THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

Chapitre 2Introduction à l’analyse stochastiquesur les variétésComme l’a découvert Schwartz, le cadre de la géometrie d’ordre deux est lecadre naturel pour envisager de manière intrinsèque les semimartingales à valeursdans les variétés. Pour ne pas oublier les sources du fleuve qui sera emprunté, cecourt chapitre aura pour vocation de rappeler les fondements de la géometrie stochastique: les vecteurs d’ordre deux, les formes d’ordre deux, les semimartingalesà valeurs dans une variété, ainsi que les intégrales de formes d’ordre deux le longde semimartingales. Il est issu en grande partie de [Sch82], [Mey81], [Éme89] et[Eme00]. Le lecteur averti pourra sans peine faire l’impasse de ce chapitre.1 La géométrie d’ordre deux, cadre de la géométriestochastique1.1 Vecteur tangent du second ordre (diffuseur), forme cotangented’ordre deux (codiffuseur)Les définitions de variété et d’espace tangent seront supposées connues. Pourplus de détails sur cette section le lecteur pourra se reporter à [Eme00] ; les notationsy seront les mêmes, ainsi que les définitions.Définition 1.1 Soient V une variété de classe C p pour 2 ≤ p de dimensiond et x un point de V . Une application L de C p (V ) dans R est un diffuseurau point x s’il existe une carte locale au voisinage de x, (v 1 , ..., v d ) des réels2121