x 2
x 2 x 3 x 4
60

2.6 Produkt- und Summenterme
� weitere Produktterme in n-1 Variablen:
x 1
xxx
2 3 4
x 4
x 3
x 2
xxx
2 3 4
61

2.6 Produkt- und Summenterme
xxx
1 3 4
xxx
1 2 4
62

2.6 Produkt- und Summenterme
� Produktterme in n-2 Variablen:
x x x
2 3 4
x 1
x 4
x 3
x 2
xxx
2 3 4
die beiden Produktterme unterscheiden sich nur in der
Variablen und können zusammengefaßt werden:
x 3
x2x3x4 + x2x3x4 = x2x4 xx
2 4
63

2.6 Produkt- und Summenterme
� weitere Produktterme in n-2 Variablen:
xx
3 4
x 1
x 4
x 3
x 2
xx
2 3
64

2.6 Produkt- und Summenterme
65

2.6 Produkt- und Summenterme
66

2.6 Produkt- und Summenterme
� Boolesche Operationen mit Veitch-Diagrammen
� Gegeben zwei Veitch-Diagramme für die booleschen
Funktionen f und g
� Ermittle das Veitch-Diagramm für f·g, f + g, f
— Beispiel:
a
1
b
1
1
c
a
1 1
67
f g
b
1
c
1

2.6 Produkt- und Summenterme
— Beispiel:
a
1
b
1
1
a
c
a
68
f g
b
1
b
1
f·g
1 1
1
c
1
1 nur an den Stellen
an denen f und g den
Wert 1 haben

2.6 Produkt- und Summenterme
� Die Mengendarstellung von Produkttermen repräsentiert
einen Produktterm durch die Menge der Dezimaläquivalente,
für die der Produktterm 1 ist.
— Beispiel:
a
0
c
d
1 1 1 1
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
b
{ }
a⋅ b = $ 1,5,9,13
69

2.6 Produkt- und Summenterme
� Die Würfeldarstellung von Produkttermen
� der Name kommt von der Darstellung aller Wertekombinationen
in einem n-dimensionalen Würfel.
— Beispiel:
010
x 2
000
x 3
011
001
x 1
110
100
111
101
xxx
1 2 3
ein Minterm
70

2.6 Produkt- und Summenterme
� Annahme: n Variablen x1 , ..., xn � ein Würfel ist eine Folge von n Zeichen aus {0, 1, -} und
zwar bedeutet:
"1" an der Stelle i das Vorkommen von xi ,
"0" das Vorkommen von xi und
"-", daß die Variable nicht in dem Produktterm vorkommt.
— Beispiel:
x 1,x 2,x 3, x 4
x1⋅x3⋅x 4
1−01 71

2.6 Produkt- und Summenterme
� eine Ecke
010
x 2
000
x 3
011
001
x 1
110
100
111
101
xxx
1 2 3
ein Minterm
72

2.6 Produkt- und Summenterme
� eine Kante
010
x 2
000
x 3
011
001
x 1
-11
110
100
111
101
xx x
1 2 3
73

2.6 Produkt- und Summenterme
� eine Fläche
010
x 2
000
x 3
011
001
x 1
110
100
111
101
xx x
1 2 3
1- -
74

2.6 Produkt- und Summenterme
� Ein Maxterm ist ein Summenterm in
allen Variablen und repräsentiert eine
boolesche Funktion, die für alle
Wertekombinationen außer genau einer
den Wert 1 hat.
— Beispiel:
f = x1+ x2 + x3 + x4
xxxx
1 2 3 4 f
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
75

2.6 Produkt- und Summenterme
� ein Maxterm entspricht einem einzigen mit 0
besetzten Feld im Veitch-Diagramm
x 1
1
1
1
1
1
1
1
1
x 4
1
1
0
1
x 3
1
1
1
1
x 2
x
1
+
x
2
w
+ x
3
+
x
4
76

2.6 Produkt- und Summenterme
x 1
� Und-Verknüpfungen von Maxtermen:
1
1
1
1
1
1
1
1
x 4
1
1
0
1
x 3
1
1
1
1
w
x 1+x 2 +x 3 +x4
x 2
x 1
1
1
1
1
1
1
01 1
1
x 4
1
1
1
x 3
1
1
1
1
x +x +x +x
1 2 3 4
x 2
77

2.6 Produkt- und Summenterme
� Resultat der Und-Verknüpfung:
x 1
(x 1+x 2 +x 3 +x 4) ⋅(x
1+x 2 +x 3 +x 4)=
x +x +x
1 2 4
1
1
1
1
1
1
10
1
x 4
1
1
0
1
x 3
1
1
1
1
x 2
78

2.6 Produkt- und Summenterme
� Nochmals: Absorptionsgesetze
(T11) x + x•y = x + y (T11') x•(x + y) = x•y
(T12) x + x•y = x (T12') x•(x + y) = x
x
x
y
&
≥1
Absorption
x
79

2.6 Produkt- und Summenterme
(T12) x + x•y = x
x2 + xxx 2 3 4 = x2
x 1
xxx
2 3 4
x 4
x 3
x 2
x 2
80

2.6 Produkt- und Summenterme
(T11) x + x•y = x + y
x2 + x2x3x4= x2 + x3x4 x x
3 4
x 2
x 1
x 4
x 3
x 2
xxx
2 3 4
x x x
2 3 4
81

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
� Ein boolescher Term ist in disjunktiver Normalform (DNF),
wenn er aus der Disjunktion (Oder-Verknüpfung) von
Produkttermen besteht
� Ein boolescher Term ist in konjunktiver Normalform (KNF),
wenn er aus der Konjunktion (Und-Verknüpfung) von
Summentermen besteht
82

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
� Disjunktive Normalformen können realisiert werden
durch zweistufige Und-/Oder-Netze
x
y
z
y
x
z
&
&
&
≥1
xy + zy + xz
83

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
� zwischen Term und realisierendem Gatternetz wird
hierbei Strukturgleichheit angenommen
x
y
z
y
x
z
&
&
&
≥1
xy + zy + xz
84

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
� Konjunktive Normalformen können realisiert werden
durch zweistufige Oder-/Und-Netze
x
y
z
y
x
z
≥1
≥1
≥1
&
(x + y) ⋅ (z + y) ⋅ (x + z)
85

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
Problem: DNF und KNF können zur Darstellung von
Funktionen in der Anzahl der Variablen exponentiell viel
Platz benötigen
— Beispiel: die Exor-Verknüpfung von n Variablen
(Addition modulo 2, Paritätsfunktion)
x
"Schachbrettmuster":
3
x 0
0
1
0
1
0
1
3
2
1
0
1
0
4
5
7
6
x 2
0
1
0
1
12
13
15
14
1
0
1
0
8
9
11
10
x 1
86

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
� Aufgabe der zweistufigen Logikminimierung:
� realisiere eine boolesche Funktion durch ein
zweistufiges Und-/Oder-Gatternetz (Oder-/Und-
Gatternetz) mit minimalem Aufwand
� ein einfaches Aufwandsmaß: Anzahl der Eingänge
der 2. Stufe = Anzahl der Literale in der
entsprechenden DNF (KNF)
— Beispiele: Aufwand = 5
abc + ab
bc + ab
Aufwand = 4
� manuell im Prinzip durch algebraische
Vereinfachung der DNF (KNF) lösbar
87

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
� da die algebraische Vereinfachung von Termen schwierig
ist, wird für kleinere Probleme oft der Umweg über das
Veitch-Diagramm genommen
— Beispiel: abc + ab
88

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
abc + ab
bc + ab
a
a
1
1
b
b
1
1
1
1
c
c
89

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
� Aufgabe: lese aus dem Veitch-Diagramm eine DNF
"mit möglichst wenig und möglichst großen"
Produkttermen ab
� die "möglichst großen" Produktterme haben am
wenigsten Literale und verursachen den geringsten
Realisierungsaufwand
� systematische Behandlung im Abschnitt
über zweistufige Logikminimierung
90

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
� Beispiel: charakterisiere alle zulässigen Phasen
einer Verkehrsampel durch eine DNF mit möglichst
geringem Aufwand (r rot, g grün, e gelb)
r g e p
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
ge + rg + rge
91

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
xxxx
1 2 3 4 f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
� Die Minterm-Normalform ist eine DNF und
stellt eine boolesche Funktion als Summe
der Minterme dar
f(x
1
, K , x
n
)
=
f(0,
f(0,
K
f(1,
+
K
K
K
,0)
,1)
,1)
� natürlich lassen wir die
Minterme mit Funktionswert
0 weg !
⋅
⋅
⋅
x
x
x
1
1
1
⋅ K
⋅ K
⋅ K
Funktionswerte Minterme
⋅
⋅
⋅
x
x
x
n
n
n
+
+
92

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
xxxx
1 2 3 4 f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
� Entsprechend ist die Maxterm-
Normalform (KNF) ein Produkt der
Maxterme
f(x
1
, K , x
n
)
=
( f(0,
( f(0,
K
⋅
( f(1,
K ,0)
K ,1)
K ,1)
+
+
+
x
x
x
1
1
1
+
+
+
K
K
K
+
+
+
x
x
x
n
n
n
)
)
)
⋅
⋅
93

2.7 Disjunktive und konjunktive Normalformen
Problem: Minterm- und Maxterm-Normalformen können
ebenso wie Funktionstabellen und Veitch-Diagramme
exponentiellen Platz in der Anzahl der Variablen benötigen
� einfaches Beispiel: Minterm-Darstellung der Oder-
Verknüpfung von n Variablen
94

2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
� Eine Menge boolescher Verknüpfungen heißt vollständig,
wenn sich jede boolesche Funktion unter ausschließlicher
Verwendung dieser Verknüpfungen durch einen
booleschen Term darstellen läßt
— Beispiel: jede boolesche Funktion läßt sich unter
Benutzung der Und-, Oder- und Nicht-Verknüpfung
als boolscher Term hinschreiben
95

2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
� Dies trifft auch auf die NAND-Verknüpfung zu
� hat praktische Bedeutung, da NAND-Gatter oft aus
technologischen Gründen die schnellsten und am
wenigsten Platz benötigenden Gatter sind
� Frage: welche Funktion realisiert dieses Gatternetz ?
x
y
z
y
x
z
&
&
&
&
96

2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
� Anwendung des generalisierten Satzes von De
Morgan
(x ⋅ y ⋅ z) = x + y +
z
& ≥1
=
97

2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
x
y
z
y
x
z
&
&
&
(x ⋅
y ⋅ z) = x + y +
&
x
y
z
y
x
z
z
&
&
&
zwei Negationen
heben sich auf
≥1
x
y
z
y
x
z
&
&
&
≥1
98

2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
� Fazit: jede disjunktive Normalform und damit jede
boolesche Funktion läßt sich allein mit NAND-Gattern
realisieren
99

2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
x
y
z
y
x
z
� Entsprechend lassen sich alle konjunktiven Normalformen
durch NOR-Gatter realisieren
≥1
≥1
≥1
(x + y + z) = x ⋅ y ⋅
≥1
x
y
z
y
x
z
z
≥1
≥1
≥1
&
x
y
z
y
x
z
≥1
≥1
≥1
&
100

2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
� Jede boolesche Funktion läßt sich ferner mit ausschließlicher
Verwendung der Und- und Exor-Verknüpfung repräsentieren
� Spezialfall positiv polarisierte Reed-Muller Form:
jede boolesche Funktion läßt sich durch die Exor-
Verknüpfung von Produkttermen darstellen, die
ausschließlich positive Literale enthalten
� Nachweis durch Anwendung der folgenden Gleichheiten
jeweils "von links nach rechts"
— Gleichheiten, die nur von links nach rechts
ausgewertet werden heißen "Produktionsregeln"
101
� Anmerkung: es ist offenbar nicht möglich, die
konstanten Funktionen 0 und 1 zu erzeugen.
Ein solches System heißt "schwach vollständig"

2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme
� Gleichheiten zur Umwandlung eines beliebigen
booleschen Terms in eine positiv polarisierte Reed-
Muller-Form:
x
x
+
x
x ⋅ 1
⋅
y
x
=
=
=
=
x
⋅
y
x
⊕
⊕
x
x
x
1
⊕
y
x
⋅
( y
x
x
x
⊕
⊕
⋅
⊕
0
x
0
z)
=
=
=
=
x
⋅
y
⊕
0
x
0
x
⋅
z
102

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
� Der Entwicklungssatz wurde von Boole 1849 angegeben
� Er ist auch als Shannon´scher Entwicklungssatz bekannt
103

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
�
x x x x f
1
2
3
4
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
f(0, x2,
x3,
x4)
f(1, x2,
x3,
x4)
104
� Idee: Entwicklung einer
Funktion nach einer
Variablen und zwei Restfunktionen,
die von
dieser Variablen
nicht mehr abhängen
— Beispiel:
entwickeln nach x1

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
� Entwicklungssatz: jede Boolesche Funktion f läßt sich
nach jeder ihrer Variablen x wie folgt entwickeln:
f = x ⋅ f + x ⋅
x
� f x , f x heißen die Kofaktoren von f bzgl. x
� sie können dadurch ermittelt werden, daß x in f
konstant auf 1 bzw. 0 gesetzt wird
f
x
105

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
� Veranschaulichung im Veitch-Diagramm:
a
1
1
1
c
1
1
b
f =
c + a b +
1
ab
f a
f a
f
106

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
�
� Veranschaulichung im Veitch-Diagramm:
a
1
1
1
c
1
1
b
1
f = c + a b + ab
f = a ⋅ fa+ a ⋅
fa
f a
f a
f
107

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
� Umsetzen in eine Schaltung:
�
a
1
1
1
c
1
1
b
1
f = c + a b + ab
f = a ⋅ f + a ⋅ f
a
a
f a
f a
f
f
a
f a
a
&
&
≥1
108
f

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
�
� die Kofaktoren werden durch die Substitution der
Konstanten 1 bzw. 0 für a und Vereinfachung berechnet:
b
a
f=c+ab+ab,
f =c+ 1b+1b=c+b,
a
f =c+0b+0b=c+b,
a
1
1
1
c
1
1
f=a ⋅(c+b)+a ⋅(c+b)
1
f a
f a
f
f
a
f a
a
&
&
≥1
109
f

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
�
� die Kofaktoren werden durch die Substitution der
Konstanten 1 bzw. 0 für a und Vereinfachung berechnet:
b
a
f=c+ab+ab,
f =c+ 1b+1b=c+b,
a
f =c+0b+0b=c+b,
a
1
1
1
c
1
1
f=a ⋅(c+b)+a ⋅(c+b)
1
f a
f a
f
c
b
c
b
≥1
≥1
f a
f a
a
&
&
≥1
110
f

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
� Die oben benutzte Schaltung wird als 2:1-Multiplexor
bezeichnet
a
b
x
&
&
≥1
Schaltsymbol:
� in Abhängigkeit von x wird entweder a
oder b auf den Ausgang durchgeschaltet
("gemultiplext")
a
b
0
1
x
111

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
� Der duale Entwicklungssatz: jede Boolesche Funktion f
läßt sich nach jeder ihrer Variablen x wie folgt
entwickeln:
f=(x+ f x ) ⋅ (x+ f x )
112

2.9 Der Entwicklungssatz von Boole
�
x x x x f
1
2
3
4
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
� der boolesche
Entwicklungssatz ist
Grundlage vieler
Algorithmen, da er es oft
erlaubt, ein Problem (z.B.
zwei-stufige Logikminimierung)
nach dem
Prinzip des "Teile-und-
Herrsche" in zwei
Teilprobleme zu zerlegen,
die nicht mehr von einer
Variablen abhängen
113

2.10 Gattergleichungen und Gatternetze
� Gatternetze bestehen aus Gattern und Verbindungen von
Gatterausgängen mit Gattereingängen
— Beispiel:
a
b
&
a
b
&
&
&
g
114

2.10 Gattergleichungen und -netze
� Die systematische Analyse von Gatternetzen basiert auf
dem Aufstellen von Gattergleichungen
� Dazu wird
� jedem Gatterausgang eine boolesche Variable
zugeordnet (falls nicht schon vorhanden)
� die Funktion des Gatters durch seine Gattergleichung:
Ausgang = Funktion der Gattereingänge
beschrieben
— Beispiel:
a
b
&
x x = a · b
115
Gattergleichung

2.10 Gattergleichungen und -netze
� Begriffe:
� Gattereingänge eines Gatternetzes, die nicht auch
Gatterausgänge sind, heißen primäre Eingänge des
Gatternetzes
� Gatterausgänge eines Gatternetzes, die nicht auch
Gattereingänge sind, heißen primäre Ausgänge des
Gatternetzes
primäre
Eingänge
&
&
&
&
primärer
Ausgang
116

2.10 Gattergleichungen und -netze
� Begriffe (Forts.):
� Ein Gatternetz heißt rückkopplungsfrei, wenn auf allen
Pfaden von den primären Eingängen zu den primären
Ausgängen jeder Gatterausgang höchstens einmal
besucht wird
— Beispiel eines rückkopplungsfreien Gatternetzes:
a
b
&
a
b
&
&
� Gatternetze mit Rückkopplungen werden z.B.
zur Informationsspeicherung benutzt (Kap. 7)
&
g
117

2.10 Gattergleichungen und -netze
� Problem: Gatternetz � boolesche Funktion
� bei der Analyse eines Gatternetzes muß oft die
boolesche Funktion an den primären Gatterausgängen
in Abhängigkeit von den primären Gattereingängen
bestimmt werden
� Wie bestimmt man die durch ein rückkopplungsfreies
Gatternetz realisierte boolesche Funktion (Schaltungsanalyse)?
— Beispiel: g = f(a,b,c) ?
a
b
&
c
x
≥1
g
118

2.10 Gattergleichungen und -netze
� Prinzipielles Verfahren:
� Aufstellen der Gattergleichungen
� Auflösen des Gleichungssystems durch Substitution
("Gleiches darf durch Gleiches ersetzt werden")
— Beispiel: g = f(a,b,c) ?
a
b
&
c
x
≥1
g
x = a · b
g = x + c
g = (a · b) + c
119

2.10 Gattergleichungen und -netze
� Boolescher Term � Gatternetz: umgekehrt kann man
sehr einfach jedem booleschen Term ein isomorphes
baumartiges rückkopplungsfreies Gatternetz zuordnen
(Schaltungssynthese)
— Beispiel: b(c + de) + d
120