THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

1. LA GÉOMÉTRIE D’ORDRE DEUX, CADRE DE LA GÉOMÉTRIESTOCHASTIQUE 23Le deuxième point se voit aisément par linéarité de la restriction et par la formuled(fg) = fdg + gdf.Il existe aussi une notion de différentielle symétrique de covecteur, et contrairementau diffuseur, il y a une notion de codiffuseur purement d’ordre deux dans lesens où leur restriction est nulle. Le sous espace des codiffuseurs purement d’ordredeux en x (KerR) est linéairement engendré par les ρ.ρ où ρ ∈ Tx ∗ V . Il existe unebijection entre le sous espace des codiffuseurs purement d’ordre deux et les formesquadratiques sur T x M ; on la notera Q et elle vérifiera Q(ρ.ρ) = ρ ⊗ ρ.La dualité entre codiffuseur et diffuseur s’exprime de la même manière que celleentre vecteur et covecteur.1.2 Semimartingale à valeurs dans une variété et intégralede formes d’ordre deux (codiffuseur) le long de semimartingalesLe théorème de Itô donne une caractérisation des semimartingales à valeursdans R n sans utiliser la structure d’espace vectoriel : soient une fonction f ∈ C 2 (R n )et X = (X 1 , ..., X n ) une semimartingale pour un certain espace probabilisé filtréà valeurs dans R n , alors f(X) est une semimartingale à valeurs dans R et on a ladécomposition de Doob-Meyer suivante :∫ tf(X t ) = f(X 0 ) + D k f(X t )dXt k + 1 D ij f(X t )d[X i , X j ] t . (1.1)02 0Ce théorème permet de redéfinir les semimartingales, à la différence très notableque, seule la structure différentielle est utilisée. C’est le premier pas vers une possibleextension aux variétés de la notion de semimartingale. La définition suivanteest due à Schwartz (1980).Soit (Ω, A, F t ,È) un espace probabilisé filtré satisfaisant les conditions standardsde continuité à droite de la filtration, où A est supposée complète et lestribus F t contiennent les évènements négligeables de A.Définition 1.3 Soit V une variété de classe C 2 au moins et X un processus àvaleurs dans V . On dira que X est une semimartingale ( pour (Ω, A, F t ,È)), sipour toutes fonctions f ∈ C 2 (V ), f(X) est une semimartingale réelle.On peut réécrire de façon symbolique l’équation ci-dessus (1.1) comme :∫ td(f(X t ) = D k f(X t )dX k t + 1 2 D ijf(X t )d[X i , X j ] t ,et l’envisager de manière formelle comme l’action du codiffuseur d 2 f en X t surle “diffuseur” DX := dX k D k + 1 2 d[Xi , X j ]D ij . L’intégrale d’un codiffuseur le long23