Asymptotic Analysis and Singular Perturbation Theory

Contents
Chapter 1 Introduction 1
1.1 Perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Asymptotic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Regular and singular perturbation problems . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Algebraic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Eigenvalue problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Nondimensionalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chapter 2 Asymptotic Expansions 19
2.1 Order notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Asymptotic power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Asymptotic versus convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Generalized asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Nonuniform asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Stokes phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chapter 3 Asymptotic Expansion of Integrals 29
3.1 Euler’s integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Perturbed Gaussian integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 The method of stationary phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Airy functions and degenerate stationary phase points . . . . . . . . . 37
3.4.1 Dispersive wave propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Laplace’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 Multiple integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 The method of steepest descents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Chapter 4 The Method of Matched Asymptotic Expansions: ODEs 49
4.1 Enzyme kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
iii