информация, язык, интеллект № 3 (77) 2011

единицы в СДНФ; i, j – индексы, изменяющиеся
в пределах соответственно от 1 до m и от 1 до n, по
которым ведутся логическое суммирование и логическое
перемножение.
Присвоим каждой СДНФ свой номер. Для
этого каждой СДНФ поставим в соответствие некоторый
двоичный код длины k n . Длина кода совпадает
с числом всех различных конституэнт
единицы. Если в рассматриваемой СДНФ конституэнта
единицы с номером i отсутствует, то в i-том
разряде ее двоичного кода записываем 0, если присутствует,
то записываем 1. Нумерацию разрядов
двоичного кода в данном случае начинаем с нуля
и ведем слева направо. Число, соответствующее
полученному таким способом двоичному коду,
будем считать номером СДНФ. В качестве СДНФ
с номером 0 принимаем формулу 0. Например,
номер СДНФ x 1 a x2 b ∨x1 b x2 c в алгебре с алфавитами
А={a, b, c}, B={x 1 , x 2 } будет число 136 10 , соответствующее
двоичному коду 010001000. Всего имеется
2 kn различных СДНФ, то есть ровно столько,
сколько существует всех различных конечных предикатов.
Вместе с тем, каждой формуле соответствует
единственный конечный предикат, каждому
же конечному предикату соответствует некоторая
своя СДНФ. Следовательно, между конечными
предикатами и совершенными дизъюнктивными
нормальными формами существует взаимно однозначное
соответствие.
Важно выяснить вопрос: можно ли с помощью
приведенных выше тождеств преобразовать произвольную
формулу алгебры конечных предикатов к
СДНФ. Если да, то отсюда будет следовать, что система
этих тождеств полна. Действительно, сравнивая
между собой СДНФ двух формул, всегда можно,
в силу единственности представления любого
конечного предиката в виде СДНФ, решить вопрос
о тождестве этих формул. Если СДНФ совпадают,
то исходные формулы тождественны, если не совпадают,
то они соответствуют различным предикатам.
Такое преобразование существует. Следовательно,
система тождеств (4) – (19) [1] алгебры
конечных предикатов полна.
Ниже приводится описание алгоритма преобразования
произвольной формулы к СДНФ. Алгоритм
сопровождается примером: А={a, b}, B={x 1 ,
x 2 , x 3 }, требуется преобразовать к СДНФ формулу
f≡(x 1 a ∨x2 b )(x1 a ∨x1 b x3 a )∨(x1 a ∨x2 a )(x2 b x3 b ∨x2 a x3 a ).
1) Пользуясь тождествами (5), (7) и (8) [1], раскрываем
в формуле все скобки:
f≡x a
1 (x1 a∨x1 bx3 a )∨x2 b (x1 a∨x1 bx3 a )∨
∨x a
1 (x2 bx3 b∨x2 ax3 a )∨x2 a (x2 bx3 b∨x2 ax3 a )≡
≡(x a
1 ∨x1 bx3 a )x1 a∨(x1 a∨x1 bx3 a )x2 b∨(x2 bx3 b∨x2 ax3 a )x1 a∨ ∨(x b
2 x3
b∨x2 ax3 a )x2 a≡x1 ax1 a∨x1 bx3 ax1 a∨x1 ax2 b∨x1 bx3 ax2 b∨ ∨x b
2 x3
bx1 a∨x2 ax3 ax1 a∨x2 bx3 bx2 a∨x2 ax3 ax2 a .
НОрМАЛЬНЫЕ ФОрМЫ ФОрМуЛ АЛГЕБрЫ КОНЕЧНЫх ПрЕДИКАТОВ
В результате получаем некоторую дизъюнкцию
конъюнкций узнаваний предмета.
2) Пользуясь тождествами (4)-(7), (10), (11),
(15), (17) и (19) [1], производим упрощения в формуле:
f≡x a
1 ∨0⋅x3 a∨x1 ax2 b∨x1 bx2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 ax2 ax3 a∨ ∨0⋅x b
3 ∨x2 ax3 a≡x1 a∨0∨x1 ax2 b∨x1 bx2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨ ∨x a
1 x2
ax3 a∨0∨x2 ax3 a≡x1 a∨x1 ax2 b∨ ∨x b
1 x2
bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 ax2 ax3 a∨x2 ax3 a .
В результате получаем некоторую дизъюнктивную
нормальную формулу предиката.
3) Пользуясь тождествами (16) и (18) [1], во все
конъюнкции вводим недостающие переменные:
f≡x a
1 (x2 a∨x2 b )(x3 a∨x3 b )∨x1 ax2 b (x3 a∨x3 b )∨x1 bx2 bx3 a∨ ∨x a
1 x2
bx3 b∨x1 ax2 ax3 a∨(x1 a∨x1 b )x2 ax3 a .
4) Пользуясь тождествами (4)-(8) и (10) [1], снова
раскрываем скобки и производим упрощения:
f≡x a
1 x2
ax3 a∨x1 ax2 ax3 b∨x1 ax2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 ax2 bx3 a∨ ∨x a
1 x2
bx3 b∨x1 bx2 bx3 a∨x1 bx2 bx3 a∨x1 ax2 bx3 b∨x1 ax2 ax3 a∨ ∨x a
1 x2
ax3 a∨x1 bx2 ax3 a≡x1 ax2 ax3 a∨x1 ax2 ax3 b∨x1 ax2 bx3 a∨ ∨x a
1 x2
bx3 b∨x1 bx2 ax3 a∨x1 bx2 bx3 a .
В результате получаем искомую СДНФ.
От совершенной дизъюнктивной нормальной
формы нетрудно перейти к таблице обозначаемого
ею конечного предиката. Для этого нужно выделить
в таблице все наборы значений аргументов, совпадающие
с наборами показателей узнаваний букв
конституэнт единицы, фигурирующих в СДНФ.
Против выделенных наборов надо выписать значение
предиката 1, против остальных наборов –
значение 0. Рассмотрим пример. Пусть А={a, b, c},
B={x1 , x2 }. Предикат задан совершенной дизъюнктивной
нормальной формой t≡x a
1 x2
b∨x1 ax2 c∨x1 bx2 a .
Этому предикату соответствует табл. 1.
Таблица 1
х 1 а a a b b b c c с
x 2 а b c a b c a b с
t 0 1 1 1 0 0 0 0 0
Для обратного перехода от таблицы значений
конечного предиката к его СДНФ выделяем в таблице
все те наборы аргументов, на которых этот
предикат обращается в 1. Далее, для каждого такого
набора выписываем соответствующую конституэнту
единицы, принимая в ней показатели
узнаваний букв в соответствии с этим набором.
Наконец, все полученные таким способом конституэнты
единицы соединяем знаками дизъюнкции.
Рассмотрим пример. Предикат задан табл. 2.
Таблица 2
x 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2
x 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
t 1 0 0 0 1 0 0 1 0
15