THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

2 Compléments de calculs sur le chapitre 5Page 99 (c’est vrai qu’il manque des détails de calculs, mais nous les trouvionsdispersant pour la lecture).-première phrase page 100 : L-diffusions are ∇ ′ -martingales :On écrit L = a ij ∂ ij + b j ∂ j , X est une L-diffusion alors (L elliptique donc a ijest inversible), pour tout f fonction lisse sur M on a :i.e.que l’on réécrit :df(X t ) − Lf(X t )dt ∈ dMdf(X t ) − (a ij ∂ ij f(X t ) + b j ∂ j f(X t ))dt ∈ dMdf(X t ) − 1 2 (−Γ,k ij ∂ kf(X t + ∂ ij f(X t ))(a ij + a ji )(X t )dt ∈ dM (1)car si Γ ′ kij = − 1 2 (a ik + a jk )b k alors (comme a ij est symétrique)∑ijΓ ′ kij (a ij + a ji ) = 2 ∑ ijΓ ′ kij (a ij )puis :2 ∑ ijΓ ′ kij (a ij ) = (− ∑ ija ik a ij − ∑ ija jk a ij )b k = −2b k .D’autre part X L-diffusion entraîne :il vientd[X i , X j ] = (L(x i x j ) − x i L(x j ) − x j L(x i ))(X t )dt (2)= (a ij + a ji )(X t )dt (3)dx i ⊗ dx j (∗dX, ∗dX) = d[X i , X j ] = (a ij + a ji )(X t )dtavec (1) on obtient :df(X t ) − 1 2 (−Γ′ kij ∂ k f(X t) + ∂ ij f(X t ))dx i ⊗ dx j (∗dX, ∗dX) ∈ dM (5)(4)(6)i.e.df(X t ) − 1 2 ∇′ df(∗dX, ∗dX) ∈ dMdonc X est une ∇ ′ -martingale.- ligne 12 page 100 à la place du “easily prove that”, il devrait y avoir (preuvede formule (2.10)) :3116