информация, язык, интеллект № 3 (77) 2011

М.Ф. Бондаренко, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко
b11
f1( x 1,x 2,...,x m ,b11 ) = y , ⎫
1
⎪
b12
f1( x 1,x 2,...,x m ,b12 ) = y 1 , ⎪
⎪
.... .................................. ⎪
b ⎪ 1ln
f1( x 1,x 2,...,x m ,b1l)= y
1 1 , ⎪
b ⎪
21
f2( x 1,x 2,...,x m ,b21 ) = y 2 , ⎪
b ⎪
22
f2( x 1,x 2,...,x m ,b22 ) = y2,
⎪
.......................................
⎪
⎪
b2l ⎪ n
f2( x 1,x 2,...,xm
,b2l ) = y 2 , ⎬ (37)
2
⎪
....................................... ⎪
.... ................................... ⎪
⎪
....................................... ⎪
bn1 ⎪
fn( x 1,x 2,...,x m,bn1) = y ,
n ⎪
b ⎪ n2
fn( x 1,x 2,...,
x m,bn2) = y ,
n ⎪
⎪
......................................
⎪
bnln ⎪
fn( x1,x
2 ,...,x m ,bnl ) = y n .
n ⎪
⎭
Рассмотрим пример. В роли оператора F возьмем
оператор y1y2y3 =F(x1x2 ), который ставит в соответствие
троичным цифрам x1 , x2 их сумму в виде
трехразрядного двоичного кода y1y2y3 . В предыдущем
разделе было получено неявное описание
этого оператора в виде системы (е). Требуется записать
заданный алфавитный оператор F в явном
виде. Значения переменных y1y2y3 – двоичные,
поэтому принимаем T1 =T2 =T3 ={0, 1}. Отправляясь
от уравнений (е) и поочередно подставляя в них
вместо переменных y1 , y2 , y3 значения 0 и 1, после
упрощения получаем следующую систему, задающую
оператор y1y2y3 =F(x1x2 ) в явном виде:
40
0
1
1
1
0
2
1
2
( x ∨x )( x ∨x ∨x ) ∨x ( x ∨ x ) = y ;
2 2
1 2
1
1
0
1
x x = y ; x ( x
0 2
1 2
1
1
1
2
0
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
0
2
1 2
1 2
0
2
1
2
1
2
0
2
∨x ) ∨ x x = y ;
1
2
x x ∨x ( x ∨x ) ∨x ( x ∨ x ) = y ;
0
1
1
0
2
2
1
2
2
0
2
2
2
0
1
1 1
1 2
2
1
1
2
0
3
( x1
∨x )( x ∨x ) ∨ x x = y ;
1
3
x ( x ∨x ) ∨( x ∨ x ) x = y .
0
1
(з)
Уравнения (37) можно вывести непосредственно
по таблице алфавитного оператора, минуя его неявную
форму задания (35). С этой целью в левой части
уравнений записываем усеченные СДНФ, составленные
из всех конституэнт единицы, наборы показателей
которых совпадают с входными словами,
такими, что им соответствует одна и та же буква на
заданном месте в выходных словах. В правой части
уравнений пишем переменную, соответствующую
заданному месту в выходных словах, с показателем,
совпадающим с буквой, стоящей на заданном месте.
Например, по табл. 1 для алфавитного оператора
y 1 y 2 y 3 =F(x 1 x 2 ), рассмотренного выше, записываем
следующие уравнения типа (37):
0 0
1 2
0 1
1 2
0 2
1 2
1 0
1 2
1 1
1 2
x x ∨x x ∨x x ∨x x ∨x x ∨x x ∨
0 2
1 2
0 0
1 2
2 0
1 2
2 1
1 2
x x ∨ x x = y
0 2 2 1
; x x = y ;
0 0
1 2
1 1
1 2
0 1
1 2
1
1
1
1
1 2
1 2
x x ∨x x ∨ x x = y
0 2
1 2
2
1 1
1 2
2 0
1 2
2 0
1 2
2
0
2
;
1
2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
x x ∨x x ∨x x2
∨x x ∨ x x = y
x x ∨x x ∨x x ∨x x ∨ x x = y
0 1
1 2
1 0
1 2
1 2
1 2
2 1
1 2
x x ∨x x ∨x x ∨ x x = y
1
3
.
1
2
;
0
3
;
(и)
Из них путем тождественных преобразований
могут быть получены уравнения (з).
Рассмотрим пример вычисления выходного
слова y 1 y 2 …y n алфавитного оператора F по заданному
входному слову x 1 x 2 …x m . Определим двоичную
сумму y 1 y 2 y 3 троичных слагаемых x 1 =1, x 2 =2 с
помощью явного задания алфавитного оператора
y 1 y 2 y 3 =F(x 1 x 2 ). Подставляя в левые части равенств
(з) или (и) заданные значения x 1 , x 2 , x 3 , имеем
y 1 0 =1, y1 1 =0, y2 0 =0, y2 1 =1, y3 0 =0, y3 1 =1. Таким образом,
y 1 y 2 y 3 =011.
4. Декомпозиция уравнений
Одна из важных задач теории интеллекта состоит
в том, чтобы научиться производить декомпозицию
уравнений алгебры конечных предикатов,
то есть замену одного сложного уравнения эквивалентной
ему системой более простых уравнений.
Такую декомпозицию ежеминутно производит человек,
выражая свою мысль (сложное уравнение)
в форме последовательности отдельных предложений
(системы более простых уравнений). Декомпозиция
уравнений важна как один из этапов
процесса решения уравнений алгебры конечных
предикатов, поскольку в ряде случаев систему простых
уравнений решать значительно легче, чем эквивалентное
ей одно сложное уравнение. Декомпозиция
уравнений также может служить мощным
средством упрощения и сокращения записи уравнений
алгебры конечных предикатов.
Тот факт, что человек никогда не испытывает
затруднений при выражении мыслей в виде последовательности
сравнительно коротких высказываний,
свидетельствует о том, что мысли обладают
одной важной особенностью: вне зависимости от
уровня своей сложности они допускают выражение
в виде конъюнкции (состоящей, быть может,
из очень большого числа конъюнктивных членов)
достаточно простых высказываний. Указанное
свойство человеческого интеллекта назовем конъюнктивностью
интеллекта. Очевидно, что свойство
конъюнктивности чрезвычайно ограничивает
класс уравнений алгебры конечных предикатов,
которые могут эффективно решаться человеческим
интеллектом. В свете данного вывода выглядит поразительной
способность человеческого интеллекта
эффективно познавать окружающий мир. Мы
полагаем, что эту способность можно удовлетвори-