THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

Université de PoitiersTHÈSEpour obtenir le grade deDocteur de l’Université de PoitiersSpécialité : Mathématiquespréparée au Laboratoire de Mathématiques et Applications de Poitiersdans le cadre de l’École Doctoraleprésentée et soutenue publiquementparKoléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIERle 25 juin 2009Titre:Étude d’équations d’évolution en géométrie globale avec desméthodes probabilistesDirecteurs de thèse: Marc ARNAUDON et Anton THALMAIERJuryShizan FANG Professeur, Université de Bourgogne RapporteurJacques FRANCHI Professeur, Université de Strasbourg RapporteurRobert O. BAUER A. Professor, University of Illinois ExaminateurPol VANHAECKE Professeur, Université de Poitiers ExaminateurMarc ARNAUDON Professeur, Université de Poitiers Directeur de thèseAnton THALMAIER Professeur, Université du Luxembourg Directeur de thèse1

RésuméDans la première partie de cette thèse, à une famille de métriques sur unevariété nous associons un mouvement brownien. Nous construisons un transportparallèle stochastique au-dessus de ce processus. Avec une forme intrinsèque du flotstochastique, nous définissons une notion de transport parallèle déformé au-dessusde ce processus. Nous caractérisons le flot de Ricci comme étant le seul flot surles métriques garantissant l’égalité du tranport parallèle et du transport parallèledéformé.Dans ce cas, le transport parallèle déformé est une isométrie. Nous en déduisonsdes propriétés sur le flot de Ricci. Dans une seconde partie, nous nous intéressons auflot à courbure moyenne d’une hypersurface. Nous construisons ainsi un processussans naissance et nous montrons son unicité en loi quand la variété de départ eststrictement convexe. Quand l’hypersurface de départ n’est pas strictement convexenous avons néanmoins une famille de martingales dont les points de départ sontsur une "variété" singulière.Dans la dernière partie, nous construisons une diffusion dans l’espace des courbessur une variété. Nous en déduisons des conditions suffisantes pour obtenir des propriétésde contraction - pour plusieurs distances de Wasserstein - entre deux mesuresde probabilité représentant la densité de deux diffusions d’opérateur elliptiqueinhomogène quelconque. Ainsi, cette nouvelle construction produit une alternativeentièrement probabiliste aux calculs d’Otto utilisés par Lott pour arriver à desrésultats similaires.i3

AbstractIn the first part of this thesis, for a family of metrics on a manifold we associate aBrownian motion. We build a parallel stochastic transport above this process. Witha kind of intrinsic stochastic flow, we define a notion of damped parallel transportabove this process. We characterize the Ricci flow as the only flow of metrics thatguarantees the equality between the parallel transport and the damped paralleltransport. We deduce some properties of the Ricci flow.On the second hand, we study the mean curvature flow of a hypersurface. Webuild a process without birth and we prove the uniqueness in law of such a processwhen the initial hypersurface is strictly convex. When it is not strictly convex weobtain a family of martingales that start in a singular “manifold”.In the last part, we build a diffusion in the space of regular curves on somemanifold. We deduce sufficient conditions to obtain some contraction properties -for a large class of Wasserstein distances - between two measures of probability thatrepresent the density of two diffusions associated with an inhomogeneous ellipticoperator. So this new construction yields a totally probabilistic alternative to theOtto calculus used by Lott to obtain similar results.ii4

Table des matièresRésumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iAbstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiTable des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii1 Introduction 72 Introduction à l’analyse stochastique sur les variétés 211 La géométrie d’ordre deux, cadre de la géométrie stochastique . . . 211.1 Vecteur tangent du second ordre (diffuseur), forme cotangented’ordre deux (codiffuseur) . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2 Semimartingale à valeurs dans une variété et intégrale deformes d’ordre deux (codiffuseur) le long de semimartingales 231.3 Connexion, intégrale de Itô et martingale à valeurs dans unevariété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Équations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1 Équation différentielle stochastique extrinsèque . . . . . . . 272.2 Équation différentielle stochastique intrinsèque . . . . . . . . 283 Quelques applications du calcul stochastique devenues classiques . . 323 Brownian motion with respect to time-changing Riemannian metrics,applications to Ricci flow 351 g(t)-Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Local expression, evolution equation for the density, conjugate heatequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Damped parallel transport, and Bismut formula for Ricci flow, applicationsto Ricci flow for surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 The point of view of the stochastic flow . . . . . . . . . . . . . . . . 555 Second derivative of the stochastic flow . . . . . . . . . . . . . . . . 594 Some stochastic process without birth, linked to the mean curvatureflow 651 Tools and first properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 Tightness, and first example on the sphere . . . . . . . . . . . . . . 70iii5

ivTABLE DES MATIÈRES3 Kendall-Cranston Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765 Horizontal diffusion in path space 951 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962 Horizontal diffusion on C 1 path space . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 Horizontal diffusion along non-homogeneous diffusion . . . . . . . . 1064 Application to optimal transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095 Derivative process along constant rank diffusion . . . . . . . . . . . 1126 Compléments de calculs 1137 Appendix 121Bibliography 1296

Chapitre 1IntroductionLa première partie de cette introduction sera informelle, elle présentera le cadrede notre étude. Partant d’exemples naturels et de certains résultats connus sur lesliens entre géométrie et probabilité, nous glisserons peu à peu vers le sujet centralde notre étude. Dans la deuxième partie, nous présenterons la problématique surlaquelle nous nous sommes attardés. Puis, nous présenterons de façon condensée lesrésultats que nous avons obtenus. Ces résumés respecteront l’ordre des chapitres.Il y a de nombreuses équations d’évolutions qui font intervenir la géométrie.Dans un premier cas, on pourrait parler de l’équation de la chaleur, qui est uneéquation de diffusion modélisant l’évolution de la chaleur sur un objet, disons unevariété sans bord que l’on notera M. On le chauffe à une température modéliséepar une fonction f 0 à un instant que l’on prendra pour origine. Cette fonctionrenvoie en tout point la température qu’il y fait. On supposera qu’il n’y a pasd’échange avec l’extérieur. L’équation régissant l’évolution au cours du temps dela température, la bien nommée “équation de la chaleur”, est donnée par :∂∂t f(t, x) = 1 ∆f(t, x).2On peut, par expérience ou même par intuition, penser que son évolution est trèsliée à la géométrie de l’objet sur lequel elle évolue. S’il est compact, la températureaura tendance à s’uniformiser au cours du temps et si l’on attend assez longtemps,la température sera quasiment uniformément distribuée. Comme il n’y apas d’échange avec l’extérieur, cette température asymptotique vaudra la moyennespatiale de la température à l’intant initial.Mais la géométrie de la variété, que l’on supposera désormais compacte, a aussison importance, par exemple sur le temps que l’on devrait attendre pour voir latempérature s’uniformiser. Par exemple, prenons deux os, disons deux fémurs ; lepremier sera supposé “normal”, le deuxième sera presque comme le premier à la seule77

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTIONdifférence qu’il sera plus étroit au centre. Si l’on chauffe les deux os uniquement surleur rotule droite, le temps d’attente vers l’uniformisation de la température seraintuitivement plus court sur le premier os que sur le deuxième. Cette observationmontre l’infuence de la géométrie de l’objet considéré, au moins sur l’évolution dela température sur cet objet. On peut aussi considérer que l’équation de la chaleura une vertu uniformisante.Cette équation bien connue et très étudiée en analyse a une interprétationprobabiliste donnée par le mouvement brownien sur la variété M. Ce mouvementaléatoire trouve son origine dans l’observation de trajectoires de grains de pollendans un récipient en contenant un très grand nombre, et ces trajectoires sontaléatoires (...). Il permet dans le cadre de l’étude de l’équation de la chaleur dedonner une sorte de “ligne caractéristique en moyenne” comme le montre la formulede représentation suivante :f(t, x) = E[f 0 (X t (x))],où X t (x) est un mouvement brownien. C’est un point de connexion entre les probabilitéset l’analyse. Le comportement du brownien, ses probabilités de transitionsentre deux états ont une interprétation en terme de l’équation de la chaleur etcomme nous l’avons vu plus haut sont controlés par la géométrie de l’objet surlequel le brownien évolue. Ces liens étroits entre probabilité, analyse et géométriesont “bien connus” et occupent toujours une part très importante des recherchesactuelles.Il y a même plus ; les liens entre une topologie sur une variété (disons seulementdifférentiable) et les géométries (disons riemaniennes) dont on peut la munir sontde plus en plus connus. Donnons comme exemple le cas des variétés différentiellesde dimension deux : le théorème de Gauss-Bonnet reliant l’intégrale de la courburescalaire au genre (au nombre de trous de la variété) donne une obstruction auxgéométries envisageables sur une variété différentielle. Ainsi, un tore ne peut êtremuni d’une métrique à courbure scalaire strictement positive. En dimension quelconque,la cohomologie de de Rham donne des restrictions de nature analytique :par exemple la dimension de l’espace des formes harmoniques est figée par desinvariants topologiques.Ces liens entre topologie et géométrie se retrouvent aussi entre topologie etprobabilité, voir par exemple les résultats reliants les moments de stabilités et legroupe fondamental de Elworthy et Rosenberg. L’exemple donné plus haut, sur lavitesse de propagation de la chaleur sur les deux os, est relié au trou spectral dulaplacien. La minoration de ce trou spectral se trouve être plus facile à obtenir (danscertains cas) avec des méthodes probabilistes, utilisant des couplages, qu’avec desméthodes analytiques (voir Zhong et Yang pour une minoration du trou spectralgrâce à une fonction du diamètre). Ces quelques résultats, donnés de manière nonexhaustive, valident si besoin était l’étude du calcul stochastique sur les variétés.8

9L’équation d’évolution, donnée ici en exemple (l’équation de la chaleur), a denombreuses généralisations :– On peut lui rajouter un champ de vecteurs Z, ce qui revient à changer l’opérateurde Laplace Betrami ∆ en ∆ + Z.– On peut l’appliquer aux formes différentielles en changeant l’opérateur deLaplace en l’opérateur de Hodge-De Rham-Kodaira pour en déduire des résultatstopologiques (du type Ric ≥ r > 0 entraîne M simplement connexe).– On peut la généraliser à l’équation de la chaleur entre deux variétés introduitepar Eells et Sampson (1964 [ES64]). Cette équation est la premièrenon linéaire que nous rencontrerons. Comme dans le cas de l’équation dela chaleur, elle permet de trouver, lorsqu’elle ne développe pas de singularités,une application harmonique entre deux variétés (c’est une généralisationdes géodésiques, au sens d’un minimum d’une certaine fontionnelle d’énergie,sauf que l’espace de départ n’est pas forcément un intervalle de R). Lesauteurs découvrent aussi des conditions suffisantes de nature géométrique àl’existence de telles applications.D’autres équations non linéaires proviennent de façon naturelle en considérantdes équations d’évolutions géométriques telles l’équation de flot par courburemoyenne, l’équation de flot par courbure de Gauss ou, de manière plus générale,des équations de flots provenant de polynômes symétriques évalués en les valeurspropres de la seconde forme fondamentale. Par exemple, ces flots sont définis par ladéformation d’une hypersurface dans la direction de son vecteur normal, avec pourcoéfficients les différentes quantités envisagées précédemment (courbure moyennei.e. P (X 1 , ..., X n ) = 1 n∑Xi , courbure de Gauss i.e. P (X 1 , ..., X n ) = ∏ X i ...).Mais, comme nous pouvons le remarquer, les flots précédents nécessitent un environnementextérieur (un plongement, une notion de vecteur normal afin de définirla seconde forme fondamentale). Ce sont des déformations non intrinsèques maisréalisant, comme dans le cas du flot de courbure moyenne, une descente d’énergie :ici c’est la superficie que l’on souhaite minimiser.Une autre équation non linéaire devenue célèbre ces dernières années est le flotde Ricci (0.1) ; ce flot déforme la métrique dans la direction de son tenseur deRicci. C’est un flot intrinsèque, dans le sens où sa définition ne nécessite pas deplongement. Il a été introduit par Hamilton dans les années 1980 ([Ham82]). Danscet article, l’auteur montre l’existence locale du flot et plus tard, Deturck donneune démonstration plus simple de ce resultat dans [DeT83].Soit (M, g 0 ) une variété riemanienne compacte de dimension n et Ric g(0) letenseur de Ricci associé à la connexion de Levi-Civita, alors le flot de Ricci estdéfini par :ddt g(t) = −2Ric g(t), (0.1)avec g(0) = g 0 . On remarque que le caractère symétrique de la courbure de Ricci9

10 CHAPITRE 1. INTRODUCTIONdonne sens à cette équation. On peut voir cette équation, à un terme tronqué près,comme l’équation de flot de gradient d’une fonctionnelle géométrique, à savoir :∫E(g) =R g d vol(g) , (0.2)où R g (resp.d vol(g) ) est la courbure scalaire (resp. est la forme volume) associée àla métrique g.Soit w t une courbe dans l’espace des métriques, telle que d dt w t = h t . En utilisantle théorème de divergence, on obtient :∫ddt E(w t) =〈 R w t2 w t − Ric wt , h t 〉d vol(wt).Le flot de gradient associé à (0.2) est donné par :ddt g t = R g t2 g t − Ric gt .Comme présenté dans [Top06], ce flot n’admet en général pas de solution, mêmelocale pour n ≥ 3. Par contre, le flot de Ricci (0.1), qui consiste modulo la constante2 à tronquer le terme Rg tg 2 t dans l’équation précédente, possède une solution localeet cela sans aucune hypothèse supplémentaire sur la variété compacte. Grâce à ceflot et après normalisation pour avoir un volume constant, Hamilton a démontré[Ham82] le théorème suivant :Si M est une variété de dimension 3 qui possède une métrique de courburede Ricci strictement positive alors M peut être munie d’une métrique de courburesectionnelle constante strictement positive. Si la variété est de plus supposéesimplement connexe, alors elle est difféomorphe à la sphère. Plus tard, Perelmanutilisera aussi ce flot pour donner une preuve à la conjecture de Poincaré.Nous allons particulièrement nous intéresser aux deux derniers flots géométriquesexposés précédemment : le flot par courbure moyenne d’une hypersurfaceet le flot de Ricci. Dans un premier temps, nous remarquerons que tous les deuxproduisent de manière naturelle une famille de métrique (M, g(t)) sur la variété.À la donnée d’une famille de métriques suffisamment régulières, nous associons unmouvement brownien, dont l’évolution sera liée à la déformation de la métrique.Soit ∇ t la connexion de Levi-Civita associée à la métrique g(t) et ∆ t l’opérateurde Laplace-Beltrami ( avec la convention ∆ t f = tr t ∇ t df, où tr t désigne la tracerelative à la métrique g(t)). Soit (Ω, (F t ) t≥0 , F, P) un espace probabilisé completfiltré avec la condition habituelle de continuité à droite et W un F t -mouvementbrownien à valeurs dans R n .10

11Définition 0.1 Soit g(t) t∈[0,T [ une famille C 1,2 de métriques sur M. Un processusX(x) à valeurs dans M défini sur Ω × [0, T [ est appelé g(t)-mouvement browniendans M commençant au point x ∈ M si X(x) est continu, adapté, et si pour toutefonction f,f(X s (x)) − f(x) − 1 2∫ s0∆ t f(X t (x)) dtest une martingale locale nul en 0. On le notera g(t)-MB(x).Nous introduisons aussi une notion de transport parallèle le long d’un g(t)-MB(x)qui sera, modulo une isométrie, solution d’une E.D.S. dans le fibré des repères (1.7ch.3). Il aura de plus la propriété d’être une isométrie au sens où :// 0,t : (T X0 M, g(0)) → (T Xt M, g(t)).Nous obtenons ainsi une formule de développement stochastique : notons (v 1 , ..., v n )une base orthonormée de (T X0 M, g(0)), et X t (x) un g(t)-MB(x) alors :∗dX t (x) = // 0,t v i ∗ dW it ,oú ∗d denote la différentielle de Stratonovitch. Et pour f ∈ C(M) on a la formulede Itô :df(X t (x)) = 〈∇ t f, // 0,t v i 〉 t dW i + 1 2 ∆ t(f)(X t (x)) dt.Les g(t)-MB(x) sont des diffusions inhomogènes associées à l’opérateur ∆ t . Cesdiffusions possèdent des densités C ∞ (c.f. [SV06]). Nous donnons l’équation quesatisfait la densité des g(t)-MB(x).Soit dµ t la mesure volume associée à (M, g(t)) et soit h x (t, y) ∈ C ∞ (]0, T [×M)tels que : {LX t (x) = h x (t, y)dµ t (y), t > 0LX 0 (x) = δ x .alors h x (t, y) suit l’équation de réaction diffusion suivante :⎧⎪⎨⎪⎩(d1dt (hx (t, y)) + h x (t, y)tr2 g−1 i,j (t, y) d )dt g i,j(t, y) = 1 2 ∆ g(t)h x (t, y)Llim h x (t, y)dµ t = δ x .t→0Ces équations sont naturellement conservatives (i.e. ∫ h x (t, y)dµ t (y) = 1), ce quin’est pas le cas de l’équation de la chaleur dont le laplacien dépend du temps.Dans le cas du flot de Ricci normalisé “à la probabiliste”( ce qui consiste à enleverle facteur 2 dans (0.1)), on retrouve l’équation conjuguée à l’équation de la chaleurà un retournement de temps près (c.f. (2.3 ch.3) et [Top06]). Récemment, Cao et11

12 CHAPITRE 1. INTRODUCTIONHamilton (c.f. th 2.3 [CH]) ont donné une inégalité de Harnack sous la conditionque la courbure de Ricci soit positive au temps 0 - cette condition est préservée lelong du flot comme l’a montré le second auteur (dans [Ham82])-. Cette inégalité deHarnack sous forme intégrale donne dans notre cas une majoration des fonctionsde transitions de notre processus.Nous donnons une formule du transport parallèle deformé le long d’un g(T −t)-MB, et ce quelle que soit la famille assez régulière de métriques que nous étudions.Ce transport parallèle ( noté W T 0,t , dont l’indice supérieur T signifie que l’on retournele temps dans la métrique) est défini comme solution de l’équation covariantede Stratonovich :∗d((// T 0,t )−1 (W T 0,t )) = −1 2 (//T 0,t )−1 (Ric g(T −t) −∂ t (g(T − t))) #g(T −t) (W T 0,t ) dt (0.3)avecW T 0,t : T x M −→ T X Tt (x)M, W T 0,0 = Id TxM .Nous donnons un premier théorème 3.2 ch.3 qui permet, par exemple, d’étudierl’évolution au cours du temps du gradient de solution d’équation de la chaleur :{∂t f(t, x) = 1∆ 2 tf(t, x)(0.4)f(0, x) = f 0 (x),Nous obtenons ainsi une formule de Bismut reliant le gradient à la fonction moduloune espérance. Lorsque la famille de métriques provient du flot de Ricci (2.2 ch.3),le transport déformé et le transport parallèle coïncident. Dans ce cas, la propriétéd’isométrie du transport parallèle rend les formules plus agréables. Nous obtenonspar exemple, les corollaires 3.4 ch.3 et 3.5 ch.3 suivants :dSi g dt ij = −Ric ij et si f est solution de (0.4), on pose M 0 = sup M |f 0 |. SoitT < T c (où T c est le temps d’explosion du flot de Ricci) ; alors :sup ‖∇ T f(T, x)‖ T est décroissant en tempsx∈Met :sup ‖∇ T f(T, x)‖ T ≤ M 0√ .x∈MTCes résultats sont obtenus sans aucune condition de courbure sur la variété (M, g(0)).Nous utilisons ensuite ces techniques pour retrouver des résultats sur le flotde Ricci en dimension deux. Dans cette partie, nous nous intéressons au flot deRicci normalisé, de façon à ce que le volume reste constant. Le cas particulier dela dimension deux fournit un invariant topologique le long du flot (théorème deGauss-Bonnet). Cet invariant simplifie l’ équation de renormalisation :Soit M une variété compacte de dimension deux, R(t) la courbure scalaire pourune métrique g(t) et r = ∫ R M tdµ t /µ t (M) = 2π χ(M) , alors l’équation du flot decstRicci normalisé devientddt g i,j(t) = (r − R(t))g i,j (t).12

13Hamilton a démontré que ce flot existe pour tout temps. La courbure scalaire lelong du flot suit l’équation :∂∂t R = ∆ tR + R(R − r).C’est une équation de type réaction-diffusion et, sous certaines hypothèses de naturetopologique, on obtient le contrôle de son gradient au cours du temps (c.f.3.7ch.3) :Si χ(M) < 0, alors il existe C > 0 dépendant seulement de g(0), tel que‖∇ T R(T, x)‖ T ≤ sup ‖∇ 0 R(0, x)‖ 0 e 1 2 rT e 2C( erT −1r ) .MCet estimé est un ingrédient pour montrer la convergence du flot vers une métriqueà courbure scalaire constante quand χ(M) < 0, c.f. [CK04].Nous abordons maintenant une partie clef de notre travail. Le transport parallèledéformé introduit précédemment (comme solution de 0.3), n’a pas été constuitcanoniquement. Il est une condition suffisante pour obtenir le théorème 3.2 ch.3 .Nous proposons une autre construction inspirée de la théorie du flot stochastique.C’est l’objet de la section 4 du chapitre 3. Dans cette partie, nous travaillonsdans l’espace temps muni d’une connexion produit dépendant d’une famille demétriques. Nous constuisons par transport parallèle une famille de processus (4.2ch.3). Cette famille est dérivable au sens de la topologie des semimartingales introduitedans [AT98b]. Après dérivation de cette famille de semimartingales, et à uneprojection près, nous obtenons de manière canonique l’équation fournissant le flotstochastique (4.2 ch.3). Cette équation dépend de la famille de métriques ; c’estla même que l’équation du transport parallèle déformé. Nous pouvons donc nousposer la question de savoir sous quelle condition le flot stochastique est égal autransport parallèle le long du g(T − t)-MB. Le théorème 4.4 ch.3 affirme que le flotstochastique est égal au transport parallèle si et seulement si la famille de métriquesest solution du flot de Ricci. C’est une caractérisation probabiliste intrinsèque duflot de Ricci.Toujours dans le cadre du flot de Ricci, nous terminons le chapitre 3 par ladonnée d’une martingale intrinsèque. Elle provient de la dérivée covariante du flotstochastique à valeurs dans T M, dérivée au sens de la topologie des semimartingales.La notion de dérivé covariante d’une famille de processus est introduite dans[AT03]. Nous y puiserons principalement le théorème 4.5 qui est une formule decommutation entre la dérivée covariante et la dérivée covariante de Itô. Nous remarquons,qu’après la prise de la trace, apparaît une simplification dans les calculs :il n’y a plus de dérivée covariante du tenseur de Riemman. Nous obtenons ainsiune martingale : c’est celle du théorème 5.1 dans la section 5 du chapitre 3. Cettemartingale peut être notée L(T, x). Elle prend ses valeurs dans l’espace tangent en13

14 CHAPITRE 1. INTRODUCTIONx et elle est définie sur un intervalle de temps [0, T ]. Sa g(T ) variation quadratiqueest donnée par :d[L(T, x), L(T, x)] t =‖ Ric T −t (X T t (x)) ‖2 T −t dt.Cette martingale pourrait permettre de comprendre la nature des singularités,ou du moins, en donner une caractérisation probabiliste. En effet, cette variationquadratique explose en 0 quand T tend vers T c et quand x est un point de singularitédu flot de Ricci (ce sont les points où la courbure scalaire explose, c.f. [CK04]).Dans le chapitre 4, nous étudions le flot par courbure moyenne, principalementcelui d’une hypersurface compacte et sans bord de R n , avec un formalisme similaireà ce qui a été présenté précédemment.Soit M une variété compacte sans bord de dimension n plongée isométriquementdans R n+1 . On notera F 0 ce plongement :F 0 : M ֒→ R n+1 .Le flot par courbure moyenne est défini par :{∂t F (t, x) = −H ν (t, x) → ν (t, x)F (0, x) = F 0 (x).(0.5)où l’on pose M t = F (t, M) et on identifie M avec M 0 et F 0 avec Id. Dans cetteéquation (0.5), ν(t, x) est le vecteur normal unitaire sortant de M t en F (t, x),et H ν (t, x) est la courbure moyenne en F (t, x) sur M t relativement à ν(t, x), (i.e.H ν (x) = trace (S ν (x)) où S ν est la seconde forme fondamentale). Si l’hypersurfacede départ M 0 est strictement convexe (la seconde fondamentale forme est définiepositive partout), alors les hypersurfaces M t convergent vers un point en un tempsfini, tout en s’arrondissant. Pour une formulation plus précise voir [Hui84]. Une foisque l’on dispose de la famille de difféomorphismes F (t, .) de M sur M t , on peutpar pull-back de la métrique induite sur M t définir une famille de métriques surM, g(t) = F ∗ (t, .)(〈., .〉 R n+1 | Mt). Avec cette réécriture, l’équation (0.5) devient :{∂t F (t, x) = ∆ t F (t, x)F (0, x) = F 0 (x)(0.6)où ∆ t est l’opérateur de Laplace-Beltrami associé à la métrique g(t). Cette équationest parabolique et la théorie des équations différentielles paraboliques quasilinéairesdonne l’existence de solutions sur un petit intervalle de temps. Nous noterons T c lepremier temps de singularité du flot (nous verrons que ce temps est fini et nous endonnerons un majorant). À cette famille de métriques, nous faisons correspondrenaturellement un g(t)-MB. La proposition 1.3 ch.4 donne une caractérisation probabilistedu flot par courbure moyenne en terme de mouvements browniens.14

15Si T < T c , x 0 un point de M et X T (x 0 ) un 1 2 g T −t-MB partant de x 0 alors :Y Tt = F (T − t, X T t (x 0 ))est une martingale locale de R n+1 . Cette martingale locale est contrainte à êtreen tout temps t sur l’hypersurface M T −t . La proposition 1.4 ch.4 permet le calculde sa variation quadratique. On en déduit grâce au corollaire qui suit une bornesupérieure du temps d’explosion :T c ≤ diam(M 0) 2,2noù diam(M 0 ) est le diamètre de M 0 . Cette martingale locale est en fait une vraiemartingale pour tout temps T < T c .La section 2 et 3 du chapitre 4 sont dédiés à l’étude “des objets” limites que l’onobtiendrait en considérant des g(T −t)-MB pour un temps T de plus en plus prochedu temps singulier T c . Par des critères de tension dans R n+1 et en utilisant desraisonnements classiques, nous arrivons à montrer que des objets limites existent(c.f 2.5 ch.4). Nous les appellerons des g(T c −t) mouvements browniens et ils serontindexés sur l’intervalle de temps ]0, T c ]. Le cas du flot par courbure moyenne d’unesphère est étudié à titre d’exemple dans la proposition 2.6 ch.4 ; on y démontrel’unicité en loi de l’objet limite. L’étude de cette exemple simple mais instructif, apu être mené directement parce que le flot déforme la sphère homothétiquement.Les métriques g(t) sont alors conformes à la métrique g(0). Cette remarque nouspermet de comparer, à un changement de temps près (déterministe), nos objetslimites à un mouvement brownien indexé par ] − ∞, 0] pour la métrique g(0) (c.f.[ÉS99a],[Arn99]).Si la variété M 0 est quelconque, les métriques ne sont pas toujours homothétiques.Le raisonnement précédent, utilisé pour la sphère, n’est plus applicable.Néanmoins, nous verrons que si l’hypersurface M 0 est strictement convexe et compacte,le résultat sur l’unicité en loi du processus limite demeure : c’est le théorème3.8 ch.4, [Coub]. Nous utiliserons principalement des résultats de Huisken [Hui84]sur le flot de courbure moyenne normalisé ˜F . Cette normalisation consiste à modifierle flot de façon à ce que le volume reste constant en opérant des dilatations.Ce nouveau flot a un temps de vie infini. Nous bornerons inférieurement par uneconstante strictement positive les rayons d’injectivités de ˜g(t) pour des temps assezgrands (c.f. la preuve du lemme 3.4 ch.4). En ralentissant le temps et en zoomantl’espace, nous donnons une correspondance entre “nos” g(T c − t) et des ˜g mouvementsbrowniens. Nous étendrons ensuite la construction de couplage miroir,introduite par Kendall et Cranston dans ([Ken86],[Cra91]), au cas des métriquesdépendant du temps. Nous déduirons de cette suite de construction le résultat principalde ce chapitre, à savoir le théoréme 3.8 ch.4. Nous déduisons de ce résultatl’unicité des solutions d’une équation aux dérivés partielles de type réaction diffusionsans point de départ, mais avec une condition sur la moyenne de la solution.15

16 CHAPITRE 1. INTRODUCTIONCette équation aux dérivés partielles est celle de la densité du g(T c − t)-MB , pourt > 0 : ⎧⎨∂h(t, y) + ∂t H2 (T c − t, y)h(t, y) = 1∆ 2 g(T c−t)h(t, y)⎩ ∫(0.7)h(T M c, y)dµ 0 = 1La proposition 3.9 ch.4 donne l’unicité de la solution de cette équation, quand(M, g) est une hypersurface compacte, strictement convexe et isométriquementplongée dans R n+1 . La famille de métriques g(t) provient du flot par courburemoyenne et T c est le temps d’explosion du flot. La condition ∫ h(T M c, y)dµ 0 = 1peut être remplacée de manière équivalente par ∫ h(t, y)dµ M T c−t = 1 avec t ∈]0, T c ].Nous abordons maintenant le chapitre 5. Soit (M, g) une variété Riemanienne,L un opérateur elliptique sans terme constant et u ↦→ ϕ(u) une courbe C 1 à valeursdans M. Nous construisons une famille de L-diffusions X t (u) (continue en les deuxparamètres) telle que X 0 (u) = ϕ(u), qui pour tout t fixé, soit dérivable en u, ettel que ∂ u X t (u) soit localement uniformément borné. Par exemple, si L = 1 ∆, où2∆ est le Laplacien usuel dans R n et B t (0) est un mouvement brownien dans R n ,alors X t (u) = ϕ(u) + B t (0) convient. Quand l’opérateur L n’est pas constant, laconstruction d’une telle famille de diffusions paraît moins claire. En découpant lacourbe ϕ en petits morceaux de taille ν et en réalisant des couplages parallèles dediffusions de proche en proche sur chaque morceaux, nous obtenons à la limite,quand ν → 0, la famille de diffusions X t (u) avec les propriétés énoncées. Une tellefamille sera appelée L diffusion horizontale dans l’espace des courbes C 1 , et ellesatisfera l’équation suivante :∂ u X t (u) = W (X(u)) t ( ˙ϕ(u)), (0.8)où W (X(u)) est le transport parallèle déformé le long de X(u). Ici la métrique esttelle que l’opérateur L s’écrive L = 1 2 ∆ g + Z, où Z est un champ de vecteurs surM. On supposera que la variété munie de cette métrique est complète.De plus , X(u) satisfait l’équation diffèrentielle de Itô suivante :dX t (u) = P Xt(·)0,u d m X 0 t + Z X t(u) dt, (0.9)où P Xt(·)0,u : T X 0tM → T Xt(u)M est le transport parallèle le long de la courbe C 1 :[0, u] ↦→ Mv ↦→ X t (v).Pour une formulation plus précise, voir le théorème 2.1 ch.5 ou [ACT]. Cetteconstruction permet de retrouver des formules de type Bismut (sans filtrer les bruits16

17superflu du flot stochastique, voir [EY93], [ELJL99]). Si par exemple la variété dedépart (M, g) est compacte à courbure de Ricci strictement positive et que L = ∆ g ,on remarque que la longueur de la courbe u → X t (u) rétrécit exponentiellementavec le temps.Puis dans une seconde partie, nous nous intéresserons à la même constructionquand l’opérateur elliptique L(t) est inhomogène. On obtient ainsi une famillede L t -diffusions X t (u). Elle vérifie les mêmes équations que précédemment, à laseule différence près, que le transport parallèle déformé est celui introduit dans lechapitre 3. La construction se fera aussi par des transports parallèles de proche enproche, mais ces transports parallèles dépendront de la métrique g(t) en chaquetemps t, voir le théorème 3.1 ch.5.Dans la section 4 du chapitre 5, nous donnons une application de la constructionprécédente. On démontre sous certaines hypothèses la décroissance de la distance deMonge-Kantorovich (avec une bonne classe de fonctions coûts) entre deux mesuresde probabilités évoluant suivant l’équation de la chaleur : c’est le théorème 4.1 ch.5.Notons L t = 1∆ 2 t +Z t , où ∆ t est l’opérateur de Laplace associé à une famille C 1de métriques g(t) et Z t est un champ de vecteurs dépendant du temps. On supposeraque la variété (M, g(t)) est complète pour tout temps et que les L t diffusionssont de temps de vie infini. Notons également ρ(t, ., .) la distance Riemaniennepour la métrique g(t), et c(t, ., .) = ϕ(ρ(t, ., .)) une fonction coût, où ϕ est unefonction croissante de R + → R + . À cette fonction coût nous associons la distancede Monge-Kantorovich entre deux mesures de probabilité µ et ν sur M, définiepar :∫W c,t (µ, ν) = inf c(t, x, y)dη(x, y), (0.10)η∈Π(µ,ν) M×Moù Π(µ, ν) est l’ensemble des mesures de probabilités sur M × M de marginales µet ν. Dans le cas où la fonction coût est une puissance de la distance, on noteraplus simplement la distance de Wasserstein associée à p pour p > 0 :W p,t (µ, ν) = (W ρ p ,t(µ, ν)) 1/p . (0.11)Nous donnons trois exemples d’illustration de ce théorème :– Exemple : Soit (M, g) une variété telle que Ric g ≥ kg pour une constantek > 0, ρ(., .) la distance Riemanienne pour la métrique g et L = 1 2 ∆ g. Soitdeux mesures de probabilité µ et ν sur M, on notera µ t et ν t les solutions del’équation de la chaleur associées à L alors, on a le résultat de contraction :W p (µ t , ν t ) ≤ e −kt/2 W p (µ, ν). (0.12)Dans ce cas, la variété est compacte. Il y a donc une mesure invariante etla convergence pour n’importe quelle mesure de départ vers cette mesureinvariante se fait exponentiellement.17

18 CHAPITRE 1. INTRODUCTION– Exemple : Soit (M, g) une variété Riemanienne. On supposera que L =12 ∆ g + ∇V , où V est une fonction C 1 sur M, et qu’il existe un réel k > 0 telque Ric g + Hess g V ≥ kg. Soit deux mesures de probabilité µ et ν sur M ;on notera µ t et ν t les solutions de l’équation de la chaleur associées à L alorson a le résultat de contraction :W p (µ t , ν t ) ≤ e −kt/2 W p (µ, ν). (0.13)On remarquera que Ric g + Hess g V est la courbure de Ricci associée à l’opérateurL au sens de Bakry-Emery [BÉ85]. Là encore il y a convergence versune mesure invariante et la vitesse est contrôlée.L’exemple qui suit nécessite entièrement la construction effectuée précédemment.Ici pour faire un lien avec les chapitres précédents, nous nous intéresseronsau flot de Ricci rétrograde sur une variété M (i.e. un flot de Ricci suivipar retournement du temps ce qui garantit son existence) :ddt g(t) = Ric g(t).Dans ce cas nous disposons d’une famille de métriques g(t) sur M et d’unefamille de générateur L t = 1∆ 2 g(t). Soit deux mesures de probabilité µ et νsur M. Si nous les développons le long d’un g(t)-mouvement brownien, celaproduit une équation sur les densités de type réaction diffusion :⎧d ⎪⎨dt h(t, y) = 1 2 ∆ g(t)h x (t, y) − 1 h(t, y)R(t, y)2L, (0.14)⎪⎩ lim h(t, y)dvol t = µ.t→0où R(t, y) est la courbure scalaire au point y pour la métrique g(t) et dvol test la forme volume associée à cette métrique. On notera aussi h(t, y)dvol t =µ t = µP t le développement de la mesure µ le long de l’équation de la chaleur,dans le sens où, µ t suit aussi l’équation de la chaleur sur les n-formes :{ ddt µ t = 1 2 ∆ tµ t(0.15)µ 0 = µ.De la même façon nous construisons la famille ν t = νP t . Dans ce cas sanshypothèse sur la courbure de Ricci de la variété (M, g(0)), nous obtenons lacontraction des distances de Wasserstein pour les fonctions coût rappeléesprécédemment, à savoir :t ↦→ W c,t (µP t , νP t ) (0.16)est décroissante en temps. Ce résultat est une conséquence du théorème 4.4ch.3.18

19On retrouve ainsi, avec des méthodes complètement différentes et entièrementprobabilistes, un résultat de Lott [Lot07] (utilisant une extension du calcul deOtto), puis de Topping et McCann [CT] (utilisant l’interpolation déplacementde McCann) sur la contraction des distances de Wasserstein (d’ordre 2). Enréalité, nous étendons ce résultat à une plus large gamme de fonction coût. Deplus nous obtenons un critère pour des familles de métriques plus générales,en comparant la dérivée de la famille de métriques au tenseur de Ricci. Nousenvisageons aussi le cas des opérateurs de la forme L t = 1 2 ∆ t +Z(t) avec Z(t)un champ de vecteurs quelconque (voire théorème 4.1 ch.5).19

20 CHAPITRE 1. INTRODUCTION20

Chapitre 2Introduction à l’analyse stochastiquesur les variétésComme l’a découvert Schwartz, le cadre de la géometrie d’ordre deux est lecadre naturel pour envisager de manière intrinsèque les semimartingales à valeursdans les variétés. Pour ne pas oublier les sources du fleuve qui sera emprunté, cecourt chapitre aura pour vocation de rappeler les fondements de la géometrie stochastique: les vecteurs d’ordre deux, les formes d’ordre deux, les semimartingalesà valeurs dans une variété, ainsi que les intégrales de formes d’ordre deux le longde semimartingales. Il est issu en grande partie de [Sch82], [Mey81], [Éme89] et[Eme00]. Le lecteur averti pourra sans peine faire l’impasse de ce chapitre.1 La géométrie d’ordre deux, cadre de la géométriestochastique1.1 Vecteur tangent du second ordre (diffuseur), forme cotangented’ordre deux (codiffuseur)Les définitions de variété et d’espace tangent seront supposées connues. Pourplus de détails sur cette section le lecteur pourra se reporter à [Eme00] ; les notationsy seront les mêmes, ainsi que les définitions.Définition 1.1 Soient V une variété de classe C p pour 2 ≤ p de dimensiond et x un point de V . Une application L de C p (V ) dans R est un diffuseurau point x s’il existe une carte locale au voisinage de x, (v 1 , ..., v d ) des réels2121

22CHAPITRE 2. INTRODUCTION À L’ANALYSE STOCHASTIQUE SUR LESVARIÉTÉSL 1 , ..., L d , L 11 , L 12 , ..., L dd tels que pour toute f ∈ C p (V ), on ait L(f) = L ij D ij f(x)+L k D k f(x).Remarque : Il est clair que L caractérise et est caractérisée par d + d(d+1)2éléments. Les nombres L k et 1 2 (Lij + L ji ) sont appelés les coefficients de L dans lacarte.Soit W α une autre carte au voisinage de x, la formule de changement de carte estdonnée par :L γ = L ij D ij W γ (x) + L k D k W γ (x)L αβ = L ij D i W α (x)D j W β (x).À ce stade, il n’y a pas de notion de partie d’ordre un d’un diffuseur (cela nécessiteraune notion supplémentaire : les connections, qui seront introduites dans la sectionsuivante), mais comme le montrent les deux formules précédentes, il y a une notionde diffuseur sans partie d’ordre deux, ce sont les vecteurs tangents.De la même manière que pour les vecteurs tangents, par une application C p entredeux variétés, on peut définir une notion de push forward de diffusion.Définition 1.2 L’ensemble de tous les diffuseurs en x sera notéÌxV ou τ x V , eton définira le fibré osculateurÌV := ⊔ x∈VÌxV . De même que pour les champsde vecteurs, il y a une notion de champ de diffuseurs qui forme un module surl’algèbre des fonctions C p−2 (V ).Exemple : Si A, B sont deux champs de vecteurs sur V alors AB est un champde diffuseurs sur V .De manière analogue à la construction des covecteurs, on définit un codiffuseuren x, comme étant un élément du dual de l’espace des diffuseurs en x. On noteral’ensemble des codiffuseursÌ∗ x V . On considèrera le fibré coosculateur qui est laréunion disjointe sur x ∈ V desÌ∗ x V . Comme pour les vecteurs tangents, unexemple simple de codiffuseur est donné par l’évaluation en une fonction, i.e. soientf ∈ C p (V ) et L ∈ÌxV , on notera d 2 f(x)(L) = L(f)(x). Tout codiffuseur en xs’écrira de cette manière. L’injection de T x V dansÌx(V ) s’inversera en passant audual. Il y aura une notion de restriction de codiffuseur à l’espace tangent ; on lanotera R. Prenons deux fontions f, g ∈ C p (V ), alors df et dg sont deux élémentsde T ∗ V . On définit df.dg ∈ÌxV à la manière du carré du champdf.dg(x) = 1 2 (d2 (fg)(x) − f(x)d 2 g(x) − g(x)d 2 f(x)).Cette construction s’étend au produit de deux covecteurs. On a alors :R(d 2 f(x)) = df(x),R(df.dg(x)) = 0.22

1. LA GÉOMÉTRIE D’ORDRE DEUX, CADRE DE LA GÉOMÉTRIESTOCHASTIQUE 23Le deuxième point se voit aisément par linéarité de la restriction et par la formuled(fg) = fdg + gdf.Il existe aussi une notion de différentielle symétrique de covecteur, et contrairementau diffuseur, il y a une notion de codiffuseur purement d’ordre deux dans lesens où leur restriction est nulle. Le sous espace des codiffuseurs purement d’ordredeux en x (KerR) est linéairement engendré par les ρ.ρ où ρ ∈ Tx ∗ V . Il existe unebijection entre le sous espace des codiffuseurs purement d’ordre deux et les formesquadratiques sur T x M ; on la notera Q et elle vérifiera Q(ρ.ρ) = ρ ⊗ ρ.La dualité entre codiffuseur et diffuseur s’exprime de la même manière que celleentre vecteur et covecteur.1.2 Semimartingale à valeurs dans une variété et intégralede formes d’ordre deux (codiffuseur) le long de semimartingalesLe théorème de Itô donne une caractérisation des semimartingales à valeursdans R n sans utiliser la structure d’espace vectoriel : soient une fonction f ∈ C 2 (R n )et X = (X 1 , ..., X n ) une semimartingale pour un certain espace probabilisé filtréà valeurs dans R n , alors f(X) est une semimartingale à valeurs dans R et on a ladécomposition de Doob-Meyer suivante :∫ tf(X t ) = f(X 0 ) + D k f(X t )dXt k + 1 D ij f(X t )d[X i , X j ] t . (1.1)02 0Ce théorème permet de redéfinir les semimartingales, à la différence très notableque, seule la structure différentielle est utilisée. C’est le premier pas vers une possibleextension aux variétés de la notion de semimartingale. La définition suivanteest due à Schwartz (1980).Soit (Ω, A, F t ,È) un espace probabilisé filtré satisfaisant les conditions standardsde continuité à droite de la filtration, où A est supposée complète et lestribus F t contiennent les évènements négligeables de A.Définition 1.3 Soit V une variété de classe C 2 au moins et X un processus àvaleurs dans V . On dira que X est une semimartingale ( pour (Ω, A, F t ,È)), sipour toutes fonctions f ∈ C 2 (V ), f(X) est une semimartingale réelle.On peut réécrire de façon symbolique l’équation ci-dessus (1.1) comme :∫ td(f(X t ) = D k f(X t )dX k t + 1 2 D ijf(X t )d[X i , X j ] t ,et l’envisager de manière formelle comme l’action du codiffuseur d 2 f en X t surle “diffuseur” DX := dX k D k + 1 2 d[Xi , X j ]D ij . L’intégrale d’un codiffuseur le long23

24CHAPITRE 2. INTRODUCTION À L’ANALYSE STOCHASTIQUE SUR LESVARIÉTÉSd’une semimartingale donnera un sens plus rigoureux à ce “diffuseur”.À partir de maintenant, on désignera par V une variété de classe C 2 au moins etX sera une semimartingale à valeurs dans V .Définition 1.4 Un processus θ à valeurs dansÌ∗ (V ) sera dit au-dessus de X siθ t (ω) ∈ÌX t(ω)(V ). Cette définition sera étendue pour tout autre processus à valeursdans un fibré de V .Théorème 1.1 Il existe une et une seule application linéaire Θ ↦→ ∫ 〈Θ, DX〉 detous les processus prévisibles à valeurs dansÌ∗ (V ) (localement bornés) au dessusde X dans l’espace des semimartingales réelles vérifiant :– ∀f ∈ C 2 (V ), ∫〈d 2 f, DX〉 = f(X) − f(X 0 ),– pour tout processus réel, prévisible localement borné H,∫∫ ∫〈HΘ, DX〉 = Hd( 〈Θ, DX〉)On appellera ∫ 〈Θ, DX〉 l’intégrale du codiffuseur Θ le long de X. Si Θ et Ξ sontdeux processus prévisibles localement bornés à valeurs dansÌ∗ (V ) au-dessus de X,∫ ∫∫12 [ 〈Θ, DX〉, 〈Ξ, DX〉] = 〈RΘ.RΞ, DX〉.Ce théorème a de nombreuses extensions, mais sa première vertu est celle donnéeci-dessus, i.e donner un sens plus rigoureux à ce “diffuseur”, car on peut intégrercontre lui un codiffuseur. Il permettra de donner, grâce à la différentielle symétriqued’un covecteur (que l’on notera d s ), une notion d’intégrale de Stratonovitchd’un covecteur le long d’une semimartingale. Le théorème de plongement de Whitneypourrait tout aussi bien permettre de définir cet objet, à la différence que,l’indépendance par rapport au plongement est à écrire.Définition 1.5 Soit ρ un champ de covecteurs de classe C 1 , on définit :∫ ∫〈ρ, δX〉 = 〈d s ρ, DX〉.Ce processus sera parfois noté ∫ 〈ρ, ∗dX〉.Pour f ∈ C 2 (V ) et ρ un champ de covecteurs, la différentielle symétrique vérified s (df) = d 2 f, R(d s ρ) = ρ et d s (fρ) = fd s ρ + df.ρ. Cette construction ne se faitpas fibre par fibre, mais nécessite un voisinage afin de dériver.L’intégrale de Stratonovitch s’étend, dans le cas d’une variété plus régulière C 3 ,en une unique application linéaire Σ ↦→ ∫ 〈Σ, δX〉 de l’ensemble des semimartingalesà valeurs dans T ∗ (V ) au dessus de X dans l’espace des semimartingales réellesvérifiant les propriétés :24

1. LA GÉOMÉTRIE D’ORDRE DEUX, CADRE DE LA GÉOMÉTRIESTOCHASTIQUE 25– extension de la définition précédente,– associativité, si Z est une semimartingale réelle prévisible localement bornée :∫ ∫∫Zδ( 〈Σ, δX〉) = 〈ZΣ, δX〉;où le terme de gauche de l’égalité précédante est l’intégrale de Stratonovitch habituelle.Dans la formule (1.1) et dans sa forme revisitée dans le cadre des semimartingalesà valeurs dans une variété ∫ 〈d 2 f, D(X)〉, il n’a pas été donné la décompositionde Doob-Meyer de f(X) de façon intrinsèque. Cela nécessitera une décompositioncanonique d’un diffuseur en une partie d’ordre un et une partie en un sens purementd’ordre 2, ce qui en l’état actuel des choses est impossible ! Une structuresupplémentaire est nécessaire ; ce sera celle de connexion.1.3 Connexion, intégrale de Itô et martingale à valeurs dansune variétéLa notion de semimartingale a été étendue aux processus à valeurs dans unevariété. La section qui suit définira celle de martingale à valeurs dans une variété,sorte de déplacement aléatoire “uniforme” relative à une géométrie. Dans cettesection la variété V sera supposée de classe C 2 au moins.Définition 1.6 Soit x un point de V , une connexion en x est une application linéairede l’espace des diffuseursÌxV dans l’espace tangent T x V , dont la restrictionà l’espace tangent T x V est l’identité. On la notera souvent Γ.Cette connexion est caractérisée par le choix de coefficients Γ k ij tels que Γ(D ij ) =Γ k ij D k. Ce sont les coefficients de Christoffel de la connexion Γ. La symétrie en(i, j) des coefficients de cette connexion est reliée au fait que les connexions considéréesici sont celles de la géométrie différentielle classique qui sont sans torsion.L’application duale de Γ sera notée Γ ∗ .Définition 1.7 Soit Γ une connexion en x sur V et f une fonction C 2 sur V . Lecodiffuseur d 2 f − Γ ∗ df(x) est appelé Hessienne de f en x et est noté Hess Γ f(x)pour montrer sa dépendance en la connexion. C’est un codiffuseur purement d’ordredeux, dans le sens où RHess Γ f(x) = 0, donc identifiable par Q en une applicationbilinéaire symétrique sur T x V ⊕ T x V .Remarque : Le lien entre cette définition de connexion et la définition usuelledes connexions (celle des connexions sans torsion de la géométrie différentielle),ayant les mêmes symbôles de Christoffel, est le suivant :25

26CHAPITRE 2. INTRODUCTION À L’ANALYSE STOCHASTIQUE SUR LESVARIÉTÉS– soit A, B deux champs de vecteurs, alors ∇ A B(x) = Γ(AB) ;– QHess Γ f(x)(A, B) = ∇ A df(B)(x).On omettra souvent Q dans cette identification.Soit X une semimartingale à valeurs dans V supposée munie d’une connexionΓ. Le “diffuseur” DX, auquel on a donné sens par intégrale d’un codiffuseur, s’écritsymboliquement :Toujours symboliquement :dX k D k + 1 2 d[Xi , X j ]D ij .Γ(DX) = (dX k + 1 2 Γk ij d[Xi , X j ])D k ,est un “vecteur” tangent (qui vérifie les mêmes formules de changement de carte) etpour lequel la décomposition de Doob-Meyer sera intrinsèque. Comme précédemmentl’intégration d’un champ de covecteur donnera sens à ce “vecteur”. On arriveà l’intégrale de Itô dans une variété.Définition 1.8 Soit Σ un processus prévisible à valeurs dans T ∗ V localement bornéet au-dessus de X. On appelle intégrale de Itô de Σ le long de X, notée ∫ 〈Σ, d ∇ X〉,la semimartingale ∫ 〈Γ ∗ Σ, DX〉. Symboliquement :est la Γ partie d’ordre un de DX.d ∇ X = (dX k + 1 2 Γk ij d[Xi , X j ])D k ,Comme pour les intégrales de Stratonovitch, la covariation quadratique de deuxintégrales de Itô s’exprime par :∫ ∫∫12 [ 〈Σ, d ∇ X〉, 〈Θ, d ∇ X〉] = 〈Σ.Θ, DX〉;et si H est un processus réel prévisible localement borné, la formule d’associativitéest donnée par : ∫∫ ∫〈HΣ, d ∇ X〉 = Hd( 〈Σ, d ∇ X〉),où d représente la différentielle d’Itô pour un processus réel.Soit f ∈ C 2 (V ) et X une semimartingale à valeurs dans V , la formule d’ Itôgéométrique dans V peut alors s’écrire :∫∫f(X) = f(X 0 ) + 〈df, d ∇ X〉 + 〈Hess Γ , DX〉. (1.2)Les objets généralisant les martingales locales à valeurs dans R n aux cas desvariétés sont les martingales ayant pour définition :26

28CHAPITRE 2. INTRODUCTION À L’ANALYSE STOCHASTIQUE SUR LESVARIÉTÉSOn peut utiliser le théorème de Whitney : existence d’un plongement de la variétéM de dimension n dans un R k avec k ≥ 2n + 1 ou bien le théorème de Nash quigarantit l’existence d’un plongement isométrique dans R k avec k ≥ n 2 + 5n + 3quand M est munie d’une structure Riemmanienne. Ces plongements permettent,après extension à l’espace ambiant des champs de vecteurs, de garantir l’existencede solutions de cette EDS sur M [IW89], [Elw88],[Hsu02]. Dans ces ouvrages, il ya aussi un bon nombre d’exemples et d’applications remarquables de ces constructions(des résultats d’analyse, de géométrie Riemmanienne et de topologie).Les EDS envisagées dans ce cas dépendent de champs de vecteurs lisses. Deplus, il y a une notion de flot de difféomorphisme associé [IW89], [Elw88], [Kun90]dont nous reparlerons plus tard.2.2 Équation différentielle stochastique intrinsèqueDans le cadre rappelé plus tôt, c’est à dire celui de la geométrie d’ordre deux,il a été constuit deux notions de différentielle, DX et ∗dX où X est une semimartingalesur M, ne dépendant que de la structure différentielle de M. À la donnéed’une connexion sur M (ce qui est toujours possible) une autre différentielle a étéconsidérée : celle de Itô d Γ X. À ces trois différentielles sont associés trois typesd’équations différentielles stochastiques. Nous renvoyons à [Éme89] et [Éme90a]pour les définitions et les preuves.Les EDS présentées précédemment (2.1), font correspondre à une semimartingalede R m , où m est le nombre de champs de vecteurs sur M utilisés dans (2.1),une semimartingale sur M. De plus, Schwartz a montré que toute semimartingaleà valeurs dans M est solution d’une EDS de cette forme (en utilisant le plongementde Whitney, le nombre maximal de champs de vecteurs nécessaires correspond à ladimension minimale de plongement). Les EDS que nous allons considérer sont enun certain sens plus intrinsèques. Elles engloberont les précédentes et demanderontdans certains cas moins de régularité sur les “champs” qui pourront dépendre de tet ω. Elles transfèreront des équations différentielles ordinaires (EDO) entre deuxvariétés tandis que à priori, les précédentes transfèrent des (EDO) de R m dans M.Surtout les équations différentielles stochastiques intrinsèques donnent souvent desexpressions plus concises et rendent certaines relations plus claires.Soit M et N deux variétés différentielles et un espace probabilisé filtré (Ω, A, F t ,È)vérifiant les conditions usuelles de continuité à droite et de complétude.Définition 2.1 Un opérateur de Schwartz de M dans N est une famille(f(x, y)) (x,y)∈M×N où tous f(x, y) sont des morphismes de Schwartz de τ x M → τ y N(opérateur linéaire vérifiant des conditions de compatibilités c.f. page 85 [Éme89]),dépendant de manière lisse de (x, y). On notera SM(M, N) l’ensemble des opérateursde Schwartz de M à valeurs dans N.28

2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES 29Définition 2.2 Soit X une semimartingale de M et f ∈ SM(M, N). Une solutionde :DY = f(X, Y )DX, (2.2)est une semimartingale à valeurs dans N telle que, pour tout codiffuseur Θ dansN (ou forme de second ordre), on ait :∫∫〈Θ, DY 〉 = 〈f ∗ (X, Y )Θ, DX〉, (2.3)où f ∗ (x, y) : τ ∗ x N → τ ∗ y M est l’adjoint de f(x, y) : τ xM → τ y N.Remarque : Pour une généralisation du théorème qui suit, avec une régularitémoindre sur f (localement Lipschitz) et une possible dépendance en t et ω (defaçon localement bornée et de manière prévisible), on peut se référer à [Éme90a].Théorème 2.1 Soit X une semimartingale de M, f ∈ SM(M, N) et Y 0 une variablealéatoire F 0 -mesurable à valeurs dans N. Il existe un temps d’arrêt prévisibleζ > 0 et une semimartingale Y à valeurs dans N définie sur l’intervalle stochastique[0, ζ[ telle que sa valeur initiale soit Y 0 et qui soit solution de (2.2). Cettesolution explose (sort de tout compact) au temps ζ sur l’événement ζ < ∞ (c’estl’analogue du temps d’explosion déterministe pour une EDO avec des coefficientslocalements Lipschitz). De plus cette solution est maximale : si (ζ ′ , Y ′ ) est uneautre solution de (2.2) dans le sens où ζ ′ est un temps d’arrêt prévisible et Y ′ estune solution de (2.2) de valeur initiale Y 0 définie sur [0, ζ[, alors ζ ′ ≤ ζ et Y ′ = Ysur [0, ζ ′ [ (p.s).Remarque : La preuve de ce théorème repose en grande partie sur celle des EDSdans R n et le théorème de Whitney. Si nous avons une sous variété N ′ de N et unopérateur de Schwartz dont l’image en chaque point est contenue dans τN ′ , alorsla solution de l’EDS correspondante sera dans N ′ , si sa condition initiale Y 0 estdans N ′ , i.e. respecte le même résultat que pour les EDO.Les EDS considérées précédemment sont d’ordre deux, DX étant vu comme un“codiffuseur”. Nous allons donner des EDS d’ordre un dépendant de la différentiellede Stratonovich ∗dX. Cela nous permettra de transférer les équations différentiellesdu premier ordre bien connues dans le cadre de la géométrie différentielle, à savoirles équations de transport parallèle le long d’une courbe, de développement etd’antidéveloppement de courbe (lorsque la variété sera munie d’une connexion).Définition 2.3 Un opérateur de Stratonovich sera une famille (e(x, y)) (x,y)∈M×N ,où e(x, y) sera une application linéaire de T x M dans T y N, qui dépend de manièrelisse de (x, y). L’opérateur e ∗ (x, y) : T ∗ y N → T ∗ x M sera l’opérateur dual de e(x, y),il aura la même régularité que e(x, y).29

30CHAPITRE 2. INTRODUCTION À L’ANALYSE STOCHASTIQUE SUR LESVARIÉTÉSDéfinition 2.4 Soit X une semimartingale à valeurs dans M et e(x, y) un opérateurde Stratonovich. On dira que Y une semimartingale de N est une solution del’équation de Stratonovich :∗dY = e(X, Y ) ∗ dX, (2.4)si pour toutes formes différentielles α sur N, on a :∫∫〈α, ∗dY 〉 = 〈e ∗ (X, Y )α, ∗dX〉. (2.5)L’intégrale de droite a un sens, car e ∗ (X, Y )α est une semimartingale à valeursdans T ∗ M au dessus de X. Le théorème d’existence de solutions précédant a sonanalogue :Théorème 2.2 Soit X une semimartingale de M, e(x, y) un opérateur de Stratonovichet Y 0 une variable aléatoire F 0 -mesurable à valeurs dans N. Il existe untemps d’arrêt prévisible ζ > 0 et une semimartingale Y à valeurs dans N définie surl’intervalle stochastique [0, ζ[ telle que sa valeur initiale soit Y 0 et qui soit solutionde (2.4). Cette solution explose (sort de tout compact) au temps ζ sur l’événementζ < ∞ (c’est l’analogue du temps d’explosion déterministe pour une EDO avec descoefficients localements Lipschitz). De plus, cette solution est maximale : si (ζ ′ , Y ′ )est une autre solution de (2.4) dans le sens où ζ ′ est un temps d’arrêt prévisible etY ′ est une solution de (2.4) de valeur initiale Y 0 définie sur [0, ζ[, alors ζ ′ ≤ ζ etY ′ = Y sur [0, ζ ′ [ (p.s).Remarque : On peut généraliser le théorème précédant au cas où e(x, y) estseulement C 1 et de différentielle localement Lipschitz.Remarque : La différentielle de Stratonovich suit les même règles de calculs queles différentielles premières de la géométrie différentielle, i.e.∗d(f(X)) = df X ∗ dX.Les équations ordinaires du premier ordre entre deux variétés peuvent se transférerau niveau des semimartingales, i.e. une EDO entre deux variétés donne lieuà une EDS (c.f. théorème 8 [Éme90a] ). Ainsi, il y a une notion de transportparallèle comme celle sur les courbes dans une variété munie de connexion (c.f.[Éme89], [Elw88],[Éme90a],[Hsu02]). Cette construction permet comme dans le casdes courbes d’avoir un repère mobile ; c’est un outil fondamental en géométrieRiemanienne et sa généralisation aux semimartingales se révèle l’être tout autant.Des résultats d’approximation des solutions de l’EDS (2.4) par interpolation dela semimartingale X sont donnés dans [Éme89]. Leurs utilités ne sont pas quenumériques, elles permettront par exemple de démontrer que les équations de développementet antidéveloppement stochastique (dans le cas où les variétés sont30

2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES 31munies de connexion) sont les mêmes que l’on utilise les EDS de Stratonovich vuesprécédemment ou les EDS de Itô que nous allons maintenant définir.Comme dans le cas du transfert de Stratonovich, le transfert de Itô transformerales EDO en EDS, mais cette fois relativement aux différentielles de Itô. Onsupposera désormais que M et N sont munies de connexion, respectivement ∇ Met ∇ N , que l’on supposera sans torsion.Définition 2.5 Soit X (resp Y ) une semimartingale dans M (resp N), pour tout(t, ω), e t (ω) : T Xt(ω)M → T Yt(ω)N une application linéaire et e ∗ t (ω) son applicationduale. On dira que Y est solution de l’EDS de Itô :d ΓN Y t = e t (ω)d ΓM X t (2.6)si pour tout α forme différentielle d’ordre un sur N, on a :∫∫〈α, d ΓN Y t 〉 = 〈e ∗ α, d ΓM X t 〉.Remarque : On constatera d’après la définition donnée pour les martingales àvaleurs dans les variétés que, si X est une martingale, il en va de même pour Y .Comme le montre le théorème ci-dessous, la régularité en les coefficients estmoindre que pour les autres type d’EDS considérés précédemment, mais cela anécessité une structure supplémentaire, celle de connexion. Nous omettrons derappeler la notion d’EDS contrainte, qui pourtant se révèle être une notion importantepour comprendre pourquoi un transport parallèle reste au dessus d’unesemimartingale.Théorème 2.3 Si le processus e est prévisible et si Y 0 est une variable aléatoireF 0 mesurable, alors l’EDS de Itô (2.6) admet une unique solution maximale (ζ, Y )valant Y 0 au temps initial.Les liens et les différences entre les deux EDS de type 2.4 et 2.6 sont l’objet dela section 6 de [Éme90a]. Nous ferons l’économie (de papier) de les rappeler, bienque leurs importances soient certaines ! Ces liens sont dus à un schéma d’approximationdes intégrales de Itô qui, dans certains cas, se retrouve être le même que leschéma d’aproximation des intégrales de Stratonovich. C’est le cas si l’EDO d’oùproviennent les EDS (2.4 et 2.6) envoie les géodésiques de (M, ∇ M ) sur celles de(N, ∇ N ).31

32CHAPITRE 2. INTRODUCTION À L’ANALYSE STOCHASTIQUE SUR LESVARIÉTÉS3 Quelques applications du calcul stochastique devenuesclassiquesSoit (M, g) une variété Rimanienne complète de dimension n, ∇ la connexionde Levi-Civita et ∆ g l’opérateur de Laplace-Beltrami associé, c.f. [GHL04], [Jos84],[Jos05]. Il y a plusieurs manières de constuire un mouvement brownien sur M, quiest une diffusion pour l’opérateur elliptique ∆. On pourrait utiliser le théorèmede Nash ou celui de Whitney. Nous allons utiliser la construction due à Eells etElworthy plus économique en browniens directeurs. Elle est présente dans plusieursouvrages [Éme89], [Elw88],[Éme90a]. Elle consiste en un développement stochastiqued’un brownien B à valeurs dans R n défini sur (Ω, A, F t ,È).Soit OM le fibré des repères orthonormés, π : OM → M la projection usuelleet soit X : OM ×R n → T OM telle que, pour tout u ∈ OM, X(u, .) : R n → T u OMsoit linéaire et vérifie X(u, e) = Hu ∇(ue) où H∇ u (ue) est le relèvement horizontal de(ue) par rapport à la connexion ∇. Soit u 0 ∈ OM et (ζ, u t ) une solution maximalede l’EDS de Srtatonovich∗du t = X(u t ) ∗ dB t ,alors x t = π(u t ) est un mouvement brownien issu de x 0 = π(u 0 ), avec ζ commetemps de vie.Supposons de plus que la variété M soit compacte (plus généralement à courburede Ricci minorée par une constante). Dans ce cas, ζ = ∞ p.s. . Comme observéprécédemment (avec le théorème de Nash), x t comme semimartingale est solutionavec condition initiale x 0 d’une EDS extrinsèque du type :∗dx t = A i (x t ) ∗ dW it + A 0 (x t )dt, (3.1)où les A i sont m champs de vecteurs lisses sur M et W est un mouvement browniende R m . Il faut remarquer que m >> n.Soit v 0 ∈ T x0 M, il y a une notion de processus dérivé v t ∈ T xt M provenantdu flot stochastique, obtenue en dérivant formellement l’EDS précédente (3.1), c.f.[Kun90], [IW89] et [Elw88]. À la donnée d’une connexion sur M, l’EDS du flotprend une forme plus simple et se représente grâce à une équation covariante ( c.f.[Elw88], [Nor92]) :Dv t := // 0t ∗ d(// −10t v t) = ∇ vt A i ∗ dW it + ∇ v tA 0 dt (3.2)où // 0t : T x0 M → T xt M est le transport parallèle au dessus de x t .Comme dans [EY93], on définitE[v t |F x t ] = // 0tE[// −10t v t|F x t ] ∈ T x tM32

3. QUELQUES APPLICATIONS DU CALCUL STOCHASTIQUE DEVENUESCLASSIQUES 33où Ftx est la filtration naturelle de x t . En utilisant le théorème A de [EY93], onobtient une équation covariante plus simple à contrôler. C’est celle du transportparallèle déformé :W 0t (v 0 ) := E[v t |Ft x ].Ce transport suit l’équation différentielle covariante suivante :Ddt W 0t(v 0 ) = − 1 2 Ric# (W 0t (v 0 )) + ∇ W0t (v 0 )A 0 .On remarque ici que les browniens “superflus” sont éliminés par filtrage. Ils nesont donc pas en ce sens nécessaires. Il devrait y avoir une construction intrinsèquede ce transport ne nécessitant qu’un nombre de browniens égal à la dimensionde M, et c’est bien le cas c.f. [AT98b], [AT98a], [AT03]. Le transport parallèledéformé permet par exemple de mettre en évidence l’importance de la courbure deRicci dans l’étude des solutions d’équations aux dérivées partielles dans le cadregéométrique.Ne pouvant faire une liste exhaustive de toutes les conséquences du transportparallèle déformé, nous donnerons comme exemples : le contrôle du gradient aucours du temps de la solution d’une équation de la chaleur (formule à la Bismut)et le calcul explicite des constantes universelles apparaissant dans les estimés ponctuelsde gradients de fonction harmonique positive [ADT07] (ces constantes sontexprimées en fonction de la fonction gamma).Le calcul stochastique produit aussi des outils (“moment de stabilité”) qui permettentdans certains cas de donner des renseignements sur la topologie de l’espaceconsidéré [EY93], [Elw88]. Les couplages parallèles ou couplages miroirs, quisont des constructions purement probabilistes étendues aux variétés par [Ken86],[Cra91], permettent de donner des estimés ponctuels (à la Yau) de gradient defonction harmonique, des résultats en théorie du potentiel [Ken86] et produisentaussi, après modifications, des inégalités de Harnack [ATW06].33

34CHAPITRE 2. INTRODUCTION À L’ANALYSE STOCHASTIQUE SUR LESVARIÉTÉS34

Chapitre 3Brownian motion with respect totime-changing Riemannian metrics,applications to Ricci flow3535

Brownian motion with respect to time-changingRiemannian metrics, applications to Ricci flowK.A. CoulibalyAbstractWe generalize Brownian motion on a Riemannian manifold to the case ofa family of metrics which depends on time. Such questions are natural forequations like the heat equation with respect to time dependent Laplacians(inhomogeneous diffusions). In this paper we are in particular interested inthe Ricci flow which provides an intrinsic family of time dependent metrics.We give a notion of parallel transport along this Brownian motion, and establisha generalization of the Dohrn-Guerra or damped parallel transport,Bismut integration by part formulas, and gradient estimate formulas. One ofour main results is a characterization of the Ricci flow in terms of the dampedparallel transport. At the end of the paper we give a canonical definition ofthe damped parallel transport in terms of stochastic flows, and derive an intrinsicmartingale which may provide information about singularities of theflow.1 g(t)-Brownian motionLet M be a compact connected n-dimensional manifold which carries a family oftime-dependent Riemannian metrics g(t). In this section we will give a generalizationof the well known Brownian motion on M which will depend on the family ofmetrics. In other words, it will depend on the deformation of the manifold. Suchfamily of metrics will naturally come from geometric flows like mean curvature flowor Ricci flow. The compactness assumption for the manifold is not essential. Let∇ t be the Levi-Civita connection associated to the metric g(t), ∆ t the associatedLaplace-Beltrami operator. Let also (Ω, (F t ) t≥0 , F, P) be a complete probabilityspace endowed with a filtration (F t ) t≥0 satisfying ordinary assumptions like rightcontinuity and W be a R n -valued Brownian motion for this probability space.Definition 1.1 Let us take (Ω, (F t ) t≥0 , F, P) and a C 1,2 -family g(t) t∈[0,T [ of metricsover M. An M-valued process X(x) defined on Ω × [0, T [ is called a g(t)-Brownian motion in M started at x ∈ M if X(x) is continuous, adapted, and if361

for every smooth function f,is a local martingale.f(X s (x)) − f(x) − 1 2∫ s0∆ t f(X t (x)) dtWe shall prove existence of this inhomogeneous diffusion and give a notion ofparallel transport along this process.Let (e i ) i∈[1..d] be an orthonormal basis of R n , F(M) the frame bundle over M, πthe projection to M. For any u ∈ F(M), let L i (t, u) = h t (ue i ) be the ∇ t horizontallift of ue i and L i (t) the associated vector field. Further let V α,β be the canonicalbasis of vertical vector fields over F(M) defined by V α,β (u) = Dl u (E α,β ) where E α,βis the canonical basis of M n (R) and wherel u : GL n (R) → F(M)is the left multiplication. Finally let (O(M), g(t)) be the g(t) orthonormal framebundle.Proposition 1.2 Assume that g(t) t∈[0,T [ is a C 1,2 (t, x)-family of metrics over M,andA : [0, T [ × F(M) → M n (R)(t, U) ↦→ (A α,β (t, U)) α,βis locally Lipschitz in U unformly in all compact of t. Consider the Stratonovichdifferential equation in F(M):{ ∗dUt = ∑ ni=1 L i(t, U t ) ∗ dW i + ∑ α,β A α,β(t, U t )V α,β (U t ) dt(1.1)U 0 ∈ F(M) such that U 0 ∈ (O(M), g(0)).Then there is a unique symmetric choice for A such that U t ∈ (O(M), g(t)). Moreover:A(t, U) = − 1 2 ∂ 1G(t, U),where (∂ 1 G(t, U)) i,j = 〈Ue i , Ue j 〉 ∂tg(t) .Proof : Let us begin with curves. Let I be a real interval, π : T M → M theprojection, V and C two curves in C 1 (I, T M) such thatx(t) := π(V (t)) = π(C(t)), for all t ∈ IWe want to compute:d()〈V (t), C(t)〉dt g(t,x(t))| t=0237

We write ∂ 1 g(t, x) for ∂ s g(s, x) evaluated at t. Let us express the metric g(t) ina coordinate system; without loss of generality we can differentiate at time 0. Let(x 1 , ..., x n ) be a coordinate system at the point x(0), in which we have:V (t) = v i (t)∂ x iIn these local coordinates we get:C(t) = c i (t)∂ x ig(t, x(t)) = g i,j (t, x(t))dx i ⊗ dx jddt | t=0〈V (t), C(t)〉 g(t,x(t))= d dt | t=0g i,j (t, x(t))v i (t)c j (t)= (∂ 1 g i,j (0, x)v i (0)c j (0) + d (g i,j (0, x(t))v i (t)c j (t))dt | t=0 〉= ∂ 1 g i,j (0, x)v i (0)c j (0) +〈∇ 0 ẋ(0)〉V (t), C(0) g(0,x(0))+〈V (0), ∇ 0 ẋ(0) C(0) g(0,x(0)) 〈〉= 〈V (0), C(0)〉 ∂1 g(0,x(0) + ∇ 0 ẋ(0)〉V (0), C(0) g(0,x(0))+〈V (0), ∇ 0 ẋ(0) C(0) .g(0,x(0))In order to compute the g(t) norm of a tangent valued process we will use whatMalliavin calls “the transfer principle”, as explained in [13],[12].Recall the equivalence between a given connection on a manifold M and asplitting on T T M, i.e. T T M = H ∇ T T M ⊕ V T T M [19]. We have a bijection:For X, Y ∈ Γ(T M) we have:V v : T M π(v) −→ V v T T Mu ↦−→ d (v + tu)| dt t=0.∇ X Y (x) = V −1X(x) ((dY (x)(X(x)))v ),where (.) v is the projection of a vector in T T M onto the vertical subspace V T T Mparallely to H ∇ T T M.For a T (M)-valued process T t , we define:D S,t T t = (V Tt ) −1 ((∗dT t ) v,t ), (1.2)where (.) v,t is defined as before but for the connection ∇ t . The above generalizationmakes sense for a tangent valued process coming from a Stratonovich equation likeU t e i , where U t is a solution of the Stratonovich differential equation (1.1).383

For the solution U t of (1.1) we get()d 〈U t e i , U t e j 〉 g(t,π(Ut))= 〈U t e i , U t e j 〉 ∂1 g(t,π(U t)))dt (1.3)+ 〈 〉D S,t U t e i , U t e j + 〈 g(t,π(U t))U t e i , D S,t U t e j (1.4)〉g(t,π(U t))We would like to find a symmetric A such that the left hand side of the aboveequation vanishes for all time (i.e. U t ∈ (O(M), g(t))). Denote by ev ei : F(M) →T M the ordinary evaluation, and d ev ei : T F(M) → T T M its differential.It is easy to see that d ev ei sends V T F(M) to V T T M and sends H ∇h T F(M) toH ∇ T T M. We obtain:n∑D S,t U t e i = A α,i (t, U t )U t e α dt. (1.5)For simplicity, we take for notation: (∂ 1 G(t, U)) i,j = 〈Ue i , Ue j 〉 ∂tg(t) andα=1(G(t, U)) i,j = 〈Ue i , Ue j 〉 g(t).It is now easy to find the condition for A:(G(t, U t )A(t, U t )) j,i + (G(t, U t )A(t, U t )) i,j = −(∂ 1 G(t, U t )) i,j (1.6)Given orthogonality G(t, U t ) = Id and so by (1.6) A differs from − 1 2 ∂ 1G by skewsymmetric matrice, therefore will be equal to it if we demand symmetry. Converselyif A = − 1 2 ∂ 1G then (1.3) and equation (1.2) we see G(t, U t ) = Id.Remark : The SDE in proposition 1.2 does not explode because on anycompact time interval all coefficients and their derivatives up to order 2 in spaceand order 1 in time are bounded.Remark : The condition of symmetry is linked to a good definition of paralleltransport with moving metrics in some sense.To see where the condition of symmetry comes from we may observe whathappens in the constant metric case. It is easy to see that the usual definitionof parallel transport along a semi-martingale which depends on the vanishing ofthe Stratonovich integral of connection form, is equivalent to isometry and thesymmetry condition for the drift in the following SDE in F(M):⎧⎪⎨⎪⎩dŨt = ∑ di=1 L i(Ũt) ∗ dW i + A(Ũt) α,β V α,β (Ũt) dtŨ 0 ∈ (O(M), g)Ũ t ∈ (O(M), g) (isometry)A(., .) α,β ∈ S(n) (vertical evolution).394

Remark : Isometry of U t forces A to be skeew symmetric by (1.6), the symmetryof A give A = 0. We get the usual stochastic differential equation of the paralleltransport in constante metric case.The next proposition is a direct adaptation of a proposition in [15], page 42;hence the proof is omitted.Proposition 1.3 Let α ∈ Γ(T ∗ M) and F α : F(M) → R d , F i α(u) = α π(u) (ue i ) itsscalarization. Then, for all A ∈ Γ(T M),Consequently, for all u ∈ F(M),and for f ∈ C ∞ (M),Hence we have the formula:(∇ A α) π(u) (ue i ) = h(A π(u) )F i α.(∇ g(t)Adf) π(u)(ue i ) = h g(t) (A π(u) )FdfiL i (t)(f ◦ π)(u) = d(f ◦ π)L i (t, u)= F i df(u).L i (t)L j (t)(f ◦ π)(u) = h g(t) (ue i )F j df= (∇ g(t)ue idf)(ue j )= ∇ g(t) df(ue i , ue j ).Proposition 1.4 Take x ∈ M and the SDE in F(M):{ ∗dUt = ∑ ni=1 L i(t, U t ) ∗ dW i − 1 2 ∂ 1G(t, U t ) α,β V α,β (U t ) dtU 0 ∈ F(M) such that U 0 ∈ (O x (M), g(0)).(1.7)Then X t (x) = π(U t ) is a g(t)-Brownian motion, which we note g(t)-BM(x).Proof :For f ∈ C ∞ (M),d(f ◦ π ◦ U t ) = ∑ ni=1 L i(t)(f ◦ π)(U t ) ∗ dW i= ∑ ni=1 L i(t)(f ◦ π)(U t )dW i + 1 2dM ∑ ≡1 n2 i=1 ∇g(t) df(U t e i , U t e i ) dtdM≡1∆ 2 tf(π ◦ U t ) dt.The last equality comes from the fact that U t ∈ (O(M), g(t)).∑ ni,j=1 L i(t)L j (t)(f ◦ π)dW i dW j405

Remark : Recall that in the compact case the lifetime of equation (1.7) isdeterministic and the same as the lifetime of the metrics family.Let U t be the solution of (1.7). We will write // 0,t = U t ◦ U −10 the g(t) paralleltransport over a g(t)-Brownian motion ( we call it parallel transport because it isa natural extention of the usual parallel transport in the constante metric case).As usual it is an isometry:// 0,t : (T M X0 , g(0)) → (T M Xt , g(t)).We also get a development formula. Take an orthonormal basis (v 1 , ..., v n ) of(T M X0 , g(0)), and X t (x) a g(t)-Brownian motion of proposition 1.4; thenFor f ∈ C 2 (M) we get the Itô formula:∗dX t (x) = // 0,t v i ∗ dW it .df(X t (x)) = 〈∇ t f, // 0,t v i 〉 t dW i + 1 2 ∆ t(f)(X t (x)) dt.We will now give examples of g(t)-Brownian motion. Let (S n , g(0)) be a sphere∂and the solution of the Ricci flow:∂ tg(t) = −2 Ric t that is g(t) = (1−2(n−1)t)g(0)with explosion time T c = 1 . We will use the fact that all metrics are conformal2(n−1)to the initial metric to express the g(t)-Brownian motion in terms of the g(0)-Brownian motion. Let f ∈ C 2 (S n ), X t (x) be a g(t)-Brownian motion startingat x ∈ S n , B t some real-valued Brownian motion, and B t (x) a S n valued g(0)-Brownian motion. Then:df(X t (x)) =‖ ∇ t f(X t (x)) ‖ g(t) dB t + 1 ()1∆ 0 f(X t (x)) dt.2 1 − 2(n − 1)tWe have:Letthenτ(t) =‖ ∇ t f ‖ 2 t =We have the equality in law:τ(t) =11 − 2(n − 1)t ‖ ∇0 f ‖ 2 0 .∫ t011 − 2(n − 1)s ds,ln(1 − 2(n − 1)t), τ −1 (t) = e−2(n−1)t − 1−2(n − 1)−2(n − 1) .(X . (x)) L = (B τ(.) (x)).416

We have a similar result for the hyperbolic case: Let (H n (−1), g(0)) be thehyperbolic space with constant curvature −1. Then g(t) = (1 + 2(n − 1)t)g(0) isthe solution of the Ricci flow. Let X t (x) be a g(t)-Brownian motion starting atx ∈ S n ,and B t (x) an H n -valued g(0)-Brownian motion. Then:and in law:τ(t) =∫ t011 + 2(n − 1)s ds,(X . (x)) L = (B τ(.) (x)).Let us look at what happens for some limit of the Ricci flow, the so calledHamilton cigar manifold. Let on R 2 , g(0, x) = 1 g1+‖x‖ 2 can be the Hamilton cigar([5]), where ‖ . ‖ is the Euclidean norm. Then the solution to the Ricci flowis given by g(t, x) =1+‖x‖2 g(0, x). Let f ∈ C 2 (R 2 ), Xe 4t +‖x‖ 2 t (x) be a g(t)-Brownianmotion starting at x ∈ R 2 , B t a real-valued Brownian motion, and B t (x) some R 2valued g(0)-Brownian motion. Then:We have:We set:Then in law:df(X t (x)) =‖ ∇ t f(X t (x)) ‖ g(t) dB t + 1 e 4t + ‖ X t (x) ‖ 22 1+ ‖ X t (x) ‖ ∆ 0f(X 2 t (x)) dt.∇ t f(x) = e4t + ‖ x ‖ 21+ ‖ x ‖ 2 ∇0 f(x),‖ ∇ t f(x) ‖ 2 t = e4t + ‖ x ‖ 21+ ‖ x ‖ 2 ‖ ∇ 0 f(x) ‖ 2 0,τ(t) =∆ t f = e4t + ‖ x ‖ 21+ ‖ x ‖ 2 ∆ 0f.∫ t0e 4s + ‖ X s (x) ‖ 21+ ‖ X s (x) ‖ 2 ds.(X . (x)) L = (B τ(.) (x))Remark : If X t (x) is a g(t)-Brownian motion associated to a Ricci flowstarted at g(0) then X t/c (x) is a cg(t/c)-Brownian motion associated to a Ricciflow started at cg(0) so it is compatible with the blow up.427

2 Local expression, evolution equation for the density,conjugate heat equationWe begin this section by expressing a g(t)-Brownian motion in local coordinates.Proposition 2.1 Let x ∈ M, (x 1 , ..., x n ) be local coordinates around x, and X t (x)a g(t)-Brownian motion. Before the exit time of the domain of coordinates, wehave:√dXt(x) i = g −1 (t, X t (x)) i,j dB j − 1 2 gk,l Γ i kl(t, X t (x)) dtwhere we denote √ g −1 (t, X t (x)) i,j the unique positive square root of the inverse tothe matrix (g(t, ∂ x i, ∂ x j)) i,j ; here Γ i kl (t, X t(x)) are the Christoffel symbols associatedto ∇ g(t) , and B i are n independent Brownian motion.Proof : Recall equation (1.7), we shall express it in local coordinates of F(M).For u ∈ F(M) and x = π(u), we write ue i = e j i (u)∂ xj. We get a coordinates systemfor the frame bundle as (x l , e j i ) and:L i (t, u) = e j i ∂ x j − ej i el mΓ k jl(t, x)∂ e k m.In these coordinates, we write the solution of (1.7) as U t = (Xt, i e j i (t)). We obtain:{ dXit = e i j(t) ∗ dW jde k m(t) = −Γ k jl (t, X t)e j i (t)el m(t) ∗ dW i − 1 2 ∂ 1g(t, U t ) α,k e m α (t) dt.The Itô equation for X i t isWe also have:dX j t = e j i (t)dW i + 1 2 d〈ej i , W i 〉.δ l,m = 〈U t e l , U t e m 〉 g(t) = e i l(t)g(t) i,j e j m(t).so e † (t)e(t) = g(t) −1 , where e † is the transposition. We note the martingale partof X i t as M i = e j i (t)dW j . By the above computations, we getd〈M i , M j 〉 = g i,j (t, X t ) dt.Let us also write σ = √ g −1 . By Lévy’s theorem, we find an R n -valued Brownianmotion:Also:B t =∫ t0(σ(X s )) −1 dM s .de j i (t)dW jt = −e k i (t)e l i(t)Γ j kl (t, X t) dt= −g k,l (t, X t )Γ j kl (t, X t) dt.438

Hence:dX j t = σ i,j (X t )dB i − 1 2 gk,l (t, X t )Γ j kl (t, X t) dt.case.Remark :The above equation is similar to the equation in the fixed metricNow we shall study the evolution equation for the density of the law of theg(t)-Brownian motion. Let X t (x) be a g(t)-BM(x), and dµ t the Lebesgue measureover (M, g(t)). X t (x) is a diffusion with generator ∆ t , we have the smoothness ofthe density (e.g. [22]). Let h x (t, y) ∈ C ∞ (]0, T [×M) such that:{LX t (x) = h x (t, y)dµ t (y), t > 0LX 0 (x) = δ x .By the continuity of X t (x) and the dominated convergence theorem we get theconvergence in law:Llimt→0X t (x) = δ x .We write in a local chart the expression of dµ t in terms of dµ 0 , i.e.,√det(gi,j (t))√dµ t = √ det(g i,j (0))|dx 1 ∧ dx 2 ∧ ... ∧ dx n |det(gi,j (0))and we note:µ t (dy) = ψ(t, y)µ 0 (dy).Proposition 2.2⎧(d1 ⎪⎨dt (hx (t, y)) + h x (t, y) Tr2 (g−1 (t, y)) d dt g (t, y))= 1 2 ∆ g(t)h x (t, y)L ⎪⎩ lim h x (t, y)dµ t = δ x .t→0Proof :i.e.:For f ∈ C ∞ (M), t > 0, by definition of X t (x) we have:∫ddt[ ]∫E[f(X t (x))] − f(x) = 1E t∆ 2 0 g(s)f(X s (x)) dsdE[f(X dt t(x))] = 1E[∆ 2 g(t)f(X t (x))],∫M hx (t, y)f(y)µ t (dy) = 1 2 ∫∆ M g(t)f(y)h x (t, y)µ t (dy)= 1 f(y)∆ 2 M g(t)h x (t, y)µ t (dy).944

The last equality comes from Green’s theorem and the compactness of the manifold.By changing µ t (dy) = ψ(t, y)µ 0 (dy) in the left hand side, we have:∫f(y) d dt (hx (t, y)ψ(t, y))µ 0 (dy) = 1 ∫f(y)(∆ g(t) h x (t, y))ψ(t, y))µ 0 (dy)2Mso:ddt (hx (t, y)ψ(t, y)) = 1 2 (∆ g(t)h x (t, y))ψ(t, y)) (2.1)We also have by determinant differentiation:ddt ψ(t, y) = 1M2 √ 1√det(g i,j (0)) det(gi,j (t)) det(g i,j(t)) Tr(g −1 (t, y) d )dt g(t, y)= 1 (2 ψ(t, y) tr g −1 (t, y) d ).dt g(t, y)()1The part Tr2 g−1 (t, y) d g(t, y) is intrinsic, it does not depend on the choicedtof the chart. Hence (2.1) gives the following inhomogeneous reaction-diffusionequation:(d1dt (hx (t, y)) + h x (t, y)tr2 g−1 (t, y) d )dt g(t, y) = 1 2 ∆ g(t)h x (t, y).We will give as example the evolution equation of the density in the case wherethe family of metrics comes from the forward (and resp. backward) Ricci flow.From now Ricci flow will mean (probabilistic convention):dg dt i,j = − Ric i,j . (2.2)(respectively)dg dt i,j = Ric i,j . (2.3)Remark : Hamilton in [14], and later DeTurck in [7] have shown existencein small times of such flow. In this section we don’t care about the real existencetime.For x ∈ M, we will denote by S(t, x) the scalar curvature at the point x for themetric g(t).Corollary 2.3 For the backward Ricci flow (2.3), we have:⎧d ⎪⎨dt (hx (t, y)) + 1 2 hx (t, y)S(t, y) = 1 2 ∆ g(t)h x (t, y)L⎪⎩ lim h x (t, y)dµ t = δ x .t→04510

For the forward Ricci flow (2.2), we have:⎧d ⎪⎨dt (hx (t, y)) − 1 2 hx (t, y)S(t, y) = 1 2 ∆ g(t)h x (t, y)L⎪⎩ lim h x (t, y)dµ t = δ x .t→0Remark : These equations are conservative. This is not the case for the ordinaryheat equation with time depending Laplacian i.e. ∆ g(t) . They are conjugateheat equations which are well known in the Ricci flow theory (e.g. [24]).3 Damped parallel transport, and Bismut formulafor Ricci flow, applications to Ricci flow for surfacesIn this section, we will be interested in the heat equation under the Ricci flow. Theprincipal fact is that under forward Ricci flow, the damped parallel transport orDohrn-Guerra transport is the parallel transport defined before. The deformationof geometry under the Ricci flow compensates the deformation of the parallel transport(i.e. the Ricci term in the usual formula for the damped parallel transportin constant metric case see ([9], [23], [10])). The isometry property of the dampedparallel transport turns out to be an advantage for computations. In particular, forgradient estimate formulas, everything looks like in the case of a Ricci flat manifoldwith constant metric. We begin with a general result independent of the fact thatthe flow is a Ricci flow. Let g(t) [0,Tc[ be a C 1,2 family of metrics, and consider theheat equation: {∂t f(t, x) = 1∆ 2 tf(t, x)(3.1)f(0, x) = f 0 (x),where f 0 is a function over M. We suppose that the solution of (3.1) exists untilT c . For T < T c , let XtT be a g(T − t)-Brownian motion and // T 0,t the associatedparallel transport.Definition 3.1 We define the damped parallel transport W T 0,t as the solution of:∗d((// T 0,t) −1 (W T 0,t)) = − 1 2 (//T 0,t) −1 (Ric g(T −t) −∂ t (g(T − t))) #g(T −t) (W T 0,t) dtwithW T 0,t : T x M −→ T X Tt (x)M, W T 0,0 = Id TxM .4611

Theorem 3.2 For every solution f(t, .) of (3.1), and for all v ∈ T x M,is a local martingale.df(T − t, .) X Tt (x)(W T 0,tv)Proof : Recall the equation of a parallel transport over the g(T − t)-Brownianmotion Xt T (x):{∗dUTt = ∑ di=1 L i(T − t, Ut T ) ∗ dW i − 1∂ 2 t(g(T − t))(Ut T e α , Ut T e β )V α,β (Ut T ) dtU0 T ∈ (O x (M), g(T )).(3.2)For f ∈ C ∞ (M), its scalarization:˜df : F(M) −→ R nyields the following formula in R n :U ↦−→ (df(Ue 1 ), ..., df(Ue n )),df(T − t, .) X Tt (x)(W T 0,tv) = 〈 ˜df(T − t, U T t ), (U T t ) −1 W T 0,tv〉 R n,for every v ∈ T x M. To recall the notation let:ev ei : F(M) −→ T MU ↦−→ Ue iand recall that U T t , solution of (3.2), is a diffusion associated to the generator12 ∆H T −t − 1 2 ∂ t(g(T − t))(ev ei (.), ev ej (.))V i,j (.)where ∆ H T −t is the horizontal Laplacian in M, associated to the metric g(T − t).In the Itô sense, we get:d(df(T − t, .) X Tt (x)(W T 0,t)v) = d〈 ˜df(T − t, U T t ), (U T t ) −1 W T 0,tv〉 R ndM≡ 〈−(ddt ˜df)(T − t, .)(U T t )dt + [ 1 2 ∆H T −t ˜df(T − t, .)− 1 2 ∂ t(g(T − t))(ev ei ., ev ej .)V i,j (.) ˜df(T − t, .)](U T t ) dt, (U T t ) −1 W T 0,tv〉 R n+ 〈( ˜df(T − t, U T t )), (U T 0 ) −1 d((// T 0,t) −1 (W T 0,t))v〉 R ndM≡ −(ddt df)(T − t, .)((WT 0,t))v) dt + 〈[ 1 2 ∆H T −t ˜df(T − t, .)− 1 2 ∂ t(g(T − t))(ev ei ., ev ej )V i,j (.) ˜df(T − t, .)](U T t ) dt, (U T t ) −1 W T 0,tv〉 R n− 1 2 〈( ˜df(T − t, U T t )), (U T 0 ) −1 (// T 0,t) −1 (Ric g(T −t) −∂ t (g(T − t))) #g(T −t) (W T 0,t)v dt〉 R n.4712

We shall make separate computations for each term in the previous equality. Usingthe well known formula (e.g. [15], page 193)we first note that:∆ H ˜df = ˜∆df,By definition:〈 1 2 ∆H T −t ˜df(T − t, .)(U T t ), (U T t ) −1 W T 0,tv dt〉 R n= 1 2 〈 ˜∆ T −t df(T − t, .)(U T t ), (U T t ) −1 W T 0,tv〉 R n dt= 1 2 ∆ T −tdf(T − t, .)(W T 0,tv) dt,V i,j ˜df(u) =ddt t=0 +tE ij ))= d | dt t=0(df(u(Id +tE ij )e s )) s=1..n= (df(uδi s e j )) s=1..n= (0, ..., 0, df(ue j ), 0, ..., 0) i-th position,so that:∑ij ∂ t(g(T − t))(ev ei ., ev ej .)V i,j (.) ˜df(T − t, .)(U T t ) dt= ∑ ij ∂ t(g(T − t))(U T t e i , U T t e j )df(U T t e j )e i dt= (〈∇ T −t f(T − t, .), ∑ j ∂ t(g(T − t))(U T t e i , U T t e j )U T t e j 〉 T −t dt) i=1..n= (df(T − t, ∂ t (g(T − t)) #T −t (U T t e i )) dt) i=1..n .Thend(df(T − t, .) X Tt (x)((W T 0,t)v))dM≡ −ddt df(T − t, .)((WT 0,tv) dt− 1 2 〈(df(T − t, ∂ t(g(T − t)) #T −t (U T t e i ))) i=1..n , (U T t ) −1 W T 0,tv〉 R n dt+ 1 2 ∆ T −tdf(T − t, .)(W T 0,tv) dt− 1 2 〈( ˜df(T − t, U T t )), (U T 0 ) −1 (// T 0,t) −1 (Ric g(T −t) −∂ t (g(T − t)) #g(T −t) (W T 0,t)v dt〉 R n.By the fact that U T tis a g(T − t)-isometry we have:〈(df(T − t, ∂ t (g(T − t)) #T −t (U T t e i ))) i=1..n , (U T t ) −1 W T 0,tv〉 R n= 〈 ∑ i ∂ t(g(T − t))(U T t e i , ∇ T −t f(T − t, .))e i , (U T t ) −1 W T 0,tv〉 R n= 〈 ∑ i ∂ t(g(T − t))(U T t e i , ∇ T −t f(T − t, .))U T t e i , W T 0,tv〉 T −t= 〈∂ t (g(T − t)) #T −t (W T 0,tv), ∇ T −t f(T − t, .)〉 T −t ,4813

Consequently:d(df(T − t, .) X Tt (x)(W T 0,tv))dM≡ −ddt df(T − t, .)(WT 0,tv) dt− 1 2 〈∇T −t f(T − t, .), ∂ t (g(T − t)) #T −t (W T 0,tv)〉 T −t dt+ 1 2 ∆ T −tdf(T − t, .)(W T 0,tv) dt− 1 2 〈( ˜df(T − t, U T t )), (U T t ) −1 (Ric g(T −t) −∂ t (g(T − t))) #g(T −t) (W T 0,t)v dt〉 R ndM≡ −ddt df(T − t, .)(WT 0,tv) dt + 1 2 ∆ T −tdf(T − t, .)(W T 0,tv) dt− 1 2−t)df(T − t, Ric#g(Tg(T −t)(W T 0,tv) dt.But recall that f is a solution of:so that∂∂t f = 1 2 ∆ tf,− ∂ ∂t df(T − t, .) = −1 2 d∆ T −tf(T − t, .).We shall use the Hodge-de Rham Laplacian □ T −t = −(dδ T −t + δ T −t d) which commuteswith the de Rham differential, and we shall use the well-known Weitzenböckformula ([16, 17]), which says that for θ a 1-form, □ T −t θ = ∆ T −t θ − Ric T −t θ. Weget:d∆ T −t f(T − t, .) = d□ T −t f(T − t, .)= □ T −t df(T − t, .)= ∆ T −t df(T − t, .) − Ric T −t df(T − t, .).Finally:d(df(T − t, .) X Tt (x)(W T 0,tv))dM≡1dM≡ 0,Ric 2 T −t df(T − t, .)(W T 0,tv) dt− 1 2 〈∇T −t #T −tf(T − t, .), Ric (W T 0,tv)〉 T −t dtT −tby duality; for a 1-form θ and for v ∈ T M:where〈θ # , v〉 = θ(v) .Ric(θ)(v) = Ric(θ # , v.)4914

Remark :For the forward Ricci flow, we have:// T 0,t ∗ d((// T 0,t) −1 W T 0,t) = 0.For the backward Ricci flow, we have:// T 0,t ∗ d((// T 0,t) −1 W T 0,t) = − Ric#T −tT −t(W T 0,t) dt.When the family of metrics is constant, we have the usual damped paralleltransport, wich satifies:// 0,t ∗ d((// 0,t ) −1 W 0,t ) = − 1 2 Ric# (W 0,t ) dt.Remark : Roughly speaking, the result says that the deformation of the metricunder Ricci flow makes the damped parallel transport behaves like the dampedparallel transport in the case of a constant metric with flat Ricci curvature.For the heat equation under the forward Ricci flow, we take the probabilisticconvention:⎧⎨ ∂ t f(t, x) = 1∆ 2 tf(t, x)d⎩g dt i,j = − Ric i,j(3.3)f(0, x) = f 0 (x)We shall give a Bismut type formula and a gradient estimate formula for theabove equation. For notation, let T c be the maximal life time of the forward Ricciflow g(t) t∈[0,Tc[, solution of (2.2). For T < T c , XtT is a g(T − t)-Brownian motionand // T 0,t the associated parallel transport. In this case, for a solution f(t, .) of(3.3), f(T − t, Xt T (x)) is a local martingale for any x ∈ M. When going back intime, one has to remember all deformations of the geometry.We now recall a well known lemma giving a Bismut type formula (e.g. [8]).Let f(t, .) and g(t) be solution of (3.3), T < T c , and Xt T (x) a g(T − t)-Brownianmotion.Lemma 3.3 For all R n -valued process k such that k ∈ L 2 loc (W ) where W is someR n -valued Brownian motion, and for all v ∈ T x M,N t = df(T − t, .) X Tt (x)(U T t )[(U T 0 ) −1 v − ∫ t0 k rdr]+ f(T − t, X T t (x)) ∫ t0 〈k r, dW 〉 R nis a local martingale.5015

Proof : The first remark after theorem 3.2 yield that the first term is a semimartingale.By Itô calculus we get:d(f(T − t, Xt T (x))) = df(T − t, .) X Tt (x)U t e i dW i .With (l i ) i=1..n a g(T )-orthonormal frame of T x M, we write N t as:with 3.2:N t = ∑ i (df(T − t, .) X T t (x) (U T t (U T 0 ) −1 )l i )(v i − ∫ t0 〈U T 0 (k r ), l i 〉 T dr)+ f(T − t, X T t (x)) ∫ t0 〈k r, dW 〉 R ndN tdM≡∑i (df(T − t, .) Xt T (x) (Ut T (U0 T ) −1 )l i )(−〈U0 T (k t ), l i 〉 T dt)dM≡+d(f(T − t, Xt T (x)))〈k t , dW 〉 R n∑i (df(T − t, .) Xt T (x) (Ut T (U0 T ) −1 )l i )(−〈U0 T (k t ), l i 〉 T dt)+ ∑ i df(T − t, .) Xt T (x) (Ut T l i )dW i ( ∑ j kj t dW j )dM≡ 0.Remark : Since T is smaller than the explosion time T c , and by the compactnessof M, N t is clearly a true martingale, so we could use the martingaleproperty for global estimate, or the Doob optional sampling theorem for local estimate(e.g. [23]).Corollary 3.4 Let v ∈ T x M, and take for example k r = (U 0 T )−1 v1 T [0,T ] (r) then:df(T, .) x v = 1 ∑E[f 0 (XT T (x))〈(U0 T ) −1 v, e i 〉 R nW i (T )].TiProof : With the above remark, N t is a martingale. The choice of k r gives(U0 T ) −1 v − ∫ Tk 0 rdr = 0; the result follows by taking expectation at time 0 and T .We can give the following estimate for the gradient of the solution of (3.3):Corollary 3.5 Let ‖f‖ ∞ = sup M |f 0 |. For T < T c :and:sup ‖∇ T f(T, x)‖ T is decreasing in timex∈Msup ‖∇ T f(T, x)‖ T ≤ ‖f‖ ∞√ .x∈MT1651

Proof : Take x ∈ M such that ‖ ∇ T f(T, x) ‖ T is maximal. Using the dampedparallel transport 3.2 we obtain that for all v ∈ T x M:df(T − t, X T t (x))W T 0,tv,is a local martingale. By compactness, this is a true martingale. Taking v =∇ T f(T, x) and averaging the previous martingale at time 0 and t we get:‖ ∇ T f(T, x) ‖ 2 T = E[〈∇ T −t f(T − t, X T t (x)), W T 0,tv〉 T −t ].Using 3.2, we get the first result.If we choose k r = (U 0 T )−1 v1 T [0,T ] (r) in 3.3, then N texpectations at times 0 and T , we obtainis a martingale. Takingdf(T, .) x v = 1 T E[f 0(X T T (x))∫ T0〈U T 0 ) −1 v, dW 〉 R n].For x ∈ M and v = ∇ T f(T, x), Schwartz inequality gives[ ∣∣∣∣‖ ∇ T f(T, x) ‖ 2 T ≤ M ∫ T0T E 〈U0 T ) −1 v, dW 〉 R n∣02 ] 1 2.We have:The result follows.[ ∣∣∣∣ ∫ T]E 〈U0 T ) −1 v, dW 〉 R n∣= T ‖ v ‖∣2 2 T .0For geometric interpretation, let us give an example of normalized Ricci flowfor surfaces (which is completely understood e.g. [5]). We are interested in thisexample because the equation for the scalar curvature under this flow is a reactiondiffusionequation which is quite similar to the heat equation under Ricci flow. Wewill give a gradient estimate formula for the scalar curvature under normalizedRicci flow which gives in the case χ(M) < 0 (the easiest case) the convergence ofthe metric to a metric of constant curvature.The normalized Ricci flow of surfaces comes from normalizing the metric bysome time dependent function to preserve the volume. Let M be a 2-dimensionalmanifold, R(t) the scalar curvature, r = ∫ M R tdµ t /µ t (M) its average (which willbe constant in time, as topological constant, e.g. Gauss-Bonnet). We get thefollowing equation for normalized Ricci flow:ddt g i,j(t) = (r − R(t))g i,j (t).5217

Remark : Hamilton gives a proof of the existence of solutions to this equation,defined for all time ( e.g. [5])).Recall that (e.g. [5]) the equation for the scalar curvature R is:∂∂t R = ∆ tR + R(R − r).Proposition 3.6 Let T ∈ R, X T t (x) be a 1 2 g(T −t)-BM(x), //T 0,t the parallel transport,v ∈ T x M and ϕ t v the solution of the following equation:// T 0,td ( (// T 0,t) −1 ϕ t v ) = −( 32 r − 2R ( T − t, X T t (x) )) ϕ t v dtϕ 0 = Id TxM .Then dR(T − t, .) X Tt (x)ϕ t v is a martingale and:‖∇ T R(T, x)‖ T ≤ sup ‖∇ 0 R(0, x)‖ 0 e − 3 2 rT E[e R T0 2R(T −t,XT t (x)) dt ]. (3.4)MProof : The proof is similar to the one in 3.2, the difference is the reaction term:R(R−r). For notations and some details see the proof of 3.2. Take F : x ↦→ x(x−r),then:∂∂t R = ∆ tR + F (R).We write:dR(T − t, .) | X Tt (x) ϕ t v = 〈 ˜dR(T − t, U T t ), (U T t ) −1 ϕ t v〉 R 2where U T tis a diffusion on F(M) with generator∆ H T −t + 1 4 (r − R(T − t, π.))g(T − t)(ev ei ., ev ej .)V i,j (.).Using theorem 3.2, we have:d〈 ˜dR(T − t, U T t ), (U T t ) −1 ϕ t v〉 R 2= 〈d( ˜dR(T − t, U T t )), (U T t ) −1 ϕ t v〉 R 2+ 〈 ˜dR(T − t, U T t ), d((U T t ) −1 ϕ t v)〉 R 2dM≡[ ∂∂ t(dR(T − t, .)) + ∆ T −t dR(t − t, .) + 1 2 (r − R(T − t, π.))dR(T − t, .) ](ϕ t v) dt+ 〈 ˜dR(T − t, U T t ), d((U T t ) −1 ϕ t v)〉 R 2Using Weitzenböck formula and the equation for R we get:∂∂t dR(T −t, .) = −[∆ T −tdR(T −t, .)−Ric T −t dR(T −t, .)+F ′ (R(T −t, .))dR(T −t, .)]5318

Recall that for the surface:consequentlyRic T −t dR(T − t, .) = 1 R(T − t, .)dR(T − t, .),2d〈 ˜dR(T − t, U T t ), (U T t ) −1 ϕ t v〉 R 2dM≡ (12 r − F ′ (R(T − t, .))dR(T − t, .))(ϕ t v) dt + 〈 ˜dR(T − t, U T t ), d((U T t ) −1 ϕ t v)〉 R 2dM≡ (12 r − 2R(T − t, .) + r)dR(T − t, .))(ϕ tv) dt+ 〈 ˜dR(T − t, U T t ), (U T t ) −1 (− 3 2 r + 2R(T − t, .))ϕ tv)〉 R 2dM≡ 0,where we used the equation of ϕ t v in the last step.For the second part of the proposition, with the equation for ϕ t v we have:so thatd(‖ ϕ t v ‖ 2 T −t) = (4R(T − t, X T t (x) − 3r) ‖ ϕ t v ‖ 2 T −t dt,‖ ϕ T v ‖ 2 0=‖ ϕ 0 v ‖ 2 T e −3rT e R T0 4R(T −s,XT s (x)) ds .Take v = ∇ T R(T, x) and average at time 0 and T (it is a true martingalebecause all coefficients are bounded) to get:‖∇ T R(T, x)‖ T ≤ sup ‖∇ 0 R(0, x)‖ 0 e − 3 2 rT E[e R T0 2R(T −s,XT s (x)) ds ].MRemark : For reaction-diffusion equations we can find by this calculationthe correction to the parallel transport leading to a Bismut type formula for thegradient of the equation:∂∂t f = ∆ tf + F (f), (3.5)where ∆ t is a Laplace Beltrami operator associated to a family of metrics g(t).Let Xt T (x) be a 1g(T − t) − BM(x), 2 //T 0,t the associated parallel transport andv ∈ T x M. Consider the covariant equation:(// T 0,td(// T 0,t) −1 Θ t v = − Ric #,T −t − 1 [ ∂] #,T −t )2 ∂t (g(T − t)) ′− F (f) Θ t v dtThen for f a solution of (3.5) and v ∈ T x M we obtain that:df(T − t, .)Θ t vis a local martingale.5419

Corollary 3.7 For χ(M) < 0, there exists C > 0 depending only on g(0), suchthat:‖∇ T R(T, x)‖ T ≤ sup ‖∇ 0 R(0, x)‖ 0 e 1 2 rT e 2C( erT −1r ) .MProof : We use proposition 5.18 in [5]. In this case we have r < 0 and a constantC > 0 depending only on the initial metric such that R(t, .) ≤ r + Ce rt andthe estimate follows from previous proposition.Remark : For the case χ(M) < 0 we obtained an estimate which decreasesexponentially. For the case χ(M) > 0 one could control the expectation in (3.4).4 The point of view of the stochastic flowLet g(t) [0,Tc[ be a C 1,2 family of metrics, and consider the heat equation:{∂t f(t, x) = 1 2 ∆ tf(t, x)f(0, x) = f 0 (x),(4.1)where f 0 is a function over M. We suppose that the solution of this equation existsuntil T c . For T < T c , let XtT be a g(T −t)-Brownian motion and // T 0,t the associatedparallel transport.The family of martingales f(T − t, Xt T (x 0 )) x0 ∈M, which arise from Itô calculus,will be differentiated with respect to the parameter x 0 . However, in this section, wewill not do it directly using stochastic flows in the sense of [20]. Instead, we will usedifferentiation of families of martingales defined as limit in some semi-martingalespace (the topology is as in [11] which has been extended by Arnaudon, Thalmaierto the manifold case [4], [3], [1], [2]).We work in the space-time I×M, its tangent bundle being identified to T I×T Mendowed with the cross connection ˜∇ = ∇ ⊗ ∇ T −t where ∇ is the flat connection.Let Xt T (x 0 ) be a g(T − t)-BM started at x 0 , and define Y t (x 0 ) = (t, Xt T (x 0 )) aI ×M-valued semi martingale. From now on P ˜∇X,Y stands for the parallel transportalong the shortest ˜∇-geodesic between nearby points X ∈ I × M and Y ∈ I × Mfor the connection ˜∇.Let ˜c a curve in I × M, we write P ˜∇˜c for the ˜∇ parallel transport along ˜c andfor a curve c in M we denote by // T c−s ) the ∇ T −s parallel transport along c. Wealso denote π : I × M → M the natural projection.For a curve γ : t −→ (s, x t ) in I × M, where s is a fixed time, we have thefollowing observation:P ˜∇γ = (Id, // T −sπ(γ) ).5520

Define the Itô stochastic equation in the sense of [13]:d ˜∇Yt (x) = P ˜∇Yt(x 0 ),Y t(x)d ˜∇Yt (x 0 ) (4.2)Remark : The above equation is well defined, for x sufficiently close to x 0 ,because d T −t (X t (x), X t (x 0 )) is a finite variation process, with bounded derivative(by a short computation and [18], [6]).Let ˜// 0,tbe the parallel transport, associated to the connection ˜∇, over the semimartingale Y t (x 0 ).In the next lemma, we will explain the relationship between the two paralleltransport ˜// 0,tand // T 0,t.Lemma 4.1 Let (e i ) i=1..n be a orthonormale of (T M x0 , g(T )) thend((// T 0,t) −1 dπ ˜// 0,t)(0, e i ) = 1 2 (//T 0,t) −1 ( ∂ ∂ tg(T − t)) #T −t (dπ ˜// 0,t(0, e i )) dt.Proof :The parallel transport ˜// 0,tdoes not modify the time vector, i.e.,˜// −1(t,X t)(0, ...) = (0, ...),as can be shown for every curves, and hence for the semi-martingale Y t by thetransfer principle.We can identify T (0,x0 )I × M and T x0 M with the help of (0, v) ↦−→ v. Hence(// T 0,t) −1 dπ ˜// 0,t: T (0,x0 )I × M → T x0 Mbecomes an element in M n,n (R).Recall that // T 0,t = Ut T U T,−10 . By definition of D S,t given in (1.2). We get usingthe shorthand e i = U0 T ẽ i , with (ẽ i ) i=1..n an orthonormal frame of R n ,∗d((// T 0,t) −1 dπ ˜// 0,t) = ∗d(〈(// T 0,t) −1 dπ ˜// 0,te i , e j 〉 T ) i,j= ∗d(〈dπ ˜// 0,te i , // T 0,te j 〉 T −t ) i,j(= 〈D S,T −t dπ ˜// 0,te i , Ut T ẽ j 〉 T −t+ ∂ (g(T − t))(dπ ˜// ∂ 0,te i , Ut T ẽ j ) dtt+〈dπ ˜//)0,te i , D S,T −t Ut T ẽ j 〉 T −t .i,j5621

We also have:D S,T −t dπ ˜// 0,te i = V −1dπ ˜// 0,t e i((∗d(dπ ˜// 0,te i )) v T −t)= V −1dπ ˜// 0,t e i((ddπd ev ei (∗d ˜// 0,t)) v T −t)= V −1dπ ˜// 0,t e i(ddπ(d ev ei (∗d ˜// 0,t ))ṽ)= 0.Where we have used in the last equality the fact that ˜// 0,tis the ˜∇ horizontal liftof Y t . The third one may be seen for curves, it comes from the definition of ˜∇.Following computations similar to one in the first section, we have by (1.5):.∗d((// T 0,t) −1 dπ ˜// 0,t) i,j = ∂ ∂ tg(T − t)(dπ ˜// 0,te i , Ut T ẽ j ) dt+ 〈dπ ˜// 0,te i , D S,T −t Ut T ẽ j 〉 T −t= ∂ ∂ tg(T − t)(dπ ˜// 0,te i , Ut T ẽ j ) dt+ 〈dπ ˜// ∑0,te i , − 1 d ∂2 α=1 ∂ tg(T − t)(Ut T ẽ j , Ut T ẽ α )Ut T ẽ α 〉 T −t dt= ∂ ∂ tg(T − t)(dπ ˜// 0,te i , Ut T ẽ j ) dt∑− 1 d ∂2 α=1 ∂ tg(T − t)(Ut T ẽ j , Ut T ẽ α )〈dπ ˜// 0,te i , Ut T ẽ α 〉 T −t dt= 1 ∂2 ∂ tg(T − t)(dπ ˜// 0,te i , Ut T ẽ j ) dt.In the general case, and by previous identification:d((// T 0,t) −1 dπ ˜// 0,t)(0, e i ) = 1 2∑j∂∂ tg(T − t)(dπ ˜// 0,te i , U T t ẽ j )e j dt (4.3)= 1 2 (//T 0,t) −1 ( ∂ ∂ tg(T − t)) #T −t (dπ ˜// 0,t(0, e i )) dt.(4.4)Differentiating (4.2) along a geodesic curve beginning at (0, x 0 ) with velocity(v t , v) and using corollary 3.17 in [3] we get:˜// 0,td ( ˜//−10,t T Y t(v t , v) ) = − 1 2 ˜R(T Y t (v t , v), dY t (x 0 ))dY t (x 0 ),where ˜R is the curvature tensor.Let v ∈ T x M we write:T X t v := dπT Y t (0, v).In a more canonical way than theorem 3.2, we have the following proposition.5722

Proposition 4.2 For all v ∈ T x M we have:d((// T 0,t) −1 T X t v) = 1 2 (//T 0,t) −1 (( ∂ ∂ tg(T − t)) − Ric T −t ) #,T −t (T X t v) dt.Proof :have:For a triple of tangent vectors (L t , L), (A t , A), (Z t , Z) ∈ T I × T M, we˜R((L t , L), (A t , A))(Z t , Z) = (0, R T −t (L, A)Z).Hence, according to the relation dY (x 0 ) = (dt, ∗dX t ) = (dt, // T 0,te i ∗ dW i ) and thedefinition of the Ricci tensor:−1˜// 0,td ˜//0,t T Y t(0, v) = − 1 2 (0, Ric#T −t (T X t v)) dt. (4.5)In order to compute in R n , we write:(// T 0,t) −1 T X t v = ((// T 0,t) −1 dπ ˜//−10,t)( ˜//0,t T Y t(0, v)). (4.6)−1By (4.5), we have d ˜//0,t T Y t(0, v) ∈ dA where A is the space of finite variationprocesses. We get:d((// T 0,t) −1 T X t v) = d((// T 0,t) −1 dπ ˜//−10,t)( ˜//0,t T Y t(0, v))+((// T 0,t) −1 dπ ˜//−10,t)d( ˜//0,t T Y t(0, v)).By (4.6) and lemma 4.1 we get:d((// T 0,t) −1 T X t v) = ∗d((// T 0,t) −1 dπ ˜//−10,t)( ˜//0,t T Y t(0, v))+ ((// T 0,t) −1 dπ ˜//−10,t) ∗ d( ˜//0,t T Y t(0, v))= ∗d((// T 0,t) −1 dπ ˜//−10,t)( ˜//0,t T Y t(0, v))−1 2 ((//T 0,t) −1 dπ)(0, Ric #,T −t (T X t v) dt= 1 2 (//T 0,t) −1 ( ∂ ∂ tg(T − t)) #T −t (T X t v) dt−1 2 (//T 0,t) −1 Ric #,T −t (T X t v) dt.For all f 0 ∈ C ∞ (M), and f(t, .) a solution of (3.3), f(T − t, X T t (x)) is a martingalefor all x ∈ M.Corollary 4.3 For all v ∈ T x M:is a martingale.df(T − t, X T t (x))v = df(T − t, .) X Tt (x)// T 0,tv,5823

Proof : By differentiation under x of f(T −t, X T t (x)), we get a local martingale.According to [3] and by chain rule for differential we get the corollary. This resultmatches 3.2 after using the above proposition.In an canonical way, we have the following result.Theorem 4.4 The following conditions are equivalent for a family g(t) of metrics:i) g(t) evolves under the forward Ricci flow.ii) For all T < T c we have // T 0,t = W T 0,t = T X t .iii) For all T < T c , the damped parallel transport W T 0,t is an isometry.Proof : By 4.2 and 3.2, for the forward Ricci flow, the result follows by theequation of g(t).5 Second derivative of the stochastic flowWe take the differential of the stochastic flow in order to obtain a intrinsic martingale.We take the same notation as the previous section, and g(t) is a family ofmetrics coming from a forward Ricci flow. Let Xt T (x) be the g(T −t)-BM started atx, constructed as in the previous section by the parallel coupling of a g(T − t)-BMstarted at x 0 , ˜∇ and Y t (x) = (t, Xt T (x)) as before, define the intrinsic trace (thatdo not depend on the choice of E i as below):( ∑)Tr ∇ . T X t (x 0 )(.) := dπ ˜∇ (0,ei )T Y t (x)(0, E i (x)) − T Y t (x) ˜∇ (0,ei )(0, E i (x))iwhere (e i ) is a (T x0 M, g(T )) orthonormal basis, E i are vectors fields in ΓT M suchthat E i (x 0 ) = e i and ˜∇ (0,ei )T Y t (x)(0, E i (x)) is a derivative of a bundle-valuedsemi-martingale in the sense of ([4], [3], [1]). By 4.4:Tr ∇ . T X t (x 0 )(.) := dπ ∑ i˜∇ (0,ei )T Y t (x)(0, E i (x)) − // T 0,tdπ( ∑ i˜∇ (0,ei )(0, E i (x)))Theorem 5.1 Let L t := (// T 0,t) −1 Tr ∇ . T X t (x 0 )(.) be a (T x0 M, g(T ))-valued process,started at 0. Then:i) L t is a (T x0 M, g(T ))-valued martingale, independent of the choice of E i .ii) The g(T )-quadratic variation of L is given by d[L, L] t =‖ Ric T −t (X t (x 0 )) ‖ 2 T −tdt.5924

Proof :Recall that by the same construction of the previous section:˜D(T Y t (x)(0, E i (x))) = − 1 2 ˜R(T Y t (x)(0, E i (x)), dY t (x))dY t (x).By the general commutation formula (e.g. theorem 4.5 in [4]), and by the previousequation which cancels two terms in this formula, we get:˜D ˜∇ (0,ei )(T Y t (x)(0, E i (x))) = ˜∇ (0,ei ) ˜D(T Y t (x)(0, E i (x)))+ ˜R(d ˜∇Yt (x 0 ), T Y t (x 0 )(0, e i ))T Y t (x 0 )(0, e i )− 1 2 ˜∇ ˜R(dY t (x 0 ), T Y t (x 0 )(0, e i ), dY t (x 0 ))T Y t (x 0 )(0, e i )= − 1 2 ˜∇ (0,ei )( ˜R(T Y t (x)(0, E i (x)), dY t (x))dY t (x))+ ˜R(d ˜∇Yt (x 0 ), T Y t (x 0 )(0, e i ))T Y t (x 0 )(0, e i )− 1 2 ( ˜∇ dYt(x 0 ) ˜R)(T Y t (x 0 )(0, e i ), dY t (x 0 ))T Y t (x 0 )(0, e i ).Taking trace in the previous equation we can go one step further. Recall that(e i ) i=1..n is a orthogonal basis of (T x0 M, g(T )), and write for notation:then:∑i− 1 2˜ Ric # (t,x)(V ) = (0, Ric #T −t (dπV )),˜D ˜∇ (0,ei )(T Y t (x)(0, E i (x)))∑= − 1 ˜∇ 2 i (0,ei )( Ric ˜ # Y t(x)(T Y t (x)E i (x)))+ ∑ ˜R(d ˜∇Yi t (x 0 ), T Y t (x 0 )(0, e i ))T Y t (x 0 )(0, e i )∑− 1 2 i ( ˜∇ ˜R)(T dYt(x0 ) Y t (x 0 )(0, e i ), dY t (x 0 ))T Y t (x 0 )(0, e i )∑= − 1 2 i ( ˜∇ ˜(T Yt(x0 )(0,e i )) Ric # )(T Y t (x 0 )(0, e i ))− 1( Ric ˜ # 2 Y t(x 0 )( ∑ ˜∇ i (0,ei )T Y t (x)(0, E i (x)))) + Ric ˜ # Y t(x 0 )(d ˜∇Y t (x 0 ))∑i ( ˜∇ ˜R)(T dYt(x0 ) Y t (x 0 )(0, e i ), dY t (x 0 ))T Y t (x 0 )(0, e i ).In the last equality, we use the chain derivative formula, and derivation is takingwith respect to x . We will make an independent computation for the last term inthe previous equation. Let Tr stand for the usual trace:∑i ( ˜∇ ˜R)(T dYt(x0 ) Y t (x 0 )(0, e i ), dY t (x 0 ))T Y t (x 0 )(0, e i )= ∑ −ti(0, (∇TdX tR T −t )(T X t (x 0 )e i , dX t )T X t (x 0 )e i )= ∑ −ti,j(0, (∇T// T 0,t e RT −t )(T X t (x 0 )e i , // T j 0,te j )T X t (x 0 )e i ) dt= ∑ j (0, Tr 1,3(∇ T −t// T 0,t e RT −t )(// T j 0,te j )) dt= ∑ −tj(0, (∇T Tr // T 0,t e 1,3 R T −t )(// T j 0,te j )) dt= − ∑ −tj(0, (∇T// T 0,t e Ric#T −t )(// T j 0,te j )) dt,6025

where we have used in the second equality the fact that in case of the forwardRicci flow // T 0,t is a g(T − t) isometry and dX = // T 0,te j dW j . In the last equality weuse the commutation between trace and covariant derivative (for example [21], or[19]). Note that:Hence, using 4.4:∑i ( ˜∇ ˜(T Yt(x0 )(0,e i )) Ric # )(T Y t (x 0 )(0, e i ))= ∑ −t #T −ti(0, (∇TT X t(x)e iRicXt T (x))(T X t(x)e i )) dt˜D( ∑ i ˜∇ (0,ei )T Y t (x)(0, E i (x)))= − 1 2 ( ˜ Ric # Y t(x 0 )( ∑ i ˜∇ (0,ei )T Y t (x)(0, E i (x)))) + ˜ Ric # Y t(x 0 )(d ˜∇Y t (x 0 ))Write, for simplicity, B for ∑ i ˜∇ (0,ei )T Y t (x)(0, E i (x)). We compute:d(// T,−10,t dπB) = d([// T,−10,t dπ ˜// 0,t][( ˜// 0,t) −1 B])= 1 2 //T,−1 0,t (∂ t g(T − t)) #,T −t (dπB) dt+// T,−10,t (− 1dπ( Ric ˜ # (B)) + dπ( Ric ˜ # 2 Y t(x 0 )(d ˜∇Y t (x 0 ))))= // T,−10,t (dπRic ˜ # Y t(x 0 )(d ˜∇Y t (x 0 )))= ∑ i //T,−1 #T −t0,t RicX 0,tet T (x)(//T i )dW i ,where we have used lemma 4.1 in the first equality. We get a intrinsic martingalethat does not depend on E i , starting at 0. By the definition in theorem 5.1 and bythe formula preceding theorem 5.1, the above calculations yield:L t =∫ t∑0 i// T,−1 #T −t0,t RicX T t (x)(//T 0,te i )dW i − dπ( ∑ i˜∇ (0,ei )(0, E i (x))).For the g(T )-quadratic variation of L t we use the isometry property of the paralleltransport; we compute the quadratic variation:d[L, L] t = 〈// T,−1 #T −t0,t RicX 0,tet T (x)(//T i ), // T,−1= ∑ −ti‖ Ric#TX 0,tet T (x)(//T i ) ‖ 2 g(T −t) dt#T −t= || RicXt T (x) ||2 T −t dt;#T −t0,t RicX T t (x)(//T 0,te i )〉 T dtwhere ||.|| is the usual Hilbert-Schmidt norm of linear operator. By the independenceof the choice of the orthonormal basis we can express this norm in terms ofthe eigenvalues of the Ricci operator:d[L, L] t = ∑ iλ 2 i (T − t, X T t (x)) dt.6126

Remark : We could choose E i such that ˜∇ (0,ei )(0, E i (x)) = 0 that do notchange the martingale L, but give a simple version.Remark : This martingale can be used to look at the behavior at point wherethe first singularity of the Ricci flow occurs, i.e. where the norm of the Riemanniancurvature explodes.References[1] M. Arnaudon and A. Thalmaier. Complete lifts of connections and stochasticJacobi fields. J. Math. Pures Appl. (9), 77(3):283–315, 1998.[2] Marc Arnaudon, Robert O. Bauer, and Anton Thalmaier. A probabilistic approachto the Yang-Mills heat equation. J. Math. Pures Appl. (9), 81(2):143–166, 2002.[3] Marc Arnaudon and Anton Thalmaier. Stability of stochastic differentialequations in manifolds. In Séminaire de Probabilités, XXXII, volume 1686of Lecture Notes in Math., pages 188–214. Springer, Berlin, 1998.[4] Marc Arnaudon and Anton Thalmaier. Horizontal martingales in vector bundles.In Séminaire de Probabilités, XXXVI, volume 1801 of Lecture Notes inMath., pages 419–456. Springer, Berlin, 2003.[5] Bennett Chow and Dan Knopf. The Ricci flow: an introduction, volume 110of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society,Providence, RI, 2004.[6] M. Cranston. Gradient estimates on manifolds using coupling. J. Funct. Anal.,99(1):110–124, 1991.[7] Dennis M. DeTurck. Deforming metrics in the direction of their Ricci tensors.J. Differential Geom., 18(1):157–162, 1983.[8] K. D. Elworthy, Y. Le Jan, and Xue-Mei Li. On the geometry of diffusionoperators and stochastic flows, volume 1720 of Lecture Notes in Mathematics.Springer-Verlag, Berlin, 1999.[9] K. D. Elworthy and X.-M. Li. Formulae for the derivatives of heat semigroups.J. Funct. Anal., 125(1):252–286, 1994.6227

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Chapter 4Some stochastic process withoutbirth, linked to the mean curvatureflow6565

Some stochastic process without birth, linked tothe mean curvature flowA.K CoulibalyAbstractUsing Huisken results about the mean curvature flow on a strictly convexsurface, and Kendall-Cranston coupling, we will build a stochastic processwithout birth, and show that there exists a unique law of such process. Thisprocess has many similarities with the circular Brownian motions studiedby Émery, Schachermayer, and Arnaudon. In general, this process is not astationary process, it is linked with some differential equation without initialcondition. We will show that this differential equation has a unique solutionup to a multiplicative constant.1 Tools and first propertiesLet M be a Riemannian compact n-manifold without boundary, which is smoothlyembedded in R n+1 , and n ≥ 2. Denote by F 0 the embedding function:F 0 : M ↩→ R n+1 .Consider the flow defined by:{∂t F (t, x) = −H ν (t, x) → ν (t, x)F (0, x) = F 0 (x).(1.1)Let M t = F (t, M), we identify M with M 0 and F 0 with Id. In the previous equation(1.1), ν(t, x) is the outer unit normal at F (t, x) on M t , and H ν (t, x) is the meancurvature at F (t, x) on M t in the direction ν(t, x), (i.e. H ν (x) = trace (S ν (x))where S ν is the second fundamental form, for definition see [20]).Remark : In this paper we take this point of view of the mean curvatureflow (see [14] for existence, and related result). Many other authors give a differentpoint of view for this equation. The viscosity solution (see [11],[9],[10],[12],[8])generalizes the solution after the explosion time and gives a uniqueness solutionwhich is also contained in Brakke family of solutions and passes the singularity.661

We will just look at the smooth solution until the explosion time.As usual we call M t the motion by mean curvature. For self-completeness, weinclude a proof of the next lemma, although it is well-known.Lemma 1.1 Let (M, g) be a Riemannian manifold isometrically embedded in R n+1 .Denote ι the isometry:(M, g) ↩→ ιR n+1 .then:∀x ∈ M, ∆ι(x) = −H ν (x)⃗ν(x). (1.2)Where ∆ is the Laplace-Beltrami operator associated to the metric g.proof :By the flatness of target manifold, we have∆ι(x) =⎛⎜⎝∆ι 1 (x).∆ι n+1 (x)⎞⎟⎠and ∆ι j (x) = ∑ ∣n d ∣t=0i=1ι j (γdt 2 i (t)), where γ i (t) is a geodesic in M such thatγ i (0) = x and ˙γ i (0) = A i and A i is a orthogonal basis of T x M. By definition of ageodesic we obtain:∆ι(x) ⊥ T ι(x) (ι(M)),so there exists a function β such that ∆ι(x) = β(x)⃗ν(x). We compute β as follows:β(x) = 〈∆ι(x), ⃗ν(x)〉= ∑ ni=1 〈 ∣ d ∣t=0 ι(γdt 2 i (t)), ⃗ν(x)〉= ∑ ni=1 〈∇Rn ι(γ i˙ ι(γ ˙(t)) i (t)) ∣ t=0, ⃗ν(x)〉= ∑ ni=1 −〈 ι(γ i˙(t)), ∇ Rn ι(γ i˙ ⃗ν〉∣ ∣(t)) t=0, metric connection= ∑ ni=1 −〈 ι(γ i˙(t)), (∇ Rn ι(γ i˙(t)) ⃗ν)⊤ 〉 ∣ t=0= − trace (S ν (x)).To give a parabolic interpretation of this equation (1.1), let us define a familyof metrics g(t) on M which is the pull-back by F (t, .) of the induced metric on M t .Using the previous lemma we rewrite the equation as in ([14]):{∂t F (t, x) = ∆ t F (t, x)(1.3)F (0, x) = F 0 (x)where ∆ t is the Laplace-Beltrami operator associated to the metric g(t).672

Remark : Sometimes we will use a probabilistic convention, consisting inputting 1 before the Laplacian (which just changes the time and makes the calculus2more synthetic), sometimes we will use geometric convention.We call T c the explosion time of the mean curvature flow, let T < T c , and g(t)be the family of metrics defined above. Let (W i ) 1≤i≤n be a R n -valued Brownianmotion. We recall from [4] the definition of the g(t)-Brownian motion in M startedat x, denoted by g(t)-BM(x):Definition 1.2 Let us take a filtered probability space (Ω, (F t ) t≥0 , F, P) and a C 1,2 -family g(t) t∈[0,T [ of metrics over M. A M-valued process X(x) defined on Ω×[0, T [is called a g(t) Brownian motion in M started at x ∈ M if X(x) is continuous,adapted and for every smooth function f,f(X s (x)) − f(x) − 1 2is a local martingale vanishing at 0.∫ s0∆ t f(X t (x))dtWe give a proposition which yields a characterization of mean curvature flowby the g(t) Brownian motion.Proposition 1.3 Let M be an n-dimensional manifold isometrically embedded inR n+1 . Consider the application:F : [0, T [×M → R n+1such that F (t, .) are diffeomorphisms, and the family of metrics g(t) over M, whichis the pull-back by F (t, .) of the induced metric on M t = F (t, M). Then the followingitems are equivalent:i) F (t, .) is a solution of mean curvature flowii) ∀x 0 ∈ M, ∀T ∈ [0, T c [, let ˜g t T = 1g 2 T −t and X T (x 0 ) be a (˜g t T ) t∈[0,T ] -BM(x 0 ),then:Yt T = F (T − t, Xt T (x 0 ))is a local martingale in R n+1 .proof :By definition we have a sequence of isometries:F (t, .) : (M, g t ) ˜→M t ↩→ R n+1Let x 0 ∈ M and T ∈ [0, T c [ and X T (x 0 ) a (˜g t T ) t∈[0,T ] -BM(x 0 ). We just compute theItô differential of:Y T,it = F i (T − t, Xt T (x 0 )),683

that is to say:d(Y T,it ) = − ∂ F i (T − t, X T ∂t t (x 0 ))dt + d(FT i −t (XT t (x 0 ))− ∂ F i (T − t, X T ∂t t (x 0 ))dt + 1 2 ∆˜g tFT i −t (XT t (x 0 ))dt≡dM≡dM≡ 0.dM− ∂ ∂t F i (T − t, X T t (x 0 ))dt + ∆ gT −tF i T −t (XT t (x 0 ))dtTherefore YtT is a local martingale.Let us show the converse. Let x 0 ∈ M and T ∈ [0, T c [ and X T (x 0 ) a (˜g t T ) t∈[0,T ] -BM(x 0 ),Y T,it is a local martingale so almost surely, for all t ∈ [0, T ]:− ∂ ∂t F i (T − t, X T t (x 0 ))dt + ∆ gT −tF i T −t(X T t (x 0 ))dt = 0so that for all s ∈ [0, T ], by integrating we get∫ s0− ∂ ∂t F i (T − t, X T t (x 0 ))dt + ∆ gT −tF i T −t(X T t (x 0 ))dt = 0the continuity of every g(t)-Brownian motion yields,− ∂ ∂t F i (T, x 0 ) + ∆ gT F i T (x 0 ) = 0.In order to apply this proposition, we give an estimation of the explosion time. Itis also a consequence of a maximum principle, which is explicitly contained in theg(t)-Brownian Motion.The quadratic covariation of YtT is given by:Proposition 1.4 Let YtTfor the usual scalar product in R n+1 is:Y Ttbe defined as before, then the quadratic covariation of〈dY Tt, dYtT 〉 = 2n1 [0,T ] (t)dtproof : Let / T 0,t be the parallel transport above X T t , it is shown in [4] that it is anisometry :/ T 0,t : (T X0 M, ˜g(0)) ↦−→ (T Xt M, ˜g(t)).Let (e i ) 1≤i≤n be a orthonormal basis of (T X0 M, ˜g(0)), and (W i ) 1≤i≤n be the R n -valued Brownian motion such that (e.g. [4], [2]):∗dW t = / T,−10,t ∗ dX T t ,694

and in the Itô’s sense:HencedX T t= / T 0,te i dW it .〈dYtT , dYt T 〉 = 〈d(F T −t (Xt T (x 0 ))), d(F T −t (Xt T (x 0 )))〉= 〈d(Xt T (x 0 )), d(Xt T (x 0 ))〉 gT −t= 〈d(Xt T (x 0 )), d(Xt T (x 0 ))〉 2˜gt= 〈 ∑ ni=1 /T 0,te i dW i , ∑ nj=1 /T 0,te j dW j 〉 2˜gt= ∑ ni=1 〈 /T 0,te i , / T 0,te i 〉 2˜gt dt= ∑ ni=1 2dt= 2ndt.To go from the first to the second line, we have used the fact that F T −t is a isometry,for the last step we used the isometry of the parallel transport.Remark : Up to convention we recover the same martingale as in [21].An immediate corollary of Proposition 1.4 is the following result, which appears in[14] and [11].Corollary 1.5 Let M be a compact Riemannian n-manifold and T c the explosiontime of the mean curvature flow, then: T c ≤ diam(M 0) 22nproof : Recall that the mean curvature flow stays in a compact region, like thesmallest ball which contain M 0 , this result is clear in the strictly convex startingmanifold and can be found in a general setting using P.L Lions viscosity solution(e.g. theorem 7.1 in [11]).For all T ∈ [0, T c [ take the previous notation. So by the above recall that:‖ Y Tt ‖≤ diam(M 0 ),then Y Ttis a true martingale. Andis also a true martingale. Hence:‖ Y Tt‖ 2 −〈Y T , Y T 〉 tE[‖ Y T0 ‖ 2 ] + 2nT ≤ diam(M 0 ) 2 ,we obtainT ≤ diam(M 0) 2.2n705

2 Tightness, and first example on the sphereWe now define (˜g Tc ) t∈]0,Tc]-BM in a general setting. When the initial manifold M 0is a sphere we use the conformality of the metric, to show that after a deterministicchange of time such process is a ] − ∞, T c ] Brownian motion on the sphere (forexistence and definition see [6] and [1] ). In the next section, we will give a generalresult of uniqueness when the initial manifold M 0 is strictly convex.Definition 2.1 Let M be an n-dimensional strictly convex manifold (i.e. with astrictly positive definite second fundamental form), F (t, .) the smooth solution ofthe mean curvature flow, (M, g(t)) the family of metrics constructed by pull-back(as in 1.3) and T c the explosion time. We define a family of processes as follow:∀ɛ ∈]0, T c ]⎧⎨ x 0 if 0 < t ≤ ɛXt ɛ (x 0 ) =⎩BM(ɛ, x 0 ) t if ɛ ≤ t ≤ T cwhere BM(ɛ, x 0 ) t denotes a 1g(T 2 c − t) Brownian motion that starts at x 0 attime ɛ, and⎧⎨ F (T c − ɛ, x 0 ) if 0 ≤ t ≤ ɛYt ɛ (x 0 ) =⎩F (T c − t, Xt ɛ (x 0 )) if ɛ ≤ t ≤ T c .Remark : We proceed as before because, at the time T c , there is no more metric.Huisken shows in [14] that in this case:∃D ∈ R n+1 , s.t. ∀x 0 ∈ M, lims→TcF (s, x 0 ) = DProposition 2.2 With the same notation as the above definition, there exists atleast one martingale Y 1 in the adherence (for the weak convergence) of (Y. ɛ (x 0 )) ɛ>0when ɛ goes to 0. Also, every adherence value is a martingale.proof :We have:⎧⎨⎩dY ɛt (x 0 ) = 0 if t ≤ ɛdY ɛt (x 0 ) = dM if t ≥ ɛ.Where dM is an Itô differential of some martingale. This defines a family ofmartingales. With the same computation as in proposition 1.4, we get:〈dY ɛt , dY ɛt 〉 R n+1 = 2n1 ]ɛ,Tc](t)dt ≤ 2ndt.716

Also by the above remark Y ɛ0 is tight, hence (Y ɛ. (x 0 )) ɛ>0 is tight. As usual,Prokhorov’s theorem implies that one adherence value exists. We also use Huisken[14] (for the strictly convex manifold) to yield:‖ Y ɛ ‖≤ diam(M 0 ). (2.1)By proposition 1-1 in [16] page 481, and the fact that (Y ɛ ) are martingales weconclude that all adherence values of (Y ɛ ) are martingales with respect to the filtrationthat they generate.Remark : The above proposition is also valid for arbitrary M that are isometricallyembedded in R n+1 . Just because the bound 2.1 is also a consequence oftheorem 7.1 in [11].We will now derive the tightness of Xtɛ from those of (Y ɛ ). This purpose will becompleted by the next lemma 2.4.Recall some results of [14], if M 0 is a strictly convex manifold then M t is alsostrictly convex, and ∀0 ≤ t 1 < t 2 < T c , M t2 ⊂ int(M t1 ), where int is the interior ofthe bounded connected component. Hence there is a foliation on int(M 0 ):⊔M t ,where ⊔ stand for the disjoint union.Definition 2.3 We note:t∈[0,T c[C f (]0, T c ], R n+1 ) = {γ ∈ C(]0, T c ], R n+1 ), s.t.γ(t) ∈ M Tc−t}.Noted that C f (]0, T c ], R n ) is a closed set of C(]0, T c ], R n ) for the Skorokhod topology.Lemma 2.4 Let M an n-dimensional strictly convex manifold, F (t, .) the smoothsolution of the mean curvature flow and T c the explosion time. ThenF : [0, T c [×M −→ ⊔ t∈[0,T c[ M t ,is a diffeomorphism in the sense of manifold with boundary. And,Ψ : C f (]0, T c ], R n ) −→ C(]0, T c ], M)γ ↦−→ t ↦→ F −1 (T c − t, γ(t))is continuous for the different Skorokhod topologies. To define the Skorokhod topologyin C(]0, T c ], M) we could use the initial metric g(0) on M.727

proof : It is clear that F is smooth as a solution of a parabolic equation [14],and this result has been used above. Its differential is given at each point by:∀(t, x) ∈ [0, T c [×M,∀v ∈ T x MDF (t, x)( ∂ ∂ t, v) = ∂ ∂ tF (t, x) ⊕ DF t (x)(v)where ∂ ∂ tF (t, x) = −H(t, x) −→ ν (t, x), here ⊕ stands for + and means that we cannotcancel the sum without cancelling each term. Since there is no ambiguity we writeH(t, x) for H ν (t, x). Recall that H(t, x) > 0.For the second part of this lemma, we remark that for 0 ≤ δ < T c⊔F −1 : M t −→ [0, δ] × Mt∈[0,δ]is Lipschitz (use the bound of the differential on a compact).Recall also that a sequence converges to a continuous function for Skorokhodtopology if and only if it converges to this function locally uniformly. We willnow show the continuity of Ψ. Take a sequence α m in C f (]0, T c ], R n+1 ) and α ∈C f (]0, T ], R n+1 ) such that α m −→ α for the Skorokhod topology.Then for all A compact set in ]0, T c ], ‖ α m − α ‖ A −→ 0, where ‖ f ‖ A = sup t∈A ‖f(t) ‖.Let A be a compact set in ]0, T c ], then there exists a Lipschitz constant C A ofF −1 in ⊔ t∈A M t, such that for all t in A,d g(o) (F −1 (α m (t)), F −1 (α(t))) ≤ C A ‖ α m (t) − α(t) ‖,where d g(o) (x, y) is the distance in M beetwen x and y for the metric g(0). We alsodefine d g(o),A (f, g) = sup t∈A d g(o) (f(t), g(t)), where f, g are M-valued function. Weget:d g(o),A (Ψ(α m ), Ψ(α) ≤ C A ‖ α m − α ‖ A .So Ψ(α m ) −→ Ψ(α) uniformly in all compact, so for the Skorokhod topology inC(]0, T c ], M).Let:Ỹ ɛt= (Y ɛt− Y ɛ0 ) + (Y ɛ0 1 [ɛ,Tc](t) + 1 [0,ɛ] (t)F (T c − t, x o )).Proposition 2.2 gives the tightness of Y ɛt −Y ɛ0 , and Y ɛ0 1 [ɛ,Tc](t)+1 [0,ɛ] (t)F (T c −t, x o )is a non-random sequence of functions that converges uniformly, hence Ỹ ɛ is tight.For strictly positive time t,X ɛ t = F −1 (T c − t, Ỹ ɛt ).The previous lemma 2.4 yields the tightness of X ɛ . Hence we have shown that:∀ϕ = (ɛ k ) k → 0, ∃X ϕ ]0,T , c] Xɛ k L]0,T c]→ X ϕ ]0,T c]for an extracted sequence.738

Proposition 2.5 Let ϕ = (ɛ k ) k → 0, and X ϕ ]0,T , s.t. c] Xɛ k L]0,T c]→ X ϕ ]0,T . c]X ϕ ]0,T is a 1g(T c] 2 c − t)-BM in the following sense:Then.∀ɛ > 0 X ϕ [ɛ,T c]L= BM(ɛ, X ϕ ɛ )proof : Let ɛ > 0 then for large k:⎧⎨ X ɛ k is a BM(ɛ, Xɛ kɛ ) after time ɛ , by Markov property⎩and let X be a BM(ɛ, X ϕ ) after time ɛɛWe want to show that X = X ϕ after ɛ . So for sketch of the proof:X ɛ kso X ɛ kɛL−→k→∞ XϕL−→k→∞ Xϕ ɛ ,we use the Skorokhod theorem, to have a L 2 -convergence in a larger probabilityspace:X ′ ɛ kL 2 ,a.s.ɛ −→ X ′ ϕɛ ,k→∞Lwith X ′ ɛ kɛ = X ɛ kɛ and X ′ ϕ Lɛ = Xɛ ϕ . We use convergence of solution of S.D.E withinitial conditions converging in L 2 (e.g. in Stroock and Varadhan [22]), to get:We use thatBM(ɛ, X ′ ɛ kLɛ ) −→ BM(ɛ, X ′ ϕɛ ),k→∞BM(ɛ, X ′ ɛ kɛ ) = L X ɛ k[ɛ,T , c]BM(X ′ ϕɛ ) L = BM(ɛ, X ϕ ɛ ).X ɛ kL−→k→∞ Xϕto conclude, after identification of the limit:X = BM(ɛ, X ϕ ɛ ) L = X ϕ [ɛ,T c] .Hence the process X ϕ is a 1 2 g(T c − u) u∈]0,Tc]-BM in the above sense, we call it"without birth" .We now show that, in the sphere case, the 1 2 g(T c − u) u∈]0,Tc]-BM is, after achange of time, nothing else than a BM(g(0)) ]−∞,0] , this will give uniqueness inlaw of such process.749

Proposition 2.6 Let g(t) be a family of metrics which comes from a mean curvatureflow on the sphere. Then the ˜g(u) = 1g(T 2 c − u) u∈]0,Tc]-BM is unique inlaw.proof : Let R 0 be the radius of the first sphere. Then T c = R2 0, and by direct2ncomputation we obtain:√R2F (t, x) = 0 − 2ntx,R 0So for all f ∈ C ∞ (S) we have:g(t) = R2 0 − 2ntg(0).R02and∆ g(t) f =R 2 0R 2 0 − 2nt ∆ g(0)f∇ g(s) df(X i , X j ) = f ij − Γ k ij(s, .)f k= f ij − Γ k ij(0, .)f k because the metrics are homothetic= ∇ g(0) df(X i , X j ).Let X be a 1g(T 2 c − u) u∈]0,Tc]-BM. For all f ∈ C ∞ (S), u ∈]0, T c ] and for allT c > t ≥ u we have:M ∫f(X t ) − f(X u ) ≡1 t ∆˜g(s)f(X 2 u s )dsM ∫≡1 t ∇˜g(s) df(∗dX, ∗dX)2 u∫ tu ∇g(0) df(∗dX, ∗dX)M≡12dM 1df(X) ]0,Tc] ≡2 ∇g(0) df(∗dX, ∗dX),hence X ]0,Tc] is a g(0)- martingale. From [4]:df(X t (x)) = 〈∇˜g(t) f, / 0,t v i 〉˜g(t) dW i + 1 2 ∆˜g(t)(f)(X t (x))dt, (2.2)with abusive notation (because we have no starting point, to get sense we haveto take the conditional expectation at a time before t).It follows from (2.2):df(X t (x)) =‖ ∇˜g(t) f(X t (x)) ‖˜g(t) dB t + 1 2 ( R 2 0R 2 0 − 2n(T c − t) )∆ 0f(X t (x))dt,where B t is some real-valued Brownian motion. With help of the first computation,df(X t ) =√R20nt ‖ ∇g(0) f(X t ) ‖ g(0) dB t + 1 2 (R2 0nt )∆ 0f(X t )dt.7510

Now consider the solution of:i.e. the functionϕ ′ (t)R 2 0 = n(ϕ(t)) such that ϕ(0) = T c .ϕ(t) = T c e t2Tc .We get that X ϕ(t) = (BM g(0) ) t . According to the usual characterization of aBrownian motion [7].So by this deterministic change of time, and by the uniqueness in law of a(BM g(0) ) ]−∞,0] on the sphere, we get the uniqueness in law of a 1 2 g(T c−u) u∈]0,Tc]-BMon a sphere.We have essentially used the conformality of this family of metric, that does notchange the martingale family. Even if the beginning manifold is strictly convex,this is not the case in general. But we will see, in the next section, that the resultis also true.3 Kendall-Cranston CouplingIn this section the manifold M is compact and strictly convex. The goal in thissection is to prove the uniqueness in law of the g(T c − t)-BM. This section willbe cut in two parts, the first will be a geometric result inspired by the work ofHuisken, the second will be an adaptation of the Kendall-Cranston coupling. Wewill, by a deterministic change of time, transform a g(T c − t)-BM (the existence ofwhich comes from proposition 2.5) into a ˜g(t) ]−∞,0] -BM which has good geometricproperties.Remark : In the two last sections in [14], Huisken considers, like Hamiltonfor the Ricci flow, the normalized mean curvature flow. That consists in dilatingthe manifolds M t by a coefficient to obtain constant volume manifolds. He obtainsa positive coefficient of dilation ψ(t) that satisfies the following property.Theorem 3.1 [14]For all t ∈ [0, T c [, define ˜F (., t) = ψ(t)F (., t) such that ∫ ˜Mtd˜µ t = |M 0 |, and˜t(t) = ∫ t0 ψ2 (τ)dτ, then there exist several positive constants δ, C such that:i) ˜T c = ∞ii) ˜H max (˜t) − ˜H min (˜t) ≤ Ce −δ˜tiii) | ∂ ∂˜t ˜g ij(˜t)| ≤ Ce −δ˜tiv) ˜g ij (˜t) → ˜g ij (∞) when ˜t → ∞ uniformly, for the C ∞ − topology, and theconvergence is exponentially fast.7611

v) ˜g(∞) is a metric such that (M, ˜g(∞)) is a sphere.We will now give the change of time propositions.Proposition 3.2 Let ψ : [0, T c [−→]0, ∞[ as above, ˜t defined by:for all t ∈ [0, ∞[, define˜t : [0, T c [ −→ [0, ∞[t ↦−→ ∫ t0 ψ2 (τ)dτ,˜g(t) = ψ 2 (˜t −1 (t))g(˜t −1 (t)),where g(t) is the family of metrics coming from a mean curvature flow, and X t isa g(t)-BM . Then:proof :Let f ∈ C ∞ (M):t ↦−→ X˜t −1 (t) is a ˜g(t)-BM defined on [0, ∞[.Usingwe obtain:f(X˜t −1 (t))M ∫≡1 ˜t −1 (t)2M ∫≡1 t2M≡120∆ g(s) f(X s )ds∆ 0 g(˜t −1 (s))f(X˜t (s))(˜t −1 ) ′ (s)ds∫ −1 t∆ 0 1(˜t −1 ) ′ g(˜t −1 (s)) f(X˜t (s))ds.−1(s)ψ 2 (˜t −1 (s))(˜t −1 ) ′ (s) = 1,1(˜t −1 ) ′ (s) g(˜t −1 (s)) = ˜g(s).Proposition 3.3 Let XtTc, with t ∈]0, T c ], be a g(T c − t)-BM. Let τ be defined by:Let ˜g(t) be defined by:Then:τ :]0, T c ] −→ ] − ∞, 0]t ↦−→ −˜t(T − t).˜g(t) = ψ 2 (T c − τ −1 (t))g(T c − τ −1 (t)) ∀t ∈] − ∞, 0].t ↦→ X Tcτ −1 (t)is a ˜g(t)-BM.7712

proof :Let f ∈ C ∞ (M) and s < t,f(X Tcτ −1 (t) ) − f(XTc τ −1 (s) ) M≡1We have −˜t(T c − τ −1 (u)) = u, andWe obtaini.e.f(X Tcτ −1 (t) ) − f(XTc τ −1 (s) ) M ≡ 1 2∫ τ −1 (t)∆ 2 τ −1 (s) g(T c−u)f(X TcM ∫≡1 t∆ 2 s g(T c−τ −1 (u))f(X TcM≡12u )duτ −1 (u) )(τ −1 (u)) ′ (s)du∫ t∆ s 1(τ −1 ) ′ g(Tc−τ −1 (u)) f(XTc τ(u) −1 (u) )du.(τ −1 ) ′ (u)ψ 2 (T c − τ −1 (u)) = 1.∫ tf(X Tcτ −1 (t) ) − f(XTc τ −1 (s) ) M ≡ 1 2s∆ ψ 2 (T c−τ −1 (u))g(T c−τ −1 (u))f(X Tcτ −1 (u) )du∫ ts∆˜g(u) f(X Tcτ −1 (u) )du.Remark : By the above theorem 3.1, we know that ˜g(t) tends to a sphere metricas t goes to −∞. The above proposition transforms “two” g(T c − t)-BM into “two”˜g-BM so we will use the standardization of the metric into sphere metric and alsothe large time interval to perform the coupling.Let τ x be a plane in T x M and g(t) be a metric over M, we denote by K(t, τ x )the sectional curvature of the plane τ x according to the metric g(t). We will nowgive a few geometric lemmas that will be used later, for simplicity we will takepositive times.Lemma 3.4 Let g(t) be a family of metrics on a manifold M, and g(∞) a metricthat makes M into a sphere, suppose that:i) g(t) −→ g(∞) uniformly, when t −→ ∞ for the C ∞ − topology exponentiallyfast, i.e.: ∀n ∈ N, ∀ multi-indices (i 1 , ..., i k ) such that ∑ i k = n, ∃C n , δ n >0, such that:∂ n∂ n| g ij (t) − g ij (∞)| ≤ C n e −δnt∂X i1 ..X ik ∂X i1 ..X ikii) ∃δ, C 1 > 0 such that | ∂ ∂t g ij(t)| ≤ C 1 e −δtiii) vol g(t) (M) = vol g(0) (M)7813

Then:for all ɛ > 0 , there exists T ∈ [0, ∞[, ∃C, cst, cst 1 ∈ R + and c n (cst, V ) > 0such that, ∀t ∈ [T, ∞[ the following conditions are satisfied:i) for all x in M and for all plane τ x ⊂ T x M, | K(t, τ x ) − cst |≤ ɛ.ii) |ρ t − ρ ∞ | M×M ≤ cst 1 e −δt .iii) ρ ′ t(x, y) := d dt ρ t(x, y) ≤ C in a compact CC of M × M,where the constant cst, comes from the radius of M with respect to g(∞), ρ t (x, y)is the distance between x and y for the metric g(t), andCC = {(x, y) ∈ M × M, s.t.πρ t (x, y) ≤ min(2 √ (cst + ɛ) , c n(cst, V )), ∀t > T }.proof :Let us prove i).Curvatures are functions of second order derivatives of the metric tensor. We givethe definitions of curvatures tensors, to make this point clear. Conventions areas in [20],[18],[17], in particular, we use Einstein’s summation convention.. Fora metric connection without torsion (Levi-Civita connection), we recall standarddefinitions:-the Christoffel symbols:-the (3,1) Riemann tensor:-the (4,0) curvature tensor:-the sectional curvature:Γ k ij = 1 2 gkl ( ∂ g jl +∂ g il − ∂ g ij )∂x i ∂x j ∂x lR(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [X,Y ] ZR m (X, Y, Z, W ) = 〈R(X, Y )Z, W 〉K(X, Y ) = R m(X, Y, Y, X)|X| 2 |Y | 2 − 〈X, Y 〉 2We see that the sectional curvature depends on the metric and its derivatives upto order two, so ∀x ∈ M, for all plane τ x ⊂ T x M,lim K(t, τ x) = cst.t→∞7914

Also, for all ɛ > 0, there exists T such that ∀t > T , for all x in M and for all planeτ x ⊂ T x M,| K(t, τ x ) − cst |≤ ɛ.For the third point iii):for (x, y) ∈ CC, where CC is defined above, we will show that we have the uniquenessof minimal g(t)-geodesic from x to y, for all time t > T , because we havethe well-known Klingenberg’s result (e.g. [13] page 158) about injectivity radiusof compact manifold whose sectional curvature is bounded above. To use Klingenberg’slemma, we have to bound the shortest length of a closed geodesic. Wewill use Cheeger’s theorem page 96 [3]. Since by the convergence of the metric, wehave the convergence of the Ricci curvature, we obtain that they are bounded bythe same constant. We obtain, using Myers’ theorem that all diameters are thenbounded above. The volumes are constant so bounded below, all sectional curvaturesof M are bounded in absolute value from above. So by Cheeger’s theoremthere exists a constant c n (K, d, V ) > 0 that bounds the length of smooth closedgeodesics. Hence, for large time, using Klingenberg’s lemma, we get a uniformπbound , in time, of the injectivity radius (i.e min( √ , c n(cst, V ))).2 (cst+ɛ)So for all t > T , there exist only one g(t)-geodesic between x and y, we denoteit γ t . Let E(γ t ) = ∫ 1〈 0 ˙γt (s), ˙γ t (s)〉 g(t) ds be the energy of the geodesic where ˙γ t (s) =∂∂s γt (s), ρ 2 t (x, y) = E(γ t ). We compute:2( ∂ | ∂t t=t 0ρ t (x, y))(ρ t (x, y)) = ∂ | ∂t t=t 0E(γ t )= ∫ 1〈 0 ˙γt 0(s), ˙γ t 0(s)〉 ∂∂t |t=t g(t)ds0+ 2 ∫ 1〈D ∂0 t| t=t0 ∂s γt (s), ∂ ∂s γt 0(s)〉 g(t0 )ds= ∫ 1〈 0 ˙γt 0(s), ˙γ t 0(s)〉 ∂∂t |t=t g(t)ds0+ 2 ∫ 1〈D 0 s ∂ | ∂t t=t 0γ t (s), ∂ ∂s γt 0(s)〉 g(t0 )dsLet X = ∂ | ∂t t=t 0γ t (s) be a vector field such that X(x) = 0 TxM, X(y) = 0 TyM,because we do not change the beginning and terminal point. The covariant derivativeis computed with the Levi-Civita connection associated to g(t 0 ). Hence weobtain:also:∫ 10〈D s∂∂t | t=t 0γ t (s), ∂ ∂s γt 0(s)〉 g(t0 )ds =∫ 10〈∇ ˙γ t 0(s) X, ∂ ∂s γt 0(s)〉 g(t0 )ds,〈∇ ˙γ t 0(s) X, ∂ ∂s γt 0(s)〉 g(t0 ) = ∂ ∂s 〈X, ∂ ∂s γt 0(s)〉 g(t0 ),because the connection is metric and γ t 0is a g(t 0 )-geodesic. Hence∫ 10∂∂s 〈X, ∂ ∂s γt 0(s)〉 g(t0 )ds = [〈X, ∂ ∂s γt 0(s)〉 g(t0 )] 1 0 = 0.8015

Finally, we obtain:∂∂t | t=t 0ρ t (x, y) =12ρ t0 (x, y)∫ 10〈 ˙γ t 0(s), ˙γ t 0(s)〉 ∂∂t |t=t 0g(t)ds. (3.1)We will now control the second term in the previous equation. By the exponentialconvergence of the metric, we could assume that the time is in the compact interval[0, 1]. The manifold is compact, so we have a finite family of charts (indeed, wemay assume that we have two charts, because the manifold has a metric whichturns it into a sphere). The support of this chart could be taken to be relativelycompact, and in this chart we can take the Euclidien metric i.e 〈∂ i , ∂ j 〉 E = δ j i . Thisis not in general a metric on M. For the simplicity of expression, after taking theminimum over all charts we may assume that we just have one chart. Let S 1 be asphere in R n with the Euclidean metric. The functional:reaches its minimum C > 0, so:[0, 1] × S 1 × M −→ R(t, v, x) ↦−→ g ij (t, x)v i v j‖T ‖ E ≤ C −1 ‖T ‖ g(t) , ∀t ∈ [0, 1], ∀T ∈ T M.Hence, for the equation (3.1) we get the estimate:∣ ∂ | ∫ ∣1∂t t=t 0ρ t (x, y) ∣ ≤2ρ t0 (x,y) C1 e −δt 0 1 ∣0∣〈 ˙γ t 0(s), ˙γ t 0 ∣∣ds(s)〉 E∫ 1≤2ρ t0 (x,y) C1 (C) −1 e −δt 0 1 ∣0∣〈 ˙γ t 0(s), ˙γ t 0∣(s)〉 g(t0 ) ∣ds≤ 1 2 C1 (C) −1 e −δt 0.This expression is clearly bounded.For the second point ii),let x, y ∈ M take γ ∞ be a g(∞)-geodesic that joins x to y. Then we have, on theone hand,ρ 2 t (x, y) − ρ 2 ∞(x, y) ≤ ∫ 1〈 ˙γ 0 ∞(s), ˙γ ∞ (s)〉 g(t)−g(∞) ds≤ Cste ∫ −δt 1‖ ˙γ 0 ∞(s)‖ 2 g(∞) ds≤ Cste −δt diam 2 g(∞) (M);where the constant changes and depends on the previous constant. On the otherhand, we have:ρ 2 ∞(x, y) − ρ 2 t (x, y) ≤ ∫ 1〈 0 ˙γt (s), ˙γ t (s)〉 g(∞)−g(t) ds≤ Cste ∫ −δt 1‖ 0 ˙γt (s)‖ 2 g(t) ds≤ Cste −δt diam 2 g(t) (M)≤ cst 1 e −δt ,8116

for some constant cst 1 , and we use Myers theorem for the last inequality to geta uniform upper bound of the diameter (because all Ricci curvature are uniformlybounded).We get exponential convergence of the length.We will now show uniqueness in law of a g(T c − t)-BM. By proposition 3.3, thisuniqueness is equivalent to uniqueness in law of a ˜g(t) ]−∞,0] -BM. This family ofmetrics, ˜g(t), satisfies:˜g(t) −→ ˜g(−∞) for the C ∞ -topology.Let Z 1 , Z 2 be two ˜g-BM ]−∞,0] and N T N 2 0 , ρ t (Zt 1 , Zt 3 √) ≤ πcst+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2} ∧ T . The4constant ɛ is just taken to be small enough.Let C N = inf{t > N, Zt 1 = Zt 3 }.2) At time T1 N :• if ρ T N1(Z 1 , Z 3 √) ≤ πcst+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2, these two points (Z 3 and Z 1 ) areT1N T1N 4 T1N T1Nclose enough to make mirror coupling. The distance between these two pointsis strictly less than the injectivity radius i g(t) (M), hence we have uniquenessof the geodesic that joins these two points. After T1N and before C N , we buildZt 3 as the g(T1 N + .)-BM that starts at Z 3 , and solves:T1Nand after C N ,∗dZ 3 t = U 3 t ∗ d((U 3 t ) −1 m t Z 1 t ,Z3 t U 1 t e i dW it )Z 3 t = Z 1 t , C N ≤ t,1782

where Ut 3 is the horizontal lift of Zt 3 , to be correct we have to express a systemof stochastic differential equations as in Kendall [19], Ut1 is the horizontal liftof Zt 1 , and dWti are Brownian motion that drives Zt 1 , the mirror map m t x,yconsists in transporting a vector along the unique minimal g(t)-geodesic thatjoins x to y and then reflecting it in the hyperplane of (T y M, g(t)) which isperpendicular to the incoming geodesic.By isometry property of the horizontal lift of the g(t)-BM (see [4]),is an R n -valued Brownian motion.(U 3 t ) −1 m t Z 1 t ,Z3 t U 1 t dW it ,Let T2 N = (T1 N + 1) ∧ inf{t > T N 2 1 , ρ t (Zt 1 , Zt 3 √) > πcst+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2} ∧ T ∧ C2 N .• if ρ T N1(Z 1 T N 1, Z 3 T N 1√) > πcst+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2then T N 4 2 = T1 N .Iterate step 1 and 2 successively (changing T0 N by T2 N and T1 N by T3 N in step 1,changing T1 N by T3 N and T2 N by T4 N in step 2 ..., after time T if we have no coupling,we let Z 3 evolve independently of Zt1 until the end), we build by induction theprocess Zt3 and a sequence of stopping times. We sketch it as:• if C N < TT N 0independent−→ T N 1coupling−→ T N 2independent−→ T N 3coupling−→ T N 4 ... C NZ 3 t =Z1 t−→ 0• if C N > TT N 0independent−→ T N 1coupling−→ T N 2independent−→ T N 3coupling−→ T N 4 ... T independent−→ 0Proposition 3.5 The two processes Z 3 and Z 2 are equal in law.proof : It is clear that before N the two processes are equal so equal in law.After:ZN 3 = Z2 N .⎧⎨⎩∗dZt 3 = ∑ i U t 3 e i ∗ dB i , when t ∈ [T2k N, T 2k+1 N ] and T 2k+1 N ≤ C N∗dZt 3 = ∑ i U t 3 ∗ d((Ut 3 ) −1 m t UZt 1,Z3 t 1 )e i dWt i , when t ∈ [T2k+1 N , T 2k+2 N ], and T 2k+2 N ≤ C NtZt 3 = Zt 1 , C N ≤ tWe write:Z 3 t = ∑ ∞k=01 [T Nk ,T N k+1 ] (t) ∗ dZ 3 t= ∑ k:even .... + ∑ k:odd1883

Let f ∈ C ∞ (M) then we have:for even k:for odd k:df(1 [T Nk ,T N k+1 ] (t) ∗ dZ 3 t ) dM ≡ 1 2 1 [T N k ,T N k+1 ] (t)∆˜g(t) f(Z 3 t )dtdf(1 [T Nk ,T N k+1 ] (t) ∗ dZ 3 t ) = 1 2 1 [T N k ,T N k+1 ] ∆˜g(t) f(Z 3 t )dtSo Z 3 and Z 2 are two diffusions with the same starting distribution and thesame generator, hence they are equal in law. For the gluing with Z 1 after C N thisis just the strong Markov property for (t, Z).Proposition 3.6 There exists α > 0 such that:P(T N 1− N < 1 2 ) > αproof :By the C ∞ -convergence of the metric we get:∀t < T, |∆˜g(t) f − ∆˜g(−∞) f| ≤˜Ceδtwhere the constant comes from Theorem 3.1, and the derivative of f up to ordertwo. We also obtain, by lemma 3.4, for a constant ɛ 2 that will be fixed below:|ρ t − ρ −∞ | ≤ ɛ 2 .Over the sphere (M, ˜g(−∞)), we have by ordinary comparison theorem:∆˜g(−∞) ρ −∞ (x) ≤ (n)cot(ρ −∞ (x)).We can suppose after normalization that the radius of the sphere (M, ˜g(−∞)) isone, Radius −∞ (M) = 1 (i.e. cst = 1) in 3.4. We deduce from above that:In [N, T N 1 [, we have ρ t (Z 1 t , Z 3 t ) >∆˜g(t) ρ −∞ (x) ≤ (n)cot(ρ −∞ (x)) + ˜Ce δt .√ π1+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2so:4√ π1+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)24− ɛ 2 ≤ ρ t (Z 1 t , Z 3 t ) − ɛ 2 ≤ ρ −∞ (Z 1 t , Z 3 t ) ≤ π8419

√πWe can choose ɛ, ɛ 2 such that,1+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2− ɛ4 2 ≥ β > 0. We obtain:cot(ρ −∞ (Zt 1 , Zt 3 )) ≤ cot(β),and∆˜g(t) ρ −∞ (Z 1 t , .)(Z 3 t ) ≤ (n)cot(β) + ˜Ce δT ,(recall T

It follows that:(dρ −∞ (Z 1 t , .) ∗ dZ 3 t )(dρ −∞ (Z 1 t , .) ∗ dZ 3 t ) = ∑ i〈U 3 t e i , v 1 t 〉 2˜g(−∞)dt.By the exponential convergence of the metric,〈Ut 3 e i , vt 1 〉˜g(−∞) ≥ 〈Ut 3 e i , vt 1 〉˜g(t) − ˜Ce δT ,hence:∑〈U t e i , vt 1 〉 2˜g(−∞) ≥ ∑ 〈U t e i , vt 1 〉 2˜g(t) − 2 ˜Ce ∑ δT 〈U t e i , vt 1 〉˜g(t) + n( ˜Ce δT ) 2iii= ‖vt 1 ‖ 2˜g(t) − 2 ˜Ce ∑ δT 〈U t e i , vt 1 〉˜g(t) + n( ˜Ce δT ) 2i≥ ‖vt 1 ‖ 2˜g(t) − 2 ˜Ce δT n‖vt 1 ‖˜g(t) + n( ˜Ce δT ) 2 Schwartz≥ (‖vt 1 ‖˜g(−∞) − ˜Ce δT ) 2 − 2 ˜Ce δT n(‖vt 1 ‖˜g(−∞) + ˜Ce δT )+ n( ˜Ce δT ) 2≥ 1 − ˜Ce δT (2 − ˜Ce δT + 2(n + n ˜Ce δT ) − n ˜Ce δT )≥ 1 for a small enough T.2The independence of Zt 1 et Zt 3 gives,d〈M t , M t 〉 = (dρ −∞ (Zt 1 , .) ∗ dZt 3 )(dρ −∞ (Zt 1 , .) ∗ dZt 3 )+(dρ −∞ (., Zt 3 )) ∗ dZt 1 )(dρ −∞ (., Zt 3 )) ∗ dZt 1 )henced〈M t , M t 〉 ≥ 1dt.For simplicity write θ =P(T N 1 − N < 1 2 )√ π1+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2, it follows from (3.2) that:4= P(∃t ∈ [N, N + 1/2] s.t. ρ t (Z 1 t , Z 3 t ) ≤ θ≥ P(∃t ∈ [N, N + 1/2] s.t. ρ −∞ (Z 1 t , Z 3 t ) ≤ θ − ɛ 2 )≥ P(∃t ∈ [N, N + 1/2] s.t. π + M t + (cot(β) + ˜Ce δT )(t − N) ≤ θ − ɛ 2 )≥ α > 0.For the last step, we use the usual comparison theorem for stochastic processes(e.g. Ikeda and Watanabe [15]).8621

We will now show that the coupling can occur between [T N 1 , T N 2 ] in a time smallerthan 1 2 .Proposition 3.7 There exists ˜α > 0 such that:P(C N < (T N 1+ 1 2 ) ∧ T N 2 ) > ˜α.proof : Between the two times T N 1 and T N 2 , we have mirror coupling between Z 1 tand Z 3 t . As in [19, 5] we have:dρ t (Z 1 t , Z 3 t ) = ρ ′ t(Z 1 t , Z 3 t )dt + 2dβ t + 1 2n∑I t (Ji t , Ji t )dti=2∗dZ 3 t = U 3 t ∗ d((U 3 t ) −1 m t Z 1 t ,Z3 t U 1 t e i dW it ),Where:-β t is a standard real Brownian motion.-γ t (Z 1 t , Z 3 t )(s) the minimal ˜g(t) geodesic between Z 1 t and Z 3 t .-( ˙γ(Z 1 t , Z 3 t )(0), e i (t)) a ˜g(t)-orthonormal basis of T Z 1tM.- J t i (s) the Jacobi field along γ t for the metric ˜g(t), with initial condition J t i (0) =e i (t) and J t i (ρ t (Z 1 t , Z 3 t )) = / t,γtρ t(Z 1 t ,Z3 t )e i(t) i.e. the parallel transport for the metric˜g(t) along γ t , that is an orthogonal Jacobi field .-I t is the index bilinear form for the metric ˜g(t).Between the times T1N and T2 N , we have:ρ t (Z 1 t , Z 3 t ) ≤So by 3.4, there exists a constant C such that:√ πcst+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)22ρ ′ t(x, y) ≤ C.We have to show that between the times T N 1 and T N 2 ,n∑I t (Ji t , Ji t )i=2is bounded above. We note r = ρ t (Z 1 t , Z 3 t ), and γ for γ t . Let G(s) be a real-valuedfunction and K t i be the orthogonal vector field over γ defined by:K t i (s) = G(s)( / γtt e i (t))(s)8722

where G(0) = G(r) = 1. We have:‖∇ t ∂ Ki t (s)‖ 2˜g(t) = (Ġ)2 .∂sBy the index lemma (e.g. [20]), we deduce:andI t (K t i , K t i ) =∫ r0I t (J t i , J t i ) ≤ I t (K t i , K t i ),〈D s K t i , D s K t i 〉˜g(t) − R m,˜g(t) (K t i , ˙γ, ˙γ, K t i )dt,where R m,˜g(t) denote the (4, 0) curvature tensor associated to the metric ˜g(t).Hence:n∑I t (Ki t , Ki t ) =i=2==n∑∫ ri=2 0∫ rn∑i=2∫ r00≤ (n − 1)〈D s K t i , D s K t i 〉˜g(t) − R m,˜g(t) (K t i , ˙γ, ˙γ, K t i )ds‖∇ t ∂ K i (s)‖ 2˜g(t) − R m,˜g(t) (Ki t , ˙γ, ˙γ, Ki t )ds∂s(n − 1)(Ġ)2 − (G) 2 Ric˜g(t) ( ˙γ, ˙γ)ds∫ r0((Ġ)2 − (G) 2 ( 1 − ɛn − 1 ))ds.For performing the computation, we impose to G to satisfy the O.D.E:{G(0) = G(r) = 1..G + ( 1−ɛn−1 )G = 0We notice that:(Ġ)2 − (G) 2 ( 1 − ɛn − 1 )) = (GĠ)′ ,and the solution of this O.D.E is given by the function:√1 − ɛ 1 − cos(G(s) = cos(n − 1 s) + √sin(√1−ɛn−1 r)1−ɛr) n−1√1 − ɛsin(n − 1 s).This function does not explode for r in [0,qπ2 1−ɛn−1], and,(Ġ)(r) − (Ġ)(0) = −2√1 − ɛn − 1 tan( √1−ɛr n−12).8823

HenceWe get:√√ n∑1 − ɛI t (Ji t , Ji t ) ≤ −2(n − 1)n − 1 tan( 2i=2After conditioning by F T N1dρ t (Z 1 t , Z 3 t ) ≤ Cdt + 2dβ t .1−ɛr n−1) ≤ 0.we get the following computation:P(C N < (T1 N + 1) ∧ T N 2 2 )= P(∃t(∈ [(T1 N , (T1 N + 1) ∧ T N 2 2 ] s.t. ρ t (Zt 1 , Zt 3 ) = 0)≥ P ∃t ∈ [0, 1] s.t. Ct + 2β √2 t +π1+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2= 04and sup 0≤s≤t (Cs + 2β s +≥ ˜α > 0.√ π1+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)2) < π4√ 1+ɛ∧ Cn(d,K,cst−ɛ)22)Remark : A better ˜α could be found with a martingale of the type e aβt− a2 2 t .Theorem 3.8 Let (M, g) be a compact, strictly convex hypersurface isometricallyembedded in R n+1 , n ≥ 2, and (M, g(t)) the family of metrics constructed by themean curvature flow (as in 1.3). There exists a unique g(T c − t)-BM in law.proof : Let Xt 1 and Xt 2 two g(T c − t)-BM , by a deterministic change of timewe get two ˜g(t)-BM that we note Zt1 and Zt 2 . Let N ≤ T 0.By successive conditioning (by F T2˜k−2, ... ) we get:P(∄t ∈ [T N 0 , T N 2˜k ] s.t. Z3 N,t = Z 1 t ) ≤ (1 − α˜α)˜k.8924

Let f 1 ...f m ∈ B b (M) (bounded Borel functions ) and t < t 1 < ... < t m ≤ 0,|E[f 1 (Z 1 t 1)...f m (Z 1 t m) − f 1 (Z 2 t 1)...f m (Z 2 t m)]|= |E[f 1 (Z 1 t 1)...f m (Z 1 t m) − f 1 (Z 3 N,t 1)...f m (Z 3 N,t m)]|≤ E[|f 1 (Z 1 t 1)...f m (Z 1 t m) − f 1 (Z 3 N,t 1)...f m (Z 3 N,t m)|1 Z 1t ≠Z 3 N,t ]≤ 2‖f 1 ‖ ∞ ...‖f m ‖ ∞ P(Z 1 t ≠ Z 3 N,t)= 2‖f 1 ‖ ∞ ...‖f m ‖ ∞ P(∄u ∈ [N, t], s.t. Z 1 u = Z 3 N,u)≤ 2‖f‖ ∞ ...‖f m ‖ ∞ (1 − α˜α) E(t−N)We get the result by sending N to −∞.As application, we give uniqueness of a solution of a differential equation withoutinitial condition.Corollary 3.9 Let (M, g) be a compact, strictly convex hypersurface isometricallyembedded in R n+1 , n ≥ 2, and (M, g(t)) the family of metrics constructed by themean curvature flow (as in 1.3). Then the following equation has a unique solutionin ]0, T c ], where T c is the explosion time of the mean curvature flow.{ ∂∫h(t, y) + ∂t H2 (T c − t, y)h(t, y) = 1∆ 2 g(T c−t)h(t, y)h(T (3.3)M c, y)dµ 0 = 1proof : Existence: let X Tc]0,T be a g(T c] c − t)-BM with law at time t, h(t, y)dµ Tc−t.Then the law satisfies the equation (3.3), it is a consequence of a Green formula(compare with the similar computation for the Ricci flow in [4] section 2).Uniqueness: let ˜h be a solution of (3.3), and ν k be a non-increasing sequencein ]0..T c ] such that lim k→∞ ν k = 0. Take a M-valued random variable ˜X ν k ∼˜h νk dµ Tc−νk , define the process:{X ν k ˜Xν kfor t ∈]0..νt =k ]g(T c − t)-BM( ˜X ν k ) for t ∈ [νk ..T c ]By the similar argument as in section 2, we deduce the tightness of the sequenceX ν k, let X be a limit of a extracted sequence (also noted by ν k ). It is easy to see(by uniqueness of a solution of S.D.E, and of P.D.E with starting function) thatX ν k ′ L(.) = X ν k(.) for times greater than ν k and k ′ ≥ k . Sending k ′ to infinity, we obtainX L (.) = X ν k(.) for times greater than ν k . Note also that for t ≥ ν kX ν k(.)L= g(T c − .)-BM(X ν kt ) L = g(T c − .)-BM(X t ).Hence X is a g(T c − t) ]0,Tc] Brownian motion. For t ≥ ν k we haveX t L = X ν kt∼ ˜h t dµ Tc−t.2590

By uniqueness in law of such process, we get the uniqueness of the solution, henceh = ˜h.References[1] M. Arnaudon. Appendix to the preceding paper: “A remark on Tsirelson’sstochastic differential equation” [in séminaire de probabilités, xxxiii, 291–303, Lecture Notes in Math., 1709, Springer, Berlin, 1999; MR1768002(2001e:60111)] by M. Émery and W. Schachermayer. Natural filtration ofBrownian motion indexed by R in a compact manifold. In Séminaire deProbabilités, XXXIII, volume 1709 of Lecture Notes in Math., pages 304–314.Springer, Berlin, 1999.[2] Marc Arnaudon, Kolehe Abdoulaye Coulibaly, and Anton Thalmaier. Brownianmotion with respect to a metric depending on time: definition, existenceand applications to Ricci flow. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 346(13-14):773–778, 2008.[3] Jeff Cheeger and David G. Ebin. Comparison theorems in Riemannian geometry.North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1975. North-HollandMathematical Library, Vol. 9.[4] A. K. Coulibaly. Brownian motion with respect to time-changing riemannianmetrics, applications to ricci flow. Preprint http://arxiv.org/abs/0901.1999v1.[5] M. Cranston. Gradient estimates on manifolds using coupling. J. Funct. Anal.,99(1):110–124, 1991.[6] M. Émery and W. Schachermayer. Brownian filtrations are not stable underequivalent time-changes. In Séminaire de Probabilités, XXXIII, volume 1709of Lecture Notes in Math., pages 267–276. Springer, Berlin, 1999.[7] Michel Émery. Stochastic calculus in manifolds. Universitext. Springer-Verlag,Berlin, 1989. With an appendix by P.-A. Meyer.[8] L. C. Evans, H. M. Soner, and P. E. Souganidis. Phase transitions and generalizedmotion by mean curvature. Comm. Pure Appl. Math., 45(9):1097–1123,1992.[9] L. C. Evans and J. Spruck. Motion of level sets by mean curvature. II. Trans.Amer. Math. Soc., 330(1):321–332, 1992.9126

[10] L. C. Evans and J. Spruck. Motion of level sets by mean curvature. III. J.Geom. Anal., 2(2):121–150, 1992.[11] L. C. Evans and J. Spruck. Motion of level sets by mean curvature. I [MR1100206 (92h:35097)]. In Fundamental contributions to the continuumtheory of evolving phase interfaces in solids, pages 328–374. Springer, Berlin,1999.[12] Lawrence C. Evans and Joel Spruck. Motion of level sets by mean curvature.IV. J. Geom. Anal., 5(1):77–114, 1995.[13] Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, and Jacques Lafontaine. Riemannian geometry.Universitext. Springer-Verlag, Berlin, third edition, 2004.[14] Gerhard Huisken. Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres. J.Differential Geom., 20(1):237–266, 1984.[15] Nobuyuki Ikeda and Shinzo Watanabe. Stochastic differential equations anddiffusion processes, volume 24 of North-Holland Mathematical Library. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, second edition, 1989.[16] Jean Jacod and Albert N. Shiryaev. Limit theorems for stochastic processes,volume 288 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [FundamentalPrinciples of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, second edition,2003.[17] Jürgen Jost. Harmonic mappings between Riemannian manifolds, volume 4of Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian NationalUniversity. Australian National University Centre for Mathematical Analysis,Canberra, 1984.[18] Jürgen Jost. Riemannian geometry and geometric analysis. Universitext.Springer-Verlag, Berlin, fourth edition, 2005.[19] Wilfrid S. Kendall. Nonnegative Ricci curvature and the Brownian couplingproperty. Stochastics, 19(1-2):111–129, 1986.[20] John M. Lee. Riemannian manifolds, volume 176 of Graduate Texts in Mathematics.Springer-Verlag, New York, 1997. An introduction to curvature.[21] H. Mete Soner and Nizar Touzi. A stochastic representation for mean curvaturetype geometric flows. Ann. Probab., 31(3):1145–1165, 2003.[22] Daniel W. Stroock and S. R. Srinivasa Varadhan. Multidimensional diffusionprocesses. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2006. Reprint ofthe 1997 edition.9227

Chapter 5Horizontal diffusion in path space9595

HORIZONTAL DIFFUSION IN C 1 PATH SPACEMARC ARNAUDON, ABDOULAYE COULIBALY, AND ANTON THALMAIERAbstract. We define horizontal diffusion in C 1 path space over a Riemannianmanifold and prove its existence. If the metric on the manifold is developingunder the forward Ricci flow, horizontal diffusion along Brownian motion turnsout to be length preserving. As application, we prove contraction properties inthe Monge-Kantorovich minimization problem for probability measures evolvingalong the heat flow. For constant rank diffusions, differentiating a familyof coupled diffusions gives a derivative process with a covariant derivative offinite variation. This construction provides an alternative method to filteringout redundant noise.Contents1. Preliminaries 12. Horizontal diffusion on C 1 path space 23. Horizontal diffusion along non-homogeneous diffusion 104. Application to optimal transport 125. Derivative process along constant rank diffusion 14References 161. PreliminariesThe main concern of this paper is to answer the following question: Given asecond order differential operator L without constant term on a manifold M and aC 1 path u ↦→ ϕ(u) taking values in M, is it possible to construct a one parameterfamily X t (u) of diffusions with generator L and starting point X 0 (u) = ϕ(u), suchthat the derivative with respect to u is locally uniformly bounded? If the manifoldis R n and the generator L a constant coefficient differential operator, there is anobvious solution: the family X t (u) = ϕ(u) + Y t , where Y t is an L-diffusion startingat 0, has the required properties. But already on R n with a non-constant generator,the question becomes difficult.In this paper we give a positive answer for elliptic operators L on general manifolds;the result also covers time-dependent elliptic generators L = L(t). It turnsout that the constructed family of diffusions solves the ordinary differential equationin the space of semimartingales:(1.1) ∂ u X t (u) = W (X(u)) t ( ˙ϕ(u)),where W (X(u)) is the so-called deformed parallel translation along the semimartingaleX(u).Key words and phrases. Brownian motion, damped parallel transport, horizontal diffusion,Monge-Kantorovich problem, Ricci curvature.196

2 M. ARNAUDON, A. K. COULIBALY, AND A. THALMAIERThe problem is similar to finding flows associated to derivative processes asstudied in [6, 7, 8, 9, 13, 12] and [11]. However it is transversal in the sense that inthese papers diffusions with the same starting point are deformed along a drift whichvanishes at time 0. In contrast, we want to move the starting point but to keep thegenerator. Our strategy of proof consists in iterating parallel couplings for closerand closer diffusions. In the limit, the solution may be considered as an infinitenumber of infinitesimally coupled diffusions. We call it horizontal L-diffusion in C 1path space.If the generator L is degenerate, we are able to solve (1.1) only in the constantrank case; by parallel coupling we construct a family of diffusions satisfying (1.1) atu = 0. In particular, the derivative of X t (u) at u = 0 has finite variation comparedto parallel transport.Note that our construction requires only a connection on the fiber bundle generatedby the “carré du champ” operator. In the previous approach of [10], astochastic differential equation is needed and ∇ has to be the Le Jan-Watanabeconnection associated to the SDE.The construction of families of L(t)-diffusions X.(u) with ∂ u X.(u) locally uniformlybounded has a variety of applications. In Stochastic Analysis, for instance,it allows to deduce Bismut type formulas without filtering redundant noise. If onlythe derivative with respect to u at u = 0 is needed, parallel coupling as constructedin [4] would be a sufficient tool. The horizontal diffusion however is much moreintrinsic by yielding a flow with the deformed parallel translation as derivative,well-suited to applications in the analysis of path space. Moreover for any u, thediffusion X.(u) generates the same filtration as X.(0), and has the same lifetime ifthe manifold is complete.In Section 4 we use the horizontal diffusion to establish a contraction propertyfor the Monge-Kantorovich optimal transport between probability measures evolvingunder the heat flow. We only assume that the cost function is a non-decreasingfunction of distance. This includes all Wasserstein distances with respect to thetime-dependent Riemannian metric generated by the symbol of the generator L(t).For a generator which is independent of time, the proof could be achieved usingsimple parallel coupling. The time-dependent case however requires horizontal diffusionas a tool.2. Horizontal diffusion on C 1 path spaceLet M be a complete Riemannian manifold with ρ its Riemannian distance. TheLevi-Civita connection on M will be denoted by ∇.Given a continuous semimartingale X taking values in M, we denote by d ∇ X =dX its Itô differential and by d m X the martingale part of dX. In local coordinates,((2.1) d ∇ X ≡ dX = dX i + 1 ) ∂2 Γi jk(X) d∂x iwhere Γ i jkare the Christoffel symbols of the Levi-Civita connection on M. Inaddition, if dX i = dM i + dA i where M i is a local martingale and A i a finitevariation process, thend m X = dM i ∂∂x i . 97

HORIZONTAL DIFFUSION IN PATH SPACE 3Alternatively, ifP t (X) ≡ PtM (X) : T X0 M → T Xt Mdenotes parallel translation along X, then(∫ .)dX t = P t (X) d P s (X) −1 δX sandd m X t = P t (X) dN twhere N t is the martingale part of the Stratonovich integral ∫ t0 P (X)−1 s δX s .If X is a diffusion with generator L, we denote by W (X) the so-called deformedparallel translation along X. Recall that W (X) t is a linear map T X0 M → T Xt M,determined by the initial condition W (X) 0 = Id TX0 M together with the covariantItô stochastic differential equation:(2.2) DW (X) t = − 1 2 Ric♯ (W (X) t ) dt + ∇ W (X)t Z dt.By definition we have(2.3) DW (X) t = P t (X)d ( P.(X) −1 W (X) ) t .Note that the Itô differential (2.1) and the parallel translation require only a connection∇ on M. For the deformed parallel translation (2.2) however the connectionhas to be adapted to a metric.In this Section the connection and the metric are independent of time. We shallsee in Section 3 how these notions can be extended to time-dependent connectionsand metrics.Theorem 2.1. Let R → M, u ↦→ ϕ(u), be a C 1 path in M and let Z be a vectorfield on M. Further let X 0 be a diffusion with generator L = ∆/2 + Z, startingat ϕ(0), and lifetime ξ. There exists a unique family0u ↦→ (X t (u)) t∈[0,ξ[of diffusions with generator L, almost surely continuous in (t, u) and C 1 in u,satisfying X(0) = X 0 , X 0 (u) = ϕ(u) and(2.4) ∂ u X t (u) = W (X(u)) t ( ˙ϕ(u)).Furthermore, the process X(u) satisfies the Itô stochastic differential equation(2.5) dX t (u) = P Xt(·)0,u d m X 0 t + Z Xt(u) dt,where P Xt(·)0,u : T X 0tM → T Xt(u)M denotes parallel transport along the C 1 curve[0, u] → M, v ↦→ X t (v).Definition 2.2. We call t ↦→ (X t (u) u∈R ) the horizontal L-diffusion in C 1 pathspace C 1 (R, M) over X 0 , starting at ϕ.Remark 2.3. Given an elliptic generator L, we can always choose a metric g on Msuch that L = ∆/2+Z for some vector field Z where ∆ is the Laplacian with respectto g. Assuming that M is complete with respect to this metric, the assumptions ofTheorem 2.1 are fulfilled. In the non-complete case, a similar result holds with theonly difference that the lifetime of X.(u) then possibly depends on u.t98

4 M. ARNAUDON, A. K. COULIBALY, AND A. THALMAIERRemark 2.4. Even if L = ∆/2, the solution we are looking for is not the flowof a Cameron-Martin vector field: firstly the starting point here is not fixed andsecondly the vector field would have to depend on the parameter u. Consequentlyone cannot apply for instance Theorem 3.2 in [13]. An adaptation of the proof ofthe cited result would be possible, but we prefer to give a proof using infinitesimalparallel coupling which is more adapted to our situation.Proof of Theorem 2.1. Without loss of generality we may restrict ourselves to thecase u ≥ 0.A. Existence. Under the assumption that a solution X t (u) exists, we have forany stopping time T ,W T +t (X(u))( ˙ϕ(u)) = W t (X T +· (u)) (∂X T (u)),for t ∈ [0, ξ(ω) − T (ω)[ and ω ∈ {T < ξ}. Here ∂X T := (∂X) T denotes thederivative process ∂X with respect to u, stopped at the random time T ; note thatby Eq. (2.4), (∂X T )(u) = W (X(u)) T ( ˙ϕ(u)). Consequently we may localize andreplace the time interval [0, ξ[ by [0, τ ∧ t 0 ] for some t 0 > 0, where τ is the first exittime of X from a relatively compact open subset U of M with smooth boundary.We may also assume that U is sufficiently small and included in the domain ofa local chart; moreover we can choose u 0 ∈ ]0, 1] with ∫ u 0‖ ˙ϕ(u)‖ du small enough0such that the processes constructed for u ∈ [0, u 0 ] stay in the domain U of thechart. At this point we use the uniform boundedness of W on [0, τ ∧ t 0 ].For α > 0, we define by induction a family of processes (Xt α (u)) t≥0 indexed byu ≥ 0 as follows: X α (0) = X 0 , X0 α (u) = ϕ(u), and if u ∈ ]nα, (n + 1)α] for someinteger n ≥ 0, X α (u) satisfies the Itô equation(2.6) dX α t (u) = P X αt (nα),X α t (u) d m X α t (nα) + Z X αt (u) dt,where P x,y denotes parallel translation along the minimal geodesic from x to y.We choose α sufficiently small so that all the minimizing geodesics are uniquelydetermined and depend smoothly of the endpoints: since Xα(u) is constructedfrom Xα(nα) via parallel coupling (2.6), there exists a constant C > 0 such that(2.7) ρ(X α t (u), X α t (nα)) ≤ ρ(X α 0 (u), X α 0 (nα)) e Ct ≤ ‖ ˙ϕ‖ ∞ αe Ct0(see e.g. [15]).The process ∂X α (u) satisfies the covariant Itô stochastic differential equation(2.8)D∂X α (u) = ∇ ∂X α (u)P X α (nα),. d m X α t (nα) + ∇ ∂X α (u)Z dt − 1 2 Ric♯ (∂X α (u)) dt,(see [3] Eq. (4.7), along with Theorem 2.2).Step 1 We prove that if X and Y are two L-diffusions stopped at τ 0 := τ ∧ t 0 andliving in U, then there exists a constant C such that[] [](2.9) E sup ‖W (X) t − W (Y ) t ‖ 2 ≤ C E sup ‖X t − Y t ‖ 2 .t≤τ 0 t≤τ 0Here we use the Euclidean norm defined by the chart.WritingL = a ij ∂ ij + b j ∂ j99

HORIZONTAL DIFFUSION IN PATH SPACE 5with a ij = a ji for i, j ∈ {1, . . . , dim M}, and denoting by (a ij ) the inverse of (a ij ),the connection ∇ ′ with Christoffel symbols(Γ ′ ) k ij = − 1 2 (a ik + a jk )b khas the property that all L-diffusions are ∇ ′ -martingales.On the other hand, for ∇ ′ -martingales X and Y living in U, with N X , respectivelyN Y , their martingale parts in the chart U, Itô’s formula for ∇ ′ -martingalesyields〈(N X ) k − (N Y ) k , (N X ) k − (N Y ) k〉 t= (Xt k − Yt k ) 2 − (X0 k − Y k− 2+∫ t0∫ t00 ) 2(X k s − Y ks ) d((N X s ) k − (N Y s ) k )(X k s − Y ks ) ( (Γ ′ ) k ij(X s ) d〈(N X ) i , (N X ) j 〉 s − (Γ ′ ) k ij(Y s ) d〈(N Y ) i , (N Y ) j 〉 s).From there we easily prove that, for U sufficiently small, there exists a constantC > 0 such that for all L-diffusions X and Y stopped at the first exit time of U,(2.10) E [ ]〈N X − N Y |N X − N Y ]〉 τ0 ≤ CE[sup ‖X t − Y t ‖ 2t≤τ 0where 〈N X − N Y |N X − N Y 〉 denotes the Riemannian quadratic variation (seee.g. [2]).Writing W (X) = P (X) ( P (X) −1 W (X) ) , an easy calculation shows that in thelocal chartdW (X) = −Γ(X)(dX, W (X)) − 1 (dΓ)(X)(dX)(dX, W (X))2(2.11)+ 1 2 Γ(X)(dX, Γ(X)(dX, W (X))) − 1 2 Ric♯ (W (X)) dt + ∇ W (X) Z dt.We are going to use Eq. (2.11) to evaluate the difference W (Y ) − W (X). Alongwith the already established bound (2.10), taking into account that W (X), W (Y )and the derivatives of the brackets of X and Y are bounded in U, we can get abound for F (t) := E [ sup s≤t∧τ ‖W (Y ) − W (X)‖ 2] . First an estimate of the type[] ∫ tF (t) ≤ C 1 E sup ‖X s − Y s ‖ 2 + C 2 F (s) ds, 0 ≤ t ≤ t 0s≤τ 0is derived which then by Gronwall’s lemma leads to[](2.12) F (t) ≤ C 1 e C2t E sup ‖X t − Y t ‖ 2 .t≤τ 0Letting t = t 0 in (2.12) we obtain the desired bound (2.9).Step 2 We prove that there exists C > 0 such that for all u ∈ [0, u 0 ],[ ((2.13) E sup ρ 2 Xt α (u), Xt (u)) ]α′≤ C(α + α ′ ) 2 .t≤τ 00100

6 M. ARNAUDON, A. K. COULIBALY, AND A. THALMAIERFrom the covariant equation (2.8) for ∂X α t (v) and the definition of deformedparallel translation (2.2),DW (X) −1twe have for (t, v) ∈ [0, τ 0 ] × [0, u 0 ],W (X α (v)) −1t ∂X α t (v) = ˙ϕ(v) +or equivalently,(2.14)∂X α t (v) = W (X α (v)) t ˙ϕ(v)+ W (X α (v)) t∫ t= 1 2 Ric♯ (W (X) −1t0∫ t0) dt − ∇ W (X)−1Z dt,W (X α (v)) −1s ∇ ∂X α s (v)P X α s (v α),. d m X α s (v α ),W (X α (v)) −1s ∇ ∂X α s (v)P X α s (v α),. d m X α s (v α )with v α = nα, where the integer n is determined by nα < v ≤ (n + 1)α. Consequently,we haveρ(Xt α (u), Xtα′(u))∫ u 〈= dρ,=++0∫ u0∫ u0∫ u0(∂Xt α (v), ∂Xtα′(v))〉dv〈 ()〉dρ, W (X α (v)) t ˙ϕ(v), W (X α′ (v)) t ˙ϕ(v) dv〈∫ tdρ,(W (X α (v)) t〈dρ,0)〉W (X α (v)) −1s ∇ ∂X α s (v)P X α s (v α),. d m Xs α (v α ), 0 dv∫ t)〉(0, W (X α′ (v)) t W (X α′ (v)) −1s ∇ ∂X α ′ (v)P s Xs α′ (v ),. d mX α′α ′ s (v a ′) dv.0This yields, by means of boundedness of dρ and deformed parallel translation,together with (2.12) and the Burkholder-Davis-Gundy inequalities,[ (E sup ρ 2 Xt α (u), Xt (u)) ] ∫ u[ (α′≤ C E sup ρ 2 Xt α (v), Xt (v)) ]α′dvt≤τ 0 0 t≤τ 0∫ u[∫ τ0]∥+ C E∥ 2 ds dv+ C0∫ uFrom here we obtain[ (E sup ρ 2 Xt α (u), Xt (u)) ]α′≤ Ct≤τ 00E∫ u00[∫ τ00+ Cα 2 ∫ u+ Cα ′ 2∥∇ ∂X α s (v)P X α s (v α),.∥∥∇ ∂X α ′ (v)P s X α′t∥ ]∥∥2s (v ),. αds dv.′[ (E sup ρ 2 Xt α (v), Xt (v)) ]α′dvt≤τ 0[∫ τ0]E ‖∂Xs α (v)‖ 2 ds dv0 0∫ u[∫ τ0]∥E ∥∂X α′(v) ∥ 2 ds dv,where we used the fact that for v ∈ T x M, ∇ v P x,. = 0, together withsee estimate (2.7).ρ(X β s (v), X β s (v β )) ≤ Cβ, β = α, α ′ ,00s101

HORIZONTAL DIFFUSION IN PATH SPACE 7Now, by Eq. (2.8) for D∂X β , there exists a constant C ′ > 0 such that for allv ∈ [0, u 0 ],[∫ τ0E ∥ ∂Xβs (v) ∥ ]2 ds < C ′ .Consequently,[ (E sup ρ 2 Xt α (u), Xt (u)) ]α′≤ Ct≤τ 00∫ u0[ (E sup ρ 2 Xt α (v), Xt (v)) ]α′dvt≤τ 0+ 2CC ′ (α + α ′ ) 2which by Gronwall lemma yields[ ( ) ]E sup ρ 2 Xt α (u), Xtα′(u) ≤ C (α + α ′ ) 2t≤τ 0for some constant C > 0. This is the desired inequality.Step 3 From inequality (2.13) we deduce that there exists a limiting process(X t (u)) 0≤t≤τ0, 0≤u≤u 0such that for all u ∈ [0, u 0 ] and α > 0,[](2.15) E sup ρ 2 (Xt α (u), X t (u)) ≤ Cα 2 .t≤τ 0In other words, for any fixed u ∈ [0, u 0 ], the process (X α t (u)) t∈[0,τ0] convergesto (X t (u)) t∈[0,τ0] uniformly in L 2 as α tends to 0. Since these processes are ∇ ′ -martingales, convergence also holds in the topology of semimartingales. This impliesin particular that for any u ∈ [0, u 0 ], the process (X t (u)) t∈[0,τ0] is a diffusionwith generator L, stopped at τ 0 .Extracting a subsequence (α k ) k≥0 convergent to 0, we may assume that almostsurely, for all dyadic u ∈ [0, u 0 ],sup ρ (Xt α (u), X t (u))t≤τ 0converges to 0. Moreover we can choose (α k ) k≥0 of the form α k = 2 −nk with(n k ) k≥0 an increasing sequence of positive integers. Due to (2.7), we can take aversion of the processes (t, u) ↦→ Xtαk(u) such thatu ↦→ Xtαk(u)is uniformly Lipschitz in u ∈ Nα k ∩ [0, u 0 ] with a Lipschitz constant independentof k and t. Passing to the limit, we obtain that a.s for any t ∈ [0, τ 0 ], the mapu ↦→ X t (u) is uniformly Lipschitz in u ∈ D ∩ [0, u 0 ] with a Lipschitz constantindependent of t, where D is the set of dyadic numbers. Finally we can choose aversion of (t, u) ↦→ X t (u) which is a.s. continuous in (t, u) ∈ [0, τ 0 ] × [0, u 0 ], andhence uniformly Lipschitz in u ∈ [0, u 0 ].Step 4 We prove that almost surely, X t (u) is differentiable in u with derivativeW (X(u)) t ( ˙ϕ(u)). More precisely, we show that in local coordinates, almost surely,for all t ∈ [0, τ 0 ], u ∈ [0, u 0 ],(2.16) X t (u) = X 0 t +∫ u0W (X(v)) t ( ˙ϕ(v)) dv.102

8 M. ARNAUDON, A. K. COULIBALY, AND A. THALMAIERX αkFrom the construction it is clear that almost surely, for all t ∈ [0, τ 0 ], u ∈ [0, u 0 ],∫ ut (u) = Xt 0 + W (X αk (v)) t ( ˙ϕ(v)) dv0∫ u∫ t+(W (X αk (v)) t W (X αk (v)) −1s0This yieldsX t (u) − X 0 t −∫ u00W (X(v)) t ( ˙ϕ(v)) dv∫ u∇ α ∂X ks)(v) P X α ks (v αk ),. d mXs αk(v αk ) dv.= X t (u) − Xt αk(u) + (W (X αk (v)) t − W (X(v)) t ) ˙ϕ(v) dv0∫ u∫ t)+(W (X αk (v)) t W (X αk (v)) −1s ∇ α ∂X ks (v) P X α ks (v αk ),. d mXs αk(v αk ) dv.00The terms of right-hand-side are easily estimated, where in the estimates the constantC may change from one line to another. First observe that[]E sup ‖X t (u) − Xt αk(u)‖ 2 ≤ Cαk.2t≤τ 0Using (2.9) and (2.15) we have[ ∥∫ ∥∥∥ u] 2E sup (W (X αk (v)) t − W (X(v)) t ) dv∥t≤τ 0 0[]≤ E sup ‖W (X αk (v)) t − W (X(v)) t ‖ 2 dv0=0∫ ut≤τ 0 0∫ u0Eand finally[ ∥∫ ∥∥∥ u∫ tE sup(W (X αk (v)) t W (X αk (v)) −1st≤τ 0 00∫ [u∥∫ ∥∥∥ t≤ C E sup W (X αk (v)) −1s ∇ α ∂X ks0 t≤τ 0 0∫ u[∫ τ0]≤ Cαk2 E ‖∂Xsαk(v)‖ 2 ds dv ≤ Cαk.2We deduce that[E[]sup ‖W (X αk (v)) t − W (X(v)) t ‖ 2 dv ≤ Cαk,2t≤τ 0∥ ∥∥∥sup X t (u) − Xt 0 −t≤τ 0∫ u0∇ α ∂X ks)(v) P X α ks (v αk ),. d mXs αk(v αk )(v) P X α ks (v αk ),. d mX αk]s (v αk ) ∥ dv∥2]W (X(v)) t ( ˙ϕ(v)) dv∥≤ Cα∥2k.2Since this is true for any α k , using continuity in u of X t (u), we finally get almostsurely for all t, u,X t (u) = X 0 t +∫ uStep 5 Finally we are able to prove Eq. (2.5):0W (X(v)) t ( ˙ϕ(v)) dv.dX t (u) = P Xt(·)0,u d m X 0 t + Z Xt(u) dt.dv∥2 ]103

HORIZONTAL DIFFUSION IN PATH SPACE 9Since a.s. the mapping (t, u) ↦→ ∂X t (u) is continuous, the map u ↦→ ∂X(u) iscontinuous in the topology of uniform convergence in probability. We want to provethat u ↦→ ∂X(u) is continuous in the topology of semimartingales.Since for a given connection on a manifold, the topology of uniform convergencein probability and the topology of semimartingale coincide on the set of martingales(Proposition 2.10 of [2]), it is sufficient to find a connection on T M for which ∂X(u)is a martingale for any u. Again we can localize in the domain of a chart. Recallthat for all u, the process X(u) is a ∇ ′ -martingale where ∇ ′ is defined in step 1.Then by [1], Theorem 3.3, this implies that the derivative with respect to u withvalues in T M, denoted here by ∂X(u), is a (∇ ′ ) c -martingale with respect to thecomplete lift (∇ ′ ) c of ∇ ′ . This proves that u ↦→ ∂X(u) is continuous in the topologyof semimartingales.Remark 2.5. Alternatively, one could have used that given a generator L ′ , thetopologies of uniform convergence in probability on compact sets and the topologyof semimartingales coincide on the set of L ′ -diffusions. Since the processes ∂X(u)are diffusions with the same generator, the result could be derived as well.As a consequence, we have formally(2.17) D∂X = ∇ u dX − 1 R(∂X, dX)dX.2SincedX(u) ⊗ dX(u) = g −1 (X(u)) dtwhere g is the metric tensor, Eq. (2.17) becomesD∂X = ∇ u dX − 1 2 Ric♯ (∂X) dt.On the other hand, Eq. (2.4) and Eq. (2.2) for W yieldFrom the last two equations we obtainThis along with the original equationgiveswhereD∂X = − 1 2 Ric♯ (∂X) dt + ∇ ∂X Z dt.∇ u dX = ∇ ∂X Z dt.dX 0 = d m X 0 + Z X 0 dtdX t (u) = P Xt(·)0,u d m X 0 t + Z Xt(u) dt,P Xt(·)0,u : T Xt M → T Xt(u)Mdenotes parallel transport along the C 1 curve v ↦→ X t (v).B. Uniqueness. Again we may localize in the domain of a chart U. LettingX(u) and Y (u) be two solutions of Eq. (2.4), then for (t, u) ∈ [0, τ 0 [×[0, u 0 ] we findin local coordinates,(2.18) Y t (u) − X t (u) =∫ u0(W (Y (v))t − W (X(v)) t)( ˙ϕ(v)) dv.104

10 M. ARNAUDON, A. K. COULIBALY, AND A. THALMAIEROn the other hand, using (2.9) we have[](2.19) E sup ‖Y t (u) − X t (u)‖ 2 ≤ Ct≤τ 0∫ u0[]E sup ‖Y t (v) − X t (v)‖ 2 dvt≤τ 0from which we deduce that almost surely, for all t ∈ [0, τ 0 ], X t (u) = Y t (u). Consequently,exploiting the fact that the two processes are continuous in (t, u), theymust be indistinguishable.□3. Horizontal diffusion along non-homogeneous diffusionIn this Section we assume that the elliptic generator is a C 1 function of time:L = L(t) for t ≥ 0. Let g(t) be the metric on M such thatL(t) = 1 2 ∆t + Z(t)where ∆ t is the g(t)-Laplacian and Z(t) a vector field on M.Let (X t ) be an inhomogeneous diffusion with generator L(t). Parallel transportP t (X) t along the L(t)-diffusion X t is defined analogously to [5] as the linear mapwhich satisfiesP t (X) t : T X0 M → T Xt M(3.1) D t P t (X) t = − 1 2 ġ♯ (P t (X) t ) dtwhere ġ denotes the derivative of g with respect to time; the covariant differential D tis defined in local coordinates by the same formulas as D, with the only differencethat Christoffel symbols now depend on t.Alternatively, if J is a semimartingale over X, the covariant differential D t J maybe defined as ˜D(0, J) = (0, D t J), where (0, J) is a semimartingale along (t, X t ) in˜M = [0, T ] × M endowed with the connection ˜∇ defined as follows: ifs ↦→ ˜ϕ(s) = (f(s), ϕ(s))is a C 1 path in ˜M and s ↦→ ũ(s) = (α(s), u(s)) ∈ T ˜M is C 1 path over ˜ϕ, then(˜∇ũ(s) = ˙α(s), ( ∇ f(s) u ) )(s)where ∇ t denotes the Levi-Civita connection associated to g(t). It is proven in [5]that P t (X) t is an isometry from (T X0 M, g(0, X 0 )) to (T Xt M, g(t, X t )).The damped parallel translation W t (X) t along X t is the linear mapsatisfying(3.2) D t W t (X) t =W t (X) t : T X0 M → T Xt M(∇ t W t (X) tZ(t, ·) − 1 )2 (Rict ) ♯ (W t (X) t ) dt.If Z ≡ 0 and g(t) is solution to the backward Ricci flow:(3.3) ġ = Ric,then damped parallel translation coincides with the usual parallel translation:(see [5] Theorem 2.3).P t (X) = W t (X),105

HORIZONTAL DIFFUSION IN PATH SPACE 11The Itô differential d ∇ Y = d ∇t Y of an M-valued semimartingale Y is definedby formula (2.1), with the only difference that the Christoffel symbols depend ontime.Theorem 3.1. Keeping the assumptions of this Section, letR → M,u ↦→ ϕ(u),be a C 1 path in M and let X 0 be an L(t)-diffusion with starting point ϕ(0) andlifetime ξ. Assume that (M, g(t)) is complete for every t. There exists a uniquefamilyu ↦→ (X t (u)) t∈[0,ξ[of L(t)-diffusions, which is a.s. continuous in (t, u) and C 1 in u, satisfyingand solving the equationX(0) = X 0and X 0 (u) = ϕ(u),(3.4) ∂X t (u) = W t (X(u)) t ( ˙ϕ(u)).Furthermore, X(u) solves the Itô stochastic differential equation(3.5) d ∇ X t (u) = P t,Xt(·)0,u d ∇(t) X t + Z(t, X t (u)) dt,whereP t,Xt(·)0,u : T X 0tM → T Xt(u)Mdenotes parallel transport along the C 1 curve [0, u] → M, v ↦→ X t (v), with respectto the metric g(t).If Z ≡ 0 and if g(t) is given as solution to the backward Ricci flow equation, thenalmost surely for all t,(3.6) ‖∂X t (u)‖ g(t)= ‖ ˙ϕ(u)‖ g(0).Definition 3.2. We callt ↦→ (X t (u)) u∈Rthe horizontal L(t)-diffusion in C 1 path space C 1 (R, M) over X 0 , started at ϕ.Remark 3.3. Eq. (3.6) says that if Z ≡ 0 and if g is solution to the backwardRicci flow equation, then the horizontal g(t)-Brownian motion is length preserving(with respect to the moving metric).Remark 3.4. Again if the manifold (M, g(t)) is not necessarily complete for all t,a similar result holds with the lifetime of X.(u) possibly depending on u.Proof of Theorem 3.1. The proof is similar to the one of Theorem 2.1. We restrictourselves to explaining the differences.The localization procedure carries over immediately; we work on the time interval[0, τ ∧ t 0 ]. For α > 0, we define the approximating process X α t (u) by induction asX α t (0) = X 0 t ,X α 0 (u) = ϕ(u),and if u ∈ ]nα, (n + 1)α] for some integer n ≥ 0, then X α (u) solves the Itô equation(3.7) d ∇ X α t (u) = P t X α t (nα),Xα t (u)d mX α t (nα) + Z(t, X t (u)) dtwhere P t x,y is the parallel transport along the minimal geodesic from x to y, for theconnection ∇ t .106

12 M. ARNAUDON, A. K. COULIBALY, AND A. THALMAIERAlternatively, letting ˜X α t= (t, X α t ), we may write (3.7) as(3.8) d ˜∇ ˜Xα t (u) = ˜P ˜Xα t (nα), ˜X α t (u)d m ˜X α t (nα) + Z( ˜X α t (u)) dtwhere ˜P˜x,ỹ denotes parallel translation along the minimal geodesic from ˜x to ỹ forthe connection ˜∇.Denoting by ρ(t, x, y) the distance from x to y with respect to the metric g(t),Itô’s formula shows that the process ρ (t, X α t (u), X α t (nα)) has locally bounded variation.Moreover since locally ∂ t ρ(t, x, y) ≤ Cρ(t, x, y) for x ≠ y, we find similarlyto (2.7),ρ(t, X α t (u), X α t (nα)) ≤ ρ(0, X α 0 (u), X α 0 (nα))e Ct ≤ ‖ ˙ϕ‖ ∞ αe Ct0 .Since all Riemannian distances are locally equivalent, this implies(3.9) ρ(X α t (u), X α t (nα)) ≤ ρ(X α 0 (u), X α 0 (nα))e Ct ≤ ‖ ˙ϕ‖ ∞ αe Ct0where ρ = ρ(0, ·, ·).Next, differentiating Eq. (3.8) yields˜D∂ u ˜Xα t (u) = ˜∇ ˜P ∂u ˜Xα t (u) ˜Xα t (nα),. d ˜X m t α (nα)+ ˜∇ ∂u ˜Xα t (u) Z dt − 1 2 ˜R(∂ u ˜Xα t (u), d ˜X)t α (u) d ˜X t α (u).Using the fact that the first component of ˜Xα t (u) has finite variation, a carefulcomputation of ˜R leads to the equationD t ∂ u X α t (u) = ∇ t ∂ uX α t (u)P t X α t (nα),. d mX α t (nα)+ ∇ t ∂ uX α t (u)Z(t, ·) − 1 2 (Rict ) ♯( ∂ u X α t (u) ) dt.To finish the proof, it is sufficient to remark that in step 1, Eq. (2.10) still holdstrue for X and Y g(t)-Brownian motions living in a small open set U, and that instep 5, the map u ↦→ ∂X(u) is continuous in the topology of semimartingales. Thislast point is due to the fact that all ∂X(u) are inhomogeneous diffusions with thesame generator, say L ′ , and the fact that the topology of uniform convergence oncompact sets and the topology of semimartingales coincide on L ′ -diffusions. □4. Application to optimal transportIn this Section we assume again that the elliptic generator L(t) is a C 1 functionof time with associated metric g(t):L(t) = 1 2 ∆t + Z(t)where ∆ t is the Laplacian associated to g(t) and Z(t) is a vector field. We assumefurther that for any t, the Riemannian manifold (M, g(t)) is metrically complete,and L(t) diffusions have infinite lifetime.Letting ϕ: R + → R + be a non-decreasing function, we define a cost function(4.1) c(t, x, y) = ϕ(ρ(t, x, y))where ρ(t, ·, ·) denotes distance with respect to g(t).107

HORIZONTAL DIFFUSION IN PATH SPACE 13To the cost function c we associate the Monge-Kantorovich minimization betweentwo probability measures on M∫(4.2) W c,t (µ, ν) = infη∈Π(µ,ν)c(t, x, y) dη(x, y)M×Mwhere Π(µ, ν) is the set of all probability measures on M × M with marginals µand ν. We denote(4.3) W p,t (µ, ν) = (W ρ p ,t(µ, ν)) 1/pthe Wasserstein distance associated to p > 0.For a probability measure µ on M, the solution of the heat flow equation associatedto L(t) will be denoted by µP t .Define a section (∇ t Z) ♭ ∈ Γ(T ∗ M ⊙ T ∗ M) as follows: for any x ∈ M andu, v ∈ T x M,(∇ t Z) ♭ (u, v) = 1 (g(t)(∇t2u Z, v) + g(t)(u, ∇ t vZ) ) .In case the metric does not depend on t and Z = grad V for some C 2 function Von M, then(∇ t Z) ♭ (u, v) = ∇dV (u, v).Theorem 4.1. We keep notation and assumptions from above.a) Assume(4.4) Ric t −ġ − 2(∇ t Z) ♭ ≥ 0.Then the functionis non-increasing.b) If for some k ∈ R,t ↦→ W c,t (µP t , νP t )(4.5) Ric t −ġ − 2(∇ t Z) ♭ ≥ kg,then we have for all p > 0W p,t (µP t , νP t ) ≤ e −kt/2 W p,0 (µ, ν).Remark 4.2. Before turning to the proof of Theorem 4.1, let us mention that inthe case Z = 0, g constant, p = 2 and k = 0, item b) is due to [19] and [18]. In thecase where g is a backward Ricci flow solution, Z = 0 and p = 2, statement b) isdue to Lott [16] and McCann-Topping [17]. For extensions about L-transportation,see [21].Proof of Theorem 4.1. a) Assume that Ric t −ġ − 2(∇ t Z) ♭ ≥ 0. Then for anyL(t)-diffusion (X t ), we haved ( g(t)(W (X) t , W (X) t ) )= ġ(t) ( W (X) t , W (X) t)dt + 2g(t)(D t W (X) t , W (X) t)= ġ(t) ( )W (X) t , W (X) t dt+ 2g(t)(∇ t W (X) tZ(t, ·) − 1 )2 (Rict ) ♯ (W (X) t ), W (X) t dt(= ġ + 2(∇ t Z) ♭ − Ric t) ( )W (X)t , W (X) t dt ≤ 0.108

14 M. ARNAUDON, A. K. COULIBALY, AND A. THALMAIERConsequently, for any t ≥ 0,(4.6) ‖W (X) t ‖ t ≤ ‖W (X) 0 ‖ 0 = 1.For x, y ∈ M, let u ↦→ γ(x, y)(u) be a minimal g(0)-geodesic from x to y in time 1:γ(x, y)(0) = x and γ(x, y)(1) = y. Denote by X x,y (u) a horizontal L(t)-diffusionwith initial condition γ(x, y).For η ∈ Π(µ, ν), define the measure η t on M × M by∫η t (A × B) =M×MP { X x,yt(0) ∈ A, X x,yt (1) ∈ B } dη(x, y),where A and B are Borel subsets of M. Then η t has marginals µP t and νP t .Consequently it is sufficient to prove that for any such η,∫(4.7)E [ c(t, X x,yt (0), X x,yt (1)) ] ∫dη(x, y) ≤ c(0, x, y) dη(x, y).M×MOn the other hand, we have a.s.,ρ(t, X x,ytand this clearly impliesand then (4.7).(0), X x,yt (1)) ≤=≤b) Under condition (4.5), we havewhich impliesand thenThe result follows.∫ 10∫ 10∫ 10∥ ∂u X x,ytM×M(u) ∥ ∥tdu∥ W (X x,y (u)) t ˙γ(x, y)(u) ∥ tdu∥∥ ˙γ(x, y)(u) ∥0 du= ρ(0, x, y),c ( t, X x,yt (0), X x,yt (1) ) ≤ c(0, x, y) a.s.,ddt g(t)( W (X) t , W (X) t)≤ −k g(t)(W (X)t , W (X) t),ρ ( t, X x,yt‖W (X) t ‖ t ≤ e −kt/2 ,(0), X x,yt (1) ) ≤ e −kt/2 ρ(0, x, y).5. Derivative process along constant rank diffusionIn this Section we consider a generator L of constant rank: the image E of the“carré du champ” operator Γ(L) ∈ Γ(T M ⊗ T M) defines a subbundle of T M. In Ewe then have an intrinsic metric given byg(x) = (Γ(L)|E(x)) −1 , x ∈ M.Let ∇ be a connection on E with preserves g, and denote by ∇ ′ the associatedsemi-connection: if U ∈ Γ(T M) is a vector field, ∇ ′ vU is defined only if v ∈ E andsatisfies∇ ′ vU = ∇ Ux0 V + [V, U] x0109□

HORIZONTAL DIFFUSION IN PATH SPACE 15where V ∈ Γ(E) is such that V x0 = v (see [10], Section 1.3). We denote by Z(x)the drift of L with respect to the connection ∇.For the construction of a flow of L-diffusions we will use an extension of ∇ toT M denoted by ˜∇. Then the associated semi-connection ∇ ′ is the restriction ofthe classical adjoint of ˜∇ (see [10] Proposition 1.3.1).Remark 5.1. It is proven in [10] that a connection ∇ always exists, for instance,we may take the Le Jan-Watanabe connection associated to a well chosen vectorbundle homomorphism from a trivial bundle M × H to E where H is a Hilbertspace.If X t is an L-diffusion, the parallel transportP (X) t : E X0 → E Xtalong X t (with respect to the connection ˜∇) depends only on ∇. The same appliesfor the Itô differential dX t = d ∇ X t . We still denote by d m X t its martingale part.We denote by˜P ′ (X) t : T X0 M → T Xt Mthe parallel transport along X t for the adjoint connection ( ˜∇) ′ , and by ˜D ′ J thecovariant differential (with respect to ( ˜∇) ′ ) of a semimartingale J ∈ T M above X;compare (2.3) for the definition.Theorem 5.2. We keep the notation and assumptions from above. Let x 0 be afixed point in M and X t (x 0 ) an L-diffusion starting at x 0 . For x ∈ M close to x 0 ,we define the L-diffusion X t (x), started at x, by(5.1) dX t (x) = ˜P Xt(x 0),X t(x) d m X t (x 0 ) + Z(X t (x)) dtwhere ˜P x,y denotes parallel transport (with respect to ˜∇) along the unique ˜∇-geodesicfrom x to y. Then(5.2) ˜D′ T x0 X = ˜∇ Tx0 XZ dt − 1 2 Ric♯ (T x0 X) dtwhereRic ♯ (u) =d∑˜R(u, e i )e i , u ∈ T x M,i=1and (e i ) i=1,...,d an orthonormal basis of E x for the metric g.Under the additional assumption that Z ∈ Γ(E), the differential ˜D′ T x0 X doesnot depend on the extension ˜∇, and we have(5.3) ˜D′ T x0 X = ∇ Tx0 XZ dt − 1 2 Ric♯ (T x0 X) dt.Proof. From [3] Eq. 7.4 we have˜D ′ T x0 X = ˜∇ ˜P Tx0 X Xt(x 0),. d m X t (x 0 ) + ˜∇ Tx0 XZ dt− 1 ( ˜R′ (T x0 X, dX(x 0 ))dX(x 0 ) +2 ˜∇)′ ˜T ′ (dX(x 0 ), T x0 X, dX(x 0 ))− 1 2 ˜T ′ ( ˜D ′ T x0 X, dX)110

16 M. ARNAUDON, A. K. COULIBALY, AND A. THALMAIERwhere ˜T ′ denotes the torsion tensor of ˜∇ ′ . Since for all x ∈ M, ˜∇v ˜Px,. = 0 ifv ∈ T x M, the first term in the right vanishes. As a consequence, ˜D ′ T x0 X has finitevariation, and T ′ ( ˜D ′ T x0 X, dX) = 0. Then using the identity˜R ′ (v, u)u + ˜∇ ′ ˜T ′ (u, v, u) = ˜R(v, u)u, u, v ∈ T x M,which is a particular case of identity (C.17) in [10], we obtainFinally writtingyields the result.˜D ′ T x0 X = ˜∇ Tx0 XZ dt − 1 2 ˜R(T x0 X, dX(x 0 ))dX(x 0 ).˜R(T x0 X, dX(x 0 ))dX(x 0 ) = Ric ♯ (T x0 X) dtRemark 5.3. In the non-degenerate case, ∇ is the Levi-Civita connection associatedto the metric generated by L, and we are in the situation of Section 2. Inthe degenerate case, in general, ∇ does not extend to a metric connection on M.However conditions are given in [10] (1.3.C) under which P ′ (X) is adapted to somemetric, and in this case T x0 X is bounded with respect to the metric.One would like to extend Theorem 2.1 to degenerate diffusions of constant rank,by solving the equation∂ u X(u) = ˜∇ ∂uX(u)Z dt − 1 2 Ric♯ (∂ u X(u)) dt.Our proof does not work in this situation for two reasons. The first one is thatin general ˜P ′ (X) is not adapted to a metric. The second one is the lack of aninequality of the type (2.7) since ∇ does not have an extension ˜∇ which is theLevi-Civita connection of some metric.Remark 5.4. When M is a Lie group and L is left invariant, then ˜∇ can be chosenas the left invariant connection. In this case ( ˜∇) ′ is the right invariant connection,which is metric.References[1] M. Arnaudon, Differentiable and analytic families of continuous martingales in manifoldswith connections, Probab. Theory Relat. Fields 108 (1997), no. 3, 219–257.[2] M. Arnaudon and A. Thalmaier, Stability of stochastic differential equations in manifolds,Séminaire de Probabilités XXXII, Lecture Notes in Mathematic 1686 (1998), 188–214.[3] M. Arnaudon and A. Thalmaier, Horizontal martingales in vector bundles, Séminaire deProbabilités XXXVI, Lectures Notes in Math. 1801, Springer, Berlin (2003), 419–456.[4] M. Arnaudon, A. Thalmaier and F.-Y. Wang, Harnack inequality and heat kernel estimateson manifolds with curvature unbounded below, Bull. Sci. Math. 130 (2006), 223–233.[5] M. Arnaudon, K. A. Coulibaly and A. Thalmaier, Brownian motion with respect to a metricdepending on time; definition, existence and applications to Ricci flow, C. R. Math. Acad.Sci. Paris 346 (2008), no. 13-14, 773–778.[6] A. B. Cruzeiro, Equations différentielles sur l’espace de Wiener et formules de Cameron-Martin non linéaires, J. Funct. Analysis 54 (1983), no.2, 206–227.[7] F. Cipriano and A. B. Cruzeiro, Flows associated to tangent processes on the Wiener space,J. Funct. Analysis 166 (1999), no. 2, 310–331.[8] F. Cipriano and A. B. Cruzeiro, Flows associated with irregular R d vector fields, J. Diff.Equations 210 (2005), no. 1, 183–201.[9] B. K. Driver, A Cameron-Martin type quasi-invariance theorem for Brownian motion on acompact manifold, J. Funct. Analysis 110 (1992), 272–376.[10] K. D. Elworthy, Y. Le Jan and Xue-Mei Li, On the geometry of Diffusion Operators andStochastic Flows, Lecture Notes in Math. 1720, Springer, Berlin (1999).□111

HORIZONTAL DIFFUSION IN PATH SPACE 17[11] S. Fang and D. Luo, Quasi-invariant flows associated to tangent processes on the Wienerspace, Preprint (2008).[12] F. Gong and J. Zhang, Flows associated to adapted vector fields on the Wiener space, J.Funct. Analysis (2007), no.2, 647–674.[13] E. P. Hsu, Quasi-invariance of the Wiener measure on the Path Space over a Compact RiemannianManifold, Journal of Functional Analysis 134 (1995), no. 2, 417–450.[14] E. P. Hsu, Quasi-invariance of the Wiener measure on path spaces: noncompact case, Journalof Functional Analysis 193 (2002), no. 2, 278–290.[15] W. Kendall, Nonnegative Ricci curvature and the Brownian coupling property, Stochastics19 (1986), no. 1-2, 111–129.[16] J. Lott, Optimal transport and Ricci curvature for metric-measure spaces, Surv. Differ.Geom., 11, Int. Press, Somerville, MA, (2007), 229–257.[17] R. J. McCann and P. M. Topping, Ricci flow, entropy and optimal transportation, AmericanJournal of Math., to appear.[18] F. Otto and M. Westdickenberg, Eulerian calculus for the contraction in the Wassersteindistance, SIAM J. Math. Anal. 37 (2005), no. 4, 1227–1255 (electronic).[19] M. K. von Renesse and K. T. Sturm, Transport inequalities, gradient estimates, entropy, andRicci curvature, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005), no. 7, 923–940.[20] P. Topping, Lectures on the Ricci flow, London Mathematical Society Lecture Note Series,325. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.[21] P. Topping, L-optimal transportation for Ricci flow, J. reine angew. Math., to appear.Laboratoire de Mathématiques et ApplicationsCNRS: UMR 6086Université de Poitiers, Téléport 2 - BP 30179F–86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex, FranceE-mail address: marc.arnaudon@math.univ-poitiers.frLaboratoire de Mathématiques et ApplicationsCNRS: UMR 6086Université de Poitiers, Téléport 2 - BP 30179F–86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex, FranceE-mail address: abdoulaye.coulibaly@math.univ-poitiers.frUnité de Recherche en MathématiquesUniversité du Luxembourg, 162A, Avenue de la FaïencerieL–1511 Luxembourg, Grand-Duchy of LuxembourgE-mail address: anton.thalmaier@uni.lu112

Chapter 6Compléments de calculs113113

1 Compléments de calculs sur le chapitre 31) Page 39 (1.5)Cette formule provient de (1.1),(1.2) et des deux lignes avant (1.3) (sur lacorrespondance des espaces verticaux (resp. horizontaux) par évaluation) :D S,t U t e i = (V Ute i) −1 (dev ei (∗dU t ) v,t )= ∑ α,βA α,β (t, U t )(V Ute i) −1 (dev ei V α,β (U t ))dtd’autre part :ce qui donne le résultat de (1.5).2) Page 39 (1.6)(V Ute i) −1 (dev ei V α,β (U t )) = δ β i U te αLa dernière formule page 38 et les conditions de la proposition qui suivent laformule (1.1), donnent :〈U t e i , U t e j 〉 ∂1g(t,π(U t))) dt+〈 D S,t U t e i , U t e j〉g(t,π(U t)) +〈 U t e i , D S,t U t e j〉g(t,π(U t)) = 0Avec la formule (1.3) et la définition de (∂ 1 G(t, U)) i,j = 〈Ue i , Ue j 〉 ∂1g(t) , onobtient :∑A α,i (t, U t )〈U t e α , U t e j 〉 t + ∑ααA α,j (t, U t )〈U t e α , U t e i 〉 t = −(∂ 1 G(t, U t )) i,jce qui donne (1.6).3) Pages 52-54 (preuve de proposition 3.6)Ici nous regardons un 1 2 g(T − t)-MB, et le 1 2qui pose problème vient de :( 1 2 g(T − t)(U T t e i , U T t e j ) = δ j icar Xt T est un 1 2 ... MB, et donc U t T est une 1 2... isométrie.4) Pages 55-60 (connexion espace-temps)On passe à l’espace-temps pour n’avoir qu’une seule connexion ( ˜∇) au lieu1114

d’avoir une famille de connexion, ce qui serait moins maniable. Cela nous permetd’utiliser directement le corollaire 3.17 de [3]. On pourrait se passer de cetteréécriture, mais il faudrait refaire une démonstration différente de 3.17.-Formule (4.2)Cette formule provient de la 2ième formule avant la proposition 4.1 (c’est lecorollaire 3.17 de [3]), de la connexion produit ˜∇ et du fait que (// T 0,te i ) i=1..nest une base orthonormée de (T Xt(x)M, g(T − t)).i.e : le corollaire 3.17 de [3] et la construction (formule 4.1) donnent ( c’est pourça que je suis passé à (t, X t )) :−1˜// 0,td( ˜//0,t T Y t(0, v)) = − 1 2 ˜R(T Y t (0, v), dY t (x 0 ))dY t (x 0 ).La connexion produit et la relation dY = (dt, ∗dX t ) = (dt, // T 0,te i ∗ dW i )donnent :−1˜// 0,td( ˜//0,t T Y t(0, v)) = − 1 2 (0, R T −t(dπT Y t (0, v), dπdY t (x 0 ))dπdY t (x 0 ))= − 1 ∑(0, R T −t (T X t (v), // T20,te i ∗ dW i )// T t −t e j ∗ dW j )i,j= − 1 2 (0, Ric#T −t (T X t v)) dtRemarque : Cette proposition produit un résultat canonique, dans le sens où leprocessus à variation finie introduit dans la définition (3.1), qui à été construitgrâce à la formule de Weitzenbrök a été suposé à variation fini. Ici on le construitcomme variation infinitésimale d’un couplage parallèle, et on obtient qu’il est àvariation fini.-Premier groupe de formules page 57. La second égalité vient de la formulede Itô-Stratonovich, (et de l’identification ligne 10 page 56 : e i ∼ (0, e i ))i.e :∗d(dπ ˜// 0,te i ) = ∗d(dπ(ev ei ˜//0,t ))= ddπdev ei ∗ d ˜// 0,t.- Page 57, fin de la preuve (dernière égalité) : Elle vient de la formule (4.5)et de la formule (4.2). Mais elle ne vient pas de ˜// = T Y t qui est une formulefausse en générale ( prendre par exemple g(t) = g 0 constante et non Ricci plate)2115

2 Compléments de calculs sur le chapitre 5Page 99 (c’est vrai qu’il manque des détails de calculs, mais nous les trouvionsdispersant pour la lecture).-première phrase page 100 : L-diffusions are ∇ ′ -martingales :On écrit L = a ij ∂ ij + b j ∂ j , X est une L-diffusion alors (L elliptique donc a ijest inversible), pour tout f fonction lisse sur M on a :i.e.que l’on réécrit :df(X t ) − Lf(X t )dt ∈ dMdf(X t ) − (a ij ∂ ij f(X t ) + b j ∂ j f(X t ))dt ∈ dMdf(X t ) − 1 2 (−Γ,k ij ∂ kf(X t + ∂ ij f(X t ))(a ij + a ji )(X t )dt ∈ dM (1)car si Γ ′ kij = − 1 2 (a ik + a jk )b k alors (comme a ij est symétrique)∑ijΓ ′ kij (a ij + a ji ) = 2 ∑ ijΓ ′ kij (a ij )puis :2 ∑ ijΓ ′ kij (a ij ) = (− ∑ ija ik a ij − ∑ ija jk a ij )b k = −2b k .D’autre part X L-diffusion entraîne :il vientd[X i , X j ] = (L(x i x j ) − x i L(x j ) − x j L(x i ))(X t )dt (2)= (a ij + a ji )(X t )dt (3)dx i ⊗ dx j (∗dX, ∗dX) = d[X i , X j ] = (a ij + a ji )(X t )dtavec (1) on obtient :df(X t ) − 1 2 (−Γ′ kij ∂ k f(X t) + ∂ ij f(X t ))dx i ⊗ dx j (∗dX, ∗dX) ∈ dM (5)(4)(6)i.e.df(X t ) − 1 2 ∇′ df(∗dX, ∗dX) ∈ dMdonc X est une ∇ ′ -martingale.- ligne 12 page 100 à la place du “easily prove that”, il devrait y avoir (preuvede formule (2.10)) :3116

Dans le calcul de ligne 8 à ligne 11, après prise de l’espérance, il nous manquele calcul de la ligne 11 (car N X et N Y sont des martingales) :d〈(N X ) i , (N X ) j 〉 t = d〈X i , X j 〉 t = (a ij + a ji )(X t )dtdonc :Γ ′ kij (X t )d〈(N X ) i , (N X ) j 〉 t = −2b k (X t )dtSur un domaine U, il existe C tel que les fonctions b k , pour k = 1..n soientLipschitz de constante C. page 99, τ 0 := t 0 ∧ τ ou τ est le temps minimum desortie de U pour X ou Y , et t 0 un temps assez petit.On obtient après arrêt en τ 0 , prise de l’espérance ligne 8, et après somme surtous les coefficients (k) :E[d〈N X − N Y , N X − N Y 〉 τ0 ] ≤ 2E[sup ‖X t − Y t ‖ 2 ]t≤τ 0+ 2 ∑ kE[∫ τ00|X k t − Y kt | |b k (X t ) − b k (Y t )| dt]≤2E[sup ‖X t − Y t ‖ 2 ]t≤τ 0+ 2C≤∫ t00E[ sups≤τ 0‖X s − Y s ‖ 2 ] dt(2 + 2Ct 0 )E[supt≤τ 0‖X t − Y t ‖ 2 ]On obtient ainsi (2.10).- Ligne 17 “easy calculation” in local coordonate (ou comment obtenir 2.11 ? ) :Localement on identifie à l’aide d’une carte T M à R n × R n , soit γ unecourbe C 1 dans M, on écrit dans la carte γ(t) = (γ 1 (t), ...., γ n (t)) ; on noteraP le transport parallèle au dessus de γ, pour une connexion de symbole deCristoffel Γ l ij . Soit e i une base de T γ(0) M, on écrit le transport pour tous lesvecteurs e i dans la carte ;P t e i = (a 1 (t), ..., a n (t))c’est une courbe dans T M, après dérivation, on obtient :ddt P te i = ((−Γ 1 ija i γ ′ j(t)), ..., (−Γ n ija i γ ′j (t)))c’est l’équation du transport parallèle.après identification on écrit :( d dt P te i ) l = −Γ l (P t e i , (γ ′ (t)))4117

i.e.( d dt P t(.)) = −Γ(P t (.)) (γ ′ (t))Le principe de transfert de Stratonovitch donne :∗dP (X) t (.) = −Γ Xt (P (X) t (.)) ∗ dX t(remarque : c’est en gros , sans métrique qui varie , la deuxieme équation page43)Après réécriture de cette équation en terme de Itô :dP (X) t (.) = −Γ Xt (P (X) t (.), )dX t − 1 2 d(Γ X t(P (X) t (.), ))dX tEn utilisant deux fois le calcul précédent, le fait que le dernier terme de l’équationprécédente est à variation bornée et que Γ est linéaire en ces 2 dernièrescoordonnées, il vient :dP (X)(.) = −Γ Xt (P (X) t (.), dX t ) − 1 2 dΓ X t(dX t )(P (X) t (.), dX t )− 1 2 Γ X t(dP (X) t (.), dX t )= −Γ Xt (P (X) t (.), dX t ) − 1 2 dΓ X t(dX t )(P (X) t (.), dX t )+ 1 2 Γ X t(Γ Xt (P (X) t (.), dX t ), dX t ).On utiliseW (X) t = P (X) t (P (X) −1t W (X) t )après application de la différentielle de Itô, associé au fait que (P (X) −1t W (X) t )soit à variation bornée (*), on obtient :dW (X) t = (dP (X) t .)(P (X) −1t W (X) t ) + P (X) t (d(P (X) −1t W (X) t ))+ (dP (X) t .)(d(P (X) −1t W (X) t )) ce terme est nul (*)= −Γ Xt (W (X) t , dX t ) − 1 2 dΓ X t(dX t )(W (X) t , dX t )+ 1 2 Γ X t(Γ Xt (W (X) t , dX t ), dX t )−1 2 Ric# (W (X) t ) dt + ∇ W (X)t Z dtce qui est l’équation (2.11).-page 103 ligne -8 sortie du αk 2 (ligne -6 avant step 5 dans l’article page 8) :[ ∥ ∥∥ ∫ ( u ∫ t(A) = E sup t≤τ0 W (X αk (v))0t 0 W (v)) −1(Xαk s ∇ α ∂X ks (v) P X α ks (v αk ),. d mX αk≤ C ∫ u0 E [sup t≤τ0∥ ∥∥ ∫ t0 W (Xαk (v)) −1s∇ α ∂X ks5(v) P X α ks (v αk ),. d mX αks (v αk ) ∥ 2] dv)s (v αk ) dv∥ 2]118

On utilise le fait que W (.) t est borné uniformément pour t ≤ τ 0 , en utilisantl’inégalité de B.D.G. (pour comparer l’espérance du sup d’une martingale aucarré avec son crochet), et on obtient (avec la constante C qui change d’uneligne à l’autre) :C ∫ [ ∥u ∥∥0 E ∫ tsup t≤τ0 0 W (v)) −1(Xαk s≤ C ∫ [u ∫ 0 E τ0 ∥0∥∇ ∂Xα ks(v) P X α ks (v αk ),.∇ α ∂X ks (v) P X α ks]∥ 2 ds dv(v αk ),. d mXs αk (v αk ) ∥ 2] dvOn utilise ensuite le fait que si v ∈ T x M, alors ∇ v P x,. = 0, donc pour v ∈ T x M,‖ ∇ v P y,. ‖ 2 = ‖ ∇ v P y,. − ∇ v P x,. ‖ 2 (7)≤ Cρ(x, y) 2 ‖ v ‖ 2 (8)où la constante C est constante locale de Lipshitz (sur U, remarque c’est ici queU doit être assez petit relativement à la géométrie). On utilise cette formulepour v = ∂Xsαk (v) , y = Xsαk (v αk ) et x = Xsαk (v) puis en utilisant (2.7) page95 :ρ(Xsαk(v), Xsαk(v αk )) ≤ Cα kon obtient :(A) ≤C ∫ [u ∫ 0 E τ0 ∥0∫≤ Cαk2 u0 E [∫ τ 0∥∇ ∂Xα ks‖ ∂X αk0 s(v) P X α ks (v αk ),.(v) ‖ 2] dv]∥ 2 ds dvor par l’équation (2.8) on a : E [∫ τ 00‖ ∂X αks (v) ‖ 2] ≤ C pour u ≤ u 0 .-page 104, formule (2.17) explication du formaly (article page 9) :On a montré que u ↦→ ∂X(u) était continue pour la topologie des semimartingales(définie dans : Stability of stochastic differential equations in manifoldsseminaire de probabilités XXXII)[AT98b]. On utilise le corollaire 3.18 de cettearticle pour définir le “formaly” :soit α une 1-forme différentielle sur M ; on définit∫Z(u) = (α(X(u), dX(u)))Le corollaire 3.18 de [AT98b] affirme que Z(u) est différentiable en u pour latopologie des semimartingales. D’autre part le corollaire 3.14 de [AT98b] donne :d∂ u Z(u) = dα(∂X(u))(d ∇′ ∂X(u))6119

où ∇ ′ désigne le lift complet sur T M de la connexion ∇ sur M. On obtient :d∂ u Z(u) = dα(∂X(u))(d ∇′ ∂X(u)) (9)= dα(∂X(u))((d ∇′ ∂X(u)) v + (d ∇′ ∂X(u)) h ) (10)= α(v −1 ((d ∇′ ∂X(u)) v )) + 〈∇ ∂X(u) α, d ∇ X(u)〉 (11)(12)Le “formaly” vient du fait que :∫∫∫∂ u (α(X(u), dX(u))) = (α(X(u)), ∇ u dX(u)) +〈∇ ∂X(u) α, d ∇ X(u)〉Grâce au lemme 3.15 [AT98b], il vient :∇ u dX = v −1 ((d ∇′ ∂X(u)) v ) = D∂ u X(u) + 1 2 R m(∂ u X(u), dX(u))dX(u).C’est la formule (2.17), elle permet de réaliser la commutation des opérateursdifférentiels.- le gives ligne -9 page 104 :Après identification :∇ u dX = ∇ ∂X Z dt.Le formaly précédent permet de considérer le premier terme de l’équation précédentecomme une dérivation covariante du vecteur (dX t (u)), c’est une formulede transfert.On désigne par u ↦→ P X(t,u) le transport parallèle au dessus de u ↦→ X(t, u) à tfixé, il vient :donc :i.e.P X(t,u) ∂ u (P −1X(t,u) dX t(u)) = P X(t,u) ∂ u (P −1X(t,u)Z(X(t, u)))dtP −1X(t,u) dX t(u) = (P −1X(t,u)Z(X(t, u)))dt + cstdX(u) = Z(X(t, u))dt + P X(t,u) cston met u = 0 dans l’équation précédente, on en déduit :cst = d m X t (0)d’où :dX t (u) = Z(X(t, u))dt + P X(t,u) d m X t (0)7120

Chapter 7Appendix121121

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 773–778Probability Theoryhttp://france.elsevier.com/direct/CRASS1/Brownian motion with respect to a metric depending on time;definition, existence and applications to Ricci flowMarc Arnaudon a , Kolehe Abdoulaye Coulibaly a , Anton Thalmaier ba Laboratoire de Mathématiques et Applications (UMR6086), Université de Poitiers, Téléport 2, BP 30179,86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, Franceb Unité de recherche en mathématiques, Université du Luxembourg, 162A, avenue de la Faïencerie, L-1511 Luxembourg,Grand-Duché de LuxembourgReceived 29 April 2008; accepted 6 May 2008Available online 20 June 2008Presented by Paul MalliavinAbstractGiven an n-dimensional compact manifold M, endowed with a family of Riemannian metrics g(t), a Brownian motion dependingon the deformation of the manifold (via the family g(t) of metrics) is defined. This tool enables a probabilistic view of certaingeometric flows (e.g. Ricci flow, mean curvature flow). In particular, we give a martingale representation formula for a non-linearPDE over M, as well as a Bismut type formula for a geometric quantity which evolves under this flow. As application we presenta gradient control formula for the heat equation over (M, g(t)) and a characterization of the Ricci flow in terms of the dampedparallel transport. To cite this article: M. Arnaudon et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).© 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved.RésuméMouvement brownien par rapport à une famille de métriques : définition, existence et applications. Soit M une variétécompacte de dimension n et g(t) une famille de métriques sur M, nous allons définir un g(t)-mouvement brownien, qui sera l’analogued’un mouvement brownien sur une variété mais tenant compte de la déformation (c’est-à-dire de la famille de métriques g(t)).Cet outil nous donnera une vision probabiliste de différents flots géométriques (e.g. flot de Ricci, flot de courbure moyenne). Nousdonnerons aussi des formules de représentation en terme des martingales de solutions d’EDP non-linéaires sur M, ainsi que desformules du type Bismut pour des quantités géométriques évoluant le long d’un tel flot. Pour finir, nous donnerons comme applicationune formule de contrôle du gradient d’une solution de l’équation de la chaleur sur (M, g(t)) et une caractérisation du flot deRicci en terme de transport parallèle déformé. Pour citer cet article : M. Arnaudon et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).© 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved.Version française abrégéeSoit M une variété compacte de dimension n, munie d’une famille C 1 de métriques g(t), etF(M) le fibré desrepères sur M. Notons ∇ g(t) la connexion de Levi-Civita relative à la métrique g(t) et g(t) l’opérateur de Laplace–E-mail addresses: arnaudon@math.univ-poitiers.fr (M. Arnaudon), coulibal@math.univ-poitiers.fr (K.A. Coulibaly), anton.thalmaier@uni.lu 122(A. Thalmaier).1631-073X/$ – see front matter © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved.doi:10.1016/j.crma.2008.05.004

774 M. Arnaudon et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 773–778Beltrami. Nous construisons une EDS de Stratonovich sur F(M) dont la solution en tout temps t forme un systèmeorthonormé pour g(t) :⎧⎨∗dŨ t = L i (t, Ũ t ) ∗ dB i − 1 2 (∂ tg)(t, Ũ t e α , Ũ t e β ) ˆV α,β (Ũ t ) dt,(1)⎩Ũ 0 ∈ F(M)où (e i ) i=1,...,n est une base orthonormée de R n , L i (t, u) = h g(t) (ue i ) est le ∇ g(t) relèvement horizontal de ue i , ˆV α,βest la base canonique des champs de vecteurs verticaux de F(M) et B i sont n mouvements browniens indépendantssur un espace probabilisé filtré (Ω, (F t ), P).Définition 0.1. Soit (Ũ 0 e i ) une base orthonormée de (T x M,g(0)). On définit le g(t)-mouvement brownien par projection: X t (x) = π(Ũ t ).Il peut aussi s’écrire à l’aide de développement stochastique : ∗dX t (x) = Ũ t e i ∗ dB i .Proposition 0.2. Soit X t (x) un g(t)-mouvement brownien, alors :{∀f ∈ C ∞ (M), d ( f ( X t (x) )) dM =12 ( g(t)f) ( X t (x) ) dt,X 0 = x.De façon naturelle, nous définissons un transport parallèle stochastique que l’on notera :// 0,t : ( T X0 (x)M,g(0) ) −→ ( T Xt (x)M,g(t) ) .De telles familles de métriques sont produites naturellement par des flots géométriques (flot de courbure moyenne,flot de Ricci, ...). Nous allons donner des exemples d’utilisations dans le cas du flot de Ricci et de l’équation de lachaleur associée :⎧∂ t f(t,x)= 1 ⎪⎨2 g(t)f(t,x),d⎪⎩ dt g (2)ij =−Ric ij ,f(0,x)= f 0 (x),où f 0 est une fonction lisse sur M.Le flot de Ricci sur les variétés compactes développe des singularités en temps fini. On notera T c le temps d’apparitionde la première singularité. Pour T

M. Arnaudon et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 773–778 7751. Definition of a g(t)-BMLet M be an n-dimensional manifold, F(M) the frame bundle, and g(t) a family of metrics over M. Denote by∇ g(t) , resp. g(t) , the associated Levi-Civita connections, resp. Laplace–Beltrami operators. Finally let (e i ) i=1,...,nbe an orthonormal basis of R n .Foru ∈ F(M) let L i (t, u) = h g(t) (ue i ) be the horizontal lift of ue i with respect to∇ g(t) , L i (t) the associated horizontal vector field, and ˆV α,β the canonical basis of vertical vector fields. Take B i ,i = 1,...,n, independent real Brownian motions on a canonical filtered probability space (Ω, (F t ), P). Suppose thatthe family of metrics is C 1 in time, and consider the following Stratonovich stochastic differential equation on F(M):{∗dŨ t = L i (t, Ũ t ) ∗ dB i − 1 2 (∂ tg)(t, Ũ t e α , Ũ t e β ) ˆV α,β (Ũ t ) dt,(3)Ũ 0 ∈ F(M).Eq. (3) has local Lipschitz coefficients and hence a unique strong solution with continuous paths.Proposition 1.1. If (Ũ 0 e i ) is an orthonormal basis of (T π(Ũ0 ) M,g(0)) then (Ũ t e i ) is an orthonormal basis of(T π(Ũt )M,g(t)), P-a.s.Proof. The covariant derivative determines a horizontal complement (varying as a function of time) in TTM tothe vertical subspace, and induces a compatible decomposition of T FM. In the above equation, at each time theprojection onto the vertical space according to the current connection ∇ g(t) is given. We use Schwartz principle (everyconstruction for C 1 curves generalizes to semimartingales, by approximation of solutions of Stratonovich equations,e.g. [5], Theorem 7.24) along with a Taylor development of the metric, to compute the covariant derivative of thetangent-valued process. ✷For the drift part in Eq. (3) there are many choices giving the same result as Proposition 1.1. Our choice is canonicalin the sense that it is symmetric and forces the solution to be a g(t)-isometry. Ifg(t) does not depend on t, theconstruction reduces to the usual stochastic parallel transport, see [8].Definition 1.2. Let (Ũ 0 e i ) be an orthonormal basis of (T x M,g(0)). Define the g(t)-BM(x) as:X t (x) = π(Ũ t ).Proposition 1.3. If X t (x) is a g(t)-BM(x) then{∀f ∈ C ∞ (M), d ( f ( X t (x) )) dM =12 g(t)f ( X t (x) ) dt,X 0 = x.Proof. We compute L i (t)L j (t)(f ◦ π)(u) =∇ g(t) df(ue i ,ue j ) as in [6]. The result follows.✷Remark 1. The formulation above gives a non-linear differential equation for the density of a g(t)-BM(x) which isindependent of the choice of the initial orthonormal frame; consequently the law of a g(t)-BM(x) is independent ofthis choice. In the case where g(t) is a solution of the Ricci flow the density of the g(t)-BM(x) satisfies an equationwhich is close to the conjugate heat equation.Definition 1.4. The g(t)-parallel transport along the g(t)-BM is defined by // 0,t= Ũ t ◦ Ũ −10. It is a linear isometryalong the g(t)-BM(x) X t (x) in the sense of isometries:// 0,t : ( T X0 (x)M,g(0) ) −→ ( T Xt (x)M,g(t) ) .Remark 2. Consider the mean curvature flow (M t ) of some compact hypersurface M 0 in R n+1 as in [7], and thenatural pullback of the induced metric. We obtain a family of metrics g(t), and a characterization of this124flow intermsoftheg(t)-BM. For T strictly smaller than explosion time, and for a g(T − t)-BM we have a R n+1 -valued Itômartingale (with finite quadratic variation equal to 2nt before explosion time) which lives in M T −t at time t (controlproblem). One can derive an estimate of the explosion time in terms of the diameter of the initial hypersurface.

776 M. Arnaudon et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 773–7782. Damped parallel transportConsider{∂ t f(t,x)= 1 2 g(t)f(t,x),(4)f(0,x)= f 0 (x)where f 0 is a smooth function on M and where g(t) is the Laplacian on M with respect to g(t). LetXt T (x) be ag(T − t)-BM(x) and define the g(T − t)-parallel transport // T 0,tas before.Definition 2.1. The damped parallel transport W0,t T : T xM −→ T X T t (x)M is defined as the solution ofd (( // T 0,t) −1W )T 1( )0,t =− //T −1 (2 0,t Ricg(T −t) ( )) #g(T −t) ( )−∂ t g(T − t) WT0,t dt, WT0,0 = id .Theorem 2.2. For any f 0 ∈ F(M), and f(t,·) asolutionof (4), the processdf(T − t,·) X T t (x) W 0,t T v, 0 t T,is a local martingale for any v ∈ T x M.Heredf denotes the de Rham differential of f .Proof. We use scalarization of a differential form to bring computations back in R n . The proof then relies on commutativityof de Rham differential and Hodge de Rham Laplacian, along with the Weitzenböck formula for differentialforms. ✷Takingdt d g ij (t) =−Ric ij (t) as definition of the forward Ricci flow, the associated heat equation is:⎧∂ t f(t,x)= 1 ⎪⎨2 g(t)f(t,x),d⎪⎩ dt g ij =−Ric ij ,f(0,x)= f 0 (x)where f 0 is a smooth function on M.(5)Remark 3. The Ricci flow of a compact manifold develops its first singularity in finite time which we denote by T c .For T

M. Arnaudon et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 773–778 777Remark. With respect to a fixed metric, the damped parallel transport differs in general from the usual paralleltransport. In our case the evolution of the metric under the forward Ricci flow cancels the damping of the paralleltransport. A nice consequence for computations is that in this case the damped parallel transport is an isometry. Thisis not the case for the backward Ricci flow.3. Bismut formula for the Ricci flowWe intend to give a Bismut type gradient formula for the solution of Eq. (5), depending only on the initial condition(f 0 ,g(0)), see [3,4,9,1]. To this end, we derive the following integration by parts formula:Lemma 3.1. For any R n -valued process k in L 2 loc (B) where B is an Rn -valued Brownian motion,( ) [ ( )N t = df(T − t,·) X T t (x) UTt UT −1v0 −is a local martingale.∫t0k r dr]+ f ( T − t,Xt T (x) ) ∫ t0〈k r , dB r 〉 R nProof. By Proposition 1.3, f(T − t,Xt T (x)) is a martingale and its Itô differential is:d ( f ( T − t,Xt T (x) )) = df(T − t,·) X T t (x) U tT ( )UT −1ei0 dB i ,where (e i ) i=1,...,n is a g(T )-orthonormal basis of T x M,dB = (U0 T )−1 e i dB i . With Theorem 2.2 we get:dM∑dN t = − df(T − t,·) X T t (x) U tT ( )UT −1ei 〈 〉0 UT0 (k t ), e i T dt + d( f ( T − t,Xt T (x) )) 〈k t , dB〉 R nidM = −∑idf(T − t,·) X T t (x) U tT ( )UT −1ei 〈 〉0 UT0 (k t ), e i T dt+ df(T − t,·) X T t (x)( ∑i)(UtT ( )UT −1ei ∑0 dB i j〈kt , ( U T 0)) −1ej 〉dBjdM = 0,which proves the lemma.✷We can immediately deduce that the supremum of the gradient in the space variable of a solution to Eq. (5)decreases in time with a bound specified in the following corollary.Corollary 3.2. Let M 0 = sup M |f 0 |.ForT

778 M. Arnaudon et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 773–778The result follows.✷In the case of the normalized Ricci flow of surfaces (which is well understood), we can derive an estimate for thegradient of the scalar curvature. Let M be 2-dimensional, R(t) the scalar curvature, and r := ∫ M R(t)dvol/ ∫ M dvolits average (constant in time). We consider the normalized Ricci flow (which conserves the volume), i.e.,ddt g ij (t) = ( r − R(t) ) g ij (t).Remark 6. Hamilton (see [2]) gives a proof of all time existence of solutions to this equation. He also establishes aresult of convergence of such metrics to a metric of constant curvature.Proposition 3.3. For T>0, letX T t (x) be a 1 2 g(T − t)-BM(x) and //T 0,tbe the parallel transport along X T t (x).Further, for v ∈ T x M,letφ t v be the solution to the following Itô equation:// T 0,t d(( // T −1φt0,t)v ) =− ( 3r/2 − 2R ( T − t,Xt T (x) )) φ t v dt.Then dR(T − t,·) X T t (x) φ tv is a martingale, and the following estimate holds:∥∥∇ T R(T,x) ∥ ∥T sup∥∇ 0 R(0, ·) ∥ [ ( T0e −3rT/2 E exp 2R ( T − t,Xt T (x) ) )]dt . (6)M∫0Remark 7. In the case χ(M)

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TitreÉtude d’équations d’évolution en géométrie globale avec des méthodesprobabilistesRésuméDans la première partie de cette thèse, à une famille de métriques sur une variété nous associonsun mouvement brownien. Nous construisons un transport parallèle stochastique au-dessusde ce processus. Avec une forme intrinsèque du flot stochastique, nous définissons une notion detransport parallèle déformé au-dessus de ce processus. Nous caractérisons le flot de Ricci commeétant le seul flot sur les métriques garantissant l’égalité du tranport parallèle et du transportparallèle déformé.Dans ce cas, le transport parallèle déformé est une isométrie. Nous en déduisons des propriétéssur le flot de Ricci. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au flot à courbure moyenned’une hypersurface. Nous construisons ainsi un processus sans naissance et nous montrons sonunicité en loi quand la variété de départ est strictement convexe. Quand l’hypersurface de départn’est pas strictement convexe nous avons néanmoins une famille de martingales dont les pointsde départ sont sur une "variété" singulière.Dans la dernière partie, nous construisons une diffusion dans l’espace des courbes sur unevariété. Nous en déduisons des conditions suffisantes pour obtenir des propriétés de contraction- pour plusieurs distances de Wasserstein - entre deux mesures de probabilité représentant ladensité de deux diffusions d’opérateur elliptique inhomogène quelconque. Ainsi, cette nouvelleconstruction produit une alternative entièrement probabiliste aux calculs d’Otto utilisés par Lottpour arriver à des résultats similaires.Mot-clefsFlots géométriques, courbure de Ricci, flot de Ricci, flot de curvature moyenne, mouvementBrownien, martingales à valeur dans un fibré vectoriel, flot stochastique, transport parallèle déformé,distance de Wasserstein, problème de Monge-Kantorovich.AbstractIn the first part of this thesis, for a family of metrics on a manifold we associate a Brownianmotion. We build a parallel stochastic transport above this process. With a kind of intrinsicstochastic flow, we define a notion of damped parallel transport above this process. We characterizethe Ricci flow as the only flow of metrics that guarantees the equality between the paralleltransport and the damped parallel transport. We deduce some properties of the Ricci flow.On the second hand, we study the mean curvature flow of a hypersurface. We build a processwithout birth and we prove the uniqueness in law of such a process when the initial hypersurfaceis strictly convex. When it is not strictly convex we obtain a family of martingales that start ina singular “manifold”.In the last part, we build a diffusion in the space of regular curves on some manifold. Wededuce sufficient conditions to obtain some contraction properties - for a large class of Wassersteindistances - between two measures of probability that represent the density of two diffusionsassociated with an inhomogeneous elliptic operator. So this new construction yields a totallyprobabilistic alternative to the Otto calculus used by Lott to obtain similar results.KeywordsGeometric flows, Ricci flow, mean curvature flow, Brownian motion, vector bundles valuedmartingales, stochastic flow, damped parallel transport, Wasserstein distance, Monge-Kantorovichproblem.136