информация, язык, интеллект № 3 (77) 2011

f ″(а t+1 )≡1, поэтому равенства (б) также обращаются
в тождества типа 0≡0 или 1≡1. Заметим, что
предикатами f ′(x 1 ) и f ″(x 1 ) исчерпывается класс
возможных одноместных предикатов, заданных на
множестве A t+1 . Таким образом, при l=n=1 теорема
о разложении справедлива для любого k.
3. Пусть l=1 и k произвольным образом зафиксировано.
Предположим, что при n=t равенство (1)
является тождеством, и выведем отсюда, что и при
n=t+1 равенство (1) будет тождеством. По предположению,
согласно (1), имеет место тождество
f(x1 , x2 ,…, xt )≡ ∨ ( σ1 )
Поэтому при любом a i (1≤i≤k)
f(x1 , x2 ,…, xt , ai )≡ ∨ ( σ1 )
Следовательно,
f(x1 , x2 ,…, xt , xt+1 )≡ ∨ ( σ1 )
1 x1 σ f(σ1 , x2 ,…, xt ).
1 x1 σ f(σ1 , x2 ,…, xt , ai ).
1 x1 σ f(σ1 , x2 ,…, xt , xt+1 ).
Заметим, что предикатами, для которых справедливо
записанное выше тождество, исчерпывается
весь класс всевозможных t+1-местных предикатов.
Таким образом, при l=1 теорема о разложении
справедлива для любых k и n.
4. Пусть k и n произвольно фиксированы. Предположим,
что при l=t равенство (1) является тождеством,
и выведем отсюда, что и при l=t+1, если
l≤n, равенство (1) будет тождеством. По предположению,
согласно (1), имеем тождество:
≡ ∨
( σ1, σ2,.., σt
)
f(x 1 , x 2 ,…, x t , x t+1 ,…, x n )≡
σ σ σ
1 2
1 2 t
x x ... xt f(σ1 , σ2 ,…, σt , xt+1 ,…, xn ).
Пользуясь им, а также результатом, полученным
в пункте 3 настоящего доказательства, имеем:
≡ ∨
( σ1, σ2,.., σt
)
≡ ∨
( σ1, σ2,.., σt
)
f(x 1 , x 2 ,…, x t , x t+1 , x t+2 ,…, x n )≡
σ σ σ
1 2
1 2 t
x x ... xt f(σ1 , σ2 ,…, σt , xt+1 , xt+2 ,…, xn )≡
σ σ σ
1 2 t
x1 x2 ... xt ( ∨
+
t x
( σt 1)
t + +
1 1 σ
xt+2 ,…, xn ))≡ ∨ x
( σ1, σ2,.., σt+
1)
x t xt σt+1 , xt+2 ,…, xn ).
f(σ 1 , σ 2 ,…, σ t , σ t+1 ,
σ1 σ2 σ 1
1 2 ... + 1
+ f(σ1 , σ2 ,…,
Таким образом, теорема доказана для любых k,
l, n.
Из теоремы о дизъюнктивном разложении вытекают
следующие два следствия.
Следствие 1. Любой конечный предикат f(x 1 , x 2 ,…,
x n ) может быть представлен в виде:
f(x 1 , x 2 ,…, x n )≡ x a
1 1 f(a 1 , x 2 ,…, x n )∨ x a
1 2 f(a 2 ,
x 2 ,…,x n )∨…∨ x a k
1 f(a k , x 2 ,…, x n ). (2)
Следствие 2. Любой конечный предикат f(x 1 , x 2 ,…,
x n ) может быть представлен в виде:
НОрМАЛЬНЫЕ ФОрМЫ ФОрМуЛ АЛГЕБрЫ КОНЕЧНЫх ПрЕДИКАТОВ
f(x1 , x2 ,…, xn )≡ ∨ f ( σ1, σ2,.., σn
) = 1
σ σ σ
1 2
1 2 n
x x ... xn . (3)
Тождества (2) и (3) получаем, полагая в (1) соответственно
l=1 и l=n. Запись f(σ1 , σ2 ,…, σn )=1 в (3)
под знаком дизъюнкции означает, что логическое
суммирование ведется только по тем наборам индексов
σ1 , σ2 ,…, σn , которые обращают предикат f
в 1. Формула, стоящая в правой части тождества
(3), представляет собой СДНФ предиката f. Если
предикат f тождественно ложный, то, согласно
теореме о дизъюнктивном разложении, в правой
части тождества (3) нужно ставить 0.
Тождество (2) может быть использовано в качестве
эффективного средства упрощения формул
алгебры конечных предикатов. Рассмотрим пример
такого упрощения. Пусть A={a, b}, B={x1 , x2 ,
x3 ,}. Требуется упростить формулу:
f(x1 , x2 , x3 )≡
≡(x a
1 ∨x2 b )(x1 a∨x1 bx3 a )∨(x1 a∨x1 a )(x2 bx3 b∨x2 ax3 a ).
Производим разложение функции f по переменной
x1 :
f(x1 , x2 , x3 )≡x a
1 f(a, x2 , x3 )∨x b
1 f(b, x2 , x3 ),
f(a, x2 , x3 )≡(aa∨x b
2 )(aa∨abx3 a )∨(aa∨x2 a )(x2 bx3 b∨ ∨x a
2 x3
a )≡(1∨x2 b )(1∨0⋅x3 a )∨(1∨x2 a )(x2 bx3 b∨x2 ax3 a )≡1,
f(b, x2 , x3 )≡(ba∨x b
2 )(ba∨bbx3 a )∨(ba∨x2 a )(x2 bx3 b∨x2 ax3 a )≡
≡x b
2 x3
a∨x2 a (x2 bx3 b∨x2 ax3 a )≡x2 bx3 a∨x2 ax3 a≡ ≡(x a
2 ∨x2 b )x3 a≡x3 a .
Окончательно:
f≡x 1 a ∨x1 b x3 a ≡(x1 a ∨x1 b )(x1 a ∨x3 a )≡x1 a ∨x3 a .
Из второго следствия теоремы о разложении
вытекает полнота алгебры конечных предикатов:
любой конечный предикат можно записать в виде
формулы алгебры конечных предикатов. Тождество
(3) можно использовать для получения СДНФ
предиката, заданного какой-нибудь произвольно
выбранной формулой алгебры конечных предикатов.
Пример: A={a, b}, B={x 1 , x 2 , x 3 ,}, дан предикат:
f(x 1, x 2, x 3)≡
≡(x 1 a ∨x1 b )(x1 a ∨x1 b x3 a )∨(x1 a ∨x2 a )(x2 b x3 b ∨x2 a x3 a ).
Требуется отыскать СДНФ указанного предиката.
Имеем:
f(a, a, a)≡(aa∨ab )(aa∨abaa )∨(aa∨aa )(abab∨aaaa )≡1.
Аналогично находим: f(a, a, b)≡1, f(a, b, a)≡1,
f(a, b, b)≡1, f(b, a, a)≡1, f(b, a, b)≡1, f(b, b, a)≡1, f(b, b,
b)≡0. СДНФ предиката f имеет вид:
f(x1 , x2 , x3 )≡x a
1 x2
ax3 a∨x1 ax2 ax3 b∨ ∨x a
1 x2
bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 bx2 ax3 a∨x1 bx2 bx3 a .
2. Совершенная конъюнктивная нормальная форма
Введем в алгебре конечных предикатов операцию
отрицания. Введение отрицания позволит
показать, что алгебра конечных предикатов есть
17