Estimation in Financial Models - RiskLab

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Contents Introduction 3 1 Stochastic Volatility Models 5 1.1 Continuous time : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1.2 Discrete time : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2 Approximations 8 2.1 Diusion models by discrete time models : : : : : : : : : : : : 8 2.2 Discrete time models by diusion models : : : : : : : : : : : : 14 3 Parameter Estimation 16 3.1 Diusion models : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.1.1 Continuous observations : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.1.2 Discrete observations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 3.2 Discrete models : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 3.2.1 AR models : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 3.2.2 ARCH and GARCH models : : : : : : : : : : : : : : : 45 3.2.3 The Bayesian estimation method : : : : : : : : : : : : 50 4 Nonparametric Estimation 56 4.1 Diusion models : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 4.2 Discrete models : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 1
5 Some Diusion Models with Explicit Solutions 60 5.1 Linear stochastic dierential equations : : : : : : : : : : : : : 60 5.2 Nonlinear stochastic dierential equations : : : : : : : : : : : 63 A The Kalman-Bucy Filter 70 A.1 The continuous case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 A.1.1 The general ltering problem : : : : : : : : : : : : : : 70 A.1.2 The linear ltering problem : : : : : : : : : : : : : : : 71 A.2 The discrete case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 B Numerical Methods 73 B.1 The Euler Scheme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73 B.2 The Milstein Scheme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75 C The It^o Formula 76 C.1 The one-dimensional case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 C.2 The multi-dimensional case : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 D The Radon-Nikodym Theorem 78 Bibliography 79 2
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p( 1 j 2 ) and we have the a priori
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for model (4.2) and the estimator ^
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Chapter 5 Some Diusion Models with
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and thus X t = t;t0 X t0 + Z t t 0
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If we do not specialize at this poi
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where we assume the choice of b 1 b
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Appendix A The Kalman-Bucy Filter A
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A.2 The discrete case For reasons o
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we can write the Euler scheme (B.1)
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Appendix C The It^o Formula C.1 The
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Appendix D The Radon-Nikodym Theore
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[10] Billingsley,P., 1968, \Converg
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[38] Ibragimov, I.A. and R.Z. Has'm
Page 85:
[63] Pedersen, A.R., 1994, \Statist
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