THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

TitreÉtude d’équations d’évolution en géométrie globale avec des méthodesprobabilistesRésuméDans la première partie de cette thèse, à une famille de métriques sur une variété nous associonsun mouvement brownien. Nous construisons un transport parallèle stochastique au-dessusde ce processus. Avec une forme intrinsèque du flot stochastique, nous définissons une notion detransport parallèle déformé au-dessus de ce processus. Nous caractérisons le flot de Ricci commeétant le seul flot sur les métriques garantissant l’égalité du tranport parallèle et du transportparallèle déformé.Dans ce cas, le transport parallèle déformé est une isométrie. Nous en déduisons des propriétéssur le flot de Ricci. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au flot à courbure moyenned’une hypersurface. Nous construisons ainsi un processus sans naissance et nous montrons sonunicité en loi quand la variété de départ est strictement convexe. Quand l’hypersurface de départn’est pas strictement convexe nous avons néanmoins une famille de martingales dont les pointsde départ sont sur une "variété" singulière.Dans la dernière partie, nous construisons une diffusion dans l’espace des courbes sur unevariété. Nous en déduisons des conditions suffisantes pour obtenir des propriétés de contraction- pour plusieurs distances de Wasserstein - entre deux mesures de probabilité représentant ladensité de deux diffusions d’opérateur elliptique inhomogène quelconque. Ainsi, cette nouvelleconstruction produit une alternative entièrement probabiliste aux calculs d’Otto utilisés par Lottpour arriver à des résultats similaires.Mot-clefsFlots géométriques, courbure de Ricci, flot de Ricci, flot de curvature moyenne, mouvementBrownien, martingales à valeur dans un fibré vectoriel, flot stochastique, transport parallèle déformé,distance de Wasserstein, problème de Monge-Kantorovich.AbstractIn the first part of this thesis, for a family of metrics on a manifold we associate a Brownianmotion. We build a parallel stochastic transport above this process. With a kind of intrinsicstochastic flow, we define a notion of damped parallel transport above this process. We characterizethe Ricci flow as the only flow of metrics that guarantees the equality between the paralleltransport and the damped parallel transport. We deduce some properties of the Ricci flow.On the second hand, we study the mean curvature flow of a hypersurface. We build a processwithout birth and we prove the uniqueness in law of such a process when the initial hypersurfaceis strictly convex. When it is not strictly convex we obtain a family of martingales that start ina singular “manifold”.In the last part, we build a diffusion in the space of regular curves on some manifold. Wededuce sufficient conditions to obtain some contraction properties - for a large class of Wassersteindistances - between two measures of probability that represent the density of two diffusionsassociated with an inhomogeneous elliptic operator. So this new construction yields a totallyprobabilistic alternative to the Otto calculus used by Lott to obtain similar results.KeywordsGeometric flows, Ricci flow, mean curvature flow, Brownian motion, vector bundles valuedmartingales, stochastic flow, damped parallel transport, Wasserstein distance, Monge-Kantorovichproblem.136