информация, язык, интеллект № 3 (77) 2011

More documents

Recommendations

Info

БИОНИКА ИНТЕЛЛЕКТА. 2011. № 3 (77). С. 14–29 хНурэ УДК 519.7 14 Введение Наличие тождеств в алгебре конечных предикатов свидетельствует о том, что один и тот же конечный предикат можно записать в виде различных формул. Значит, формул алгебры конечных предикатов больше, чем обозначаемых ими предикатов. Возникает задача: из множества всех формул выделить класс формул, называемых нормальными формами, чтобы в нем каждому предикату соответствовала только одна формула алгебры конечных предикатов. Выделим два таких класса формул: класс совершенных дизъюнктивных нормальных форм (СДНФ) и класс совершенных конъюнктивных нормальных форм (СКНФ). 1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма Вначале введем понятие совершенной дизъюнктивной нормальной формы. Элементарной конъюнкцией назовем любую конъюнкцию узнаваний различных буквенных переменных, взятых с произвольными фиксированными показателями. Наибольшее число множителей в элементарной конъюнкции равно n, наименьшее – нулю. В качестве элементарной конъюнкции, не имеющей в своем составе ни одного узнавания буквы, примем формулу 1. Примерами элементарных конъюнкций в алгебре конечных предикатов с алфавитом букв A={a, b, c} и алфавитом переменных B={x1 , x2 , x3 } могут служить формулы x a 1 x2 b , x2 cx3 b , x1 bx2 cx3 c . Элементарные конъюнкции, отличающиеся между собой только порядком конъюнктивных членов, будем считать одинаковыми, например, x b 1 x2 cx3 c и x2 cx1 bx3 c . Любую дизъюнкцию произвольного числа различных элементарных конъюнкций назовем дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). В качестве ДНФ, не содержащей ни одного дизъюнктивного члена, примем формулу 0. Примером ДНФ в той же алгебре может служить формула x a 1 x2 b∨x2 cx3 c∨x1 bx2 cx3 c . Любая элементарная конъюнкция, в которой встречаются все переменные алгебры конечных предикатов, называется конституэнтой единицы. Условимся все узнавания в конституэнте единицы М.Ф. Бондаренко, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко ХНУРЭ, г. Харьков, Украина НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ КОНЕЧНЫХ ПРЕДИКАТОВ Рассмотрены задачи построения нормальных форм формул алгебры конечных предикатов, показано, что между конечными предикатами и совершенными дизъюнктивными нормальными формами существует взаимно однозначное соответствие. Cформулирована теорема о конъюнктивном разложении, рассмотрена задача канонической минимизации формул алгебры конечных предикатов, методы дизъюнктивной и конъюнктивной минимизации. ТЕОРИЯ ИНТЕЛЛЕКТА, ПРЕДИКАТ, АЛГЕБРА КОНЕЧНЫХ ПРЕДИКАТОВ, ДНФ, СДНФ, МИНИМИЗАЦИЯ ФОРМУЛ располагать в порядке возрастания номеров переменных. Примеры конституэнт единицы (в той же алгебре): x 1 a x2 a x3 b , x1 b x2 c x3 b . В общем виде конституэнта единицы запишется следующим образом: σ σ σ n 1 2 n x1 x2 ... xn ≡∧ i = 1 i xi σ . Здесь σ 1 , σ 2 , ..., σ n – некоторые фиксированные буквы алфавита А, знак ∧ обозначает операцию i = 1 логического перемножения n членов, i – индекс, изменяющийся в пределах от 1 до n, по которому ведется перемножение. Присвоим каждой конституэнте едини- σ1 σ2 σn цы x1 x2 ... xn свой номер. Для этого составим n-разрядный k-ичный код σ1σ2 ...σn из показателей ее узнаваний, рассматривая буквы а1 , а2 ,..., аk алфавита А как k-ичные цифры 0, 1, ..., k-1. Число, соответствующее коду σ1σ2 ...σn , будем считать номером данной конституэнты единицы. Например, номером конституэнты единицы x b 1 x2 ax3 c служит число 11 (в десятичной записи), соответствующее троичному коду 102. Всего имеется kn различных конституэнт единицы. Любая дизъюнкция произвольного числа n различных конституэнт единицы называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). Мы будем отождествлять между собой все СДНФ, отличающиеся только порядком расположения конституэнт единицы. Конституэнты единицы условимся располагать в порядке возрастания их номеров. Пример СДНФ (в той же алгебре): x а 1 x2 ax3 c∨x1 bx2 bx3 a∨x1 cx2 cx3 b . Общий вид СДНФ следующий: σ σ σ 1 2 11 12 1n 21 22 2n 1 2 x x ... xn ∨ x x ... xn ∨...∨ x x ... x m ≡∨ i = 1 n σ σ σ 1 2 σ σ σ 1 2 n m i1 i2 in x x ... x ≡∨= n i 1 ∧ j = 1 σm σm σm 1 2 n σ ij x j . n ≡ Здесь σ ij – некоторые фиксированные буквы ал- m фавита А; знак ∨ обозначает операцию логическо- i = 1 го суммирования m членов; m – число конституэнт
единицы в СДНФ; i, j – индексы, изменяющиеся в пределах соответственно от 1 до m и от 1 до n, по которым ведутся логическое суммирование и логическое перемножение. Присвоим каждой СДНФ свой номер. Для этого каждой СДНФ поставим в соответствие некоторый двоичный код длины k n . Длина кода совпадает с числом всех различных конституэнт единицы. Если в рассматриваемой СДНФ конституэнта единицы с номером i отсутствует, то в i-том разряде ее двоичного кода записываем 0, если присутствует, то записываем 1. Нумерацию разрядов двоичного кода в данном случае начинаем с нуля и ведем слева направо. Число, соответствующее полученному таким способом двоичному коду, будем считать номером СДНФ. В качестве СДНФ с номером 0 принимаем формулу 0. Например, номер СДНФ x 1 a x2 b ∨x1 b x2 c в алгебре с алфавитами А={a, b, c}, B={x 1 , x 2 } будет число 136 10 , соответствующее двоичному коду 010001000. Всего имеется 2 kn различных СДНФ, то есть ровно столько, сколько существует всех различных конечных предикатов. Вместе с тем, каждой формуле соответствует единственный конечный предикат, каждому же конечному предикату соответствует некоторая своя СДНФ. Следовательно, между конечными предикатами и совершенными дизъюнктивными нормальными формами существует взаимно однозначное соответствие. Важно выяснить вопрос: можно ли с помощью приведенных выше тождеств преобразовать произвольную формулу алгебры конечных предикатов к СДНФ. Если да, то отсюда будет следовать, что система этих тождеств полна. Действительно, сравнивая между собой СДНФ двух формул, всегда можно, в силу единственности представления любого конечного предиката в виде СДНФ, решить вопрос о тождестве этих формул. Если СДНФ совпадают, то исходные формулы тождественны, если не совпадают, то они соответствуют различным предикатам. Такое преобразование существует. Следовательно, система тождеств (4) – (19) [1] алгебры конечных предикатов полна. Ниже приводится описание алгоритма преобразования произвольной формулы к СДНФ. Алгоритм сопровождается примером: А={a, b}, B={x 1 , x 2 , x 3 }, требуется преобразовать к СДНФ формулу f≡(x 1 a ∨x2 b )(x1 a ∨x1 b x3 a )∨(x1 a ∨x2 a )(x2 b x3 b ∨x2 a x3 a ). 1) Пользуясь тождествами (5), (7) и (8) [1], раскрываем в формуле все скобки: f≡x a 1 (x1 a∨x1 bx3 a )∨x2 b (x1 a∨x1 bx3 a )∨ ∨x a 1 (x2 bx3 b∨x2 ax3 a )∨x2 a (x2 bx3 b∨x2 ax3 a )≡ ≡(x a 1 ∨x1 bx3 a )x1 a∨(x1 a∨x1 bx3 a )x2 b∨(x2 bx3 b∨x2 ax3 a )x1 a∨ ∨(x b 2 x3 b∨x2 ax3 a )x2 a≡x1 ax1 a∨x1 bx3 ax1 a∨x1 ax2 b∨x1 bx3 ax2 b∨ ∨x b 2 x3 bx1 a∨x2 ax3 ax1 a∨x2 bx3 bx2 a∨x2 ax3 ax2 a . НОрМАЛЬНЫЕ ФОрМЫ ФОрМуЛ АЛГЕБрЫ КОНЕЧНЫх ПрЕДИКАТОВ В результате получаем некоторую дизъюнкцию конъюнкций узнаваний предмета. 2) Пользуясь тождествами (4)-(7), (10), (11), (15), (17) и (19) [1], производим упрощения в формуле: f≡x a 1 ∨0⋅x3 a∨x1 ax2 b∨x1 bx2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 ax2 ax3 a∨ ∨0⋅x b 3 ∨x2 ax3 a≡x1 a∨0∨x1 ax2 b∨x1 bx2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨ ∨x a 1 x2 ax3 a∨0∨x2 ax3 a≡x1 a∨x1 ax2 b∨ ∨x b 1 x2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 ax2 ax3 a∨x2 ax3 a . В результате получаем некоторую дизъюнктивную нормальную формулу предиката. 3) Пользуясь тождествами (16) и (18) [1], во все конъюнкции вводим недостающие переменные: f≡x a 1 (x2 a∨x2 b )(x3 a∨x3 b )∨x1 ax2 b (x3 a∨x3 b )∨x1 bx2 bx3 a∨ ∨x a 1 x2 bx3 b∨x1 ax2 ax3 a∨(x1 a∨x1 b )x2 ax3 a . 4) Пользуясь тождествами (4)-(8) и (10) [1], снова раскрываем скобки и производим упрощения: f≡x a 1 x2 ax3 a∨x1 ax2 ax3 b∨x1 ax2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 ax2 bx3 a∨ ∨x a 1 x2 bx3 b∨x1 bx2 bx3 a∨x1 bx2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 ax2 ax3 a∨ ∨x a 1 x2 ax3 a∨x1 bx2 ax3 a≡x1 ax2 ax3 a∨x1 ax2 ax3 b∨x1 ax2 bx3 a∨ ∨x a 1 x2 bx3 b∨x1 bx2 ax3 a∨x1 bx2 bx3 a . В результате получаем искомую СДНФ. От совершенной дизъюнктивной нормальной формы нетрудно перейти к таблице обозначаемого ею конечного предиката. Для этого нужно выделить в таблице все наборы значений аргументов, совпадающие с наборами показателей узнаваний букв конституэнт единицы, фигурирующих в СДНФ. Против выделенных наборов надо выписать значение предиката 1, против остальных наборов – значение 0. Рассмотрим пример. Пусть А={a, b, c}, B={x1 , x2 }. Предикат задан совершенной дизъюнктивной нормальной формой t≡x a 1 x2 b∨x1 ax2 c∨x1 bx2 a . Этому предикату соответствует табл. 1. Таблица 1 х 1 а a a b b b c c с x 2 а b c a b c a b с t 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Для обратного перехода от таблицы значений конечного предиката к его СДНФ выделяем в таблице все те наборы аргументов, на которых этот предикат обращается в 1. Далее, для каждого такого набора выписываем соответствующую конституэнту единицы, принимая в ней показатели узнаваний букв в соответствии с этим набором. Наконец, все полученные таким способом конституэнты единицы соединяем знаками дизъюнкции. Рассмотрим пример. Предикат задан табл. 2. Таблица 2 x 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 x 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 t 1 0 0 0 1 0 0 1 0 15
Page 1 and 2: ИНФОРМАЦИЯ, ЯЗЫК, И
Page 3 and 4: ТеореТические осно
Page 5 and 6: алфавите (в только
Page 7 and 8: Как узнать, какое ч
Page 9 and 10: переменными нам пр
Page 11 and 12: Предикат, принимаю
Page 13: тить, что в предела
Page 17 and 18: f ″(а t+1 )≡1, поэтому
Page 19 and 20: предварительно иск
Page 21 and 22: определение поняти
Page 23 and 24: некоторых узнавани
Page 25 and 26: 2) К скобочным форма
Page 27 and 28: 5) По имплицентной т
Page 29 and 30: булевых уравнений [
Page 31 and 32: Свойства введенных
Page 33 and 34: но интерпретироват
Page 35 and 36: типа (4, 3, 5) числа, за
Page 37 and 38: оператор, который с
Page 39 and 40: рациональных облас
Page 41 and 42: тельным образом об
Page 43 and 44: A1 . Чем больше крест
Page 45 and 46: f(x 1 , x 2 , …, x n )≡ x a 1 1
Page 47 and 48: Рассмотрим и доказ
Page 49 and 50: Рис. 4. Неявная связ
Page 51 and 52: y1, y2, y3 ; R - ассоцииру
Page 53 and 54: Список литературы:
Page 55 and 56: БИОНИКА ИНТЕЛЛЕКТА
Page 57 and 58: DIsCreTe DYNamICal moDelING of sYsT
Page 59 and 60: DIsCreTe DYNamICal moDelING of sYsT
Page 61 and 62: рОЛЬ, ЗАДАЧИ И МЕТО
Page 63 and 64: рОЛЬ, ЗАДАЧИ И МЕТО
Page 65 and 66:
БИОНИКА ИНТЕЛЛЕКТА
Page 67 and 68:
j плана содержания (
Page 69 and 70:
жения), а не математ
Page 71 and 72:
симпатии и антипат
Page 73 and 74:
претенденты незнак
Page 75 and 76:
МОДЕЛЬ ВЫБОрА ОПТИ
Page 77 and 78:
МОДЕЛЬ ВЫБОрА ОПТИ
Page 79 and 80:
СОЗДАНИЕ рЕГИОНАЛЬ
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
инТеллекТуальная о
Page 87 and 88:
При применении ВМ д
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
рОЗрОБКА МЕТОДу ВИ
Page 93 and 94:
рОЗрОБКА МЕТОДу ВИ
Page 95 and 96:
ПОСТрОЕНИЕ ЧЕТЫрЁх
Page 97 and 98:
ПОСТрОЕНИЕ ЧЕТЫрЁх
Page 99 and 100:
Як відомо, оброблен
Page 101 and 102:
а б в г Рис. 3. Графік
Page 103 and 104:
КЛАСТЕрИЗАЦИЯ ДАНН
Page 105 and 106:
дартному методу k-mea
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
ОПТИМІЗАЦІЯ рІВНЯ
Page 111 and 112:
ОПТИМІЗАЦІЯ рІВНЯ
Page 113 and 114:
КА может находитьс
Page 115 and 116:
размере поля M стро
Page 117 and 118:
ячейки не менее (9 - m
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
убыванию, является
Page 123 and 124:
прохождение ЛП про
Page 125 and 126:
Локально-параллель
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
ручной модификации
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
МОДЕЛЬ ОТрИЦАТЕЛЬН
Page 135 and 136:
МОДЕЛЬ ОТрИЦАТЕЛЬН
Page 137 and 138:
ОТОБрАЖЕНИЕ эЛЕМЕН
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Она обеспечивает в
Page 147 and 148:
Рис. 3. Общая структ
Page 149 and 150:
вания источников д
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
КОНЦЕПЦІЇ уНІФІКАЦ
Page 155 and 156:
КОНЦЕПЦІЇ уНІФІКАЦ
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
нів утворює вектор
Page 161 and 162:
з використанням ве
Page 163 and 164:
Зарецкая Ирина Тим
Page 165 and 166:
ПРАВИЛА оформлення
show all

информация, язык, интеллект № 3 (77) 2011

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?