THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

17superflu du flot stochastique, voir [EY93], [ELJL99]). Si par exemple la variété dedépart (M, g) est compacte à courbure de Ricci strictement positive et que L = ∆ g ,on remarque que la longueur de la courbe u → X t (u) rétrécit exponentiellementavec le temps.Puis dans une seconde partie, nous nous intéresserons à la même constructionquand l’opérateur elliptique L(t) est inhomogène. On obtient ainsi une famillede L t -diffusions X t (u). Elle vérifie les mêmes équations que précédemment, à laseule différence près, que le transport parallèle déformé est celui introduit dans lechapitre 3. La construction se fera aussi par des transports parallèles de proche enproche, mais ces transports parallèles dépendront de la métrique g(t) en chaquetemps t, voir le théorème 3.1 ch.5.Dans la section 4 du chapitre 5, nous donnons une application de la constructionprécédente. On démontre sous certaines hypothèses la décroissance de la distance deMonge-Kantorovich (avec une bonne classe de fonctions coûts) entre deux mesuresde probabilités évoluant suivant l’équation de la chaleur : c’est le théorème 4.1 ch.5.Notons L t = 1∆ 2 t +Z t , où ∆ t est l’opérateur de Laplace associé à une famille C 1de métriques g(t) et Z t est un champ de vecteurs dépendant du temps. On supposeraque la variété (M, g(t)) est complète pour tout temps et que les L t diffusionssont de temps de vie infini. Notons également ρ(t, ., .) la distance Riemaniennepour la métrique g(t), et c(t, ., .) = ϕ(ρ(t, ., .)) une fonction coût, où ϕ est unefonction croissante de R + → R + . À cette fonction coût nous associons la distancede Monge-Kantorovich entre deux mesures de probabilité µ et ν sur M, définiepar :∫W c,t (µ, ν) = inf c(t, x, y)dη(x, y), (0.10)η∈Π(µ,ν) M×Moù Π(µ, ν) est l’ensemble des mesures de probabilités sur M × M de marginales µet ν. Dans le cas où la fonction coût est une puissance de la distance, on noteraplus simplement la distance de Wasserstein associée à p pour p > 0 :W p,t (µ, ν) = (W ρ p ,t(µ, ν)) 1/p . (0.11)Nous donnons trois exemples d’illustration de ce théorème :– Exemple : Soit (M, g) une variété telle que Ric g ≥ kg pour une constantek > 0, ρ(., .) la distance Riemanienne pour la métrique g et L = 1 2 ∆ g. Soitdeux mesures de probabilité µ et ν sur M, on notera µ t et ν t les solutions del’équation de la chaleur associées à L alors, on a le résultat de contraction :W p (µ t , ν t ) ≤ e −kt/2 W p (µ, ν). (0.12)Dans ce cas, la variété est compacte. Il y a donc une mesure invariante etla convergence pour n’importe quelle mesure de départ vers cette mesureinvariante se fait exponentiellement.17