Schwingungen, Wellen, Akustik

Schwingungen, Wellen, Akustik
Die allgemeine Form der Schwingungsgleichung war die
Differentialgleichung
2
d x(
t)
2
2
+ ω x(
t)
= 0 oder x(
t)
+ ω x(
t)
= 0
2
dt
d.h. es ist eine Funktion x(t) gesucht, die mit ω 2 multipliziert,
gerade zu der negativen doppelten Ableitung identisch ist.
Lösungen waren der Sinus und der Cosinus:
x1( t)
= sin( ωt) x1(
t)
= ω cos( ωt)
2
x1(
t)
= −ω
sin( ωt)
x ( t)
=
cos( ωt) x ( t)
= −ω
sin( ωt)
2
x ( t)
= −ω
cos( ωt)
2
2
2
1

Gibt es noch andere (bessere, allgemeinere ?) Lösungen?
Eine Funktion, die sich nach einer Ableitung reproduziert, ist
die e-Funktion (Exponentialfunktion). Also reproduziert sie sich
auch nach zwei Ableitungen. Wie aber kriegt man den Vorzeichentausch
hin?
Ansatz : x(t) = exp(iωt) i ist eine Konstante
2
also x( t)
= iω
exp( iωt)
und x( t)
= ( iω)
exp( iωt)
Einsetzen in Differentialgleichung:
2
2
2
( iω ) exp( iωt)
+ ω exp( iωt)
= 0 also i + 1 = 0 also i
=
−1
2

i ist eine sogenannte komplexe Zahl, Wurzel aus negativen
Zahlen erlaubt!!!
was bedeutet e iωt = exp(iωt) tatsächlich und wie ist diese
Lösung mit den Sinus und Cosinus-Lösungen vereinbar???
Erinnerung: Taylor-Entwicklung einer Funktion (Näherung)
f
( x + Δx)
=
1
f ( x)
+ f
1
1
+ f
1⋅
2 ⋅3
'(
'''
(
1
x)
Δx
+
1⋅
2
x)(
Δx)
also gilt für eine e-Funktion exp(0+Δx) :
3
+
f
''(
x)(
Δx)
2
+
3

4
...
)
(
'
'
'
'
)'
(
5
4
3
2
1
)
(
'
'
'
)'
(
4
3
2
1
)
(
'
'
)'
(
3
2
1
)
(
'
)'
(
2
1
)'
(
)
0
exp(
5
0
4
0
3
0
2
0
0
0
+
Δ
⋅
⋅
⋅
+
Δ
⋅
⋅
+
+
Δ
⋅
+
Δ
+
Δ
+
=
Δ
+
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
e
x
und für Δx = iωt :
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
+
−
⋅
⋅
+
−
=
=
+
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
+
+
+
=
...
)
(
5
4
3
2
1
)
(
3
2
1
...
)
(
4
3
2
1
)
(
2
1
1
...
)
(
5
4
3
2
1
)
(
4
3
2
1
)
(
3
2
1
)
(
2
1
1
)
exp(
5
3
4
2
5
4
3
2
t
t
t
i
t
t
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω

5
Taylor-Entwicklungen des Cosinus und des Sinus:
−
Δ
⋅
⋅
⋅
+
Δ
⋅
−
Δ
=
−
Δ
⋅
⋅
⋅
+
Δ
⋅
⋅
+
Δ
⋅
−
Δ
−
Δ
+
=
Δ
+
5
3
5
4
3
2
)
(
5
4
3
2
1
)
(
3
2
1
)
)(
0
cos(
5
4
3
2
1
)
)(
0
sin(
4
3
2
1
)
)(
0
cos(
3
2
1
)
)(
0
sin(
2
1
)
0
cos(
)
0
sin(
)
0
sin(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
Δ
⋅
⋅
+
Δ
−
=
−
Δ
⋅
⋅
⋅
−
Δ
⋅
⋅
+
Δ
⋅
+
Δ
−
Δ
−
=
Δ
+
4
2
5
4
3
2
)
(
4
3
2
1
)
(
2
1
1
)
)(
0
sin(
5
4
3
2
1
)
)(
0
cos(
4
3
2
1
)
)(
0
sin(
3
2
1
)
)(
0
cos(
2
1
)
0
sin(
)
0
cos(
)
0
cos(
x
x
x
x
x
x
x
x

also folgt:
e iωt
=exp(iωt) = cos(ωt)+i⋅sin(ωt)
= Realteil + Imaginärteil
oder andersherum:
(e iωt -iωt
+ e )/2 = ½ [cos(ωt)+i⋅sin(ωt) + cos(-ωt)+i⋅sin(-ωt)]
= ½ [cos(ωt)+i⋅sin(ωt) + cos(ωt)-i⋅sin(ωt)]
= ½ [2cos(ωt)] = cos(ωt)
(e iωt -iωt
-e )/(2i) = [cos(ωt)+i⋅sin(ωt)-cos(-ωt)-i⋅sin(-ωt)]/(2i)
= [cos(ωt)+i⋅sin(ωt)-cos(ωt)+i⋅sin(ωt)]/(2i)
= [2i⋅sin(ωt)]/(2i) = sin(ωt)
jede Zahl lässt sich so darstellen (also entweder getrennt in
Real- und Imaginärteil oder als Exponentialfunktion)
A⋅exp(iϕ) = Acosϕ+i⋅Asinϕ = a+ib
a+ib =(a 2 +b 2 ) 1/2 ⋅exp(i⋅arctan[a/b])=A⋅exp(iϕ)
6

„vektorielle“ Darstellung einer komplexen Zahl:
Ae iϕ =
a+ib
b
Im
ϕ
A
Winkel ϕ ,
Betrag A=sqrt(Re 2 +Im 2 )
ist Vektorlänge
Rechenregeln für komplexe Zahlen
Merke: Manchmal ist die Exponentialdarstellung besser zum
Rechnen, manchmal die getrennte (Real+Imaginärteil)
a) [a1+ib1]±[a2+ib2] = (a1±a2)+i(b1±b2)
b) [a1+ib1]⋅[a2+ib2] = a1a2+(i⋅i)⋅b1b2+i(a2b1+a1b2) =
(a1a2-b1b2)+i(a2b1+a1b2) =
oder A1e iϕ
⋅A2e iψ
= A1A2e i(ϕ+ψ)
Re z.B.: i = e iπ/2 ; -1 = e iπ
a
7

c) [a1+ib1]/[a2+ib2] = ([a1+ib1]⋅[a2-ib2])/( [a2+ib2]⋅[a2-ib2])
[(a1a2+b1b2)+i(a2b1-a1b2)]/(a2 2 +b2 2 )
oder A1e iϕ /(A2e iψ ) = (A1/A2)e i(ϕ-ψ)
Betrag einer komplexen Zahl z = a+ib = Ae iϕ
* 2 2
| z | = | a + ib | = ( a + ib)(
a − ib)
= z ⋅ z = a + b
(a-ib)=z * ist das sogenannte konjugiert Komplexe von z=(a+ib)
Ae -iϕ = z * ist das konjugiert Komplexe von z=Ae iϕ
z.B.: |e iϕ | = (e iϕ ⋅e -iϕ ) 1/2 = (e i(ϕ-ϕ) ) 1/2 = (e 0 ) 1/2 = 1
= ([cosϕ+i⋅sinϕ]⋅[cosϕ-i⋅sinϕ]) 1/2
= (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) 1/2 = 1
8

z.B.: was ist i i ?
i in Exponentialdarstellung: i = e iπ/2 also:
i i = (e iπ/2 ) i = e (iπ/2)⋅i = e -π/2 reelle Zahl !
Eine Schwingung kann als Projektion einer Drehbewegung
in der komplexen Zahlenebene dargestellt werden.
Vesuch Plattenspieler:
Die Pendelbewegung gleicht exakt der
Projektion des sich drehenden Korkens
an der Wand.
9

Zeit
Re
Im
Drehbewegung in komplexer Ebene:
e i(ωt+ϕ) = cos(ωt+ϕ)+i⋅sin(ωt+ϕ)
Schwingung in Real + Imaginärteil
Zeit
ϕ ist die sog Phase,
die bei Überlagerungen
von Schwingungen eine
wichtige Rolle spielt
Zwei Schwingungen können in der selben Raumrichtung oder
in unterschiedlichen Raumrichtungen überlagert werden:
10

Zwei Schwingungen in gleicher Raumrichtung
Schwarz: f1(t)=A⋅sin(ωt)
Rot : f2(t)=A⋅sin(ωt+π)
Grün : Summe = f1+f2 = 0
Bei Phase π, gleicher Amplitude
und gleicher Frequenz: insg. 0
Schwarz: f1(t)=A1⋅sin(ωt)
Rot : f2(t)=A2⋅sin(ωt+ϕ)
Grün : Summe ≠ 0
und Sinusförmig mit anderer
Phase ψ
Kann als Vektor in komplexer Ebene verstanden werden:
11

A
Bei leicht unterschiedlichen
Frequenzen überholt ein
Vektor den anderen von Zeit
zu Zeit Schwebung (grün)
ψ
Wenn rot und schwarz mit der
selben Frequenz rotieren, dann
rotiert auch grün mit der selben
Frequenz und behält dabei die
Länge bei. Die Phase ψ und die
Amplitude A von der Summe (grün)
ergibt sich aus der Vektoraddition
der Einzelschwingungen.
12

Versuch Schwebung: Zwei Stimmgabeln mit leicht
unterschiedlicher Frequenz zeigen ein deutliches An- und
Abschwellen des Tons. Auch auf Oszilloskop zu sehen.
Zwei Schwingungen in unterschiedlicher Raumrichtung
Ein Objekt kann z.B. mit einer Frequenz ω1 in x-Richtung
schwingen und mit einer anderen (oder gleichen) Frequenz
ω2 in y-Richtung. Auch hier spielt die Phasendifferenz
zwischen der Schwingung in x- und y-Richtung eine Rolle.
Diese sog Lissajous-Figuren sind charakteristisch im
Verhältnis ω1/ω2 und können in der komplexen Ebene als
z(t) = a1sin(ω1t+ϕ1) + i⋅a2sin(ω2t) (ϕ2 ist auf 0 gesetzt)
13

Beispiele für Lissajous Figuren
14

Versuch Lissajous (Mechanisch)
Zwei schwingende Spiegel
erzeugen eine Lissajous Figur,
die mit einem Laser sichtbar
gemacht werden kann.
Versuch Lissajous (Elektrisch)
Mit zwei Signalgeneratoren
können Lissajous Figuren
gezeigt werden
15

Gedämpfte und Erzwungene Schwingungen
Die Differentialgleichung für eine ungedämpfte
Federschwingung war:
2
x + ω x = 0 ⇔ mx
+ Dx = 0 (D Federkonstante)
Lösung war sin(ωt) , cos(ωt) bzw e iωt
bei Dämpfung modifiziert sich die Differentialgleichung zu
m x + Kx
+ Dx = 0 (K : Dämpfungskoeffizient)
Lösungsansatz x(t) = x0e λt
also mλ 2 x0e λt +Kλx0e λt +Dx0e λt = 0 |⋅ 1/(x0e λt )
mλ 2 +Kλ+D = 0 also
λ
1,
2
2
K K
= − ± 2
2m
4m
−
D
m
16

Wenn die Dämpfung klein ist wird der Term in der Wurzel
negativ und man schreibt besser:
λ
1,
2
=
2
K D K
− ± i −
2m m 4m
Die Lösung für schwache Dämpfung ist also:
K
− ⋅t
2m
± i
D K
−
m 4m
2
x(
t)
= x e ⋅ e und mit
0
−μt
± iωt
x(
t)
= x0e
e = x0e
2
−μt
⋅t
2
[cos( ωt)
± isin(
ωt)]
2
K
D K
μ = und ω = − 2
2m
m 4m
sichtbar ist der Realteil, also x(t) = x0e -μt cos(ωt)
also ein Dämpfungsterm und ein Schwingungsterm. Die
Dämpfung sorgt bei t→∞ für x(t→∞) = 0
17

Schwingung wird für große
Zeiten gedämpft. Versuch
Resonanz ohne Anregung
Wenn das System mit der Frequenz ωa und der Kraft F0 von
Außen angeregt wird, dann gilt:
mx
+
Kx
+ Dx
=
F
0
e
i a
ω t
18

Lösungsansatz:
man erhält eine komplexe Amplitude
x
iωat ( t)
= x0e
ergibt : x0(-mωa 2 +iKωa+D) = F0
x0 = F0/(-mωa 2 +iKωa+D) = (F0/m)/[D/m-ωa 2 +iKωa/m]
Erinnerung: Eigenfrequenz eines Federpendels ist: ω0 2 =D/m
also : x0=(F0/m)/[ ω0 2 -ωa 2 +iKωa/m]
Amplitude x0 für Dämpfung K=0.
Sie wird für ωa=ω0 unendlich
(Resonanzkatastrophe). Für sehr
kleine Anregungsfrequenzen ist
sie positiv für sehr große negativ
und verschwindent.
19

Wenn man sehr langsam anregt, dann folgt die Masse der
Anregung einfach (positives Vorzeichen der Amplitude. Bei
sehr hohen Anregungsfrequenzen bewegt sich die Masse im
wesentlichen gar nicht (Amplitude 0). Ist bei hohen
Frequenzen allerdings eine Auslenkung verhanden, dann ist
sie negativ, d.h. wenn die Anregung nach oben stößt, dann ist
die Masse auf dem Weg nach unten. Bei Anregungsfrequenz
= Eigenfrequenz tritt Resonanz auf.
Versuch Gummiseil: Vielfach hat ein
System nicht nur eine Eigenfrequenz,
sondern mehrere, die alle angeregt
werden können (Obertöne bei
Musikinstrumenten)
20

Resonanzen treten auch in mehreren Dimensionen auf
Versuch Klangfiguren: Eine quadratische
Platte wird akustisch angeregt. An den
Knotenlinien sammelt sich der Sand.
Die Resonanzfrequenzen ergeben sich aus der Dimensionierung
des Objekts und den Randbedingungen (sog. festes
Ende oder loses Ende). Wird ein z.B. ein Ende festgehalten,
dann muss die Amplitude der Schwingung an dieser Stelle 0
sein. Bei einem losen Ende ist sie an dieser Stelle maximal.
[Deshalb können bei den Klangfiguren keine Linien am Rand
der Platte beobachtet werden (loses Ende schwingt immer)]
21

Geschwindigkeit von Wellen, Wellenvektor
Generell können Schwingungen in Ausbreitungsrichtung der
Wellen verlaufen (longitudinale Wellen) oder senkrecht dazu
(transversale Welle). Ein inkompressibler Stab kann z.B. nur
transversal schwingen (in Richtung des Stabes sind Verformungen
nicht erlaubt), das Volumen einer kompressible
Flüssigkeit/Gas kann nur longitudinal schwingen (keine
Kopplung senkrecht)
Versuch „Slinky“
Links: transversale
Welle
Rechts: longitudinale
Wellen
22

Schwingungen müssen nicht ortsfest sein, sondern können
sich auch ausbreiten (Stein ins Wasser geworfen). D.h. z.B.
dass eine Ortsabhängigkeit eingeführt werden muss:
eine sog ebene Welle hätte zum Beispiel die Form
f(x,t) = sin(kx+ωt) oder komplex : f(x,t) = e i(kx+ωt)
Kugelwelle ebene Welle
23

ω=2π/T war die Kreisfrequenz, die mit der „normalen“
Frequenz ν [Schwingungen pro Sekunde] wie ω=2πν
zusammenhängt.
k = 2π/λ ist die sog. Wellenzahl, wobei λ die Wellenlänge
ist.
Deutung mit Hilfe des Gummiseilversuchs: ν ist die Frequenz
an einer festen Stelle x, mit der das Seil dort schwingt. k
ergibt sich aus der Wellenlänge zu einem festen Zeitpunkt t.
Die sogenannte Phasengeschwindigkeit einer Welle ergibt
sich zu
c = ω/k = λν
24

Die Phasengeschwindigkeit kann konstant sein: z.B.
in Wasser
1
=
κρ
c mit κ=Kompressibilität = 0.5GPa -1
und ρ = 1000kg/m 3
also cWasser=1400m/s in Wasser
7 p
oder in der Luft : c = ⋅ oder bei Luftdruck p=1013mbar
5 ρ
und ρ=1.25kg/m 3 cLuft = 336m/s
Die Phasengeschwindigkeit kann eine Funktion der Wellenlänge
(sog. Dispersion) sein: z.B. auf der Wasseroberfläche
(Wasserwellen)
gλ
c =
2π
25

d.h.: je länger die Wellen, desto schneller laufen sie auf der
Wasseroberfläche. Das hat dramatische Konsequenzen:
Echoloten kann man nur an Luft oder IM Wasser, nicht an der
Wasseroberfläche!!
Grund: Zum Echoloten braucht man sog. Wellenpakete (eine
kurze Anregung, „geben sie mir ein einzelnes Ping [U-Boot]“)
Also anstelle einer unendlich ausgedehnten ebenen Welle
etwas endliches in Raum und Zeit. Derartige „Wellenpakete“
kann man aber IMMER als Summe (Überlagerung) von vielen
Sinus- und Cosinus Schwingungen schreiben. Prinzipell kann
man JEDE Funktion als Summe von Sinus- oder Cosinusschwingungen
schreiben:
N
f (
x)
= [ a cos( k x)
+ ib sin( k x)]
n
n
n
n
n
26

Das ist die sog. Fouriertransformation (Fourierzerlegung)
Beispiel:
drei Wellenpakete
können durch
Überlagerung von
9 sinusschwingungen
approximiert
werden.
Ist die Phasengeschwindigkeit konstant, dann breiten sich alle
Wellen mit gleicher Geschwindigkeit aus und die Wellenpakete
bleiben erhalten. (siehe Computersimulation).
27

Hängt die Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge (bzw
Frequenz) ab (Dispersion), dann zerfließt das Wellenpaket
nach einiger Zeit, weil einige Ebene Wellen der Fourierzerlegung
langsamer laufen als die anderen.
28

Das zeigt auch die Computersimulation. Im alltäglichen Leben:
Wird ein Stein ins Wasser geworfen, so breitet sich nicht ein
Wellenberg in alle Richtungen aus. Statt dessen laufen die
langen Wellenlängen der Fourierzerlegung schneller als die
der kurzen und das Paket zerfließt sehr schnell. Der selbe
Effekt tritt beim hörbaren Reissen einer Eisschicht auf
(Piooong, Trennung nach Tönen: tiefe Töne haben eine lange
Wellenlänge, hohe eine kurze).
Dagegen bleibt in Luft ein Wellenpaket erhalten, sonst würde
ein Echo nicht existieren (der Knall würde zerfließen).
Hörempfinden
Das menschliche Ohr führt eine Fouriertransformation des
Signals durch (in der sog. Schnecke, Cochlea): Die vorderen
Bereiche sind sensitiv auf hohe Frequenzen, die hinteren auf
tiefe Töne:
29

Da c = λν sind hohe (große) Frequenzen gleichbedeutend
mit kleinen Wellenlängen
Der Hörbereich des (jungen) Menschen liegt bei ca. 40Hz bis
20000Hz . D.h. mit c = 340m/s wären 40Hz = 40 Schwingungen
pro Sekunde äquivalent zu λ=8.5m und bei 20kHz :
λ=1.7cm.
30

Also z.B. Orgelpfeifen,
geschlossen:
40Hz würde 2.125 m
Länge entsprechen
4000 Hz wären 2.125 cm
Länge
Allerdings klingen
geschlossene Pfeifen nicht
so voll wie offene, da nur
die ungeraden Obertöne
resonant sind (siehe Bild).
Dafür müssen offene
doppelt so lang sein.
31

Tonhöhe
Wenn die Wellenlänge sich halbiert (die Frequenz verdoppelt),
dann klingt der Ton doppelt so hoch. Dies entspricht einer
Oktave. Z.B. der Kammerton a’ hat eine Frequenz von 440Hz
eine Oktave höher liegt a’’ (880Hz) und noch eine Oktave
höher das a’’’ (1760Hz). D.h dass die Töne (12
Halbtonschritte pro Oktave) nicht gleichmäßig (in festen
Frequenzabständen) über eine Oktave verteilt sind, sondern
in 12 2-Abständen: Also a’=440Hz #a=440⋅ 12 2=466Hz
h = 466⋅ 12 2 = 494Hz ...
(Computer/Oszi): Oktave zeigen, Immer-Steigende Tonfolge
Lautstärke
Das menschliche Ohr empfindet gleiche Amplitude bei unterschiedlichen
Frequenzen unterschiedlich laut.
32

Am empfindlichsten ist das Ohr bei 1kHz-4kHz (Sprachbereich)
(Computer/Tongenerator:Frequenzen durchspielen)
33