THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

1. LA GÉOMÉTRIE D’ORDRE DEUX, CADRE DE LA GÉOMÉTRIESTOCHASTIQUE 25– extension de la définition précédente,– associativité, si Z est une semimartingale réelle prévisible localement bornée :∫ ∫∫Zδ( 〈Σ, δX〉) = 〈ZΣ, δX〉;où le terme de gauche de l’égalité précédante est l’intégrale de Stratonovitch habituelle.Dans la formule (1.1) et dans sa forme revisitée dans le cadre des semimartingalesà valeurs dans une variété ∫ 〈d 2 f, D(X)〉, il n’a pas été donné la décompositionde Doob-Meyer de f(X) de façon intrinsèque. Cela nécessitera une décompositioncanonique d’un diffuseur en une partie d’ordre un et une partie en un sens purementd’ordre 2, ce qui en l’état actuel des choses est impossible ! Une structuresupplémentaire est nécessaire ; ce sera celle de connexion.1.3 Connexion, intégrale de Itô et martingale à valeurs dansune variétéLa notion de semimartingale a été étendue aux processus à valeurs dans unevariété. La section qui suit définira celle de martingale à valeurs dans une variété,sorte de déplacement aléatoire “uniforme” relative à une géométrie. Dans cettesection la variété V sera supposée de classe C 2 au moins.Définition 1.6 Soit x un point de V , une connexion en x est une application linéairede l’espace des diffuseursÌxV dans l’espace tangent T x V , dont la restrictionà l’espace tangent T x V est l’identité. On la notera souvent Γ.Cette connexion est caractérisée par le choix de coefficients Γ k ij tels que Γ(D ij ) =Γ k ij D k. Ce sont les coefficients de Christoffel de la connexion Γ. La symétrie en(i, j) des coefficients de cette connexion est reliée au fait que les connexions considéréesici sont celles de la géométrie différentielle classique qui sont sans torsion.L’application duale de Γ sera notée Γ ∗ .Définition 1.7 Soit Γ une connexion en x sur V et f une fonction C 2 sur V . Lecodiffuseur d 2 f − Γ ∗ df(x) est appelé Hessienne de f en x et est noté Hess Γ f(x)pour montrer sa dépendance en la connexion. C’est un codiffuseur purement d’ordredeux, dans le sens où RHess Γ f(x) = 0, donc identifiable par Q en une applicationbilinéaire symétrique sur T x V ⊕ T x V .Remarque : Le lien entre cette définition de connexion et la définition usuelledes connexions (celle des connexions sans torsion de la géométrie différentielle),ayant les mêmes symbôles de Christoffel, est le suivant :25