информация, язык, интеллект № 3 (77) 2011

М.Ф. Бондаренко, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко
22
закон контрапозиции:
закон импортации:
закон экспортации:
A⊃B≡ B ⊃ A , (30)
(A⊃(B⊃C))⊃(AB⊃C)≡1, (31)
(AB⊃C)⊃(A⊃(B⊃C))≡1, (32)
закон приведения к абсурду:
A A ⊃B≡1. (33)
Используя операцию импликации, тождество
(19) можно записать без знаков отрицания:
f ( x , x , …, x , x , …,
x )≡
1 2 l l+ 1 n
∧
σ σ σ
( σ1, σ2,.., σl
) 1 2 l
1 2 l
≡ x x ... x ⊃
⊃ f( σ , σ , …, σ , x , …,
x )).
1 2 l l+ 1 n
(34)
В соответствии с этим первое и второе следствия
теоремы о конъюнктивном разложении запишутся
в виде:
f ( x , x , …,
x )≡
1 2
a
1 1 2
1 ≡( x ⊃ f a , x , …,
x )
a
1 2 2
n
( ) ∧
2 ∧( x ⊃ f( a , x , …, x )) ∧…
a
1 k 2 n
k ∧( x ⊃ f( a , x , …,
x )).
1 2 n ∧ f ( σ 1 2 n
1, σ2,.., σn
) = 0
n
n
(35)
σ1 σ2 σn
f ( x , x , …,
x )≡( ( x x ... x ⊃0).
(36)
Последнее тождество называется импликативным
разложением предиката. Оно показывает, что
любой конечный предикат может быть представлен
в виде суперпозиции операций конъюнкции и
импликации, действующих на всевозможные узнавания
букв, и на тождественно ложный предикат 0.
Вместе с тем, как указывалось выше, при k≥2 предикат
0 можно выразить в виде конъюнкции неко-
a1 a2
торых узнаваний букв, например, x1 x1
= 0 . Таким
образом, мы приходим к еще одной полной алгебре
конечных предикатов. Ее базис составляют операции
конъюнкции и импликации и всевозможные
узнавания букв. Чтобы иметь возможность различать
обе введенные алгебры, первую назовем дизъюнктивной
алгеброй конечных предикатов, а вторую
– импликативной. Импликативная алгебра может
быть получена из дизъюнктивной заменой в ее базисе
операции дизъюнкции операцией импликации,
и наоборот. Кроме двух найденных, существует
множество других алгебр конечных предикатов.
В частности, любой набор операций, удовлетворяющий
условиям теоремы Поста [4], вместе со всевозможными
узнаваниями букв можно принять в
качестве базиса полной алгебры конечных предикатов.
В роли полной системы элементарных операций
также подходит любая система операций,
через которые выражаются операции конъюнкции
и дизъюнкции или операции конъюнкции и
импликации. По-видимому, существуют и другие
базисы, задающие полные алгебры конечных предикатов.
Еще предстоит сформулировать критерий
полноты для алгебр конечных предикатов.
В данной статье в качестве языка для записи конечных
предикатов принята дизъюнктивная алгебра
и различные ее консервативные расширения.
Удобство дизъюнктивной алгебры конечных предикатов
состоит в том, что на ее языке кратко и
изящно записываются законы истинности и ложности.
Эти законы в любой алгебре конечных предикатов
будут играть особую роль. По существу,
они представляют собой требования, выполнение
которых необходимо и достаточно для корректного
введения переменных на конечных множествах.
Закон истинности задает область изменения переменной,
а закон ложности обеспечивает попарное
различие всех элементов множества, на котором
заданна переменная. В любой другой алгебре законы
истинности и ложности будут записываться в
виде гораздо более громоздких выражений. В дальнейшем
дизъюнктивную алгебру и ее консервативные
расширения будем называть просто алгеброй
конечных предикатов.
3. Дизъюнктивная минимизация формул алгебры
предикатов
Существует целое множество дизъюнктивных
и конъюнктивных нормальных форм, соответствующих
одному и тому же конечному предикату.
Представляет интерес следующая задача: выбрать
из этого множества такую форму, в которую входит
наименьшее число узнаваний букв. Назовем эту
задачу канонической задачей минимизации формул
алгебры конечных предикатов. Умение минимизировать
формулы, как будет показано ниже, полезно
при решении уравнений теории интеллекта, а также
при построении схем, реализующих функции
интеллекта. Дизъюнктивные и конъюнктивные
нормальные формы, получаемые в результате канонической
минимизации, назовем минимальными
ДНФ и КНФ. Проблема канонической минимизации
в алгебре конечных предикатов имеет много
общего с одноименной проблемой в алгебре логики.
Все излагаемые в этой статье методы можно
рассматривать как обобщение известных в алгебре
логики методов канонической минимизации [5]:
а) отыскание минимальной дизъюнктивной нормальной
формы. Здесь мы наметим последовательность
действий, которые должны быть выполнены
при нахождении минимальной ДНФ. Предикат g
назовем импликантой предиката f, если на любом
наборе значений аргументов, для которого g=1,
имеем также f=1. Будем говорить, что импликанта
g накрывает своими единицами единицы предиката
f. Элементарную конъюнкцию g назовем
собственной частью элементарной конъюнкции f,
если g может быть получена из f выбрасыванием