информация, язык, интеллект № 3 (77) 2011

М.Ф. Бондаренко, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко
булева алгебра. Кроме того, наличие операции
отрицания даст возможность в ряде случаев записывать
конечные предикаты в форме более компактных
выражений, а также выполнять тождественные
преобразования формул более коротким
путем. Наконец, операция отрицания позволит
естественным образом ввести понятие совершенной
конъюнктивной нормальной формы и сформулировать
теорему о конъюнктивном разложении
предиката.
Операция отрицания предиката − это одноместная
функция, заданная на множестве всех k-ичных
n-местных предикатов со значениями в том же
множестве. Если A − аргумент и B – значение операции
отрицания, то условимся писать (¬A)=B
или, в сокращенной форме A =В. Отрицанием предиката
f(x 1 , x 2 ,…, x n ) назовем предикат
18
g(x 1 , x 2 ,…, x n )≡ f (x 1 , x 2 ,…, x n ),
принимающий значение 0 для всех тех наборов
значений аргументов (x1 , x2 ,…, xn ), при которых f(x1 ,
x2 ,…, xn )=1, и принимающий значение 1 для всех
тех наборов значений аргументов, при которых f(x1 ,
x2 ,…, xn )=0.
При k≥2 можно определить операцию отрицания
аксиоматически, задав ее следующими тождествами:
A∨B ≡ AB , (4)
AB ≡ A∨ B , (5)
a i
x ≡ a1∨ a2 +
∨ ∨ ai-1 1 ∨ ai ∨ ∨ a k
x x ... x x ... x . (6)
Здесь A и B − произвольные формулы, х − произвольная
буквенная переменная, ai − произвольная
буква алгебры конечных предикатов, индекс i принимает
значения в пределах от 1 до k. Тождества
(4) и (5) совпадают по форме с известными в алгебре
логики законами де Моргана, которые, однако,
применяются теперь не к булевым переменным, а
к переменным предикатам. Тождество (6) назовем
законом отрицания. Заметим, что при k=1 закон отрицания
теряет смысл.
Справедливость законов де Моргана доказывается
проверкой тождеств для всех возможных вариантов
значений предикатов A и B. Например, убеждаемся
при A=0 и B=1, что 0∨1≡0⋅1 и 01 ⋅ ≡0∨ 1.
Легко устанавливается также справедливость закона
отрицания. Действительно, если x=ai , то предикаты,
стоящие слева и справа от знака тождества в
(6), обращаются в 0, если же x≠ai , то оба предиката
обращаются в 1.
Пользуясь приведенными ранее тождествами
алгебры конечных предикатов, а также тождествами
(4) – (6), можно доказать, что:
0 ≡1 , (7)
1 ≡0. (8)
Действительно,
a a ≡ a ∨ a 2 ≡ a
x ∨ a 3
x ∨…∨ a k
x ∨ a1
x ∨ a 3
x ∨
k ∨…∨ a
x ≡1,
0 ≡ 1 2 1 2
x x x x
a a a a a a
1 2 k 1 2 k
1 ≡- x ∨x ∨... ∨x ≡ x x ... x ≡
2 ≡( a
x ∨ a 3
x ∨…∨ a k 1
x )( a
x ∨ a 3
x ∨…∨ a k
x )…
1 ...( a
x ∨ a 2
k-
x ∨ ∨…∨ a 1
x )≡0.
Любая формула с отрицаниями может быть
преобразована с помощью зависимостей (4) – (8)
в тождественную ей формулу без отрицаний. Действительно,
применяя многократно законы де
Моргана, мы всегда сможем все знаки отрицания,
стоящие над формулой или ее частями, опустить
непосредственно на узнавания букв или на 0 и 1.
Затем, пользуясь тождествами (6) – (8), исключаем
отрицания из формулы. Рассмотрим пример исключения
знаков отрицания из формулы. Пусть
A={a, b, c}. Тогда:
a b c a b c
1 1 2 1 1 2
a b c
1 1 2
x ∨x x ≡ x x x ≡ x ( x ∨ x ) ≡
≡(x 1 b ∨x1 c )(x1 a ∨x1 c ∨x2 a ∨x2 b ).
С помощью тождеств (4) – (6) совместно с перечисленными
выше основными тождествами алгебры
конечных предикатов можно решить вопрос о
тождественности двух любых формул со знаками
отрицания. Сначала исключаем из формул знаки
отрицания, а затем приводим формулы к СДНФ.
Отсюда следует, что система тождеств (4) – (6)
полна, она совместно с тождествами (4) – (19) [1]
аксиоматически определяет все свойства операции
отрицания.
В ряде случаев процесс исключения знаков отрицания
из формул существенно упрощается, если
использовать следующие тождества:
a a a
i j i
x x ≡ x , (9)
a a a
i j i
x ( x ∨A) ≡ x . (10)
Тождества справедливы при условии, что i≠j,
индексы i и j принимают значения в пределах от 1
до k. Буквой A обозначена произвольная формула
алгебры конечных предикатов. Тождество (9) назовем
законом поглощения отрицания, тождество
(10) − обобщенным законом поглощения отрицания.
Докажем справедливость тождества (10):
x a i ( x a j ∨A)≡ x a i ( x a 1 ∨ x a 2 ∨…∨ x a i ∨…
∨ x a j−1 ∨ x a j+1 ∨…∨ x a k ∨A)≡ x a i ∨ x a i A≡ x a i .
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение
только что приведенных тождеств. Пусть
A={a, b, c}, требуется упростить формулу
a b c a
1 1 1 2
f≡ ( x x ∨x ∨x ) x b
1 x2
c ,